精品解析：江西省赣州市上犹县2025-2026学年八年级下学期期末考试数学试题

2025～2026学年度第二学期期末质量检测 八年级数学试题卷 说明：1．全卷共有六个大题，23个小题，时间120分钟； 2．答案一律写在答题卷上，否则无效． 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，每小题只有一个正确选项） 1. 能使有意义的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 以下列各组数为三角形的三边长，能构成直角三角形的是（ ） A. 2，2，2 B. C. D. 2，3，4 3. 某中学为响应“全民运动健康年”号召，举办校园跳绳挑战赛，需从八年级（5）班的甲、乙、丙、丁四名同学中选拔一人参加校级决赛．四人在班级预选赛中的成绩统计如下表（单位：个/分钟）： 选手 甲 乙 丙 丁 平均成绩 185 180 183 185 方差 1.2 0.8 1 0.8 若要选出一个成绩好且状态稳定的同学去参赛，那么应选的同学是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 4. 生态学家G.F.Gause通过多次单独培养大草履虫实验，研究其种群数量随时间的变化情况，得到了如图所示的“S”形曲线．下列说法正确的是（ ） A. 第5天的种群数量为300个 B. 前3天种群数量持续增长 C. 第3天的种群数量达到最大 D. 每天增加的种群数量相同 5. 如图，的对角线交于点O，E是的中点，连结，若，则等于（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 6. 如图，正方形，，，按如图所示方式放置，点，，在直线上，点，，在轴上．点的坐标是，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 计算的结果是_________． 8. 平面直角系中，直线与y轴交点坐标为________． 9. 如图是某班学生体重（单位：）的箱线图，该班学生体重的下四分位数是______． 10. 如图，直线与x轴交于点，则不等式的解集是_______． 11. 如图，菱形的对角线相交于点O，过点O且与边分别相交于点E，F．若，则与的面积之和为_______． 12. 如图，平面直角坐标系中，已知点，，以为边向上作正方形，直线与正方形有交点，则整数的值为___________． 三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 计算： （1）； （2）． 14. 如图，正方形中，点，分别在，上，且．求证：四边形是平行四边形． 15. 如图，在四边形中，已知，，，． （1）求的长度； （2）求四边形的面积． 16. 如图，在矩形中，P，M分别是，的中点．请仅用无刻度的直尺按下列要求作图（保留作图痕迹）． （1）在图1中，以为边作一个非特殊的平行四边形； （2）在图2中，以为边作一个菱形． 17. 如图，已知一次函数的图象经过两点，并且交轴于点，交轴于点． （1）求该一次函数的解析式； （2）求的面积． 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 在2025年全国科技活动周期间，某校科技小组对甲、乙两个水产养殖基地水体的值进行了检测，并对一天（24小时）内每小时的值进行了整理、描述及分析． 【收集数据】 甲基地水体的值数据： 7.27，7.28，7.34，7.35，7.36，7.51，7.53，7.67，7.67，7.67，7.67，7.81，7.81，7.88，7.91，8.01，8.02，8.03，8.07，8.16，8.17，8.23，8.26，8.26． 乙基地水体的值数据： 7.11，7.12，7.14，7.25，7.36，7.52，7.63，7.67，7.69，7.75，7.77，7.77，7.81，7.84，7.89，8.01，8.12，8.13，8.14，8.16，8.17，8.18，8.20，8.21． 【整理数据】 甲 2 5 7 7 3 乙 4 2 9 a 2 【描述数据】 【分析数据】 平均数 众数 中位数 方差 甲 7.79 b 7.81 0.10 乙 7.78 7.77 c 0.13 根据以上信息解决下列问题： （1）补全频数分布直方图； （2）填空：______，______； （3）请判断甲、乙哪个基地水体的值更稳定，并说明理由； （4）已知两基地对水体值的日变化量（值最大值与最小值的差）要求为0.5~1，分别判断并说明该日两基地的值是否符合要求． 19. 小泉发现很多斜挎包的挎带由双层部分、单层部分和调节扣构成，如图1．通过调节扣加长或缩短单层部分的长度，可以使挎带的长度（单层部分与双层部分长度的和，其中调节扣所占的长度忽略不计）加长或缩短．单层部分的长度与双层部分的长度满足函数关系，小泉通过测量，得到如下6组数据： 单层部分的长度 20 30 40 50 60 70 双层部分的长度 55 50 45 40 35 30 （1）请在图2的平面直角坐标系中，描出表中数据对应的点，再选出最符合实际的函数模型，求出相应的函数解析式，并画出这个函数的图象； （2）根据小泉的身高和习惯，当挎带的长度为时，背起来正合适，求此时双层部分的长度． 20. 如图，在中，D，E分别为的中点，，垂足为F，点G在的延长线上，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，，求和的长． 五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 某商场有大、小两种规格的书包，每个大书包的进价为元，售价为元，每个小书包的进价为元，售价为元．现大、小书包共购进了个，其中大书包的数量不少于个，设购进大书包个（为整数），大、小书包全部售完后获得的利润为元． （1）求与之间的函数关系式； （2）若购进个书包的总费用不超过元，求最大利润为多少元？ （3）在（2）的条件下，该商场现对大书包每个优惠元进行促销活动，小书包每个进价减少元，售价不变，若最大利润为元，则的值是______． 22. 如图，四边形是正方形，对角线，相交于点．点是线段上一点（不与O，C重合），连接，．点在的延长线上，且． （1）请直接写出和的数量关系：____________； （2）求证：； （3）探究与的数量关系，并说明理由． 六、（本大题1小题，共12分） 23. 如图，直角坐标系中，平行四边形的边，，，点P以每秒2个单位的速度从点C向点B运动，点Q以每秒个单位的速度从点O向点C运动．当其中一点到达终点时，两点都停止运动，设运动时间为t． （1）求出点C，B的坐标； （2）当t为何值时，？ （3）在（2）的条件下，在平面内是否存在点M，使得以A、P、Q、M为顶点的四边形是平行四边形?若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025～2026学年度第二学期期末质量检测 八年级数学试题卷 说明：1．全卷共有六个大题，23个小题，时间120分钟； 2．答案一律写在答题卷上，否则无效． 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，每小题只有一个正确选项） 1. 能使有意义的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，一元一次不等式．根据二次根式的定义，被开方数必须非负，即，解此不等式即可确定x的取值范围． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， 解得 故选A． 2. 以下列各组数为三角形的三边长，能构成直角三角形的是（ ） A. 2，2，2 B. C. D. 2，3，4 【答案】C 【解析】 【详解】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．根据勾股定理的逆定理，若三角形三边满足（其中为最长边），则该三角形为直角三角形，逐一验证各选项即可． 【分析】解：A.∵，∴不能构成直角三角形，故选项不合题意； B. ∵，∴不能构成直角三角形，故本选项不合题意； C. ∵，∴能构成直角三角形，故本选项符合题意； D. ∵，∴不能构成直角三角形，故本选项不合题意． 故选：C． 3. 某中学为响应“全民运动健康年”号召，举办校园跳绳挑战赛，需从八年级（5）班的甲、乙、丙、丁四名同学中选拔一人参加校级决赛．四人在班级预选赛中的成绩统计如下表（单位：个/分钟）： 选手 甲 乙 丙 丁 平均成绩 185 180 183 185 方差 1.2 0.8 1 0.8 若要选出一个成绩好且状态稳定的同学去参赛，那么应选的同学是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查平均数及方差的应用，根据平均成绩和方差选择成绩好且稳定的选手，平均成绩越高越好，方差越小越稳定． 【详解】解：甲和丁的平均成绩均为185，最高；乙180，丙183，故候选为甲、丁； 甲的方差为1.2，丁的方差为0.8，方差越小成绩越稳定，故丁更优， ∴丁的平均成绩最高且方差最小，符合“成绩好且状态稳定”的要求，应选丁， 故选：D． 4. 生态学家G.F.Gause通过多次单独培养大草履虫实验，研究其种群数量随时间的变化情况，得到了如图所示的“S”形曲线．下列说法正确的是（ ） A. 第5天的种群数量为300个 B. 前3天种群数量持续增长 C. 第3天的种群数量达到最大 D. 每天增加的种群数量相同 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了从函数图象获取相关信息，认真读题，分析每个阶段的函数图象是解题的关键．根据图像，逐项分析即可得出结论． 【详解】解：A. 第5天的种群数量在之间，选项说法错误，故不符合题意； B. 前3天种群数量持续增长，选项说法正确，故符合题意； C. 第5天的种群数量达到最大，选项说法错误，故不符合题意； D. 由图可得，每天增加的种群数量不相同，选项说法错误，故不符合题意； 故选：B． 5. 如图，的对角线交于点O，E是的中点，连结，若，则等于（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质可得，再由勾股定理可得，然后根据三角形中位线定理，即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵E是的中点， ∴是的中位线， ∴， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，勾股定理，三角形中位线定理，熟练掌握平行四边形的性质，勾股定理，三角形中位线定理是解题的关键． 6. 如图，正方形，，，按如图所示方式放置，点，，在直线上，点，，在轴上．点的坐标是，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、正方形的性质以及规律型中点的坐标，根据一次函数图象上点的坐标特征结合正方形的性质找出点的坐标是解题的关键． 根据一次函数图象上点的坐标特征可得出点的坐标，结合正方形的性质可得出点的坐标，同理可得出点、…的坐标，再根据点的坐标的变化即可找出点的坐标． 【详解】解：当时，， ∴点的坐标为． ∵四边形为正方形， ∴点B1的坐标为． 当时，， ∴点A2的坐标为． ∵四边形为正方形， ∴点的坐标为． 同理可得：点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，…， ∴点的坐标为， 则的坐标为，即． 故选：D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 计算的结果是_________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据二次根式的性质进行化简即可． 【详解】解：． 故答案为：2． 【点睛】此题主要考查了二次根式的化简，注意：． 8. 平面直角系中，直线与y轴交点坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是求解一次函数的图象与坐标轴的交点，理解y轴上的点的横坐标为零是解题的关键．把代入函数解析式，再解方程可得答案． 【详解】解：把代入函数解析式，则， 直线与y轴的交点坐标是， 故答案为：． 9. 如图是某班学生体重（单位：）的箱线图，该班学生体重的下四分位数是______． 【答案】36 【解析】 【分析】本题考查箱线图，熟记箱线图中相关统计量是解决问题的关键． 箱线图中箱体左边界的值是下四分位数，从而得到答案． 【详解】解：箱线图的边缘对应最小值， 箱子的左边界对应下四分位数， 箱子内部的线对应中位数， 箱子的右边对应上四分位数， 箱线图上面的短横线是最大值， 该班学生体重的下四分位数是 故答案为：36． 10. 如图，直线与x轴交于点，则不等式的解集是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与轴的交点问题，根据直线与x轴交于点并结合图象即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：∵直线与x轴交于点， ∴由图象可得，关于x的不等式的解集为， 故答案为：． 11. 如图，菱形的对角线相交于点O，过点O且与边分别相交于点E，F．若，则与的面积之和为_______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，根据菱形的性质求出，，然后证明即可求解． 【详解】解：∵菱形，， ∴，，， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：1． 12. 如图，平面直角坐标系中，已知点，，以为边向上作正方形，直线与正方形有交点，则整数的值为___________． 【答案】1或2或3 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形、正方形的性质、一次函数的性质等知识点，掌握数形结合思想成为解题的关键． 根据坐标系以及正方形的性质可得；由函数解析式可知直线l过定点；据此画出直线l与正方形有交点的临界点，然后求得临界点处k的值，进而求得k的取值范围，最后求出k的整数值即可． 【详解】解：∵点，，以为边向上作正方形， ∴，轴，轴， ∴， ∵直线， ∴直线l过定点， 当直线l过点D时，有，解得：； 当直线l过点B时，有，解得：； ∴， ∴整数的值为1或2或3． 故答案为：1或2或3． 三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先根据二次根式乘法法则计算乘法，再化简二次根式，最后合并同类二次根式． （2）用平方差公式计算，再化简求值． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 14. 如图，正方形中，点，分别在，上，且．求证：四边形是平行四边形． 【答案】证明：在正方形中，，， ， ， ， 又， 四边形是平行四边形． 【解析】 【分析】根据正方形的性质可得，，结合，推出，即可得证． 【详解】略 15. 如图，在四边形中，已知，，，． （1）求的长度； （2）求四边形的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理求解即可； （2）根据勾股定理的逆定理得到，最后根据，即可求解． 【小问1详解】 解：，， ； 【小问2详解】 ，，， ， ， ． 16. 如图，在矩形中，P，M分别是，的中点．请仅用无刻度的直尺按下列要求作图（保留作图痕迹）． （1）在图1中，以为边作一个非特殊的平行四边形； （2）在图2中，以为边作一个菱形． 【答案】（1） 如图1，四边形即为所求． （2） 如图2，四边形即为所求． 【解析】 【分析】（1）连接交于点，连接，则四边形即为所求． （2）连接交于点，连接并延长与边交于，则四边形即为所求. 【小问1详解】 解：理由如下： ∵矩形， ∴， ∵P，M分别是，的中点． ∴，，，， 而，， ∴四边形为平行四边形，，. 【小问2详解】 解：理由如下： 同理可得：，，，，， ∵， ∴， ∴四边形是矩形； ∴，即， ∴四边形为菱形. 【点睛】本题考查的是矩形的判定与性质，平行四边形的判定，菱形的判定，三角形的中位线的性质，熟练的作图是解本题的关键. 17. 如图，已知一次函数的图象经过两点，并且交轴于点，交轴于点． （1）求该一次函数的解析式； （2）求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是利用待定系数法求解一次函数的解析式，坐标与图形面积； （1）把代入，再建立方程组求解即可； （2）先求解点坐标为，结合的面积为：，再进一步求解即可. 【小问1详解】 解：把代入得， 解得 所以一次函数解析式为； 【小问2详解】 解：把代入得， 点坐标为， 的面积为： 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 在2025年全国科技活动周期间，某校科技小组对甲、乙两个水产养殖基地水体的值进行了检测，并对一天（24小时）内每小时的值进行了整理、描述及分析． 【收集数据】 甲基地水体的值数据： 7.27，7.28，7.34，7.35，7.36，7.51，7.53，7.67，7.67，7.67，7.67，7.81，7.81，7.88，7.91，8.01，8.02，8.03，8.07，8.16，8.17，8.23，8.26，8.26． 乙基地水体的值数据： 7.11，7.12，7.14，7.25，7.36，7.52，7.63，7.67，7.69，7.75，7.77，7.77，7.81，7.84，7.89，8.01，8.12，8.13，8.14，8.16，8.17，8.18，8.20，8.21． 【整理数据】 甲 2 5 7 7 3 乙 4 2 9 a 2 【描述数据】 【分析数据】 平均数 众数 中位数 方差 甲 7.79 b 7.81 0.10 乙 7.78 7.77 c 0.13 根据以上信息解决下列问题： （1）补全频数分布直方图； （2）填空：______，______； （3）请判断甲、乙哪个基地水体的值更稳定，并说明理由； （4）已知两基地对水体值的日变化量（值最大值与最小值的差）要求为0.5~1，分别判断并说明该日两基地的值是否符合要求． 【答案】（1） 补全频数分布直方图如图； ； （2）； （3） ∵甲的方差为0.10，乙的方差为0.13，， ∴甲基地水体的值更稳定； （4） 甲基地对水体值的日变化量：， 乙基地对水体值的日变化量：， ∴该日两基地的值甲符合要求，乙不符合要求． 【解析】 【分析】本题考查了直方图与统计表，中位数及众数，方差等知识点． （1）先求得a的值，即可补全频数分布直方图； （2）根据中位数及众数的定义求解即可； （3）根据方差的意义求解即可； （4）计算值最大值与最小值的差即可求解． 【小问1详解】 解：根据题意得， 【小问2详解】 解：甲基地水体的值数据中，7.67出现了4次，出现次数最多， 则； 乙基地水体的值数据中，由小到大排列中间两个数为7.77和7.81： 则； 故答案为：；； 【小问3详解】 略 【小问4详解】 略 19. 小泉发现很多斜挎包的挎带由双层部分、单层部分和调节扣构成，如图1．通过调节扣加长或缩短单层部分的长度，可以使挎带的长度（单层部分与双层部分长度的和，其中调节扣所占的长度忽略不计）加长或缩短．单层部分的长度与双层部分的长度满足函数关系，小泉通过测量，得到如下6组数据： 单层部分的长度 20 30 40 50 60 70 双层部分的长度 55 50 45 40 35 30 （1）请在图2的平面直角坐标系中，描出表中数据对应的点，再选出最符合实际的函数模型，求出相应的函数解析式，并画出这个函数的图象； （2）根据小泉的身高和习惯，当挎带的长度为时，背起来正合适，求此时双层部分的长度． 【答案】（1）；图象见详解 （2）双层部分的长度为 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的应用．画一次函数，求一次函数解析式等． （1）描点并根据这些点的分布情况判断y与x之间的函数关系类型，根据待定系数法求其解析式并画出图象即可； （2）根据得求出x的值，从而求出y的值即可． 【小问1详解】 解：描点如下： ∵这些点分布在同一条直线上， ∴y是x的一次函数， 设y与x的函数解析式为 (k、b为常数，且)， 将坐标和分别代入， 得：， 解得： 则， 当时，，当时，得时，解得， ∴y与x的函数解析式为，其图象如上图所示． 【小问2详解】 解：根据题意，， 即， 解得：， 当时，得， 解得：， ∴此时双层部分的长度为． 20. 如图，在中，D，E分别为的中点，，垂足为F，点G在的延长线上，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，，求和的长． 【答案】（1） 证明：∵D，E分别为的中点， ∴是的中位线， ∴，即， ∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形是矩形； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的判定，三角形中位线定理，勾股定理，解直角三角形，熟知相关知识是解题的关键． （1）由三角形中位线定理可得，即，则可证明四边形是平行四边形，再由，即可证明平行四边形是矩形； （2）求出，解得到，则；由线段中点的定义可得；过点A作于H，解得到，则，再利用勾股定即可求出的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴； ∵， ∴， 在中，，， ∴， ∴； ∵点D为的中点， ∴； 如图所示，过点A作于H， 在中，， ∴， 在中，由勾股定理得． 五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 某商场有大、小两种规格的书包，每个大书包的进价为元，售价为元，每个小书包的进价为元，售价为元．现大、小书包共购进了个，其中大书包的数量不少于个，设购进大书包个（为整数），大、小书包全部售完后获得的利润为元． （1）求与之间的函数关系式； （2）若购进个书包的总费用不超过元，求最大利润为多少元？ （3）在（2）的条件下，该商场现对大书包每个优惠元进行促销活动，小书包每个进价减少元，售价不变，若最大利润为元，则的值是______． 【答案】（1）（为整数） （2）元 （3） 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用， （1）根据“利润=（售价－进价）×数量”，分别表示出大、小书包全部售完后的利润再相加即各； （2）根据“购进个书包的总费用不超过元”得可得，继而得到，根据（1）的结论，结合一次函数的性质，从而可以判断得解； （3）依据题意，优惠后大书包的利润为元，小书包的利润为元，可得，进而分：①当时；②当时；③当时，分别进行分析判断可以得解； 熟练掌握并能灵活运用一次函数的性质是解题的关键． 【小问1详解】 解：由题意得， ， ∴与之间的函数关系式为（为整数）； 【小问2详解】 ∵购进个书包的总费用不超过元， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵在中，， ∴随的增大而增大， ∴当时，有最大值，最大值为， ∴最大利润为元； 【小问3详解】 由题意，优惠后大书包的利润为元，小书包的利润为元， ∴， ①当时，即，此时随的增大而增大， ∴当时，取最大值：， ∴，不合题意； ②当时，即， 此时，不合题意； ③当时，即，此时随的增大而减小， ∴当时，取最大值：， ∴． 故答案为：． 22. 如图，四边形是正方形，对角线，相交于点．点是线段上一点（不与O，C重合），连接，．点在的延长线上，且． （1）请直接写出和的数量关系：____________； （2）求证：； （3）探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1） （2） 证明：四边形是正方形， ． ． （3） 解：，理由如下： 作于点 由（2）知 为等腰直角三角形 ． 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质等知识，解题的关键是： （1）利用正方形性质得到垂直平分，利用垂直平分线性质，即可解题； （2）根据等角对等边得出，，结合正方形的性质得出 ，则，结合正方形的性质、三角形的内角和定理可求出，即可得证； （3）作于点，证明，得出，证明为等腰直角三角形，即可得出结论． 【小问1详解】 解：四边形是正方形，对角线、交于点O． 垂直平分， ， 故答案为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 六、（本大题1小题，共12分） 23. 如图，直角坐标系中，平行四边形的边，，，点P以每秒2个单位的速度从点C向点B运动，点Q以每秒个单位的速度从点O向点C运动．当其中一点到达终点时，两点都停止运动，设运动时间为t． （1）求出点C，B的坐标； （2）当t为何值时，？ （3）在（2）的条件下，在平面内是否存在点M，使得以A、P、Q、M为顶点的四边形是平行四边形?若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在，点M的坐标为或 【解析】 【分析】（1）作于点D，则是等腰直角三角形，可求出点C的坐标，再根据平行四边形的性质求点B的坐标； （2）当时，则，可求出此时t的值； （3）根据（2）所求得t的值，再求出的长，以A、P、Q、M为顶点的平行四边形可以为对角线，以此分类讨论，求出所有符合条件的点M的坐标即可． 【小问1详解】 解：如图，作于点D， ， ， ， ， ， ， ， ∵四边形是平行四边形， ， ， ； 【小问2详解】 解：如图，当时，， ， ， ， ， 解得； 【小问3详解】 解：存在， 当平行四边形以为对角线，设交x轴于点E， ， ， ∵点Q以每秒个单位的速度从点O向点C运动， 由（2）得：时， ∴， ∵， ，即， ， 由（2）得：， ， ； 当平行四边形以为对角线，则， ， ； 当平行四边形以为对角线，作交的延长线于点G， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 综上所述，点M的坐标为，或； 【点睛】此题重点考查平面直角坐标系的有关知识、平行四边形的判定与性质、求动点问题中的函数关系式、数形结合、分类讨论等数学思想的运用等知识与方法，解第（2）小题涉及用转化法表示图形的面积，解第（3）小题时应注意求出所有符合条件的结果，此题综合性强，属于压轴题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $