3.1.3 函数的奇偶性-【金版新学案】2025-2026学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（人教B版）

3.1.3　函数的奇偶性 知识目标 1.理解奇函数、偶函数的定义，了解奇函数、偶函数图象的特征，掌握判断函数奇偶性的方法．　2.会根据函数奇偶性求函数值或解析式．　3.能利用函数的奇偶性与单调性分析、解决较简单的问题. 素养目标 借助奇(偶)函数的特征，培养直观想象素养；借助函数奇偶性的判断方法和利用奇偶性求函数的解析式，培养逻辑推理素养；借助奇偶性与单调性的应用，培养逻辑推理、数学运算素养. 填写下表： x －3 －2 －1 1 2 3 f(x)＝|x|－1 g(x)＝ 问题1.观察函数f(x)，g(x)的自变量x互为相反数时，函数值之间各有什么关系． 提示：f(－x)＝f(x)；g(－x)＝－g(x)． 问题2.观察函数f(x)，g(x)的图象各有什么特点． 提示：函数f(x)的图象关于y轴对称，g(x)的图象关于原点对称． 知识点一　函数的奇偶性 奇、偶函数的定义 偶函数 奇函数 条件 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有－x∈D，且 f(－x)＝f(x) f(－x)＝－f(x) 结论 则称y＝f(x)为偶函数 则称y＝f(x)为奇函数 定义域特征 定义域关于原点对称 等价形式 若f(x)≠0，则＝－1⇔f(x)为奇函数，＝1⇔f(x)为偶函数 说明：　若一个函数是偶函数或奇函数，则称这个函数具有奇偶性；若一个函数既不是奇函数又不是偶函数，则称为非奇非偶函数． [微提醒] 利用定义法判断函数奇偶性的步骤 1．一看定义域．定义域D要具有对称性，即对∀x∈D，－x∈D，也就是说奇、偶函数的定义域要关于原点对称，定义域不关于原点对称时，f(x)是非奇非偶函数． 2．二看等式．当f(x)的定义域关于原点对称时，要看f(x)与f(－x)的关系： (1)f(－x)＝f(x)⇔f(x)是偶函数； (2)f(－x)＝－f(x)⇔f(x)是奇函数； (3)f(－x)≠±f(x)⇔f(x)是非奇非偶函数； (4)f(－x)＝±f(x)⇔f(x)既是奇函数又是偶函数，这样的函数只有一类，即f(x)＝0，x∈D，且D关于原点对称． 知识点二　奇、偶函数的图象特征(几何意义) 1．奇函数的图象特征(几何意义) 奇函数的图象关于原点对称；反之，结论也成立，即图象关于原点对称的函数一定是奇函数． 学生用书↓第83页 2．偶函数的图象特征(几何意义) 偶函数的图象关于y轴对称；反之，结论也成立，即图象关于y轴对称的函数一定是偶函数． [微提醒] 1．若f(x)是奇函数，点(x，f(x))在其图象上，则点(－x，f(－x))，即点(－x，－f(x))也在其图象上． 2．若f(x)是偶函数，点(x，f(x))在其图象上，则点(－x，f(－x))，即点(－x，f(x))也在其图象上． 1．(多选)下列函数是偶函数的是(　　) A．y＝2x2－3 B．y＝x3 C．y＝|| D．y＝x 答案：AC 解析：对于A，f(－x)＝2(－x)2－3＝2x2－3＝f(x)， 所以f(x)是偶函数，B、D都为奇函数，C中定义域x≠0，f(－x)＝＝＝f(x)，所以f(x)是偶函数，故选AC. 2．函数f(x)＝－x的图象(　　) A．关于y轴对称 B．关于直线y＝x对称 C．关于坐标原点对称 D．关于直线y＝－x对称 答案：C 解析：因为f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，且f(－x)＝－－(－x)＝x－＝－f(x)，所以f(x)是奇函数，图象关于原点对称． 3．若函数y＝f(x)，x∈[－2，a]是偶函数，则a的值为(　　) A．－2 B．2 C．0 D．不能确定 答案：B 解析：因为偶函数的定义域关于原点对称，所以－2＋a＝0，所以a＝2. 4．下列图象表示的函数是奇函数的是________，是偶函数的是________．(填序号) 　 答案：(2)(4)　(1)(3) 解析：(1)(3)关于y轴对称是偶函数，(2)(4)关于原点对称是奇函数． 5．给出下列结论： ①若f(x)的定义域关于原点对称，则f(x)是偶函数； ②若f(x)是偶函数，则它的定义域关于原点对称； ③若f(－2)＝f(2)，则f(x)(x∈R)是偶函数； ④若f(x)(x∈R)是偶函数，则f(－2)＝f(2)； ⑤若f(2)≠f(－2)，则f(x)(x∈R)不是偶函数； ⑥既是奇函数又是偶函数的函数一定是f(x)＝0(x∈R)； ⑦若f(x)是定义在R上的奇函数，则f(0)＝0. 其中正确的结论是________(填序号)． 答案：②④⑤⑦ 解析：只有f(x)的定义域关于原点对称，且f(－x)＝f(x)时，f(x)才是偶函数，故①错误；f(x)的定义域关于原点对称是f(x)为偶函数的必要条件，故②正确；对任意x∈R，满足f(－x)＝f(x)，f(x)才是偶函数，仅凭两个特殊的函数值相等不足以判断函数的奇偶性，故③错误而④正确；为了说明f(x)不是偶函数，举一个反例即可，故⑤正确；f(x)＝0，定义域为[－1，1]，该函数既是奇函数又是偶函数，故⑥错误；由于f(x)是奇函数，且定义域为R，所以∀x∈R，f(－x)＝－f(x)，令x＝0，则f(0)＝－f(0)，即f(0)＝0，故⑦正确. 题型一　函数奇偶性的判断 例1　判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝； (2)f(x)＝2－|x|； (3)f(x)＝＋； (4)f(x)＝. 点拨：判断函数的奇偶性时，应先求函数的定义域，若定义域关于坐标原点不对称，则可直接判定此函数既不是奇函数也不是偶函数；若定义域关于坐标原点对称，再判断f(－x)与f(x)的关系． 解：(1)因为函数f(x)的定义域是{x|x≠1}，关于坐标原点不对称，所以f(x)既不是奇函数也不是偶函数． (2)易知函数f(x)的定义域为R，关于坐标原点对称， 又f(－x)＝2－|－x|＝2－|x|＝f(x)， 所以f(x)为偶函数． (3)因为函数f(x)的定义域为{－1，1}，关于坐标原点对称，且f(－1)＝f(1)＝0， 所以f(x)既是奇函数也是偶函数． (4)f(x)的定义域为R. 方法一　因为f(－x)＋f(x)＝＋ ＝ ＝＝0， 所以f(－x)＝－f(x)， 所以f(x)为奇函数． 方法二　当x＝0时，f(x)＝0；当x≠0时，f(x)≠0， 此时＝ ＝ ＝＝－1， 所以f(－x)＝－f(x)， 所以f(x)为奇函数． 学生用书↓第84页 函数奇偶性判断的方法 1．定义法： 2．图象法：若函数的图象关于原点对称，则函数为奇函数；若函数图象关于y轴对称．则函数为偶函数．此法多用在解选择、填空题中． 对点练1.判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝； (2)f(x)＝x2－x3； (3)f(x)＝|x－2|－|x＋2|； (4)f(x)＝x2＋(x≠0，a∈R)． 解：(1)因为函数f(x)＝的定义域为{x|x∈R且x≠1}，定义域不关于原点对称， 所以该函数既不是奇函数也不是偶函数． (2)f(x)的定义域为R，是关于原点对称的． 因为f(－x)＝(－x)2－(－x)3＝x2＋x3， 又－f(x)＝－x2＋x3， 所以f(－x)既不等于f(x)，也不等于－f(x)． 故f(x)＝x2－x3既不是奇函数也不是偶函数． (3)方法一(定义法)　函数f(x)＝|x－2|－|x＋2|的定义域为R，关于原点对称． 因为f(－x)＝|－x－2|－|－x＋2|＝|x＋2|－|x－2| ＝－(|x－2|－|x＋2|)＝－f(x)， 所以f(x)＝|x－2|－|x＋2|是奇函数． 方法二(根据图象进行判断) f(x)＝|x－2|－|x＋2|＝ 画出函数图象如图所示， f(x)的图象关于原点对称， f(x)是奇函数． (4)当a＝0时，f(x)＝x2为偶函数． 当a≠0时，f(x)＝x2＋(x≠0)，取x＝±1， 得f(－1)＋f(1)＝2≠0，f(－1)－f(1)＝－2a≠0， 即f(－1)≠－f(1)，f(－1)≠f(1)， 所以f(x)既不是奇函数也不是偶函数． 综上所述，当a∈R且a≠0时，f(x)既不是奇函数也不是偶函数；当a＝0时，f(x)为偶函数． 题型二　函数奇偶性的图象特征 例2　已知y＝f(x)是偶函数，y＝g(x)是奇函数，它们的定义域都是[－3，3]，且它们在x∈[0，3]上的图象如图所示，则不等式＜0的解集是________________． 点拨：本题可以借助函数图象的对称性，画出y＝f(x)，y＝g(x)在[－3，0]上的图象，结合图象可以得出使得f(x)，g(x)大于零或小于零的区间，从而求得＜0的解集． 答案：{x|－2＜x＜－1或0＜x＜1或2＜x＜3} 解析：y＝f(x)是偶函数，y＝g(x)是奇函数． 根据函数图象的对称性画出y＝f(x)，y＝g(x)在[－3，0]上的图象如图所示． 由图可知f(x)＞0⇒0＜x＜2或－2＜x＜0，f(x)＜0⇒2＜x＜3或－3＜x＜－2，g(x)＞0⇒1＜x＜3或－1＜x＜0，g(x)＜0⇒0＜x＜1或－3＜x＜－1.当＜0时，有或则可得所求不等式的解集是{x|－2＜x＜－1或0＜x＜1或2＜x＜3}． 根据奇偶函数在原点一侧的图象求解与函数有关的值域、定义域、不等式问题时，应根据奇偶函数图象的对称性作出函数在定义域另一侧的图象，根据图象特征求解问题． 对点练2.偶函数y＝f(x)的局部图象如图所示，则(　　) A．f(1)＞f(3) B．f(1)＜f(3) C．f(1)＝f(3) D．不能确定f(1)与f(3)的大小 答案：B 解析：方法一　因函数f(x)是偶函数，所以其图象关于y轴对称，补全图如图． 由图象可知f(1)<f(3)．故选B. 方法二　由图象可知f(－1)<f(－3)．又函数y＝f(x)是偶函数，所以f(－1)＝f(1)，f(－3)＝f(3)，故f(1)<f(3)．故选B. 题型三　利用函数奇偶性求参数 例3　(1)已知f(x)＝(x＋1)(x－b)是偶函数，且其定义域为[2a－1，a]，则a＋b的值是(　　) A．－ B． C． D．－ (2)已知f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b 是偶函数，定义域为[a－1，2a]，则a＋b＝________，单调递减区间是________． 答案：(1)B　(2)　 解析：(1)因为函数f(x)是偶函数，所以定义域关于原点对称，则2a－1＋a＝0，得a＝，因为f(x)＝(x＋1)(x－b)，所以对应的方程(x＋1)(x－b)＝0的两根－1，b关于原点对称，则－b＝－1，得b＝1，则a＋b＝＋1＝.故选B. (2)根据题意，f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，定义域为[a－1，2a]，则有(a－1)＋2a＝0，解得a＝，f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b为二次函数，其对称轴为x＝－，因为f(x)为偶函数，则必有－＝0，则b＝0，则a＋b＝；f(x)＝＋1，其递减区间为. 利用函数奇偶性求参数的解题思路 奇、偶函数的定义既是判断函数是否具有奇偶性的一种方法，也是在已知函数奇偶性时可以运用的一个性质，解题时要注意奇、偶函数的定义的正用和逆用．利用函数的奇偶性求参数一般有如下两种题型： 1．定义域含参，需根据定义域关于坐标原点对称列式求解． 2．解析式含参，需根据f(x)＝f(－x)或f(x)＝－f(－x)列式，比较各项的系数求解． 对点练3.(1)已知f(x)是定义在[m－5，1－2m]上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2－2x，则f(m)的值为(　　) A．－8 B．8 C．－24 D．24 (2)(开放题)已知偶函数f(x)＝x2＋bx＋c，写出一组使得f(x)≥2恒成立的b，c的取值：b＝___________________，c＝________． 答案：(1)A　(2)0　2 解析：(1)由奇函数的对称性可知，m－5＋1－2m＝0，所以m＝－4，因为x≥0时，f(x)＝x2－2x，f(x)是奇函数，所以f(m)＝f(－4)＝－f(4)＝－(42－2×4)＝－8.故选A. (2)因为偶函数f(x)＝x2＋bx＋c，所以b＝0，所以f(x)＝x2＋c，因为x2≥0，所以f(x)≥c，所以取c＝2时，有f(x)≥2恒成立． 学生用书↓第85页 题型四　函数奇偶性的应用 角度1　利用函数奇偶性求解析式 例4　(1)已知函数f(x)是偶函数，且当x＞0时，f(x)＝x(1＋x)，试求当x＜0时，f(x)的解析式； (2)已知函数f(x)是R上的奇函数，且当x＞0时，f(x)＝－x＋1，试求f(x)的解析式． 点拨：解答这类问题的方法是，求哪个区间上的解析式，就在那个区间上设x，变号后代入已知的函数解析式，再结合函数的奇偶性求解． 解：(1)当x＜0时，－x＞0， 所以f(－x)＝－x(1－x)． 因为函数f(x)为偶函数，所以f(－x)＝f(x)， 所以当x＜0时，f(x)＝－x(1－x)． (2)当x＜0时，－x＞0， 所以f(－x)＝－(－x)＋1＝x＋1. 又函数f(x)是定义域为R的奇函数， 所以f(－x)＝－f(x)＝x＋1. 所以当x＜0时，f(x)＝－x－1. 当x＝0时，f(0)＝0. 综上可得，f(x)的解析式为f(x) ＝ 利用函数奇偶性求函数解析式的方法 已知函数f(x)的奇偶性及函数f(x)在某区间上的解析式，求该函数在整个定义域上的解析式的方法如下： 1．求哪个区间上的解析式，x就设在那个区间上； 2．把x对称转化到已知区间上，代入到已知区间上的函数解析式中； 3．利用f(x)的奇偶性将f(－x)用－f(x)或f(x)表示，从而求出f(x)． 注意：若奇函数定义域包含0，则必有f(0)＝0. 角度2　函数单调性与奇偶性的综合应用 例5　已知奇函数f(x)是定义在(－1，1)上的减函数，则不等式f(1－x)＋f(1－3x)＜0的解集为____________． 点拨： 答案： 解析：f(1－x)＋f(1－3x)＜0，即f(1－x)＜－f(1－3x)． 因为f(x)是奇函数，所以f(1－x)＜f(3x－1)． 又函数f(x)是定义在(－1，1)上的减函数， 所以解得0＜x＜.故所求不等式的解集为. 1．函数奇偶性和单调性的关系 (1)若f(x)是奇函数，且f(x)在[a，b]上是单调函数，则f(x)在[－b，－a]上也为单调函数，且具有相同的单调性． (2)若f(x)是偶函数，且f(x)在[a，b]上是单调函数，则f(x)在[－b，－a]上也为单调函数，且具有相反的单调性． 2．利用单调性和奇偶性解不等式的方法 (1)充分利用已知的条件，结合函数的奇偶性，把已知不等式转化为f(x1)>f(x2)或f(x1)<f(x2)的形式，再利用单调性脱掉“f”求解． (2)在对称区间上根据奇函数的单调性一致，偶函数的单调性相反，列出不等式或不等式组，求解即可，同时要注意函数自身定义域对参数的影响． 对点练4.(1)若函数f(x)是偶函数，g(x)是奇函数(f(x)，g(x)的定义域相同)，且f(x)＋g(x)＝，则f(x)＝________； (2)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0]上单调递增，若实数a满足f(2|a－1|)>f(－)，则实数a的取值范围是________． 答案：(1)(x≠±1)　(2) 解析：(1)因为f(x)＋g(x)＝，　①以－x代替x，得f(－x)＋g(－x)＝.又f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，所以f(x)－g(x)＝－.　②由①＋②，得2f(x)＝－＝，所以f(x)＝(x≠±1)． (2)因为f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0]上单调递增，所以f(x)在区间(0，＋∞)上单调递减，则f(2|a－1|)>f(－)，等价为f(2|a－1|)>f()，即－<2|a－1|<，则|a－1|<，即<a<. 易错一　判断奇偶性时忽略定义域致错 1．判断函数f(x)＝(1＋x)的奇偶性． 正解：　(1＋x)有意义时必须满足≥0，解得－1＜x≤1，即函数f(x)的定义域是{x|－1＜x≤1}． 因为函数的定义域关于坐标原点不对称， 所以该函数既不是奇函数也不是偶函数． [易错探因]　解答本题时易忽略函数的定义域得到如下错解： 学生用书↓第86页 因为f(x)＝(1＋x)＝＝， 所以f(－x)＝＝＝f(x)， 所以f(x)＝(1＋x)是偶函数． [误区警示]　因为函数的定义域是否关于坐标原点对称是判断函数奇偶性的前提，所以判断函数的奇偶性时，应先判断函数的定义域是否关于坐标原点对称． 易错二　判断奇偶性时忽略分段函数的特殊性 2．判断函数f(x)＝的奇偶性． 正解：　当x＞0时，－x＜0，f(－x)＝(－x)2＋2(－x)＋3＝－(－x2＋2x－3)＝－f(x)； 当x＜0时，－x＞0，f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)－3＝－(x2＋2x＋3)＝－f(x)； 而当x＝0时，f(0)＝3≠－f(0)， 所以函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数． [误区警示]　函数的奇偶性是函数的一个整体性质，是针对函数的整个定义域而言的．因此判断函数的奇偶性时，要考虑整个定义域，依据定义，判断是否“任意一个x”都满足f(－x)＝f(x)或f(－x)＝－f(x)．分段函数的奇偶性的判断要严格按照定义进行，否则容易出错． 易错三　忽略题目中的隐含条件致错 3．已知函数f(x)＝x2－2ax＋b是定义在区间[－2b，3b－1]上的偶函数，则函数f(x)的值域为________． 正解：　因为f(x)为偶函数，所以f(－x)＝f(x)，即a＝0. 又f(x)的定义域为[－2b，3b－1]， 所以－2b＋3b－1＝0，所以b＝1. 所以f(x)＝x2＋1，x∈[－2，2]， 所以函数f(x)的值域为[1，5]． 答案：[1，5] [误区警示]　f(x)是奇(偶)函数，包含两个条件：①定义域关于坐标原点对称；②f(－x)＝－f(x)(f(－x)＝f(x))．切记不能漏掉①. 1．(多选)下列函数具有奇偶性的是(　　) A．f(x)＝－3x2＋2 B．f(x)＝3|x|＋2 C．f(x)＝ D．f(x)＝2x－1 答案：ABC 解析：选项A，f(x)的定义域为R，关于原点对称，且f(－x)＝－3(－x)2＋2＝－3x2＋2＝f(x)，故f(x)是偶函数；选项B，f(x)的定义域为R，关于原点对称，且f(－x)＝f(x)，故f(x)是偶函数；选项C，f(x)的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，f(－x)＝－＝－f(x)，故f(x)是奇函数；选项D，f(x)的定义域为R，关于原点对称，f(－x)＝－2x－1≠－f(x)，f(－x)＝－2x－1≠f(x)，故f(x)既不是奇函数也不是偶函数．故选ABC. 2．若奇函数f(x)在区间[3，7]上单调递增，且最小值为5，则f(x)在区间[－7，－3]上(　　) A．单调递增且有最大值－5 B．单调递增且有最小值－5 C．单调递减且有最大值－5 D．单调递减且有最小值－5 答案：A 解析：因为f(x)在区间[3，7]上单调递增，且最小值为5，所以f(3)＝5.由奇函数在对称区间上单调性相同，可知f(x)在区间[－7，－3]上单调递增，且有最大值f(－3)＝－f(3)＝－5.故选A. 3．(多选)(2024·江苏南京高一期末)已知函数f(x)＝mx2＋nx＋3m＋n是偶函数，且其定义域为[m－1，2m]，则(　　) A．m＝3 B．n＝0 C．函数f(x)的定义域为 D．函数f(x)的最大值为 答案：BCD 解析：因为函数f(x)＝mx2＋nx＋3m＋n是偶函数，且函数f(x)的定义域为[m－1，2m]，所以m－1＋2m＝0，解得m＝.又因为函数f(x)是偶函数，所以f(－x)＝f(x)，即mx2－nx＋3m＋n＝mx2＋nx＋3m＋n，解得n＝0.所以函数的解析式为f(x)＝x2＋1.定义域为，其图象是开口向上，且以y轴为对称轴的抛物线，所以当x＝±时，f(x)取得最大值.故选BCD. 4．已知函数f(x)是定义域为R的偶函数，且当x≥0时，f(x)＝－x2＋2x.则函数f(x)在R上的解析式为________________． 答案：f(x)＝ 解析：因为函数f(x)是定义域为R的偶函数，所以f(x)＝f(－x)．当x<0时，－x＞0，所以f(x)＝f(－x)＝－x2－2x.综上，f(x)＝ 课时测评20　函数的奇偶性 (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—8每小题5分，共40分) 1．下面四个结论中，正确的个数是(　　) ①奇函数的图象关于原点对称； ②奇函数的图象一定通过原点； ③偶函数的图象关于y轴对称； ④偶函数的图象一定与y轴相交． A．1 B．2 C．3 D．4 答案：B 解析：对于①，奇函数的图象关于原点对称，故①正确；对于②，例如y＝为奇函数，但其图象不过原点，故②错误；对于③，偶函数的图象关于y轴对称，故③正确；对于④，例如y＝x－2为偶函数，但其图象与y轴不相交，故④错误．故选B. 2．设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是(　　) A．f(x)g(x)是偶函数 B．f(x)|g(x)|是奇函数 C．|f(x)|g(x)是奇函数 D．|f(x)g(x)|是奇函数 答案：B 解析：依题意得，对任意的x∈R，都有f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，因此f(－x)g(－x)＝－f(x)g(x)＝－[f(x)g(x)]，即f(x)g(x)是奇函数，故A错误；f(－x)|g(－x)|＝－f(x)|g(x)|＝－[f(x)|g(x)|]，即f(x)|g(x)|是奇函数，故B正确；|f(－x)|·g(－x)＝|－f(x)|g(x)＝|f(x)|g(x)，即|f(x)|g(x)是偶函数，故C错误；|f(－x)g(－x)|＝|－f(x)g(x)|＝|f(x)g(x)|，即|f(x)g(x)|是偶函数，故D错误．故选B. 3．下列函数为奇函数的是(　　) A．y＝|x| B．y＝3－x C．y＝ D．y＝－x2＋14 答案：C 解析：A、D两项，函数均为偶函数，B项中函数为非奇非偶函数，而C项中函数为奇函数． 4．如图，给出奇函数y＝f(x)的局部图象，则f(－2)＋f(－1)的值为(　　) A．－2 B．2 C．1 D．0 答案：A 解析：由图知f(1)＝，f(2)＝，又f(x)为奇函数，所以f(－2)＋f(－1)＝－f(2)－f(1)＝－－＝－2.故选A. 5．已知f(x)＝ax3＋bx＋1(ab≠0)，若f(2 025)＝k，则f(－2 025)＝(　　) A．k B．－k C．1－k D．2－k 答案：D 解析：设g(x)＝ax3＋bx，则g(x)为奇函数，且f(x)＝g(x)＋1.因为f(2 025)＝g(2 025)＋1＝k，所以g(2 025)＝k－1.所以f(－2 025)＝g(－2 025)＋1＝－g(2 025)＋1＝1－k＋1＝2－k.故选D. 6．已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1，2a]上的偶函数，那么a＋b的值是________． 答案： 解析：因为f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1，2a]上的偶函数，所以a－1＋2a＝0，所以a＝.又f(－x)＝f(x)，所以b＝0，所以a＋b＝. 7．已知y＝f(x)是奇函数，当x<0时，f(x)＝x2＋ax，且f(3)＝6，则a的值为________． 答案：5 解析：因为f(x)是奇函数，所以f(－3)＝－f(3)＝－6，所以(－3)2＋a(－3)＝－6，解得a＝5. 8．定义在R上的奇函数y＝f(x)在(0，＋∞)上递增，且f＝0，则满足f(x)＞0的x的集合为________________________________________________________________________． 答案： 解析：　由奇函数y＝f(x)在(0，＋∞)上递增，且f ＝0，得函数y＝f(x)在(－∞，0)上递增，且f ＝0， 所以若使f(x)>0，则x＞或－＜x＜0. 9．(10分)判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝x2(x2＋2)；(2分) (2)f(x)＝|x＋1|－|x－1|；(2分) (3)f(x)＝；(2分) (4)f(x)＝(4分) 解：(1)因为x∈R，所以－x∈R. 又因为f(－x)＝(－x)2[(－x)2＋2]＝x2(x2＋2)＝f(x)． 所以f(x)为偶函数． (2)因为x∈R，所以－x∈R. 又因为f(－x)＝|－x＋1|－|－x－1|＝|x－1|－|x＋1|＝－(|x＋1|－|x－1|)＝－f(x)， 所以f(x)为奇函数． (3)f(x)的定义域为[－1，0)∪(0，1]，关于原点对称． 又因为f(－x)＝＝－＝－f(x)， 所以f(x)为奇函数． (4)f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称． 当x>0时，－x<0，f(－x)＝－(－x)＋1＝1＋x＝f(x)； 当x<0时，－x>0，f(－x)＝(－x)＋1＝1－x＝f(x)． 综上可知，对于x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，都有f(－x)＝f(x)，f(x)为偶函数． 10．(10分)已知函数f(x)＝1－. (1)若g(x)＝f(x)－a为奇函数，求a的值；(4分) (2)试判断f(x)在(0，＋∞)内的单调性，并用定义证明．(6分) 解：(1)g(x)＝f(x)－a＝1－a－. 因为g(x)是奇函数，所以g(－x)＝－g(x)， 即1－a－＝－，解得a＝1. (2)函数f(x)在(0，＋∞)内为增函数． 证明如下： 设0<x1<x2，则f(x1)－f(x2) ＝1－－＝ 因为0<x1<x2，所以x1－x2<0，x1x2>0， 从而<0，即f(x1)<f(x2)． 所以函数f(x)在(0，＋∞)内是增函数． 11．(5分)已知函数f(x)＝，关于f(x)的性质，以下三个推断：①f(x)定义域是(－∞，＋∞)；②f(x)是奇函数；③f(x)在(0，2)上递增，其中推断正确的是________． 答案：①② 解析：因为函数f(x)＝，x2＋1≠0恒成立，所以定义域是(－∞，＋∞)，故①正确；因为f(－x)＝＝－＝－f(x)，又因为定义域是(－∞，＋∞)，所以f(x)是奇函数，故②正确；因为f(x)＝＝，y＝x＋在(0，1]上单调递减，在(1，2)上单调递增，所以f(x)在(0，1]上单调递增，在(1，2)上单调递减，故③错误． 12．(5分)(多选)已知函数f(x)＝则下列结论中正确的是(　　) A．f()＝2 B．若f(m)＝9，则m＝±3 C．f(x)是奇函数 D．f(x)在R上单调递减 答案：CD 解析：由于>0，所以f()＝－()2＝－2，故A错误；由f(m)＝9>0知m≤0，且m2＝9，因此m＝－3，故B错误；由f(x)的解析式和图象可知f(x)是奇函数，且在R上单调递减，故C正确，D正确．故选CD. 13．(10分)已知函数f(x)＝. (1)求f(x)的定义域；(3分) (2)判断f(x)的奇偶性，并说明理由；(3分) (3)求证：f ＋f(x)＝0.(4分) 解：(1)由1－x2≠0得x2≠1，即x≠±1， 即函数的定义域为{x|x≠±1}． (2)由(1)可知，函数f(x)的定义域关于原点对称， 因为f(－x)＝＝＝f(x)， 所以函数f(x)为偶函数． (3)证明：因为f(x)＝， 所以f ＝＝＝－＝－f(x)，所以f ＋f(x)＝0. 14．(5分)已知偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减，f(2)＝0，若f(x－1)>0，则x的取值范围是________． 答案：(－1，3) 解析：因为f(x)为偶函数，所以f(x－1)＝f(|x－1|)，又f(2)＝0，f(x－1)>0，所以f(|x－1|)>f(2)．因为|x－1|，2∈[0，＋∞)，且f(x)在[0，＋∞)上单调递减，所以|x－1|<2，即－2<x－1<2，所以x的取值范围为(－1，3)． 15．(15分)设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意a，b∈R，当a＋b≠0时，都有>0. (1)若a>b，试比较f(a)与f(b)的大小关系；(5分) (2)若f(1＋m)＋f(3－2m)≥0，求实数m的取值范围．(10分) 解：(1)因为a>b，所以a－b>0， 由题意得>0， 所以f(a)＋f(－b)>0. 又f(x)是定义在R上的奇函数， 所以f(－b)＝－f(b)，所以f(a)－f(b)>0，即f(a)>f(b)． (2)由(1)知f(x)为R上的增函数， 因为f(1＋m)＋f(3－2m)≥0， 所以f(1＋m)≥－f(3－2m)，即f(1＋m)≥f(2m－3)， 所以1＋m≥2m－3，所以m≤4. 所以实数m的取值范围为(－∞，4]． 学生用书↓第87页 学科网（北京）股份有限公司 $