课时分层检测(2) 空间向量的数量积运算-【创新大课堂系列】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册同步辅导与测试(人教A版)

课时分层检测参芳答案与解析 课时分层检测（一） 基础达标练 =号i又AG=AAi∴A=合] =O亦-O正+Oi-O正-E+E. 由向量共面的充要条件知E立，E正，E心 1,A[对于选项B,共终点构成一个球面，！9.证明连接MO,MC(图略).设AB=a, 共面， 对于远项C,空间非零向量能用空间中的 AD=b,AA=c,则M0=M元+C0- 一条有向线段表示，但不能说向量就是有· 又Ei,E市，EC过同一点E, 向线段：对于选项D,向量a与向量b不相 合花+专-安（店+动）+ 从而E,F,G,H四点共面 等，有可能它们的模相等，但方向不同，故： 时分层检测（二） 选A.] 宁+A)=合店十合市+基达标练 2.C[根据空间向量的加法法则及正方体· 1.B[由a·b=a b cos(a,b>,得cos(a, 的性质，逐一判断可知A,B,D的运算结· 号(C++AA)=名A+A市+ b》-a·b =-1,又因为0°≤(a,b)≤ 果都为AC,而C中，(BA-BC)一CC= a b C-CC-CA,故选C.] 专a=名a+b+子c,M-流+180所以Qb80,所以a/,B正 确.ACD显然错误.] 3.B[若G,M,N三点共线，则存在实数入 C=号AC+Ad=号(A店+Ad)+2.B根据a与2b-a互相垂直，得a(2b 使得0心=入0示+(1-)0成=1,2Oi+ -a)=0, A=2a+号b+c,MC=3Mi.又 即2a·b=a2=4, 会成+合交成立，所以号-合可得 解得a·b=2, 2 直线MC与直线MO有公共点M,∴C, O,M三点共线. 2_2 A=专，所以r=y=青，可得工十y10.解1)证明连接AC(因略).AC= cos(a.b)=ab2Xw2=之， = 又0°≤(a,b)180°， A店+A疝+AA-店+AA+A市+ ∴.(a,b》=45°，故远B.] 4.D[对于A,取AD,BC的中点M,N (图略)，则OA+OD-2OM,OB,+OC= 号A-(A访+筋+市+亦)=A正&CDC因为PA上手面ABCD,CC西 ABCD,所以PA⊥CD,故PA·CD=0;因 2ON,两者是一对相反向量：对于B,OB-: 十AF,A,E,C,F四点共面 为PA⊥平面ABCD,可得PA⊥AD,又 AD⊥AB,PA∩AB=A,所以AD⊥平面 O心=CB,OA-OD=DA1,两者是-对 (2).EF=AF-AE=AD+DF-(AB PAB,又PBC平面PAB,所以ADLPB, 相等向量；对于C,OA1-OA=AA1,OC- +弦)=i+子D币-A市号B丽-故D:i=0:同理P币·i=0.所以 OC=CC,两者是一对相反向量；对于D, 远BCD. 设四边形ABCD、四边形A1B,C1D1的中 -店+Ai+号Ax=-1,y=1,4.B[设向量a,b的夹角为0，则cos0= 心分别为P,Q,分别取AB,CD的中点E, a·b =y叶= 1 =-号，0=120两个方向向 F,A1B,C1D1的中点G,H(图略)，则 合-成-花-而-正+亦-能放提升年如吗之形G为行m典 量对应的直线的夹角为180°-120°=60° 故远B. 20,分(0A+0屈+0C+0币)-元： 形，所以E+萨+E頭+G市-亦+元：5.DAC-A店A心+AA,:AG +GH-EF+Fi-Ei,故A不成立：EB =AB+AD+AA2=AB￥+AD2 +Oi=2OQ,两者是一对相反向量.故： +FC+EH+GE-EB+BF+GE+EH- +AA,2+2AB·AD+2AB·AA+ 选D. 5.D[在△AMN中，M-MA+A衣. E亦+Gi=0,故B成立：E亦+F元+Ei+ 2AD·AA1=12+12+2+2×1×1× Gi=E元+Gi+Ei-Ei+EH= :M是AD的中点，M=-A立 c0s+2X1×2Xcos号+2X1X2× 2EH,故C成立：EF-FB+C心+Gi=! =-Ai=-2a:点N是CA上的 EF+BF+Ci=E成+花+Ci=+ c0答=1+1+4+2+2=10，AC1 CH-EH,故D成立.1 √10.故选D.] 点，且CN:NA,=14,A=号A2.iA市-Ai+B元+市=(e+e,)+ 6.3 [因为在平行六面体，ABCD =号(A+A店+ò)=善(-+ (5e1+4e2)+(e1十2e)-7e1+(k+6)e2,i A1B:CD,中，AD=AA+AD,AC= 设AD=λAB(A∈R),则7e1+(k+6)e2=: AB+AD,所以AD,·AC=(AA,+AD) A店+Ad=合(-c+a+b,M= ,所以+6，郎得6=1门 ·(AB+AD)-AA·AB+AA·AD+ M+A衣=-号b+号(-e+a+b)=3解设pm+m,即3a+2hc(a A亦.A+A亦=2X1X号+2X1X号 b+c)+y(a+b-c)=(x+y)a+(-x+ +0+12=3.] 4 y)b+(一y)c.因为a,b,c不共面，所以！7.√13[如图所 x+y=3, 6.5 CC -BD=BB-BD 一x十y=2,而此方程组无解，所以p不 示，∴AC=AD D,B=DB=√+2=5.] (x-y=1, +AB+CC= 7.b-a-c[如图，连接CA1.A1B=C第- 能用m,n表示，即p,m,n不共面， AD AB CA=CB-CA-CC=b-a-c.] 4.证明因为D为BC的中点，所以DC+ AA,.AC DB=0,A B=AA+A B=CC+AB C AD+AB+ =DC-DC1+DB-DA=AD+CD,因： AA+2(AD.AB+AA.AD+AB. B 为AB￠平面ADC1,所以AB∥平！ 面ADC. AA1)-113,则1AC1-√13.] 五证明用为货器瓷器- 14 [设AB=a,AD,-AA+AD,BD 所以O2=kOi,O亦=kO范，O元=k0元， -BA+BB+BC,则AD,·BD-AA· OH-kOD. BA+AA1·BB,+AA1·BC+AD·BA 8.号[连接OM(图略).：0店=号Oi+ 由于四边形ABCD是平行四边形， +AD·BB,+AD·BC-0+1+0+0+0 i+-i+×20成- 所以AC=AB+AD. 十1=2，易得AD,I=√2，BD1|= 因此E元=OG-OE-kO元-kOA=kAC 20+2Oi,G为AM的中点，∴A花 =(AB+AD)=(OB-OA+OD-OA) √+a.因为∠ADB=3,所以 217 cos(AD,BD 2 =,得 ·a)=0,所以a·b十b·c十c·a= 3+12+4=-13.] +茄+号)·(-合- a=6(负值舍去)，：AB,=AA+AB, 4.90°「厂由题意，取CD的中点为M,则 BC=BB+BC,.AB,·BCi=AA· PC·PD,=(PM+MC)·(PM+ BB+AA.BC+AB·BB+AB·BC= ×4-1- MD )(PM+MC).(PM-MC)= X4=0,所以A它和G市垂直， 1+0+0+0=1,又AB=√7,1BC PMP-MC2=PM-1.PA=2, 即AE⊥GF,故A1E与GF所成角的余弦 值为0. ,..cos(AB,BC)= AB,·BC ABBC :点P在以A为球心，2为半径的球面上，6.②③④[空间任意的三个不共面的向量 PMI mn =AM-2=3-2=1,PM= 才可以作为一个基底，故①错误：若a∥b, 1 CD,即PD,⊥PC,PC与P元的 则a,b与任意向量都共面，故不能构成空 √7×反14 夹角为90°.] 间的一个基底，故②正确；若BA,BM,BN 9.解1D成=（成+D心=合[（不解由题可如，市=B+i士 不能构成空间的一个基底，则BA,BM, BN共面，∴A,B,M,N四点共面，故③正 -AD)+(AC-AD)]-C(a-e)+(b =AD-AB-AA,则BD1=(AD- 确：，{a,b,c}是空间的一个基底，∴.a,b AB-AA)=AD +AB+AA:-2 AD c)]=名a+b-c或D成=A成-A市 与向量m=a十c一定不共面，∴，{a,b,m ·AB-2AD·AA+2AB·AA=12+ 也是空间的一个基底，故④正确.] -2(AB+A0-ai-2a+号bc 2+3-2X(1×2+1X3-2×3)×号 a+b+e）(2a+6+c CN-AN-AC-AB-AC-a-6. 15,因此，BD的长为√15 [连接AC,AD(图略). (2)设正四面体ABCD的棱长为1，即a: (2)由题意知，CD=BA=AA-AB,则 1)A市-(A花+A）-(A弦+A市 =|b=c=1且(a,b》=(b,c〉=(c,a)= CD-(AA-AB):-AA:+AB- 音则D=成-复又成.成- 2不，A店=3+2-2×3×2×7=7， +A）=(a+b+c 子(a+b-2c)(a-2b)=子(a+a·b .CD1-√7，又CD·BD=(AA - 2-专（花+）-号（成+ AB)·(AD-AB-AA)=AA,·AD -2a·c-2a·b-2b+4b·c)= 8’1 AA·AB-AA2-AB·AD+AB+AB 2A+A）=2a+b+2.] DM.CN 8 =:A市-A-店.市+&吉 [如图所示，连 ..cos(DM,CN)= DMICN A亦=1X3×号-3-1×2×2 +2= 接PN,AN.M= 21 cos(CD,B D)= 9 CD·BD 一异面直线DM与CN所成角的 1 亦+P=-冬时 3 A CDIBD 余值为日 +令(+元) 一2 3W105 能力提升练 7XV厉 70 号+ 1,AB[如图所示， (AA+AD+AB)* 课时分层检测（三） 号元= 22 9 基础达标练 =(AA+AD+ 1.D[能与p,q构成基底，则与p,q不 DC)=AC:- 共面. a=吃9，b2a+2h=2p-9 1 3AB:AC·(A 9.解(1)DB,=D元+CB=D元+BB BC-a-b+c. -AA)=(AB+ .A,B,C都不合题意，因为{a,b,c}为1 BC)·AB=AB· 基底， -BA+AA+AE=-a+号b+c A+BC.AB=0:AD与AB的夹角是 ∴a十2c与p,q不共面，可构成基底.] DC与Di夫角的补角，而DC与D1的2C[:G元-合a-合b且a,b不共线， A亦-Ai+B萨=a+号(b+c)=a+之b 1 夹角为60°，故AD与A1B的夹角为120°；： ∴a,b,OC共面， 2c. 正方体的体积为ABAA1AD.综上 ∴.0C与a,b不能构成一组空间基底.7 (2)DD,+DB+CD=DD+(CD+DB) 可知，AB正确. !3.B[四棱锥P-OABC的底面是矩形， -DD+CB-DD+D A-DA. 2.D[·PD⊥平面ABCD,DAC平面AB OA=a,OC=b,O币=c,E是PC的中点， CD,DCC平面ABCD,.PD⊥DA,PDI 如图，连接DA1,则DA即为所求 DC,又底面ABCD为正方形，∴.DA B酡-c+=-Oi+2c=-a+ D DC,PA=DA-DP,Di-DA+D元，∴PA; ·DB=(DA-DP)·(DA+C)=DA+I 合d-0丽=-a+(-交+0亦)= DA.DC-DP DA-DP.DC-1,PA= -a-2b+c.] √(DA-D2=√/DA-2DA.DP+DP =√IF4=√5，D品=√DA+DC:= 人点房自世武湖有金天 =(a+3+Y)e1+(a十3-Yy)e+(a-3+Y) 数m,n,使OA=mOB+nOC,即e1十2e, √DA:+2DA.DC+D心=√+I=2, eg,又d=e1十2e2十3eg,所以 es=m(-3e +e2 +2es)+n(e +e- 1=-3n十1， cos(pi,Di=PA·DB /a十3+y-1, e),所以2=m十1，方程组无解，所 pAD馆5×2 a十B-Y=2,解得 -1=2n-n, - (a-B+y=3, 以OA,OB,OC不共面，因此(OA,OB, ,∴，异面直线PA与BD所成角的 10. OC}可以作为空间的一个基底.令OA= :5.A[取(AA1,AD,AB}为空间的一个基 余弦值为] a,OB=b,OC=c, 底.根据题意，可得AE·G亦-(A1A+ e+2e:-e;=a, 3.-13[因为a十b十c=0,所以(a十b十c)2 =0,所以a2+b2+c2+2(a·b+b·c十c1 A市+D成.(GC+C弦+B=（-AA 由-3e1+e2十2e=b, (e+ex-es=c, 218班级 姓名 得分 课时分层检测（二） 空间向量的数量积运算 :6.已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，底 。基础达标练 面ABCD是边长为1的正方形，AA1=2, 1.下列结论中正确的是 ( ∠A1AB=∠A1AD=60,则AD1·AC= A.(a·b)·c=(b·c)·a B.若a·b=-ab,则a∥b :7.平行六面体ABCD-A1B1C1D1,AB=AD= C.若a,b,c为非零向量，且a·c=b·c,则 4,AA1=5,∠BAD=∠BAA1=∠DAA1= a∥b 60°，则AC1= D.若a2=b2,则a=b 8.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，BC=CC1 2.已知向量a,b满足条件：a=2,b=√2， =1,∠ADB=子，则直线AB与BC所成 且a与2b一a互相垂直，则(a,b)等于 角的余弦值为 A.30 B.45 9.如图，在正四面体ABCD C.60 D.90 中，M,N分别为棱BC, AB的中点，设AB=a,AC B 3.(多选)已知四边形ABCD =b,AD=c. 为矩形，PA⊥平面AB CD,连接AC,BD,PB, (1)用a,b,c分别表示向量DM,CV; PC,PD,则下列各组向量 (2)求异面直线DM与CN所成角的余 中，数量积为零的是 弦值. A.PC与BD B.DA与PB C.PD与AB D.PA与CD 4.已知两条异面直线的方向向量分别为a,b, 且|a=|b=1,a·b=- ，则两直线的夹 1 角为 ( A.30° B.60° C.120° D.150° 5.在底面是正方形的四棱柱ABCD- A1B1C1D1中，AB=1,AA1=2,∠A1AD= ∠AAB=S,则1AC1= A.2√2 B.2√3 C.3 D.√10 113 班级 姓名 得分 5.已知在平行六面体ABCD 0 能力提升练 0 A1B1C1D1中，AB=2,AA1 1.(多选)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，下 =3,AD=1,且∠DAB= 列命题正确的是 ( ∠BAA=∠DAA1=5 A.(AA+AD+AB)2=3 AB2 (1)求B1D的长； B.A1C·(A1B1-A1A)=0 (2)求CD1与B1D夹角的余弦值 C.AD1与A1B的夹角为60° D.正方体的体积为AB.AA.AD 2.在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD, 底面ABCD为正方形，AB=1,PD=2,则异 面直线PA与BD所成角的余弦值为( A.、 5 B.5 5 C.-10 10 D.10 10 3.已知空间向量a,b,c满足a+b十c=0,a|= 3,|b=1,c=4,则a·b+b·c十c·a的 值为 4.已知点P为棱长等于2的正方体ABCD- A1BCD1内部一动点，且PA|=2,则PC· PD1的值达到最小时，PC与PD的夹角为 114