1.1.2 空间向量的数量积运算 课件-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦空间向量的数量积运算，通过类比平面向量的研究流程（夹角→定义→运算律→应用），将平面向量知识推广到空间，构建从已知到未知的学习支架，帮助学生衔接前后知识。 其亮点在于以问题驱动和实例分析（如平行六面体、正三棱柱求长度夹角），培养数学眼光（空间观念）和数学思维（推理运算），通过学霸笔记总结方法，助力学生理解应用，教师可利用多样化例题提升教学效果。

1.1.2 空间向量的 数量积运算 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 1 引入（书6） 由于任意两个空间向量都可以通过平移转化同一平面内的向量，因此，两个空间向量的夹角和数量积就可以想平面向量那样来定义。 平面向量及其线性运算 空间向量及其线性运算 推 广 平面向量的数量积运算 空间向量的数量积运算 导入 问题 学习平面向量时，我们是如何研究它的数量积运算的？ 夹角→ 数量积的定义→ 运算律→ 应用 空间向量的夹角 问题1 什么是平面向量的夹角？能类比给出空间向量夹角的概念吗？ 授新 一、 空间向量的夹角（书6） 1、定义：如图，已知两个非零向量在空间任取一点，作 ，则叫做向量的夹角，记作. 2、向量夹角范围： 当 时，与同向； 当 时，与反向. 当 时，与垂直，记作. 共起点！ . O α A B 空间向量的数量积 问题2 平面向量的数量积是什么？能类比给出空间向量数量积的运算吗？ 授新 二、 空间向量的数量积 已知两个非零向量与，它们的夹角为，我们把数量叫做向量与的数量积(或内积)，记作，即. 特别地，零向量与任何向量的数量积等于0. 即0. . O A B ①“·”不能省略不写，也不能写成“×”. 注意: ② 数量积的结果为实数，不是向量. （数量积运算是非线性运算） 5 例2 如右图，在平行六面体ABCD－A'B'C'D'中, AB = 5， AD = 3, AA'= 7, ∠BAD = 60°, ∠BAA'= ∠DAA'= 45°. 求：(1)；(2) AC'的长. 例题（书7） 解:(1); (2) . (3) 变式：求的长. 用已知向量表示所求向量，再由数量积运算求模长，是立体几何中求线段长度的常用向量方法. 练习 书本P10 9、如图，在四面体中，，，求证：. (法1) (法2) 8 例1 如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F分别是AB，AD的中点，计算： (1). (2). (3). (4). 返回导航 9 解析： (1)〉 ＝×1×1·cos 60°＝，所以. (2)〉 ＝×1×1·cos 0°＝，所以. 返回导航 10 (3)〉 ＝×1×1·cos 120°＝－，所以. (4)· ＝·＋·＋] ＝＋·] ＝＝－. 返回导航 11 学霸笔记：由向量数量积的定义知，要求与的数量积，需已知〉，与的夹角与方向有关，一定要根据方向正确判定夹角的大小，才能使计算准确． 返回导航 12 A B A1 D C B1 . O N M M1 ＝||cos<,> 向量在向量上的投影向量： . O α 平面： 空间： 追问2 我们学习了平面向量的投影，你能把它推广到空间向量中吗？ 在空间,可以先将向量平移到同一个平面α内,进而利用平面上向量的投影,得到向量在向量上的投影向量： ＝||cos<,> 13 三、向量的投影 1．在空间，向量a向向量b投影：如图(1)，先将它们平移到同一平面α内，利用平面上向量的投影，得到与向量b共线的向量c，c＝______________，向量c称为向量a在向量b上的投影向量． 2．向量a向直线l投影如图(2)． 3．向量a向平面β投影：如图(3)，分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为A′，B′，得到向量，向量________称为向量a在平面β上的投影向量． 返回导航 14 练习（书8） 书本P8 1. 如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，若 ，则AB1与BC1 所成角的大小为( ). (A) 60° (B) 90° (C) 105° (D) 75° A C B A1 C1 B1 ∴AB1与BC1所成角为90°. B 15 练习 书本P8 B D A C 16 练习 书本P9 3. 如图, 在平行六面体ABCD-A′B′C′D′中, AB=4, AD=3, AA′=5, ∠BAD=90°, ∠BAA′=∠DAA′=60°. 求: (1) ；(2) AB′的长； (3) AC′的长. A C D B C′ D′ B′ A′ 17 练习 书本P9 4. 如图，线段AB，BD在平面α内，BD⊥AB，AC⊥α，且AB=a，BD=b，AC=c，求C，D两点间的距离. 18 (1) 空间向量的夹角及数量积运算的定义； (2) 空间向量数量积运算的运算律； (3) 空间向量数量积运算的应用. 总结 1 空间向量的数量积运算 2 类比平面向量的研究方法 类比 猜想 证明或转化 推广 19 (2) A B (3) （书7）类似地，可以将向量向直线投影(图(2)) ； 20 (平面)/空间向量的数量积运算律 ① (λ) ·＝λ(·)， λ∈R； ② ·＝·（交换律）; ③ ·(＋)＝·＋·（分配律）. 授新 三、 空间向量的数量积运算律 注：若，则，不一定成立 ; ，不一定成立 ; 由不能得到(或) . 向量没有除法运算 21 例2 如右图，m，n是平面α内的两条相交直线. 如果 l⊥m， l⊥n，求证： l⊥平面α. m n l α 例题 g 证明： 在α内作任意一条直线g， 分别在直线l, m, n, g上取非零向量. 因为直线m与n相交，所以向量不平行， 由向量共面的充要条件可知，存在唯一的有序实数对(x,y)， 使. 将上式两边分别与向量作数量积运算，得 m n l α 例题 g 证明： 将上式两边分别与向量作数量积运算，得 ∵，， ∴. 所以. 这就证明了直线垂直于平面内的任意一条直线，所以. 例2 如右图，m，n是平面α内的两条相交直线. 如果 l⊥m， l⊥n，求证： l⊥平面α. 用向量表示直线，用 向量数量积为零刻画直线的垂直，是立体几何中的常用向量方法. m n l α g 学习目标二　利用向量的数量积解决长度问题 例2 如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，＝c，点D满足. (1)用a，b，c表示. (2)若三棱锥A1-ABC的所有棱长均为2，求. 返回导航 25 解析：(1)∵，∴， ∴ ． 返回导航 26 (2)∵三棱锥A1-ABC的所有棱长均为2， ∴|a|＝|b|＝|c|＝2，∴〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈a，c〉＝， ∴a·b＝b·c＝a·c＝2×2×＝2，∴＝ ＝ ＝ . 返回导航 27 学霸笔记：利用空间向量求线段的长度或两点的距离 (1)结合图形将所求线段用向量表示； (2)用已知模和夹角的向量表示该向量； (3)利用＝2，通过计算求出，即得所求线段的长度或两点间的距离． 返回导航 28 跟踪训练2　已知二面角α-l-β的大小为60°，A∈α，B∈β，C，D∈l，AC⊥l，BD⊥l且AC＝BD＝3，CD＝5，则AB＝________． 解析：因为二面角α-l-β的大小为60°，A∈α，B∈β，C，D∈l，AC⊥l，BD⊥l，所以与的夹角为120°，又因为，所以2＝2＝＝9＋25＋9＋0＋0＋2×3×3×＝34，所以＝，即AB＝. 返回导航 29 学习目标三　利用向量的数量积解决夹角问题 例3 如图，在三棱锥A-BCD中，DA，DB，DC两两垂直，且DB＝DC＝DA＝2，E为BC的中点． (1)证明：AE⊥BC；(用向量方法证明) (2)求直线AE与DC所成角的余弦值． 返回导航 30 解析：(1)证明：由题意， ∵－， ∴＝·＝ ＝0－2＋2－0－0＋0＝0， ∴⊥，即AE⊥BC. 返回导航 31 (2)由(1)知，， ∴＝·＝0＋2－0＝2，又＝ ， ∴cos 〈〉＝， 即直线AE与DC所成角的余弦值为. 返回导航 32 学霸笔记：利用数量积求夹角的余弦值 (1)取向量：根据题设条件在所求的异面直线上取两个向量； (2)角转化：把异面直线夹角的问题转化为向量夹角问题； (3)求余弦值：利用数量积求余弦值或角的大小； (4)定结果：异面直线的夹角为锐角或直角，利用向量的夹角求余弦值应将余弦值加上绝对值，继而求角的大小． 返回导航 33 跟踪训练3　已知AB＝AD＝1，AA1＝2，∠BAD＝，∠BAA1＝∠DAA1＝. (1)用向量表示向量； (2)求cos 〈〉． 返回导航 34 解析：(1). (2)由空间向量的运算法则可得，∵AB＝AD＝1，AA1＝2且∠BAD＝，∠BAA1＝∠DAA1＝，＝2 ＝+++＝1+4+1+2×1×2× 02×2×1×＝6，∴＝. 返回导航 35 ∴＝ ＝ ＝＝，＝·＝·+++·＝1×1×cos ＋12＋2×1×cos ＋2×1×cos －12－1×1×cos ＝2，则cos 〈〉＝＝＝. 返回导航 36 【导练】—— 举一反三·随堂落实 1．在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，设1＝c，则a·的值为(　　) A．1 B．0 C．－1 D．－2 答案：B 解析：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，a⊥b，a⊥c， 所以a·＝·c＝0. 返回导航 37 2．已知空间单位向量a，b，c两两垂直，则|a－b＋c|＝(　　) A．1 B． C．3 D． 答案：D 解析：由题意，|a|＝|b|＝|c|＝1，a·b＝0，a·c＝0，c·b＝0，|a－b＋c|2＝(a－b＋c)2＝a2＋b2＋c2－2a·b－2b·c＋2a·c＝12＋12＋12＝3，所以|a－b＋c|＝. 返回导航 38 3．空间四边形OABC中，OB＝OC，∠AOB＝∠AOC＝，则cos 〈〉的值是(　　) A． B． C．－ D．0 答案：D 解析：OB＝OC，故· ＝＝－＝·－＝0，所以〉＝＝0. 返回导航 39 4．在棱长为4的正四面体ABCD中，E是BC的中点，则 ＝________． 8 解析：如图所示，·＝8. 返回导航 40 【导思】—— 激活思维·创新培优 如图所示的几何体为两个正方体组成的正四棱柱，记集合A＝{x|x＝，i＝1，2，…，9}，则集合A中元素个数为(　　) A．3 B．4 C．6 D．9 答案：A 返回导航 41 解析：因为平面AP1P4P7，平面P2P5P8，平面BP3P6P9均与直线AB垂直，所以终点在这三个平面上的相应向量在向量上的投影向量分别相同，且互不相等，故(i＝1，2，…，9)共有3个不同的值． 返回导航 42 指津：根据几何体的特征，将向量数量积转化为投影向量，即可判断结果． 返回导航 43 $