3.2 函数与方程、不等式之间的关系 讲义-2025-2026学年高一上学期数学人教B版必修第一册

3.2函数与方程、不等式之间的关系 题型一 利用函数图象求函数的零点、解不等式 （教材）例1如图所示是函数的图像，分别写出，，的解集． 解 由图可知，的解集为． 的解集为． 的解集为 ． （教材）练1-1 如图所示是函数的图像，分别写出的解集. 【答案】的解集为；的解集为或或；的解集为或或 【详解】解：由图可知的解集为. 的解集为. 的解集为. 练1-2 观察函数y＝f(x)的图像，填空： 当x∈时，f(x)＝0； 当x∈∪∪(2，＋∞)时，f(x)>0； 当x∈∪(1，2)时，f(x)<0. 解析：根据题图知f(x)＝0的解集是. f(x)＞0的解集是∪∪(2，＋∞). f(x)<0的解集是∪(1，2). 题型二 求函数零点 （教材）例2-1 求下列函数的零点： （1）； （2）； （3）. 【答案】（1）  （2）  （3） 【详解】解：（1）令，得，所以或，因此函数的零点为. （2）令，得，所以或.因此函数的零点为. （3）令，当时，，所以. 当时，，所以或（舍去）. 因此函数的零点为. （教材）例2-2 求下列函数的零点： （1）； （2）. 【答案】（1）.  （2） 【详解】（1）令，解得或，因此函数的零点为 （2）令，得或或，因此函数的零点为. 例2-3 函数f(x)＝的零点个数是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 答案：　C 解析：解法一：方程x＋2＝0(x<0)的根为x＝－2，方程x2－1＝0(x>0)的根为x＝1，所以函数f(x)有2个零点－2与1. 解法二：画出函数f(x)＝的图象，如图所示，观察图象可知，f(x)的图象与x轴有2个交点，所以函数f(x)有2个零点． 例2-4 若f(x)＝，则函数y＝f(4x)－x的零点是(　A　) A． B．－ C．2 D．－2 解析：根据函数零点的概念，函数y＝f(4x)－x的零点就是方程f(4x)－x＝0的根，解方程f(4x)－x＝0，即－x＝0，得x＝，故选A. 例2-5 若函数f(x)＝x2－ax＋b的两个零点是2和3，则函数g(x)＝bx2－ax－1的零点是(　B　) A．－1和 B．1和－ C．和 D．－和 解析：∵函数f(x)＝x2－ax＋b的两个零点是2和3， ∴即 ∴g(x)＝6x2－5x－1， ∴g(x)的零点为1和－，故选B. （教材）练2-1 求下列函数的零点： （1）； （2）. 【答案】（1）  （2） 【详解】（1）由得，零点为； （2），或．∴零点为． 练2-2 已知函数f(x)＝求此函数的零点个数． 解：当x≤0时，令x2＋2x－3＝0，解得x＝－3或x＝1(舍)； 当x>0，令－2＋x＝0，解得x＝2. 所以函数f(x)＝有2个零点． 练2-3（多选）已知函数f(x)＝则函数g(x)＝f(x)－2的零点是(　AB　) A． B． C．－ D．2 解析：由题意，令函数g(x)＝f(x)－2＝0，即f(x)＝2， 当x≤1时，令3－2x＝2，解得x＝；当x>1时，令x2＝2， 解得x＝或x＝－(舍去)， 所以函数g(x)的零点为，. 题型三 解一元二次不等式 （教材）例3-1 利用函数求下列不等式的解集： （1）；（2）． 解 设，令，得， 即，从而或． 因此，3和都是函数的零点，从而的图像与x轴相交于和，又因为函数图像是开口向上的拋物线，所以可以作出函数图像的示意图，如图所示． 由图可知： （1）所求解集为； （2）所求解集为． （教材）例3-2 利用函数求下列不等式的解集： （1）；（2）． 解 设，令，得，即，该方程无解． 因此函数无零点，从而的图像与x轴没有交点，又因为函数图像是开口向下的抛物线，所以可以作出函数图像的示意图，如图所示． 由图可知： （1）所求解集为； （2）所求解集为． （教材）例3-3 利用函数求下列不等式的解集： （1）；（2）． 解 设，令，得，即，从而． 因此，函数的零点为2，从而的图像与x轴相交于，又因为函数图像是开口向上的抛物线，所以可知： （1）所求解集为； （2）所求解集为． 例3-4 若0<t<1，则不等式(x－t)<0的解集为(　D　) A． B． C． D． 解析：当t∈(0，1)时，t<，所以不等式的解集为. （教材）练3-1 利用函数求下列不等式的解集： （1）； （2）； （3）. 【答案】（1）；（2）；（3）. 【详解】（1）原不等式化为，或，解集为； （2）原不等式化为，解集为； （3）原不等式化为，恒成立，解集为． 练3-2 利用函数求下列不等式的解集： (1)－x2＋8x－3>0； (2)x2－3x＋1≤0； (3)－4x2＋4x－1>0. 解：(1)因为Δ＝82－4×(－1)×(－3)＝52>0，所以方程－x2＋8x－3＝0有两个不等实根x1＝4－，x2＝4＋，又二次函数y＝－x2＋8x－3的图象开口向下，所以原不等式的解集为{x|4－<x<4＋}． (2)因为Δ＝9－4＝5>0，所以方程x2－3x＋1＝0有两个不等实数根x1＝，x2＝， 又因为函数y＝x2－3x＋1的图象开口向上，所以原不等式的解集为. (3)设f(x)＝－4x2＋4x－1，令f(x)＝0，得4x2－4x＋1＝0，即(2x－1)2＝0，从而x＝. 因此函数f(x)的零点为，从而f(x)的图象与x轴相交于，又因为函数图象是开口向下的抛物线，因此可得所求不等式的解集为∅. 练3-3 设a<－1，则关于x的不等式a(x－a)<0的解集为(　　) A．(－∞，a)∪ B．(a，＋∞) C.∪(a，＋∞) D. 答案：A 解析：∵a<－1，∴a(x－a)<0⇔(x－a)>0.又a<－1，∴>a，由函数f(x)＝(x－a)的图象可得所求不等式的解集为(－∞，a)∪. 题型四 解含参的一元二次不等式 （教材）例4-1 已知，不等式的解集是，且，求实数的取值范围. 【答案】 【详解】解：由题意可知.因为，所以. 例4-2 解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0. 解：当a＝0时，原不等式可化为－x＋1<0，解得x>1. 当a≠0时，原不等式可化为(ax－1)(x－1)<0. 当a<0时，不等式可化为(x－1)>0，因为<1，所以x<或x>1. 当a>0时，原不等式可化为(x－1)<0. 若<1，即a>1，则<x<1， 若＝1，即a＝1，则x∈∅； 若>1，即0<a<1，则1<x<. 综上所述，当a<0时，原不等式的解集为； 当a＝0时，原不等式的解集为{x|x>1}； 当0<a<1时，原不等式的解集为； 当a＝1时，原不等式的解集为∅； 当a>1时，原不等式的解集为. 例4-3 解关于x的不等式ax2－2x＋a<0. 解：(1)当a＝0时，不等式变为－2x<0，∴x>0； (2)当a>0时，Δ＝4－4a2， ①当Δ>0，即0<a<1时，方程ax2－2x＋a＝0的两根为. ∴不等式的解集为{x|<x<}． ②当Δ＝0，即a＝1时，不等式的解集为∅. ③当Δ<0，即a>1时，不等式的解集为∅. (3)当a<0时， ①当Δ>0，即－1<a<0时，不等式的解集为{x|x<或x>}． ②当Δ＝0，即a＝－1时，不等式可化为(x＋1)2>0， ∴不等式的解集为{x|x∈R且x≠－1}． ③当Δ<0，即a<－1时，不等式的解集为R. 综上所述，当a≥1时，不等式的解集为∅； 当0<a<1时，不等式的解集为； 当a＝0时，不等式的解集为{x|x>0}； 当－1<a<0时，不等式的解集为{x|x<或x>}； 当a＝－1时，不等式的解集为{x|x∈R且x≠－1}； 当a<－1时，不等式的解集为R. 练4-1 解关于x的不等式：ax2－(a2＋2)x＋2a≤0. 解：(1)当a＝0时，原不等式的解集为{x|x≥0}． (2)当a>0时，原不等式化为(x－a)≤0. ①当<a，即a>时，原不等式的解集为； ②当>a，即0<a<时，原不等式的解集为； ③当a＝时，原不等式的解集为{x|x＝}． (3)当a<0时，原不等式化为(x－a)≥0. ①当<a，即－<a<0时，原不等式的解集为； ②当>a，即a<－时，原不等式的解集为； ③当a＝－时，原不等式的解集为R. 综上所述，当a<－时，不等式的解集为； 当a＝－时，不等式的解集为R； 当－<a<0时，不等式的解集为； 当a＝0时，不等式的解集为{x|x≥0}； 当0<a<时，不等式的解集为； 当a＝时，不等式的解集为{x|x＝}； 当a>时，不等式的解集为. 题型五 三个二次的关系 （教材）例5-1 已知，且的解集是，求实数的值. 【答案】 【详解】解：因为的解集是， 所以的两根是，因此，，从而. 例5-2 关于x的不等式ax2＋bx＋2>0的解集为{x|－1<x<2}，则关于x的不等式bx2－ax－2>0的解集为(　C　) A．{x|－2<x<1} B．{x|x>2或x<－1} C．{x|x>1或x<－2} D．{x|x<－1或x>1} 解析：因为ax2＋bx＋2>0的解集为{x|－1<x<2}， 所以解得 所以bx2－ax－2>0，即x2＋x－2>0，解得x>1或x<－2. 例5-3 已知不等式(1－a)x2－4x＋6>0的解集是{x|－3<x<1}． (1)解不等式2x2＋(2－a)x－a>0； (2)若不等式ax2＋bx＋3≥0的解集为R，求b的取值范围. 解：(1)由题意知1－a<0，且－3和1是方程(1－a)x2－4x＋6＝0的两根，所以 解得a＝3. 所以不等式2x2＋(2－a)x－a>0，即2x2－x－3>0，解得x<－1或x>. 所以所求不等式的解集为. (2)ax2＋bx＋3≥0，即3x2＋bx＋3≥0，若此不等式的解集为R， 则一元二次方程3x2＋bx＋3＝0有一个解或无解， 即Δ＝b2－4×3×3≤0，所以－6≤b≤6. 练5-1 已知关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2<x<3}，求关于x的不等式cx2＋bx＋a<0的解集． 解：方法一：由不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2<x<3}可知，a<0，且2和3是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，由根与系数的关系可知＝－5，＝6.由a<0知c<0，＝，故不等式cx2＋bx＋a<0等价于x2＋x＋>0，即x2－x＋>0，解得x<或x>，所以不等式cx2＋bx＋a<0的解集为∪. 方法二：由不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2<x<3}可知，a<0，且2和3是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，所以ax2＋bx＋c＝a(x－2)(x－3)＝ax2－5ax＋6a⇒b＝－5a，c＝6a，故不等式cx2＋bx＋a<0，即6ax2－5ax＋a<0⇒6a<0，故原不等式的解集为∪. 题型六 解高次不等式 （教材）例6-1 求函数的零点，并作出函数图像的示意图，写出不等式和的解集． 解：函数零点为，，1． 函数的定义域被这三个点分成了四部分，每一部分函数值的符号如下表所示． x 由此可以作出函数图像的示意图，如图所示． 由图可知的解集为； 的解集为． （教材）例6-2 求函数的零点，并作出函数图像的示意图，写出不等式和的解集. 【答案】函数的零点为，图像见解析，不等式的解集为，的解集为. 【详解】令，得或或. 因此函数的零点为.画出函数图像的示意图，如图所示：    所以不等式的解集为或，的解集为. （教材）练6-1 求下列函数的零点，并作出函数图像的示意图，写出不等式和的解集： （1）； （2）. 【详解】解：（1）令，解得.函数图像示意图如图（1）所示.    所以的解集为.的解集为. （2）令，解得.函数图像示意图如图（2）所示. 所以的解集为的解集为. 练6-2 求函数f(x)＝(2x＋1)(x－1)(x－3)的零点，并作出函数图象的示意图，写出不等式f(x)>0和f(x)≤0的解集． 解：函数零点依次为－，1，3. 函数的定义域被这三个点分成了四部分，每一部分函数值的符号如下表所示． x (1，3) (3，＋∞) f(x) － ＋ － ＋ 　　由此可以作出函数图象的示意图如图所示． 由图可知f(x)>0的解集为∪(3，＋∞)， f(x)≤0的解集为∪[1，3]． 练6-3 不等式(x＋1)(x－2)(x－3)<0的解集为________． 答案：(－∞，－1)∪(2，3) 解析：设f(x)＝(x＋1)(x－2)(x－3)，则该函数的零点为－1，2，3.该函数的定义域被这三个点划分为四个区间，每个区间函数值的符号如下表所示： x (－∞，－1) (－1，2) (2，3) (3，＋∞) f(x) － ＋ － ＋ 由此作出函数图象的示意图，如图所示．由图可知，不等式(x＋1)(x－2)(x－3)<0的解集为(－∞，－1)∪(2，3)． 题型七 判断零点所在区间 （教材）例7-1 已知函数，在下列区间中，一定包含零点的区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：因为，所以，故选：C. 例7-2 函数f(x)＝x3＋x2＋1的零点所在的区间为(　B　) A．[－3，－2] B．[－2，－1] C．[－1，0] D．[0，1] 解析：因为f(－2)＝(－2)3＋(－2)2＋1＝－3<0，f(－1)＝(－1)3＋(－1)2＋1＝1>0， 所以f(－2)·f(－1)<0.又函数f(x)的图像在区间[－2，－1]上是连续不间断的， 所以函数f(x)在区间[－2，－1]上存在零点，易知A，C，D均不符合题意． 练7-1 函数f(x)＝x3－2x2＋3x－6的零点所在的区间可能是(　AD　) A． B． C． D． 解析：由于f(0)<0，f(4)>0，f(1)<0，f>0，f<0，所以零点在区间，内． 练7-2 二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的部分对应值如下表： x －3 －2 －1 0 1 2 3 4 f(x) 6 m －4 －6 －6 －4 n 6 不求a，b，c的值，判断方程ax2＋bx＋c＝0的两根所在的区间是(　　) A．(－3，－1)和(2，4) B．(－3，－1)和(－1，1) C．(－1，1)和(1，2) D．(－∞，－3)和(4，＋∞) 答案：A 解析：因为f(－3)＝6>0，f(－1)＝－4<0，所以在(－3，－1)内必有根．又f(2)＝－4<0，f(4)＝6>0，所以在(2，4)内必有根． 题型八 函数零点存在定理的应用 （教材）例8-1 求证：函数至少有一个零点． 证明 因为，， 所以，因此，，即结论成立． （教材）例8-2 求证：函数只有一个零点，且. 【详解】证明：函数在上为增函数， 又， 有且只有一个零点，且. （教材）练8-1 求证：方程在上至少有两个实根. 【详解】证明：设，可知其图像是连续曲线. 因为， 所以在内都至少有一个零点. 因此方程在上至少有两个实根. （教材）练8-2 求证：函数在区间上至少有一个零点. 【详解】函数的定义域为，图像是连接不断的. 因为，所以， 因此函数在区间上至少有一个零点. 题型九　函数f(x)＝g(x)－h(x)的零点问题 例9-1 已知函数f(x)＝|x2－2x|－a，求满足下列条件的a的取值范围． (1)函数f(x)没有零点； (2)函数f(x)有两个零点； (3)函数f(x)有三个零点； (4)函数f(x)有四个零点． 解：函数y＝|x2－2x|的图象如图所示． (1)函数f(x)没有零点，即函数y＝a与y＝|x2－2x|的图象没有交点，观察图象可知，此时a<0. (2)函数f(x)有两个零点，即函数y＝a与y＝|x2－2x|的图象有两个交点，观察图象可知此时a＝0或a>1. (3)函数f(x)有三个零点，即函数y＝a与y＝|x2－2x|的图象有三个交点，由图象易知a＝1. (4)函数f(x)有四个零点，即函数y＝a与y＝|x2－2x|的图象有四个交点，由图象易知0<a<1. 练9-1 已知a为常数，则函数f(x)＝|x2－9|－a－2的零点个数可能为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案：BCD 解析：令g(x)＝|x2－9|，h(x)＝a＋2，在同一平面直角坐标系内画出两个函数的图象，如图所示．由图可知，当a＋2>9，即a>7时，两函数图象有2个交点，即函数f(x)有2个零点；当a＋2＝9，即a＝7时，两函数图象有3个交点，即函数f(x)有3个零点；当0<a＋2<9，即－2<a<7时，两函数图象有4个交点，即函数f(x)有4个零点；当a＋2＝0，即a＝－2时，两函数图象有2个交点，即函数f(x)有2个零点；当a＋2<0，即a<－2时，两函数图象没有交点，即函数f(x)没有零点．综上可知，函数f(x)的零点个数可能为0，2，3，4.故选BCD. 题型十 函数的零点分布 （教材）例10-1 已知函数有两个零点，在区间上是单调的，且在该区间中有且只有一个零点，求实数a的取值范围． 解：因为函数的图像是开口向上的抛物线，因此满足条件的函数图像的示意图如图（1）（2）所示． （1） （2） 不管哪种情况，都可以归结为且，因此 且，解得或． （教材）例10-2 若函数有三个零点，且，求实数的取值范围. 【答案】 【详解】解：因为是函数的零点， 所以，所以，所以. 又因为是函数的零点且， 所以，即，解得. 因此，实数的取值范围为. （教材）例10-3已知关于x的方程有两个不相等的正实数根，求实数m的取值组成的集合． 【答案】 【详解】因为关于的方程有两个不相等的正实数根， 即，且， ，且， 解得， 所以实数m的取值组成的集合为. （教材）例10-4 已知函数有一个零点在区间内，求实数的取值范围. 【答案】 【详解】解：①当，即时，， 解得，舍去， ②当，即时， a.当方程有两个相等实数根时， 有无解. b.当有两个零点时，需满足，解得. c.当时，，由，解得，舍去. d.当时，，由， 解得，舍去.因此实数的取值范围是. （教材）例10-5 如果关于的方程的两根分别在区间和内，求实数的取值范围. 【答案】 【详解】设，因为方程的两根分别在区间和内， 所以，即，解得或， 因此的取值范围是. 练10-1函数f(x)＝2kx2－2x－3k－2的两零点一个小于1，一个大于1，求实数k的取值范围． 解：由题意知k≠0，当k>0时，需f(1)<0，解得k>－4，故k>0； 当k<0时，需f(1)>0，解得k<－4. 综上，k的取值范围是(－∞，－4)∪(0，＋∞). 练10-2 若函数f(x)＝kx2－(2k＋1)x－3在(－1，1)和(1，3)内各有一个零点，求实数k的取值范围． 解：∵函数f(x)＝kx2－(2k＋1)x－3的图像是连续曲线， ∴由题意可知f(－1)f(1)<0且f(1)f(3)<0， 即 即 解得k<－4或k>2. 故所求的实数k的取值范围是(－∞，－4)∪(2，＋∞).　　 练10-3 已知二次函数f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1. (1)若函数f(x)的一个零点在区间(－1，0)内，另一个零点在区间(1，2)内，求实数m的取值范围； (2)若函数f(x)的两个零点均在区间(0，1)内，求实数m的取值范围． 解： (1)依题意，得函数f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1的图象与x轴的交点分别在区间(－1，0)和(1，2)内，作出图象如图所示． 由图象，得即 所以－<m<－， 即实数m的取值范围是. (2)根据函数图象与x轴的两个交点均在区间(0，1)内，作出图象如图所示． 由图象，得 即所以－<m<1－， 即实数m的取值范围是. 练10-4 已知二次函数f(x)＝x2－2ax＋4. (1)若函数f(x)的零点均大于1，求实数a的取值范围； (2)若函数f(x)的一个零点大于1，一个零点小于1，求实数a的取值范围； (3)若函数f(x)的一个零点在(0，1)内，另一个零点在(6，8)内，求实数a的取值范围． 解：(1)由二次函数的性质，结合二次函数的图象，得解得2≤a＜. 所以实数a的取值范围是. (2)由二次函数的性质，结合二次函数的图象， 可得f(1)＝5－2a<0，解得a>. 所以实数a的取值范围是. (3)由二次函数的性质，结合二次函数的图象，可得解得<a<. 所以实数a的取值范围是. 题型十一 恒成立问题 （教材）例11-1已知，且对任意实数均成立，求实数取值的集合. 【答案】 【详解】解：时，不合题意， 时，应有，即， 解得，所以实数取值的集合为. （教材）例11-2当是什么实数时，函数没有零点？ 【答案】或 【详解】解：①当时，令，得，有零点（舍去）. ②当时，因为函数无零点，则对应方程无解. 令，得，所以，解得或. 因此当或时，函数没有零点. （教材）例11-3 设函数，已知恒成立，求自然数的值. 【答案】或或 【详解】解：因为， 所以对任意实数恒成立，即的解集为，即的解集为. ①当时，不等式可化为，不符合题意； ②当时，由题意知 即，解得. 又是自然数，故或或. 例11-4设函数f(x)＝ax2－ax－1. (1)若对于一切实数x，f(x)<0恒成立，求a的取值范围； (2)对于x∈[1，3]，f(x)<－a＋5恒成立，求a的取值范围． 解： (1)当a＝0时，显然，－1<0恒成立； 当a≠0时，则有解得－4<a<0. ∴a的取值范围为－4<a≤0. (2)方法一：要使f(x)<－a＋5恒成立，就要使a(x－)2＋a－6<0，x∈[1，3]恒成立． 令g(x)＝a＋a－6，x∈[1，3]. 当a>0时，g(x)在[1，3]上是增函数，∴g(x)max＝g(3)＝7a－6. ∴7a－6<0，解得a<.∴0<a<. 当a＝0时，－6<0恒成立． 当a<0时，g(x)在[1，3]上是减函数，∴g(x)max＝g(1)＝a－6<0，解得a<6，∴a<0. 综上所述，a的取值范围为. 方法二：f(x)<－a＋5恒成立，即a(x2－x＋1)－6<0恒成立． ∵x2－x＋1＝＋>0，∴a<.设g(x)＝， 当x∈[1，3]时，1≤x2－x＋1≤7，∴≤g(x)≤6，∴a<g(x)min＝， ∴a的取值范围为. 练11-1已知不等式mx2－mx－1<0. (1)若x∈[1，3]时不等式恒成立，求实数m的取值范围； (2)若满足|m|≤2的一切m的值能使不等式恒成立，求实数x的取值范围． 解：(1)令f(x)＝mx2－mx－1， ①当m＝0时，f(x)＝－1<0显然恒成立； ②当m>0时，若对于x∈[1，3]不等式恒成立，只需即可， ∴ 解得m<，∴0<m<. ③当m<0时，函数f(x)的图像开口向下，对称轴为直线x＝，若x∈[1，3]时不等式恒成立，结合函数图像知只需f(1)<0即可，解得m∈R，∴m<0符合题意． 综上所述，实数m的取值范围是. (2)令g(m)＝mx2－mx－1＝(x2－x)m－1，若对满足|m|≤2的一切m的值不等式恒成立， 则只需即解得<x<. ∴实数x的取值范围是. 题型十二 二分法求零点的近似值 （教材）例12-1证明函数有零点，并指出用二分法求零点的近似值（精确度小于0.1）时，至少需要进行多少次函数值的计算. 【答案】3次，理由见解析 【详解】因为， 所以，所以函数在区间上有零点. 至少需要进行3次函数值的计算，理由如下： 取区间的中点， 且，所以. 取区间的中点， 且，所以. 取区间的中点， 且，所以. 因为， 所以区间的中点即为零点的近似值，即，所以至少需进行3次函数值的计算. f(1)＝－2 f(1.5)＝0.625 f(1.25)＝－0.984 f(1.375)＝－0.260 f(1.437 5)＝0.162 f(1.406 25)＝－0.054 例12-2 f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表： 那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似根(精确到0.1)为 1.4． 解析：∵f(1.437 5)＝0.162，f(1.406 25)＝－0.054，∴f(1.437 5)f(1.406 25)<0， 即方程有一个近似解在(1.406 25，1.437 5)内．又(1.406 25，1.437 5)内的所有值精确到0.1都为1.4，所以1.4就是所求方程精确到0.1的近似根． 例12-3 在用二分法求函数f(x)的一个正实数零点时，经计算，f(0.64)<0，f(0.72)>0，f(0.68)<0，则函数的一个精确到0.1的正实数零点的近似值为(　C　) A．0.68 B．0.72 C．0.7 D．0.6 解析：已知f(0.64)<0，f(0.72)>0，则函数f(x)的零点的初始区间为(0.64，0.72)，又0.68＝(0.64＋0.72)÷2，且f(0.68)<0，所以零点在区间(0.68，0.72)上，且该区间的左、右端点精确到0.1所取的近似值都是0.7，因此0.7就是所求函数的一个正实数零点的近似值． 练12-1 用二分法求函数y＝f(x)在区间[2，3]上的零点的近似值，验证f(2)f(3)<0，取区间[2，3]的中点x1＝＝2.5，计算得f(2.5)f(3)>0，此时零点x0所在的区间是________． 答案：(2，2.5) 练12-2 用二分法求函数f(x)在区间[a，b]上的零点时，需要的条件是(　　) ①f(x)在区间[a，b]上是连续不断的；②f(a)f(b)<0；③f(a)f(b)>0；④f(a)f(b)≥0. A．①② B．①③ C．①④ D．② 答案：A 解析：由二分法的定义知①②正确． 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.2函数与方程、不等式之间的关系 题型一 利用函数图象求函数的零点、解不等式 （教材）例1如图所示是函数的图像，分别写出，，的解集． （教材）练1-1 如图所示是函数的图像，分别写出的解集. 练1-2 观察函数y＝f(x)的图像，填空： 当x∈ 时，f(x)＝0； 当x∈ 时，f(x)>0； 当x∈ 时，f(x)<0. 题型二 求函数零点 （教材）例2-1 求下列函数的零点： （1）； （2）； （3）. （教材）例2-2 求下列函数的零点： （1）； （2）. 例2-3 函数f(x)＝的零点个数是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 例2-4 若f(x)＝，则函数y＝f(4x)－x的零点是(　 　) A． B．－ C．2 D．－2 例2-5 若函数f(x)＝x2－ax＋b的两个零点是2和3，则函数g(x)＝bx2－ax－1的零点是(　 　) A．－1和 B．1和－ C．和 D．－和 （教材）练2-1 求下列函数的零点： （1）； （2）. 练2-2 已知函数f(x)＝求此函数的零点个数． 练2-3（多选）已知函数f(x)＝则函数g(x)＝f(x)－2的零点是(　 　) A． B． C．－ D．2 题型三 解一元二次不等式 （教材）例3-1 利用函数求下列不等式的解集： （1）；（2）． （教材）例3-2 利用函数求下列不等式的解集： （1）；（2）． （教材）例3-3 利用函数求下列不等式的解集： （1）；（2）． 例3-4 若0<t<1，则不等式(x－t)<0的解集为(　 　) A． B． C． D． （教材）练3-1 利用函数求下列不等式的解集： （1）； （2）； （3）. 练3-2 利用函数求下列不等式的解集： (1)－x2＋8x－3>0； (2)x2－3x＋1≤0； (3)－4x2＋4x－1>0. 练3-3 设a<－1，则关于x的不等式a(x－a)<0的解集为(　　) A．(－∞，a)∪ B．(a，＋∞) C.∪(a，＋∞) D. 题型四 解含参的一元二次不等式 （教材）例4-1 已知，不等式的解集是，且，求实数的取值范围. 例4-2 解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0. 例4-3 解关于x的不等式ax2－2x＋a<0. 练4-1 解关于x的不等式：ax2－(a2＋2)x＋2a≤0. 题型五 三个二次的关系 （教材）例5-1 已知，且的解集是，求实数的值. 例5-2 关于x的不等式ax2＋bx＋2>0的解集为{x|－1<x<2}，则关于x的不等式bx2－ax－2>0的解集为(　 　) A．{x|－2<x<1} B．{x|x>2或x<－1} C．{x|x>1或x<－2} D．{x|x<－1或x>1} 例5-3 已知不等式(1－a)x2－4x＋6>0的解集是{x|－3<x<1}． (1)解不等式2x2＋(2－a)x－a>0； (2)若不等式ax2＋bx＋3≥0的解集为R，求b的取值范围. 练5-1 已知关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2<x<3}，求关于x的不等式cx2＋bx＋a<0的解集． 题型六 解高次不等式 （教材）例6-1 求函数的零点，并作出函数图像的示意图，写出不等式和的解集． （教材）例6-2 求函数的零点，并作出函数图像的示意图，写出不等式和的解集. （教材）练6-1 求下列函数的零点，并作出函数图像的示意图，写出不等式和的解集： （1）； （2）. 练6-2 求函数f(x)＝(2x＋1)(x－1)(x－3)的零点，并作出函数图象的示意图，写出不等式f(x)>0和f(x)≤0的解集． 练6-3 不等式(x＋1)(x－2)(x－3)<0的解集为________． 题型七 判断零点所在区间 （教材）例7-1 已知函数，在下列区间中，一定包含零点的区间是（    ） A． B． C． D． 例7-2 函数f(x)＝x3＋x2＋1的零点所在的区间为(　 　) A．[－3，－2] B．[－2，－1] C．[－1，0] D．[0，1] 练7-1 函数f(x)＝x3－2x2＋3x－6的零点所在的区间可能是(　 　) A． B． C． D． 练7-2 二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的部分对应值如下表： x －3 －2 －1 0 1 2 3 4 f(x) 6 m －4 －6 －6 －4 n 6 不求a，b，c的值，判断方程ax2＋bx＋c＝0的两根所在的区间是(　　) A．(－3，－1)和(2，4) B．(－3，－1)和(－1，1) C．(－1，1)和(1，2) D．(－∞，－3)和(4，＋∞) 题型八 函数零点存在定理的应用 （教材）例8-1 求证：函数至少有一个零点． （教材）例8-2 求证：函数只有一个零点，且. （教材）练8-1 求证：方程在上至少有两个实根. （教材）练8-2 求证：函数在区间上至少有一个零点. 题型九　函数f(x)＝g(x)－h(x)的零点问题 例9-1 已知函数f(x)＝|x2－2x|－a，求满足下列条件的a的取值范围． (1)函数f(x)没有零点； (2)函数f(x)有两个零点； (3)函数f(x)有三个零点； (4)函数f(x)有四个零点． 练9-1 已知a为常数，则函数f(x)＝|x2－9|－a－2的零点个数可能为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 题型十 函数的零点分布 （教材）例10-1 已知函数有两个零点，在区间上是单调的，且在该区间中有且只有一个零点，求实数a的取值范围． （教材）例10-2 若函数有三个零点，且，求实数的取值范围. （教材）例10-3已知关于x的方程有两个不相等的正实数根，求实数m的取值组成的集合． （教材）例10-4 已知函数有一个零点在区间内，求实数的取值范围. （教材）例10-5 如果关于的方程的两根分别在区间和内，求实数的取值范围. 练10-1函数f(x)＝2kx2－2x－3k－2的两零点一个小于1，一个大于1，求实数k的取值范围． 练10-2 若函数f(x)＝kx2－(2k＋1)x－3在(－1，1)和(1，3)内各有一个零点，求实数k的取值范围． 　 练10-3 已知二次函数f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1. (1)若函数f(x)的一个零点在区间(－1，0)内，另一个零点在区间(1，2)内，求实数m的取值范围； (2)若函数f(x)的两个零点均在区间(0，1)内，求实数m的取值范围． 练10-4 已知二次函数f(x)＝x2－2ax＋4. (1)若函数f(x)的零点均大于1，求实数a的取值范围； (2)若函数f(x)的一个零点大于1，一个零点小于1，求实数a的取值范围； (3)若函数f(x)的一个零点在(0，1)内，另一个零点在(6，8)内，求实数a的取值范围． 题型十一 恒成立问题 （教材）例11-1已知，且对任意实数均成立，求实数取值的集合. （教材）例11-2当是什么实数时，函数没有零点？ （教材）例11-3 设函数，已知恒成立，求自然数的值. 例11-4设函数f(x)＝ax2－ax－1. (1)若对于一切实数x，f(x)<0恒成立，求a的取值范围； (2)对于x∈[1，3]，f(x)<－a＋5恒成立，求a的取值范围． 练11-1已知不等式mx2－mx－1<0. (1)若x∈[1，3]时不等式恒成立，求实数m的取值范围； (2)若满足|m|≤2的一切m的值能使不等式恒成立，求实数x的取值范围． 题型十二 二分法求零点的近似值 （教材）例12-1证明函数有零点，并指出用二分法求零点的近似值（精确度小于0.1）时，至少需要进行多少次函数值的计算. f(1)＝－2 f(1.5)＝0.625 f(1.25)＝－0.984 f(1.375)＝－0.260 f(1.437 5)＝0.162 f(1.406 25)＝－0.054 例12-2 f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表： 那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似根(精确到0.1)为 ． 例12-3 在用二分法求函数f(x)的一个正实数零点时，经计算，f(0.64)<0，f(0.72)>0，f(0.68)<0，则函数的一个精确到0.1的正实数零点的近似值为(　 　) A．0.68 B．0.72 C．0.7 D．0.6 练12-1 用二分法求函数y＝f(x)在区间[2，3]上的零点的近似值，验证f(2)f(3)<0，取区间[2，3]的中点x1＝＝2.5，计算得f(2.5)f(3)>0，此时零点x0所在的区间是________． 练12-2 用二分法求函数f(x)在区间[a，b]上的零点时，需要的条件是(　　) ①f(x)在区间[a，b]上是连续不断的；②f(a)f(b)<0；③f(a)f(b)>0；④f(a)f(b)≥0. A．①② B．①③ C．①④ D．② 学科网（北京）股份有限公司 $