精品解析：山东烟台市招远市2025-2026学年第二学期期末考试初二数学试题

2025-2026学年度第二学期期末考试 初二数学试题 说明：1．考试时间120分钟，满分120分． 2．考试过程允许学生进行剪、拼、折叠等实验． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，满分30分） 1. 一个不透明的盒子中装有10个除颜色外无其他差别的小球，其中有3个黄球和1个绿球，其余都是白球，从中随机摸出一个小球，恰好是白球的概率为（ ） A. B. C. D. 2. 在数轴上表示不等式的解集，正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，已知△ABC≌△DFE，则∠DEF的对应角是（ ） A. ∠A B. ∠B C. ∠ACB D. ∠DFE 4. 若关于的一元一次不等式组的解集为，则多项式可以是（ ） A. B. C. D. 5. 有两条纸带，较长的一条为，较短的一条为，把两条纸带剪下同样长的一段后，剩下的两条纸带中，要求较长纸带的长度不少于较短纸带长度的两倍，那么剪下的长度至少是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，，平分，且．若点，分别在，上，且为等边三角形，则满足上述条件的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 4个 D. 无数个 7. 若不等式组的解集是，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 如图：．按下列步骤作图：①在射线上取一点C，以点O为圆心，长为半径作圆弧，交射线于点F．连结；②以点F为圆心，长为半径作圆弧，交弧于点G；③连结、．作射线．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（ ） A. B. 垂直平分 C. D. 9. 如图，已知长方形纸片，点，在边上，点，在边上，分别沿，折叠，点和点恰好都落在点处．若，则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 已知关于的不等式组，下面是某数学学习小组给出的结论：①当时，此不等式组无解；②若不等式组的解集是，则；③若此不等式组有整数解，则；④若不等式组的整数解只有，，，则．其中结论正确的有（ ） A. ①② B. ①②③ C. ①③④ D. ①②③④ 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分） 11. 地理研究小组了解到：某种珍稀植物生长的海拔高度不低于1000米，且不高于1700米，设这种珍稀植物生长的海拔高度为米，则的取值范围为________． 12. 如图，，，，若以“”为依据来判定，还需添加一个条件为________． 13. 对于任意实数，，定义一种新运算“”，其运算法则为，例如：，请根据上述定义解决问题：不等式的解集为________． 14. 如图，在中，，，以点C为圆心，CA长为半径作弧，交直线BC于点P，连接AP，则的度数是______． 15. 如图，函数和的图象相交于，则关于的不等式的解集是________． 16. 如图，在中，，点为上的一点，，在的右侧作，使得，，连接，交于点，若，则的度数为________． 三、解答题（本大题共9个小题，共72分．请在答题卡指定区域内作答．） 17. 解下列不等式组： （1）； （2） 18. 如图，是等边三角形，点是边上一点，，，试判断与的位置关系，并说明你的理由． 19. 一只不透明的袋子中装有若干个红球、若干个白球和8个黄球，这些球除颜色外都相同，将球摇匀，从中任意摸出一个球，摸到黄球的概率是． （1）请直接写出袋中一共装有__________个球； （2）若袋中有红球16个，求摸到白球的概率； （3）若摸到红球的概率是摸到白球的概率的3倍，则袋中红球、白球各有多少个？ 20. 【课本回顾】你还记得怎样用尺规作一个角等于已知角吗？你能说明其中的道理吗？小明回顾了作图过程，并进行了如下思考： 如图1，由尺规作图可知，，① 所以（②），（填全等判定依据，如） （1）完成上述小明思考过程中的填空； （2）【操作应用】 如图2，已知线段a和，请用尺规作一个，使； （3）如图3，在四边形中，，请利用尺规在边上作一点E，使得．（保留作图痕迹，标明字母，不写作法） 21. 已知一次函数，完成下列问题： （1）其图象与轴交点的坐标为（________）、与轴交点的坐标为（________）； （2）画出该函数的图象，并根据图象回答： 当_________时，； 当时，的取值范围为_________； 当时，的取值范围_________． 22. 为促进淡水养殖业的发展，某地为了将淡水鱼的价格控制在每千克8元到14元之间，决定对淡水鱼提供政府补贴．设淡水鱼的市场价格为元/千克，政府补贴为元/千克．据调查，要使每日市场的淡水鱼供应量与日需求量正好相等，与应满足等式．为使市场价格不高于9元/千克，政府补贴至少应为多少元/千克？ 23. 已知在中，，分别过，两点作互相平行的直线，，过点的直线分别交直线，于点，． （1）如图1，若，求证：； （2）如图2，，判断线段，与之间的关系，并说明理由． 24. 高铁站候车厅的饮水机（图1）有温水、开水两个按钮，图2为其示意图．小明先接温水后再接开水，接满的水杯，期间不计热损失．利用图中信息解决下列问题： 物理知识：开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量，可转化为：开水体积×开水降低的温度=温水的体积×温水升高的温度． 生活经验：饮水最佳温度是（包括与），这一温度最接近人体体温． （1）若先接温水23秒，求再接开水的时间； （2）设接温水的时间为秒，接到水杯中水的温度为． ①若，求的值； ②求关于的函数关系式，并直接写出达到最佳水温时的取值范围． 25. 综合与实践：探索三角形角平分线的定义及应用． 【问题情境】学习了三角形角平分线的定义后，同学们展开了探索三角形角平分线的数学活动．“前进”小组得到了一个结论：已知，如图1，若点是和的角平分线的交点，则． 证明如下：，是和的角平分线， ，， ， ， ． 【问题解决】 （1）如图2，若点是外角和的角平分线的交点，“前进”小组的结论还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，写出正确的结论并证明． 【拓展创新】 （2）如图3，在中，、的角平分线交于点，将沿折叠使得点与点重合，若，求的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第二学期期末考试 初二数学试题 说明：1．考试时间120分钟，满分120分． 2．考试过程允许学生进行剪、拼、折叠等实验． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，满分30分） 1. 一个不透明的盒子中装有10个除颜色外无其他差别的小球，其中有3个黄球和1个绿球，其余都是白球，从中随机摸出一个小球，恰好是白球的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据总球数和黄球、绿球的数量求出白球数量，再根据概率公式计算恰好摸出白球的概率，即可得到答案． 【详解】解：∵盒子中共有10个小球，其中有3个黄球和1个绿球，其余是白球， ∴白球的数量为个， ∴从中随机摸出一个小球，恰好是白球的概率为， 2. 在数轴上表示不等式的解集，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先解一元一次不等式求得，再把解集在数轴上表示即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 解集在数轴上表示如图： 3. 如图，已知△ABC≌△DFE，则∠DEF的对应角是（ ） A. ∠A B. ∠B C. ∠ACB D. ∠DFE 【答案】C 【解析】 【分析】根据全等三角形对应角相等解答． 【详解】解：∵△ABC≌△DFE， ∴∠DEF的对应角是∠ACB． 故选：C． 【点睛】本题考查了全等三角形对应角相等的性质，准确识图并根据对应顶点的字母写在对应位置上是准确确定出对应角的关键． 4. 若关于的一元一次不等式组的解集为，则多项式可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先解第一个一元一次不等式得到x的范围，结合不等式组的已知解集，可得的解集为，逐一求解各选项的不等式，即可得到正确答案． 【详解】解：解不等式，得 ， ∵不等式组的解集为， ∴的解集为， 逐个验证选项： 选项A：，解得，不符合题意； 选项B：，解得，符合题意； 选项C：，解得，不符合题意； 选项D：，解得，不符合题意． 5. 有两条纸带，较长的一条为，较短的一条为，把两条纸带剪下同样长的一段后，剩下的两条纸带中，要求较长纸带的长度不少于较短纸带长度的两倍，那么剪下的长度至少是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设剪下的长度为，根据较长纸带的长度不少于较短纸带长度的两倍列出不等式求解，即可得到剪下长度的最小值． 【详解】解：设剪下的长度为， ∵剪下相同长度后，较长纸带剩余长度为，较短纸带剩余长度为，要求较长纸带长度不少于较短纸带长度的两倍， ∴列不等式得， 展开得， 移项整理得， ∴剪下的长度至少是． 6. 如图，，平分，且．若点，分别在，上，且为等边三角形，则满足上述条件的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 4个 D. 无数个 【答案】D 【解析】 【分析】如图，过点P作于M，于N．根据角平分线的性质，由平分，于M，于N，得，，那么．此时，是等边三角形．然后再进行分类讨论． 【详解】解：如图，过点P作于M，于N， ∵平分， ∴，． ∴． ∴此时，是等边三角形． 当M向方向移动，N向方向移动，且． ∴． 在和中， ， ∴． ∴． ∴是等边三角形． ∴当M向方向移动，N向方向移动时，且， ∴是等边三角形． 同理：当M向方向移动，N向方向移动时，且， ∴是等边三角形． 综上：满足条件的有无数个． 7. 若不等式组的解集是，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求解第一个不等式，再根据一元一次不等式组解集“同大取大”的原则，结合已知解集确定m的取值范围． 【详解】解：解不等式 ， 移项得 ， 合并同类项得 ， 系数化为1得 ， ∵不等式组 的解集是 ， ∴． 8. 如图：．按下列步骤作图：①在射线上取一点C，以点O为圆心，长为半径作圆弧，交射线于点F．连结；②以点F为圆心，长为半径作圆弧，交弧于点G；③连结、．作射线．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（ ） A. B. 垂直平分 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由作法得OC= OF = OG，FG= FC，根据线段垂直平分线的判定方法可判断OF垂直平分CG，则可对B选项进行判断;利用C点与G点关于OF对称得到∠FOG = ∠FOC =30°，则可对A选项进行判断;通过判断△OCG为等边三角形可对C选项进行判断;利用含30度的直角三角形三边的关系得到 OC = 2CM，加上CF> CM，FC= FG，则可对D选项进行判断. 【详解】由作法得OC=OF= OG，FG= FC，则OF垂直平分CG， 所以B选项的结论正确； ∵C点与G点关于OF对称 ∴∠FOG=∠FOC=30°， ∴∠AOG =60°， 所以A选项的结论正确; ∴△OCG为等边三角形， OG = CG， 所以C选项的结论正确; 在Rt△OCM中，∵∠COM =30° ∴OC = 2CM， ∵CF > CM， FC= FG， ∴ OC ≠2FG， 所以D选项的结论错误 故选：D. 【点睛】本题考查含30度的直角三角形、线段垂直平分线的判定、尺规作图、三角形的三边关系，等边三角形，熟练应用所学知识点判断是关键，利用尺规作图步骤分析是重点 9. 如图，已知长方形纸片，点，在边上，点，在边上，分别沿，折叠，点和点恰好都落在点处．若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行线的性质可得，，再由折叠的性质可得，，然后根据三角形内角和定理，即可求解． 【详解】解：根据题意得：， ，， 由折叠的性质得：，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴． 10. 已知关于的不等式组，下面是某数学学习小组给出的结论：①当时，此不等式组无解；②若不等式组的解集是，则；③若此不等式组有整数解，则；④若不等式组的整数解只有，，，则．其中结论正确的有（ ） A. ①② B. ①②③ C. ①③④ D. ①②③④ 【答案】A 【解析】 【分析】先分别求出不等式组中两个不等式的解，再根据不等式组解集的判定规则，逐个验证每个结论的正确性即可． 【详解】解：解不等式组， 解不等式：得， 解不等式，得， 逐个判定结论： ①当时，与没有公共解集，因此不等式组无解，因此①说法正确； ②若不等式组解集为，则，因此②说法正确； ③若不等式组有整数解，则需满足，当时，不等式组无整数解，因此③说法错误； ④若不等式组的整数解只有，，，则的取值范围是，并不一定等于，因此④说法错误； 综上，正确的结论是①②． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分） 11. 地理研究小组了解到：某种珍稀植物生长的海拔高度不低于1000米，且不高于1700米，设这种珍稀植物生长的海拔高度为米，则的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，将文字描述的不等关系转化为数学不等式，即可得到的取值范围． 【详解】解：“海拔高度不低于1000米”，即． “海拔高度不高于1700米”，即． ∴可得的取值范围为． 12. 如图，，，，若以“”为依据来判定，还需添加一个条件为________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【详解】解：当时， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴可添加． 13. 对于任意实数，，定义一种新运算“”，其运算法则为，例如：，请根据上述定义解决问题：不等式的解集为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据定义的新运算可得，然后按照解一元一次不等式的步骤进行计算，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， 解得． 14. 如图，在中，，，以点C为圆心，CA长为半径作弧，交直线BC于点P，连接AP，则的度数是______． 【答案】30°或60° 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质可以得到△ABC各内角的关系，然后根据题意，画出图形，利用分类讨论的方法求出∠BAP的度数即可． 【详解】解：如图所示， 当点P在点B的左侧时， ∵AB=AC，∠ABC=80°， ∴∠ACB=ABC=80°， ∴∠BAC=180°-∠ACB-∠ABC=180°-80°-80°=20°， ∵CA=CP1， ∴， ∴∠BAP1=∠CAP1-∠CAB=50°-20°=30°； 当点P在点C的右侧时， ∵AB=AC，∠ABC=80°， ∴∠ACB=∠ABC=80°， ∴∠BAC=180°-∠ACB-∠ABC=180°-80°-80°=20°， ∵CA=CP2， ∴， ∴∠BAP2=∠CAP2+∠CAB=40°+20°=60°； 由上可得，∠BAP的度数是30°或60°， 故答案为：30°或60°． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质、圆的性质，解答本题的关键是画出合适的辅助线，利用分类讨论的方法解答． 15. 如图，函数和的图象相交于，则关于的不等式的解集是________． 【答案】 【解析】 【分析】先把代入得到，再把点坐标代入求出，接着计算出直线与轴的交点坐标，然后找出直线在轴上方且在直线的下方所对应的自变量的范围即可． 【详解】解：将代入得， ，解得， ∴， 将代入得， ，解得， ∴， 当时，， 则直线与轴的交点坐标为， ∴不等式的解集是． 16. 如图，在中，，点为上的一点，，在的右侧作，使得，，连接，交于点，若，则的度数为________． 【答案】##88度 【解析】 【分析】先证明，进而可依据“”判定和全等，则，再根据得，则，进而得，由此可判定是等边三角形，则，从而得是等边三角形，则，再求出即可得出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ． 三、解答题（本大题共9个小题，共72分．请在答题卡指定区域内作答．） 17. 解下列不等式组： （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：∵ 解不等式①得： 解不等式②得： ∴原不等式组的解集为：； 【小问2详解】 解：∵ 解不等式①得： 解不等式②得： ∴原不等式组的解集为：． 18. 如图，是等边三角形，点是边上一点，，，试判断与的位置关系，并说明你的理由． 【答案】 理由如下： 是等边三角形， ，， 在和中， ， ， ， ， ． 【解析】 【分析】证明，可得，即可求证． 【详解】略 19. 一只不透明的袋子中装有若干个红球、若干个白球和8个黄球，这些球除颜色外都相同，将球摇匀，从中任意摸出一个球，摸到黄球的概率是． （1）请直接写出袋中一共装有__________个球； （2）若袋中有红球16个，求摸到白球的概率； （3）若摸到红球的概率是摸到白球的概率的3倍，则袋中红球、白球各有多少个？ 【答案】（1）32； （2）； （3）袋中有红球18个，白球6个 【解析】 【分析】（1）运用黄球的数量除以黄球的概率，得出袋中一共装有32个球； （2）先算出白球的数量，再结合概率公式计算，即可作答． （3）设袋中有个白球，个红球，根据题意列出方程：，即可作答． 【小问1详解】 解：（个） ∴袋中一共装有32个球； 【小问2详解】 解：由（1）可知，袋中一共装有32个球， 则白球的个数为： 故； 【小问3详解】 解：由题意可知，袋中红球的数量是白球数量的3倍， 设袋中有个白球，个红球， 依题意得， 解得， ∴， 故袋中有红球18个，白球6个． 20. 【课本回顾】你还记得怎样用尺规作一个角等于已知角吗？你能说明其中的道理吗？小明回顾了作图过程，并进行了如下思考： 如图1，由尺规作图可知，，① 所以（②），（填全等判定依据，如） （1）完成上述小明思考过程中的填空； （2）【操作应用】 如图2，已知线段a和，请用尺规作一个，使； （3）如图3，在四边形中，，请利用尺规在边上作一点E，使得．（保留作图痕迹，标明字母，不写作法） 【答案】（1）①，②；（2）见解析；（3）见解析． 【解析】 【分析】本题主要考查作图—复杂作图、全等三角形的判定与性质等知识点，理解题意、灵活运用所学知识解决问题是解题的关键． （1）结合全等三角形的判定定理填空即可； （2）先根据作一个角等于已知角的方法作，以点C为圆心，线段a的长为半径画弧，交射线于点B，再以点C为圆心，线段a的长为半径画弧，交射线于点D，以点D为圆心，线段a的长为半径画弧，交射线于点A，连接即可； （3）结合全等三角形的判定，作的平分线，交于点E，则点E即为所求． 【详解】解：（1）如图1，由尺规作图可知，， 所以． 故答案为：，． （2）如图2，先任意作，以点C为圆心，线段a的长为半径画弧，交射线于点B，再以点C为圆心，线段a的长为半径画弧，交射线于点D，以点D为圆心，线段a的长为半径画弧，交射线于点A，连接，则即为所求． （3）如图3，作的平分线，交于点E，则． ∵， ∴，则点E即为所求． 21. 已知一次函数，完成下列问题： （1）其图象与轴交点的坐标为（________）、与轴交点的坐标为（________）； （2）画出该函数的图象，并根据图象回答： 当_________时，； 当时，的取值范围为_________； 当时，的取值范围_________． 【答案】（1），； （2）解：列表， 描点，连线， ；；； 【解析】 【分析】由一次函数即可得出与轴交点的坐标，与轴交点的坐标； 先画出图象，再根据函数图象即可求解． 【小问1详解】 解：由一次函数得 当时，， 解得； 当时，， ∴点的坐标为，与轴交点的坐标为， 【小问2详解】 解：由图象可知：当时，， 由图象可知：当时，的取值范围为， 由图象可知：当时，的取值范围， 22. 为促进淡水养殖业的发展，某地为了将淡水鱼的价格控制在每千克8元到14元之间，决定对淡水鱼提供政府补贴．设淡水鱼的市场价格为元/千克，政府补贴为元/千克．据调查，要使每日市场的淡水鱼供应量与日需求量正好相等，与应满足等式．为使市场价格不高于9元/千克，政府补贴至少应为多少元/千克？ 【答案】政府补贴至少应为0.93元/千克 【解析】 【分析】先根据与应满足等式，变形得到，然后再根据题意列出不等式组，解不等式组即可． 【详解】解：； ， ∵要使市场价格不高于9元/千克，由题意得：， 解之得， ∴政府补贴至少应为0.93元/千克． 23. 已知在中，，分别过，两点作互相平行的直线，，过点的直线分别交直线，于点，． （1）如图1，若，求证：； （2）如图2，，判断线段，与之间的关系，并说明理由． 【答案】（1）证明：延长交于点，如图， ， ， 又， ， 又， ， ， ，， ， ， ， 又， ， 在和中， ， ， ； （2）解：，理由如下： 在上截取，连接，如图， ，， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， ， 又， ， ， 在与中， ， ， ，， 又， ，即． 【解析】 【分析】（1）添加辅助线，延长交于点，根据平行线的性质以及角边角的证明方法证明和全等，由此可证； （2）添加辅助线，在上截取，连接，先得到是等边三角形，再由角角边的证明方法证明与全等，由此可得，，再利用边的关系进行转化即可得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 24. 高铁站候车厅的饮水机（图1）有温水、开水两个按钮，图2为其示意图．小明先接温水后再接开水，接满的水杯，期间不计热损失．利用图中信息解决下列问题： 物理知识：开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量，可转化为：开水体积×开水降低的温度=温水的体积×温水升高的温度． 生活经验：饮水最佳温度是（包括与），这一温度最接近人体体温． （1）若先接温水23秒，求再接开水的时间； （2）设接温水的时间为秒，接到水杯中水的温度为． ①若，求的值； ②求关于的函数关系式，并直接写出达到最佳水温时的取值范围． 【答案】（1）再接开水的时间为16秒 （2）①；②与的函数关系式为，达到最佳水温时的取值范围为 【解析】 【分析】（1）设接开水的时间为秒，根据“小明先接温水后再接开水，接满的水杯”，结合图2中开水和温水的水流速度，列出等量关系式，即可求解； （2）①根据物理知识中等量关系，列式，即可求解； ②根据物理知识中等量关系，列出关于的函数，根据饮水最佳温度是（包括与），列不等式，即可求解． 【小问1详解】 解：设接开水的时间为秒， 根据题意得：， 解得． 答：再接开水的时间为16秒． 【小问2详解】 解：①由题意得：温水体积为，开水体积为， ∵开水体积开水降低的温度温水的体积温水升高的温度， ∴，解得． ②由题意得：， 整理得：， ∵饮水最佳温度是（包括与）， ∴，解得． 答：与的函数关系式为，达到最佳水温时的取值范围． 25. 综合与实践：探索三角形角平分线的定义及应用． 【问题情境】学习了三角形角平分线的定义后，同学们展开了探索三角形角平分线的数学活动．“前进”小组得到了一个结论：已知，如图1，若点是和的角平分线的交点，则． 证明如下：，是和的角平分线， ，， ， ， ． 【问题解决】 （1）如图2，若点是外角和的角平分线的交点，“前进”小组的结论还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，写出正确的结论并证明． 【拓展创新】 （2）如图3，在中，、的角平分线交于点，将沿折叠使得点与点重合，若，求的度数． 【答案】（1）“前进”小组的结论不成立，正确结论为， 证明：，是和的角平分线， ，， ， 又，， ， ∴“前进”小组的结论不成立，正确结论为． （2） 【解析】 【分析】（1）由角平分线的定义得，，由外角的性质得，，再根据三角形内角和定理即可得出结论； （2）连接，由外角的性质得，，由折叠的性质得：，即可求出的度数，再根据题干的结论，即可求出的度数． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接， ，， ， 由折叠的性质得：， ， ， 由题干的结论得：， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $