3.2 函数与方程、不等式之间的关系（讲义）高一数学人教B版必修第一册

本讲义聚焦函数与方程、不等式的关系，以函数零点为核心，系统梳理零点与方程根、函数图像交点的等价关系，延伸至二次函数零点与不等式解集的关联，结合零点存在定理及二分法，构建从概念到应用的完整学习支架。 资料突出数形结合思想，通过题型分类与解题贴士培养数学思维，如二次函数零点分布的分类讨论。融入二分法找次品等实际案例，发展数学应用意识。课中辅助教师高效授课，课后通过分层练习帮助学生查漏补缺，强化知识理解与运用。

第三章 函数 3.2 函数与方程、不等式之间的关系 课标要点 1.结合学过的函数图象，了解函数零点、方程解与不等式的关系（直观想象、数学抽象）. 2.结合具体连续函数及其图象的特点，了解函数零点存在定理，了解用二分法求函数零点近似值具有一般性（直观想象、数学运算）. 学习重难点 重点： 1.函数零点等价于对应方程根、函数图像与 x 轴交点横坐标； 2.利用函数图像解不等式，看图像在 x 轴上下对应解集； 3.三者可相互转化，数形结合是核心解题方法 难点： 1.灵活实现函数、方程、不等式三者转化； 2.准确结合函数图像判断不等式解集； 3.含参问题中分类讨论零点位置，易漏解、错判图像区间。 知识点一　函数的零点 1.函数零点的概念 一般地，如果函数y＝f（x）在实数α处的函数值等于　零　，即f（α）＝　0　，则称α为函数y＝f（x）的零点. 2.二次函数的零点及其与对应方程、不等式解集之间的关系 一般地，由一元二次方程解集的情况可知，对于二次函数f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0）： （1）当Δ＝b2－4ac　＞0　时，方程ax2＋bx＋c＝0的解集中有两个元素x1，x2，且x1，x2是f（x）的两个零点，f（x）的图象与x轴有　两个　公共点　（x1，0）　，　（x2，0）　； （2）当Δ＝b2－4ac　＝0　时，方程ax2＋bx＋c＝0的解集中只有一个元素x0，且x0是f（x）唯一的零点，f（x）的图象与x轴有　一个　公共点（x0，0）； （3）当Δ＝b2－4ac　＜0　时，方程ax2＋bx＋c＝0没有实数根，此时f（x）无零点，f（x）的图象与x轴　没有　公共点. 提醒：当a＞0时，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的实数根、一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0（＜0）的解集、二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点之间的关系如下表所示： Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 ax2＋bx＋c＝0的实数根 x1，2＝（其中x1＜x2） x1＝x2＝ 方程无实数根 y＝ax2＋bx＋c的图象 y＝ax2＋bx＋c的零点 无零点 ax2＋bx＋c＞0的解集 {x｜x＜x1或x＞x2} {x｜x≠x1} R ax2＋bx＋c＜0的解集 {x｜x1＜x＜x2} ∅ ∅ 　　类似可得到a＜0时的情形. 【想一想】 函数的零点是点吗？ 随学随练 1.函数f（x）的图象如图所示，则函数f（x）的零点为（　　） A.1　　　　　　　　 B.2 C.（0，1）　 D.（2，0） 2.函数f（x）＝ax＋8的零点为4，则实数a的值为（　　） A.2　 B.－2 C.　 D.－ 3.函数f（x）＝x2＋mx－6的一个零点是－6，则另一个零点是　 　. 知识点二　函数零点存在定理 如果函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的，并且　f（a）f（b）＜0　（即在区间两个端点处的函数值异号），则函数y＝f（x）在区间（a，b）中　至少有一个　零点，即∃x0∈（a，b），f（x0）＝0. 【想一想】 1.函数y＝f（x）在区间（a，b）上有零点，是不是一定有f（a）f（b）＜0？ 2.函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，f（a）f（b）＜0时，能否判断函数在区间（a，b）上的零点个数？ 随学随练 1．（25-26高三·全国·一轮复习）下列图象表示的函数中有两个零点的是（　　） A．B．C．D． 2.方程x3－x－3＝0的实数解所在的区间是（　　） A.[－1，0]　　　　 B.[0，1] C.[1，2]　 D.[2，3] 知识点三　二分法 用二分法求函数零点近似值的步骤 在函数零点存在定理的条件满足时（即f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的，且f（a）f（b）＜0），给定近似的精确度ε，用二分法求零点x0的近似值x1，使得｜x1－x0｜＜ε的一般步骤如下： 第一步：检查｜b－a｜≤2ε是否成立，如果成立，取x1＝，计算结束；如果不成立，转到第二步. 第二步：计算区间（a，b）的中点对应的函数值，若f＝0，取x1＝，计算结束；若f≠0，转到第三步. 第三步：若f（a）f＜0，将的值赋给b，回到第一步；否则必有ff（b）＜0，将的值赋给a，回到第一步. 【想一想】 是否所有的函数都可以用二分法求函数的零点？ 随学随练 （25-26高一上·江西赣州·期末）用二分法求函数零点近似值时，第一次所取区间，则第三次所取的区间可能是（    ） A． B． C． D． 拓展 二分法实际应用 乒乓球是我国的国球，其地位是其他球类无法比拟的.乒乓球虽小，但对战时的速度快，变化多，技术要求高，特别是对判断力的锻炼，要求运动员眼疾手快，抓住稍纵即逝的机会，对培养顽强拼搏的精神很有好处.因此，乒乓球已经成为一项世界性、普遍性的体育运动. 现有a个乒乓球，从外观上看完全相同，除了1个乒乓球质量不符合标准外，其余的乒乓球质量均相同.用一架天平，限称b次，把这个“坏乒乓球”找出来，并说明此乒乓球是偏轻还是偏重. 【问题探究】 1.当a＝12，b＝3时，该如何称？ 2.若“坏乒乓球偏轻”，当a＝26时，又该如何称？ 【迁移应用】 将“a个乒乓球”改为“从A地到B地的海底电缆有15个接点”，现某接点发生故障，需及时修理，为了尽快找出故障的发生点，则怎样检测最合理？ 题型一 求函数的零点 解题贴士：判断一组对象能否组成集合的标准 判断一组对象能否组成集合，关键看该组对象是否满足确定性，如果此组对象满足确定性，就可以组成集合，否则，不能组成集合.同时还要注意集合中元素的互异性、无序性. 【例1】函数的零点是（ ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高一上·江苏扬州·阶段检测）函数的零点为（    ） A．1 B．－3 C．1和－3 D．和 【变式2】函数y＝x3－9x的零点个数是（　　） A.0　　　　　　　　　 B.1 C.2　 D.3 【变式3】判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出： （1）f（x）＝； （2）f（x）＝x－－6. 题型二 二次函数的零点及其与对应方程、不等式解集之间的关系 解题贴士：判断一组对象能否组成集合的标准 判断一组对象能否组成集合，关键看该组对象是否满足确定性，如果此组对象满足确定性，就可以组成集合，否则，不能组成集合.同时还要注意集合中元素的互异性、无序性. 【例2】（25-26高一上·浙江台州·期中）已知，，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高一上·广东广州·阶段检测）函数的零点为1，2，则不等式的解集为（   ） A． B．或 C． D．或 【变式2】（25-26高三上·浙江杭州·阶段检测）二次函数满足条件与时的函数值相等，则时的函数值为（    ） A．5 B．6 C．8 D．7 【变式3】已知关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为{x｜－2＜x＜7}，其中a，b，c为常数，则不等式cx2＋bx＋a≤0的解集是（　　） A.{x｜－≤x≤} B.{x｜x≤－，或x≥} C.{x｜x≤－，或x≥} D.{x｜－≤x≤} 题型三 一元二次方程根的分布问题 解题贴士：解一元二次方程根的分布问题一般从四个方面考虑： （1）抛物线开口方向； （2）一元二次方程根的判别式； （3）对应区间端点函数值的符号； （4）抛物线的对称轴与区间端点的位置关系. 【例3】已知关于x的不等式mx＞n的解集是{x｜x＜2}，则关于x的不等式（mx＋n）（x－3）＞0的解集是（　　） A.{x｜x＜2或x＞3}　 B.{x｜2＜x＜3} C.{x｜x＜－2或x＞3}　 D.{x｜－2＜x＜3} 【变式1】关于x的方程x2＋（a－2）x＋5－a＝0有两根，其中一根小于2，另一根大于3，则实数a的取值范围是（　　） A.{a｜a＜－5或a＞－4}　 B.{a｜－5＜a＜－4} C.{a｜a＜－5}　 D.{a｜a＞－4} 【变式2】（25-26高一上·甘肃兰州·阶段检测）已知函数的一个零点在区间内，另一个零点在区间内，则的值可能是（    ） A． B．1 C． D． 【变式3】（25-26高三下·四川德阳·期末）函数有两个零点的充分不必要条件是（     A． B． C．或 D． 题型四 用函数零点法求一元高次不等式的解集 解题贴士：解高次不等式的基本方法 （1）将高次不等式f（x）＜0（＞0）中的多项式f（x）分解成若干个不可约因式的积，根据符号法则，把它等价转化为两个或多个不等式（组），于是原不等式的解集就是各不等式（组）解集的并集. （2）穿针引线法（穿根法）： ①将不等式转化为一端为零的形式，如f（x）＞0或f（x）＜0等； ②对f（x）进行因式分解，使各因式为一次因式或二次不可约因式； ③求出各因式对应方程的实数根，并在数轴上依次标出，注意点的虚实； ④若最高次项的系数为正，则自最右端上方起依次穿过各根画出曲线；若最高次项的系数为负，则自最右端下方起依次穿过各根画出曲线，遇奇次重根穿过，遇偶次重根穿而不过（即奇过偶不过）； ⑤记数轴上方为正，下方为负，根据不等式符号写出解集. 上述步骤可以概述为：首正右上翘，首负右下掉；奇过偶不过，引线解知道. 【例4】（25-26高一上·河南南阳·阶段检测）不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高一上·辽宁·期中）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高三上·河南南阳·阶段检测）不等式的解集是（    ） A．或 B．或 C． D． 【变式3】（25-26高二上·陕西延安·期末）不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 题型五 判断函数零点个数 解题贴士：判断函数存在零点的2种方法 （1）方程法：若方程f（x）＝0的解可求或能判断解的个数.可通过方程的解来判断函数是否存在零点或判定零点的个数； （2）图象法：由f（x）＝g（x）－h（x）＝0，得g（x）＝h（x），在同一平面直角坐标系内作出y1＝g（x）和y2＝h（x）的图象，根据两个图象交点的个数来判定函数零点的个数. 【例5】（25-26高二下·四川雅安·期末）函数的零点个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式1】（25-26高一上·山东临沂·期末）函数零点的个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【变式2】（25-26高一上·山东枣庄·阶段检测）已知函数的图像是一条连续不断的曲线，且有如下对应值表： 1 2 3 4 5 6 ﹣6.136 15.552 ﹣3.92 10.88 ﹣52.488 ﹣232.064 则函数至少有几个零点（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式3】（25-26高一上·辽宁沈阳·期中）已知函数的图象是连续不间断的，且对应关系如下表： 1 1.5 1.75 1.875 2 -6 -2.625 -0.14 1.342 -0.158 则在上的零点个数（　　） A．只有1个 B．至少有2个 C．至多有2个 D．只有2个 题型六 判断函数零点所在区间 解题贴士：判断函数零点所在区间的三个步骤 （1）代入：将区间端点值代入函数求出相应的函数值； （2）判断：把所得的函数值相乘，并进行符号判断； （3）结论：若符号为正且函数在该区间内是单调函数，则在该区间内无零点，若符号为负且函数连续，则在该区间内至少有一个零点. 【例6】（25-26高一下·云南·开学考试）函数的零点所在的区间是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高一上·宁夏吴忠·期末）函数的零点所在区间为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高一上·广东汕头·期末）函数的零点所在区间（    ） A． B． C． D． 【变式3】（2026高二上·辽宁·学业考试）已知函数，在下列区间中，一定存在零点的区间是（    ） A． B． C． D． 【变式4】（2026高一·全国·专题练习）函数的零点所在区间（    ） A． B． C． D． 题型七 根据函数零点求参数 解题贴士：根据函数零点个数求参数值（范围）的方法 已知函数有零点（方程有根）求参数取值范围的方法： （1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，通过解不等式确定参数的取值范围； （2）分离参数法：先将参数分离，然后转化成求函数值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解. 【例7】（25-26高一上·甘肃天水·阶段检测）若函数的零点在内，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高一上·内蒙古鄂尔多斯·期末）若函数在区间上存在一个零点，则实数的取值范围是（    ） A．或 B． C． D． 【变式2】（2026高一上·全国·专题练习）函数在区间上存在零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26高一上·河南郑州·期末）若函数在内恰有一个零点，则a的取值范围（   ） A． B． C． D． 题型八 二分法 解题贴士：1.二分法是求一般函数的零点的一种通法，使用二分法的前提条件是函数零点的存在性.对“函数在区间[a，b]上连续”的理解如下：不管函数在整个定义域内是否连续，只要找得到包含零点的区间上函数图象是连续的即可. 2.用二分法求函数零点的近似值应遵循的原则 （1）需依据图象估计零点所在的初始区间[m，n]（一般采用估计值的方法完成）； （2）取区间端点的中点c，计算f（c），确定有解区间是（m，c）还是（c，n），逐步缩小区间的“长度”，直到区间的两个端点符合精确度要求，终止计算，得到函数零点的近似值. 【例8】下列图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点的是（　　） 【变式1】如图，函数f（x）的图象与x轴交于M（x1，0），N（x2，0），P（x3，0），Q（x4，0）四点，则下列零点中不能用二分法求出的是（　　 ） A.x1　　 B.x2　 C.x3　　 D.x4 【变式2】用二分法研究函数的零点时，通过计算得：，，下一步应考察的区间为（   ） A． B． C． D． 【变式3】用二分法求方程的近似解时，求得的部分函数值数据如表所示： 1 1.5 1.75 1.8125 1.875 2 0.5796 1.342 3 则当精确度为0.1时，方程的近似解可取（   ） A．1.6 B．1.7 C．1.8 D．1.9 基础通关 1．下列各图象表示的函数中没有零点的是（    ）． A．B．C．D． 2.函数的零点是（    ） A．1，-4 B．4，-1 C．1，3 D．不存在 3．函数的零点所在的区间为（    ） A． B． C． D． 4．用二分法研究函数的零点时，通过计算得：，，则下一步应计算，则（    ） A．0 B． C． D． 5．已知函数，则函数的零点个数为（    ） A． B． C． D． 6．已知不等式的解集为，则下列说法错误的是（    ） A． B． C． D． 7．若函数在区间上无零点，则m取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．已知二次函数的两个零点都在区间内，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9.〔多选〕对于方程x3＋x2－2x－1＝0，则下列判断中正确的有（　　） A.在（－2，－1）内有实数根 B.在（－1，0）内有实数根 C.在（1，2）内有实数根 D.在（－∞，＋∞）内没有实数根 10.〔多选〕已知不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为{x｜2＜x＜3}，则以下选项正确的有（　　） A.abc＞0 B.a＋b＋c＞0 C.函数f（x）＝ax2＋bx＋c有两个零点2和3 D.cx2＋bx＋a＜0的解集为{x｜x＜或x＞} 11.已知f（x）为定义在R上的奇函数，f（）＝0，当x＞0时，f（x）为增函数，则f（x）的零点个数为　　，（3－x）f（x）≤0的解集为　 　. 12.若关于x的方程＝1的根均为负数，则实数a的取值范围是　　 　. 13.若函数f（x）＝x2－2mx－1在区间[－1，2）上有两个零点，则m的取值范围为　 　. 14.已知二次函数f（x）＝x2－（a＋2）x＋2a，a∈R. （1）若函数f（x）只有一个零点，求a的值； （2）解关于x的不等式f（x）≤0. 15.已知二次函数f（x）＝x2－2ax＋4，求下列条件下实数a的取值范围. （1）零点均大于1； （2）一个零点大于1，一个零点小于1； （3）一个零点在（0，1）内，另一个零点在（6，8）内. 素养提升 16.（2025高一上·全国·专题练习）函数在区间上存在零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 17.若关于x的方程x2－6｜x｜＋5＝a有4个互不相等的实数根，则实数a的取值范围是（　　） A.（－4，5）　　　　 B.（－∞，－4）∪（5，＋∞） C.[－3，4）　 D.[－3，4] 18.已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）＝x2－4x，则方程f（x）＝x－2的解的个数为　3　. 19.已知函数f（x）＝x2－4x＋5，若关于x的方程[f（x）]2＋mf（x）＋4＝0有四个不相等的实数根，则m的取值范围是　 　. 20.二次函数y＝ax2＋（b－2）x＋3（a≠0）. （1）当a＝1，b＝6时，求此函数的零点； （2）若不等式y＞0的解集为{x｜－1＜x＜1}，求实数a，b的值； （3）当b＝1－a时，不等式y－1＞0在R上恒成立，求实数a的取值集合. 迁移创新 21.已知关于x的方程｜x2－2mx｜＝x2＋4有三个不相等的实数根，则实数m的取值范围为（　　） A.（－2，2） B.（－∞，－2）∪（2，＋∞） C.（－2，2） D.（－∞，－2）∪（2，＋∞） 22.对于函数f（x），若存在x0，使f（x0）＝x0成立，则称x0为函数f（x）的不动点，已知f（x）＝x2＋bx＋c. （1）若f（x）的两个不动点为－3，2，求函数f（x）的零点； （2）当c＝b2时，函数f（x）没有不动点，求实数b的取值范围. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 函数 3.2 函数与方程、不等式之间的关系 课标要点 1.结合学过的函数图象，了解函数零点、方程解与不等式的关系（直观想象、数学抽象）. 2.结合具体连续函数及其图象的特点，了解函数零点存在定理，了解用二分法求函数零点近似值具有一般性（直观想象、数学运算）. 学习重难点 重点： 1.函数零点等价于对应方程根、函数图像与 x 轴交点横坐标； 2.利用函数图像解不等式，看图像在 x 轴上下对应解集； 3.三者可相互转化，数形结合是核心解题方法 难点： 1.灵活实现函数、方程、不等式三者转化； 2.准确结合函数图像判断不等式解集； 3.含参问题中分类讨论零点位置，易漏解、错判图像区间。 知识点一　函数的零点 1.函数零点的概念 一般地，如果函数y＝f（x）在实数α处的函数值等于　零　，即f（α）＝　0　，则称α为函数y＝f（x）的零点. 2.二次函数的零点及其与对应方程、不等式解集之间的关系 一般地，由一元二次方程解集的情况可知，对于二次函数f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0）： （1）当Δ＝b2－4ac　＞0　时，方程ax2＋bx＋c＝0的解集中有两个元素x1，x2，且x1，x2是f（x）的两个零点，f（x）的图象与x轴有　两个　公共点　（x1，0）　，　（x2，0）　； （2）当Δ＝b2－4ac　＝0　时，方程ax2＋bx＋c＝0的解集中只有一个元素x0，且x0是f（x）唯一的零点，f（x）的图象与x轴有　一个　公共点（x0，0）； （3）当Δ＝b2－4ac　＜0　时，方程ax2＋bx＋c＝0没有实数根，此时f（x）无零点，f（x）的图象与x轴　没有　公共点. 提醒：当a＞0时，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的实数根、一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0（＜0）的解集、二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点之间的关系如下表所示： Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 ax2＋bx＋c＝0的实数根 x1，2＝（其中x1＜x2） x1＝x2＝ 方程无实数根 y＝ax2＋bx＋c的图象 y＝ax2＋bx＋c的零点 无零点 ax2＋bx＋c＞0的解集 {x｜x＜x1或x＞x2} {x｜x≠x1} R ax2＋bx＋c＜0的解集 {x｜x1＜x＜x2} ∅ ∅ 　　类似可得到a＜0时的情形. 【想一想】 函数的零点是点吗？ 【提示】不是，是使f（x）＝0的实数x，是方程f（x）＝0的根. 随学随练 1.函数f（x）的图象如图所示，则函数f（x）的零点为（　　） A.1　　　　　　　　 B.2 C.（0，1）　 D.（2，0） 【答案】B　 【解析】根据函数f（x）的图象，可知f（x）与x轴的交点为（2，0），所以函数f（x）的零点为2.故选B. 2.函数f（x）＝ax＋8的零点为4，则实数a的值为（　　） A.2　 B.－2 C.　 D.－ 【答案】B　 【解析】由题意得f（4）＝4a＋8＝0，即a＝－2.故选B. 3.函数f（x）＝x2＋mx－6的一个零点是－6，则另一个零点是　 　. 【答案】1　 【解析】依题意得f（－6）＝0，则36－6m－6＝0，解得m＝5.所以f（x）＝x2＋5x－6＝0的两根为1，－6，故1为函数的另一个零点. 知识点二　函数零点存在定理 如果函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的，并且　f（a）f（b）＜0　（即在区间两个端点处的函数值异号），则函数y＝f（x）在区间（a，b）中　至少有一个　零点，即∃x0∈（a，b），f（x0）＝0. 【想一想】 1.函数y＝f（x）在区间（a，b）上有零点，是不是一定有f（a）f（b）＜0？ 【提示】不一定，如f（x）＝x2在区间（－1，1）上有零点0，但是f（－1）f（1）＝1×1＝1＞0. 2.函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，f（a）f（b）＜0时，能否判断函数在区间（a，b）上的零点个数？ 【提示】不能.函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，f（a）f（b）＜0只能判断y＝f（x）在[a，b]上有零点，并不能判断零点的个数，如图. 随学随练 1．（25-26高三·全国·一轮复习）下列图象表示的函数中有两个零点的是（　　） A．B．C．D． 【答案】D 【解析】函数的零点是函数图像与轴的交点的横坐标，所以函数零点的个数即为函数图像与轴的交点个数.有两个零点就是函数图象与x轴有两个交点，故答案选D． 2.方程x3－x－3＝0的实数解所在的区间是（　　） A.[－1，0]　　　　 B.[0，1] C.[1，2]　 D.[2，3] 【答案】C　 【解析】令f（x）＝x3－x－3，易知函数f（x）＝x3－x－3在R上的图象是连续不断的，f（1）＝－3＜0，f（2）＝8－2－3＝3＞0，f（－1）＝－3＜0，f（0）＝－3＜0，f（3）＝21＞0，结合选项知，f（1）·f（2）＜0，故函数f（x）＝x3－x－3的零点所在的区间为[1，2]， 即方程x3－x－3＝0的实数解所在的区间为[1，2]. 知识点三　二分法 用二分法求函数零点近似值的步骤 在函数零点存在定理的条件满足时（即f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的，且f（a）f（b）＜0），给定近似的精确度ε，用二分法求零点x0的近似值x1，使得｜x1－x0｜＜ε的一般步骤如下： 第一步：检查｜b－a｜≤2ε是否成立，如果成立，取x1＝，计算结束；如果不成立，转到第二步. 第二步：计算区间（a，b）的中点对应的函数值，若f＝0，取x1＝，计算结束；若f≠0，转到第三步. 第三步：若f（a）f＜0，将的值赋给b，回到第一步；否则必有ff（b）＜0，将的值赋给a，回到第一步. 【想一想】 是否所有的函数都可以用二分法求函数的零点？ 【提示】不是，只有满足函数图象在零点附近连续，且在该零点左右函数值异号时，才能应用“二分法”求函数零点. 随学随练 （25-26高一上·江西赣州·期末）用二分法求函数零点近似值时，第一次所取区间，则第三次所取的区间可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为第一次所取区间，取中点，所以第二次取的区间为或， 当第二次取的区间为时，取中点，所以第三次取的区间为或； 当第二次取的区间为时，取中点，所以第三次取的区间为或；故选D 拓展 二分法实际应用 乒乓球是我国的国球，其地位是其他球类无法比拟的.乒乓球虽小，但对战时的速度快，变化多，技术要求高，特别是对判断力的锻炼，要求运动员眼疾手快，抓住稍纵即逝的机会，对培养顽强拼搏的精神很有好处.因此，乒乓球已经成为一项世界性、普遍性的体育运动. 现有a个乒乓球，从外观上看完全相同，除了1个乒乓球质量不符合标准外，其余的乒乓球质量均相同.用一架天平，限称b次，把这个“坏乒乓球”找出来，并说明此乒乓球是偏轻还是偏重. 【问题探究】 1.当a＝12，b＝3时，该如何称？ 【提示】第一次，天平左右各放4个乒乓球，有两种情况： （1）若平，则“坏乒乓球”在剩下的4个乒乓球中.第二次，取剩下的4个乒乓球中的3个乒乓球为一边，取3个好乒乓球为另一边，放在天平上. ①若仍平，则“坏乒乓球”为剩下的4个乒乓球中未取到的那个乒乓球，将此乒乓球与1个好乒乓球放到天平上，即知“坏乒乓球”是偏轻还是偏重； ②若不平，则“坏乒乓球”在取出的3个乒乓球之中，且知是轻还是重.任取其中2个乒乓球放在天平两边，无论平还是不平，均可确定“坏乒乓球”. （2）若不平，则“坏乒乓球”在天平上的8个乒乓球中，不妨设右边较重.从右边4个乒乓球中取出3个乒乓球置于一容器内，然后从左面4个乒乓球中取3个乒乓球移入右边，再从外面好乒乓球中取3个乒乓球补入左边.看天平，有三种可能. ①若平，则“坏乒乓球”是容器内3个乒乓球之一且偏重； ②若左边重，“坏乒乓球”已从一边换到另一边.因此，“坏乒乓球”只能是从左边移入右边的3个乒乓球之一，并且偏轻； ③若右边重，据此知“坏乒乓球”未变动位置，而未被移动过的乒乓球只有两个（左右各一），“坏乒乓球”是其中之一（暂不知是轻还是重）. 显然对于以上三种情况的任一种，再用一次天平，即可找出“坏乒乓球”，且知其是轻还是重. 2.若“坏乒乓球偏轻”，当a＝26时，又该如何称？ 【提示】将26枚乒乓球平均分成两份，分别放在天平两端，则“坏乒乓球”一定在质量小的那13个乒乓球里面；从这13个乒乓球中拿出1个，然后将剩下的12个乒乓球平均分成两份，分别放在天平两端，若天平平衡，则“坏乒乓球”一定是拿出的那一个，若天平不平衡，则“坏乒乓球”一定在质量小的那6个乒乓球里面；将这6个乒乓球平均分成两份，分别放在天平两端，则“坏乒乓球”一定在质量小的那3个乒乓球里面；从这3个乒乓球中任拿出2个，分别放在天平两端，若天平平衡，则剩下的那一个即是“坏乒乓球”，若天平不平衡，则质量小的那一枚即是“坏乒乓球”. 综上可知，最多称4次就可以发现这个“坏乒乓球”. 【迁移应用】 将“a个乒乓球”改为“从A地到B地的海底电缆有15个接点”，现某接点发生故障，需及时修理，为了尽快找出故障的发生点，则怎样检测最合理？ 【解】如下图所示，把从A地到B地的海底电缆抽象成一条线段，图中的15个点代表电缆上的15个接点.按照从左到右的顺序将其编号为1，2，3，…，15.先检查最中间的接点，即第8号接点，若此时两端都是通路，则此接点即为故障点，检查完毕；若其中一端为断路，则故障点必在此端.假设此时左端断路，则检查1～7号中间的接点，即第4号接点，若此时两端都是通路，则此接点即为故障点，检查完毕；若其中一端为断路，则故障点必在此端.假设此时左端断路，则检查第2号接点，若此时两端都是通路，则此接点即为故障点；若左端断路，则故障点为第1号接点；若右端断路，则故障点为第3号接点，到此检查完毕. 题型一 求函数的零点 解题贴士：判断一组对象能否组成集合的标准 判断一组对象能否组成集合，关键看该组对象是否满足确定性，如果此组对象满足确定性，就可以组成集合，否则，不能组成集合.同时还要注意集合中元素的互异性、无序性. 【例1】函数的零点是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】令，即，解方程得，由函数零点的定义可知，函数的零点是，故C正确. 【变式1】（25-26高一上·江苏扬州·阶段检测）函数的零点为（    ） A．1 B．－3 C．1和－3 D．和 【答案】C 【解析】令，，即，解得或．故选：C. 【变式2】函数y＝x3－9x的零点个数是（　　） A.0　　　　　　　　　 B.1 C.2　 D.3 【答案】D 【解析】函数y＝x3－9x的零点，即方程x3－9x＝0的实数根.由x3－9x＝x（x＋3）（x－3）＝0，解得x＝0或x＝±3.故函数y＝x3－9x的零点个数是3.故选D. 【变式3】判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出： （1）f（x）＝； （2）f（x）＝x－－6. 【解】（1）令＝0，解得x＝－3，所以函数f（x）＝的零点是－3. （2）由题意可知f（x）的定义域为{x｜x≥0}，令f（x）＝x－－6＝0，可得（）2－－6＝0， 解得＝－2（舍去）或＝3，所以x＝9，所以函数f（x）＝x－－6的零点为9. 题型二 二次函数的零点及其与对应方程、不等式解集之间的关系 解题贴士：判断一组对象能否组成集合的标准 判断一组对象能否组成集合，关键看该组对象是否满足确定性，如果此组对象满足确定性，就可以组成集合，否则，不能组成集合.同时还要注意集合中元素的互异性、无序性. 【例2】（25-26高一上·浙江台州·期中）已知，，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】， 其图象是对称轴为，开口向上的抛物线，所以当时，有最小值，为， 当时，有最大值，为，则的取值范围为，故选：C. 【变式1】（25-26高一上·广东广州·阶段检测）函数的零点为1，2，则不等式的解集为（   ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【解析】因为函数的零点为1，2，所以方程的根为， 由根与系数关系得. 所以不等式即为，， 所以不等式的解集为或.故选：D. 【变式2】（25-26高三上·浙江杭州·阶段检测）二次函数满足条件与时的函数值相等，则时的函数值为（    ） A．5 B．6 C．8 D．7 【答案】A 【解析】因为函数满足条件与时的函数值相等， 所以的图象关于直线对称， 则与时的函数值相等，均为5.故选：A 【变式3】已知关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为{x｜－2＜x＜7}，其中a，b，c为常数，则不等式cx2＋bx＋a≤0的解集是（　　） A.{x｜－≤x≤} B.{x｜x≤－，或x≥} C.{x｜x≤－，或x≥} D.{x｜－≤x≤} 【答案】A 【解析】关于x的一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为{x｜－2＜x＜7}，则a＜0，且－2，7是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根，于是解得则不等式cx2＋bx＋a≤0化为－14ax2－5ax＋a≤0，即14x2＋5x－1≤0，解得－≤x≤，所以不等式cx2＋bx＋a≤0的解集是{x｜－≤x≤}.故选A. 题型三 一元二次方程根的分布问题 解题贴士：解一元二次方程根的分布问题一般从四个方面考虑： （1）抛物线开口方向； （2）一元二次方程根的判别式； （3）对应区间端点函数值的符号； （4）抛物线的对称轴与区间端点的位置关系. 【例3】已知关于x的不等式mx＞n的解集是{x｜x＜2}，则关于x的不等式（mx＋n）（x－3）＞0的解集是（　　） A.{x｜x＜2或x＞3}　 B.{x｜2＜x＜3} C.{x｜x＜－2或x＞3}　 D.{x｜－2＜x＜3} 【答案】D 【解析】∵关于x的不等式mx＞n的解集为{x｜x＜2}，∴m＜0，n＝2m，∴（mx＋n）（x－3）＞0可化为m（x＋2）（x－3）＞0，即（x＋2）（x－3）＜0，∴－2＜x＜3，∴关于x的不等式（mx＋n）（x－3）＞0的解集是{x｜－2＜x＜3}.故选D. 【变式1】关于x的方程x2＋（a－2）x＋5－a＝0有两根，其中一根小于2，另一根大于3，则实数a的取值范围是（　　） A.{a｜a＜－5或a＞－4}　 B.{a｜－5＜a＜－4} C.{a｜a＜－5}　 D.{a｜a＞－4} 【答案】C 【解析】设f（x）＝x2＋（a－2）x＋5－a，则由题意可知即解得a＜－5，故实数a的取值范围是{a｜a＜－5}.故选C. 【变式2】（25-26高一上·甘肃兰州·阶段检测）已知函数的一个零点在区间内，另一个零点在区间内，则的值可能是（    ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【解析】令， 由题意，得，即，解得， 故的取值范围是.四个选项中在内的只有.故选：D. 【变式3】（25-26高三下·四川德阳·期末）函数有两个零点的充分不必要条件是（     A． B． C．或 D． 【答案】A 【解析】函数有两个零点，则有2个不等实数根， 即或，由于， 故为函数有两个零点的充分不必要条件， 显然，均不能推出或，不符合题意； 或是函数有两个零点的充分必要条件，故选：A 题型四 用函数零点法求一元高次不等式的解集 解题贴士：解高次不等式的基本方法 （1）将高次不等式f（x）＜0（＞0）中的多项式f（x）分解成若干个不可约因式的积，根据符号法则，把它等价转化为两个或多个不等式（组），于是原不等式的解集就是各不等式（组）解集的并集. （2）穿针引线法（穿根法）： ①将不等式转化为一端为零的形式，如f（x）＞0或f（x）＜0等； ②对f（x）进行因式分解，使各因式为一次因式或二次不可约因式； ③求出各因式对应方程的实数根，并在数轴上依次标出，注意点的虚实； ④若最高次项的系数为正，则自最右端上方起依次穿过各根画出曲线；若最高次项的系数为负，则自最右端下方起依次穿过各根画出曲线，遇奇次重根穿过，遇偶次重根穿而不过（即奇过偶不过）； ⑤记数轴上方为正，下方为负，根据不等式符号写出解集. 上述步骤可以概述为：首正右上翘，首负右下掉；奇过偶不过，引线解知道. 【例4】（25-26高一上·河南南阳·阶段检测）不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】按的正负分类可得： 或，得：或或， 解得：或或.故选：A 【变式1】（25-26高一上·辽宁·期中）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】不等式，等价于或， 解得或，即不等式的解集为.故选：A 【变式2】（25-26高三上·河南南阳·阶段检测）不等式的解集是（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】C 【解析】， 当时，不等式显然不成立； 当时，，所以原不等式，解得. 综上，原不等式的解集为.故选：C 【变式3】（25-26高二上·陕西延安·期末）不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】画出函数的大致图象如下图所示， 由图可知不等式的解集是.故选：D    题型五 判断函数零点个数 解题贴士：判断函数存在零点的2种方法 （1）方程法：若方程f（x）＝0的解可求或能判断解的个数.可通过方程的解来判断函数是否存在零点或判定零点的个数； （2）图象法：由f（x）＝g（x）－h（x）＝0，得g（x）＝h（x），在同一平面直角坐标系内作出y1＝g（x）和y2＝h（x）的图象，根据两个图象交点的个数来判定函数零点的个数. 【例5】（25-26高二下·四川雅安·期末）函数的零点个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【解析】由题意令有，解得或， 所以的零点为和，所以有2个零点.故选：C. 【变式1】（25-26高一上·山东临沂·期末）函数零点的个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【解析】令函数，即， 当时，满足题意， 当时，， 解得：或，因为，所以满足题意， 当时，， 解得：或，因为，所以满足题意， 综上所述：方程有3个实数解，即函数有3个零点，故选：B. 【变式2】（25-26高一上·山东枣庄·阶段检测）已知函数的图像是一条连续不断的曲线，且有如下对应值表： 1 2 3 4 5 6 ﹣6.136 15.552 ﹣3.92 10.88 ﹣52.488 ﹣232.064 则函数至少有几个零点（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【解析】因为， 所以，所以函数至少有4个零点，故选：D． 【变式3】（25-26高一上·辽宁沈阳·期中）已知函数的图象是连续不间断的，且对应关系如下表： 1 1.5 1.75 1.875 2 -6 -2.625 -0.14 1.342 -0.158 则在上的零点个数（　　） A．只有1个 B．至少有2个 C．至多有2个 D．只有2个 【答案】B 【解析】因为函数的图象是连续不间断的，且， 所以根据零点存在性定理，函数在区间上至少存在一个零点； 同理，由，所以函数在区间上至少存在一个零点； 因此，函数在区间上至少存在2个零点.故选：B. 题型六 判断函数零点所在区间 解题贴士：判断函数零点所在区间的三个步骤 （1）代入：将区间端点值代入函数求出相应的函数值； （2）判断：把所得的函数值相乘，并进行符号判断； （3）结论：若符号为正且函数在该区间内是单调函数，则在该区间内无零点，若符号为负且函数连续，则在该区间内至少有一个零点. 【例6】（25-26高一下·云南·开学考试）函数的零点所在的区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为函数在上单调递增，函数在上单调递增， 所以函数为上的增函数，故函数在有且仅有一个零点， 因为，，所以函数的零点所在的区间为． 【变式1】（25-26高一上·宁夏吴忠·期末）函数的零点所在区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由解析式可知在上单调递增， 又，， 故函数的零点所在区间为,故选：A 【变式2】（25-26高一上·广东汕头·期末）函数的零点所在区间（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】是上的减函数， 由，根据零点存在性定理，能确定零点不在区间内， 由，根据零点存在性定理，能确定在区间内存在唯一零点， 由， 根据零点存在性定理，确定零点不在区间内， 由， 根据零点存在性定理，确定零点不在区间内，故选：B 【变式3】（2026高二上·辽宁·学业考试）已知函数，在下列区间中，一定存在零点的区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】计算；；；， 由零点存在定理可得一定存在零点.故选：B. 【变式4】（2026高一·全国·专题练习）函数的零点所在区间（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】函数的定义域为，且函数在上单调递减， 而， 所以函数的零点所在区间是.故选：C 题型七 根据函数零点求参数 解题贴士：根据函数零点个数求参数值（范围）的方法 已知函数有零点（方程有根）求参数取值范围的方法： （1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，通过解不等式确定参数的取值范围； （2）分离参数法：先将参数分离，然后转化成求函数值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解. 【例7】（25-26高一上·甘肃天水·阶段检测）若函数的零点在内，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为的零点在内，所以，即， 解得或，故选：A. 【变式1】（25-26高一上·内蒙古鄂尔多斯·期末）若函数在区间上存在一个零点，则实数的取值范围是（    ） A．或 B． C． D． 【答案】A 【解析】当时，，在上没有零点，不符合题意； 当时，为一次函数， 函数在区间上存在零点的充要条件为， 即， 即．解得或．故选： 【变式2】（2026高一上·全国·专题练习）函数在区间上存在零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】函数在上的图象连续不断，且为增函数， 若在区间上存在零点， 根据零点存在定理可知，只需满足， 即，解得， 所以实数的取值范围是．故选：D. 【变式3】（25-26高一上·河南郑州·期末）若函数在内恰有一个零点，则a的取值范围（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】当时，只有一个零点，不符合题意， 当时，若，即，函数只有一个零点，不符合题意， 因函数在内恰有一个零点，则，即，解得， 所以a的取值范围是.故选：A 题型八 二分法 解题贴士：1.二分法是求一般函数的零点的一种通法，使用二分法的前提条件是函数零点的存在性.对“函数在区间[a，b]上连续”的理解如下：不管函数在整个定义域内是否连续，只要找得到包含零点的区间上函数图象是连续的即可. 2.用二分法求函数零点的近似值应遵循的原则 （1）需依据图象估计零点所在的初始区间[m，n]（一般采用估计值的方法完成）； （2）取区间端点的中点c，计算f（c），确定有解区间是（m，c）还是（c，n），逐步缩小区间的“长度”，直到区间的两个端点符合精确度要求，终止计算，得到函数零点的近似值. 【例8】下列图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点的是（　　） 【答案】B 【解析】利用二分法求函数的零点必须满足零点两侧函数值异号，在选项B中，不满足零点两侧函数值异号，不能用二分法求零点.由于A、C、D中零点的两侧函数值异号，故可采用二分法求零点. 【变式1】如图，函数f（x）的图象与x轴交于M（x1，0），N（x2，0），P（x3，0），Q（x4，0）四点，则下列零点中不能用二分法求出的是（　　 ） A.x1　　 B.x2　 C.x3　　 D.x4 【答案】B 【解析】由图象可知，在x＝x2附近，函数f（x）均大于0，故x2不能用二分法求出.其他零点附近函数值符号均变号，可以用二分法求解.故选B. 【变式2】用二分法研究函数的零点时，通过计算得：，，下一步应考察的区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】已知 ，， 根据零点存在定理，函数在区间 内有零点，区间中点 ， ， 由，，及零点存在定理知：零点位于区间 内， 下一步应考察的区间为 .故选：A 【变式3】用二分法求方程的近似解时，求得的部分函数值数据如表所示： 1 1.5 1.75 1.8125 1.875 2 0.5796 1.342 3 则当精确度为0.1时，方程的近似解可取（   ） A．1.6 B．1.7 C．1.8 D．1.9 【答案】C 【解析】由表格可得，函数的零点在区间（1.75，1.8125）内， 且，结合选项可知，方程的近似解可取1.8．故选：C． 基础通关 1．下列各图象表示的函数中没有零点的是（    ）． A．B．C．D． 【答案】D 【解析】由函数零点的概念知，函数的零点就是函数图象与x轴交点的横坐标， 结合函数零点的定义可知选项D没有零点．故选：D 2.函数的零点是（    ） A．1，-4 B．4，-1 C．1，3 D．不存在 【答案】B 【解析】令，也即， 解得：或，所以函数的零点为，故选：. 3．函数的零点所在的区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】显然都是上的单调递增函数， 于是在上递增， 显然在上是连续函数，注意到单调函数至多只有一个零点， 又，，即， 根据零点存在定理，零点所在的区间是， 结合单调函数零点的唯一性，排除ABD.故选：C. 4．用二分法研究函数的零点时，通过计算得：，，则下一步应计算，则（    ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，，且函数图象连续不断， 所以函数在区间内有零点， 所以下一步应计算，，故选：C. 5．已知函数，则函数的零点个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】当时，有，所以； 当时，有，所以； 这表明函数的取值恒为正数，没有零点.故选：A. 6．已知不等式的解集为，则下列说法错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由不等式的解集为可知：且和是方程的两个根，所以由韦达定理可得，解得， 故ACD正确，B错误，故选：B. 7．若函数在区间上无零点，则m取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】当时，则，此时无零点，符合题意， 当时，令，则，故或,解得或， 综上可知在区间上无零点，则，故选：D 8．已知二次函数的两个零点都在区间内，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设， 因为二次函数的两个零点都在区间内， 所以，则，即， 故实数的取值范围是：.故选：C. 9.〔多选〕对于方程x3＋x2－2x－1＝0，则下列判断中正确的有（　　） A.在（－2，－1）内有实数根 B.在（－1，0）内有实数根 C.在（1，2）内有实数根 D.在（－∞，＋∞）内没有实数根 【答案】ABC 【解析】设f（x）＝x3＋x2－2x－1，则f（－2）＝－1＜0，f（－1）＝1＞0，f（0）＝－1＜0，f（1）＝－1＜0，f（2）＝7＞0，根据函数零点存在定理，f（x）在（－2，－1），（－1，0），（1，2）内均有零点.故选A、B、C. 10.〔多选〕已知不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为{x｜2＜x＜3}，则以下选项正确的有（　　） A.abc＞0 B.a＋b＋c＞0 C.函数f（x）＝ax2＋bx＋c有两个零点2和3 D.cx2＋bx＋a＜0的解集为{x｜x＜或x＞} 【答案】ACD 【解析】不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为{x｜2＜x＜3}，所以根据一元二次不等式解法可知a＜0，且－＝5，＝6＞0，b＞0，c＜0，则abc＞0，A正确；由二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象（图略）知当x＝1时，y＜0，故a＋b＋c＜0，B错误；方程ax2＋bx＋c＝0的根为2和3，C显然正确；由－＝5，＝6可知b＝－5a，c＝6a，代入cx2＋bx＋a＜0，得6ax2－5ax＋a＜0，由a＜0可得6x2－5x＋1＞0，解得x＜或x＞，故cx2＋bx＋a＜0的解集为{x｜x＜或x＞}，D正确.故选A、C、D. 11.已知f（x）为定义在R上的奇函数，f（）＝0，当x＞0时，f（x）为增函数，则f（x）的零点个数为　　，（3－x）f（x）≤0的解集为　 　. 【答案】3 （－∞，－]∪[0，]∪[3，＋∞） 【解析】因为f（x）为定义在R上的奇函数，所以f（0）＝0.又f（）＝0，所以f（－）＝0，结合单调性可得f（x）的零点个数为3.当x＞0时，f（x）为增函数，则当x＜0时，f（x）也为增函数，（3－x）f（x）≤0等价于或则（3－x）f（x）≤0的解集为（－∞，－]∪[0，]∪[3，＋∞）. 12.若关于x的方程＝1的根均为负数，则实数a的取值范围是　　 　. 【答案】（－∞，－4）∪（－4，－2） 【解析】方程＝1，则x＋2≠0，x≠－2，即＝0， 所以x－（a＋2）＝0，x＝a＋2，又因为方程＝1的根均为负数， 所以所以a＜－2且a≠－4.所以实数a的取值范围是（－∞，－4）∪（－4，－2）. 13.若函数f（x）＝x2－2mx－1在区间[－1，2）上有两个零点，则m的取值范围为　 　. 【答案】［0，） 【解析】因为f（x）＝x2－2mx－1在区间[－1，2）上有两个零点，所以解得0≤m＜. 14.已知二次函数f（x）＝x2－（a＋2）x＋2a，a∈R. （1）若函数f（x）只有一个零点，求a的值； （2）解关于x的不等式f（x）≤0. 【解】（1）函数f（x）只有一个零点，则Δ＝0， 即（a＋2）2－4×2a＝0，（a－2）2＝0， 所以a＝2. （2）不等式x2－（a＋2）x＋2a≤0，即（x－2）（x－a）≤0， ①当a＞2时，不等式的解集为{x｜2≤x≤a}， ②当a＝2时，不等式的解集为{x｜x＝2}， ③当a＜2时，不等式的解集为{x｜a≤x≤2}. 综上所述：当a＞2时，不等式的解集为{x｜2≤x≤a}， 当a＝2时，不等式的解集为{x｜x＝2}， 当a＜2时，不等式的解集为{x｜a≤x≤2}. 15.已知二次函数f（x）＝x2－2ax＋4，求下列条件下实数a的取值范围. （1）零点均大于1； （2）一个零点大于1，一个零点小于1； （3）一个零点在（0，1）内，另一个零点在（6，8）内. 【解】（1）由题可得方程x2－2ax＋4＝0的两根均大于1，结合二次函数的单调性与函数零点存在定理，得解得2≤a＜. （2）由题可得方程x2－2ax＋4＝0的一个根大于1，一个根小于1，结合二次函数的单调性与函数零点存在定理，得f（1）＝5－2a＜0，解得a＞. （3）由题可得方程x2－2ax＋4＝0的一个根在（0，1）内，另一个根在（6，8）内，结合二次函数的单调性与函数零点存在定理，得解得＜a＜. 素养提升 16.（2025高一上·全国·专题练习）函数在区间上存在零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】函数在上的图象连续不断，且为增函数， 若在区间上存在零点， 根据零点存在定理可知，只需满足， 即，解得， 所以实数的取值范围是．故选：D. 17.若关于x的方程x2－6｜x｜＋5＝a有4个互不相等的实数根，则实数a的取值范围是（　　） A.（－4，5）　　　　 B.（－∞，－4）∪（5，＋∞） C.[－3，4）　 D.[－3，4] 【答案】A 【解析】令f（x）＝x2－6｜x｜＋5，问题转化为函数f（x）的图象与直线y＝a有四个不同的交点.由f（x）＝f（－x）得f（x）为偶函数，函数图象关于y轴对称.当x≥0时，f（x）＝x2－6x＋5，作出函数y＝f（x）的图象与直线y＝a，如图所示，由图可知，当－4＜a＜5时，满足条件.故选A. 18.已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）＝x2－4x，则方程f（x）＝x－2的解的个数为　3　. 【答案】3 【解析】当x＜0时，－x＞0，所以f（－x）＝（－x）2－4（－x）＝x2＋4x， 因为f（x）是定义在R上的奇函数， 所以－f（x）＝f（－x）＝x2＋4x，所以f（x）＝－x2－4x， 所以f（x）＝ 令g（x）＝f（x）－x＋2， 所以g（x）＝ 由y＝g（x）的图象（图略）知，y＝g（x）有3个零点，所以方程f（x）＝x－2的解的个数为3. 19.已知函数f（x）＝x2－4x＋5，若关于x的方程[f（x）]2＋mf（x）＋4＝0有四个不相等的实数根，则m的取值范围是　 　. 【答案】（－5，－4） 【解析】易知f（x）＝x2－4x＋5＝（x－2）2＋1≥1，令f（x）＝t，则满足条件需关于t的方程t2＋mt＋4＝0在（1，＋∞）上有两个不相等的实数根，由解得－5＜m＜－4. 20.二次函数y＝ax2＋（b－2）x＋3（a≠0）. （1）当a＝1，b＝6时，求此函数的零点； （2）若不等式y＞0的解集为{x｜－1＜x＜1}，求实数a，b的值； （3）当b＝1－a时，不等式y－1＞0在R上恒成立，求实数a的取值集合. 【解】（1）当a＝1，b＝6时，y＝x2＋4x＋3，令y＝0，则x2＋4x＋3＝0，解得x1＝－1，x2＝－3， 所以此函数的零点是－1，－3. （2）依题意，不等式ax2＋（b－2）x＋3＞0的解集为{x｜－1＜x＜1}，则－1，1是方程ax2＋（b－2）x＋3＝0的两个根，且a＜0，由根与系数的关系得解得a＝－3，b＝2， 所以实数a，b的值分别为a＝－3，b＝2. （3）当b＝1－a时，不等式y－1＞0化为ax2－（a＋1）x＋2＞0， 依题意，不等式ax2－（a＋1）x＋2＞0在R上恒成立， 因为a≠0，则解得3－2＜a＜3＋2， 所以实数a的取值集合是{a｜3－2＜a＜3＋2}. 迁移创新 21.已知关于x的方程｜x2－2mx｜＝x2＋4有三个不相等的实数根，则实数m的取值范围为（　　） A.（－2，2） B.（－∞，－2）∪（2，＋∞） C.（－2，2） D.（－∞，－2）∪（2，＋∞） 【答案】B　 【解析】当m＝0时，则关于x的方程x2＝x2＋4，不成立，故m≠0.当m＞0时，关于x的方程｜x2－2mx｜＝x2＋4，所以｜x2－2mx｜－x2－4＝0，令F（x）＝｜x2－2mx｜－x2－4＝要使方程｜x2－2mx｜＝x2＋4有三个不相等的实数根，则x∈（－∞，0]∪[2m，＋∞）时，F（x）＝－2mx－4∈（－∞，－4m2－4]∪[－4，＋∞）有一个零点，x∈（0，2m）时，F（x）＝2mx－2x2－4＝－2（x－）2＋－4必有两个零点，所以则解得m＞2.同理，当m＜0时，可得m＜－2.综上，实数m的取值范围为（－∞，－2）∪（2，＋∞）.故选B. 22.对于函数f（x），若存在x0，使f（x0）＝x0成立，则称x0为函数f（x）的不动点，已知f（x）＝x2＋bx＋c. （1）若f（x）的两个不动点为－3，2，求函数f（x）的零点； （2）当c＝b2时，函数f（x）没有不动点，求实数b的取值范围. 【解】（1）由题意知f（x）＝x有两根， 即x2＋（b－1）x＋c＝0有两根，分别为－3，2. ∴∴ 从而f（x）＝x2＋2x－6. 由f（x）＝0，得x1＝－1－，x2＝－1＋. 故f（x）的零点为－1＋，－1－. （2）若c＝，则f（x）＝x2＋bx＋， 又f（x）无不动点，即方程x2＋bx＋＝x无解， 化简得方程x2＋（b－1）x＋＝0无解， ∴Δ＝（b－1）2－b2＜0，即－2b＋1＜0， ∴b＞.故b的取值范围是. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $