3.1.3函数的奇偶性讲义-2025-2026学年高一上学期数学人教B版必修第一册

3.1.3函数的奇偶性 题型一 函数奇偶性的判断 （教材）例1-1 判断下列函数是否具有奇偶性： （1）； （2）； （3）； （4），． 例1-2判断下列函数的奇偶性： （1）f（x）＝2－｜x｜； （2）f（x）＝ ＋ ； （3）f（x）＝； （4）f（x）＝ （教材）例1-3已知函数的定义域关于原点对称,判断下列函数的奇偶性: (1); (2); (3). （教材）练1-1 判断下列函数是否具有奇偶性: (1); (2); (3); (4). （教材）练1-2 判断下列函数是否具有奇偶性： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）. （教材）练1-3 判断下列函数是否具有奇偶性: (1); (2); (3); (4). （教材）练1-4 如果函数和的定义域相同,且为偶函数,为奇函数,判断下列函数的奇偶性,并说明理由: (1); (2). 练1-5 [多选]如果f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)不恒为零，那么下列函数中，一定为奇函数的是(　　) A．g(x)＝x＋f(x) B．g(x)＝xf(x) C．g(x)＝x2＋f(x) D．g(x)＝x2f(x) 题型二 具体函数奇偶性的证明 例2-1已知，求证：是偶函数. 例2-2求证：是偶函数. 题型三 抽象函数奇偶性的判断与证明 例3-1已知函数f(x)，x∈R，若对于任意实数a，b都有f(a＋b)＝f(a)＋f(b)，求证：f(x)为奇函数． 例3-2 已知函数f(x)，x∈R，若对于任意实数x1，x2，都有f(x1＋x2)＋f(x1－x2)＝2f(x1)·f(x2)，求证：f(x)为偶函数． 题型四 函数图像对称性的证明 （教材）例4-1求证二次函数的图像关于对称． （教材）例4-2 求证:函数的图像关于对称. （教材）练4-1 求证:二次函数的图像关于对称. 练4-2 证明：函数f(x)＝的图象关于点(－1，1)对称． 题型五 奇偶函数的图像特征及应用 （教材）例5-1 已知函数满足，分别在下列各条件下比较与的大小： 例5-2 设奇函数f(x)的定义域为[－6，6]，当x∈[0，6]时，f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)<0的解集用区间表示为________． 例5-3 偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上的图象如图，则函数f(x)的单调递增区间为________． 例5-4 函数f(x)＝的图象大致为(　　) 例5-5 已知偶函数f(x)和奇函数g(x)的定义域都是(－4，4)，且在(－4，0]上的图象如图所示，则关于x的不等式f(x)g(x)<0的解集是________． （教材）练5-1 已知函数满足,分别在下列各条件下比较与的大小: (1)是偶函数; (2)是奇函数. 练5-2 如果奇函数f(x)在区间[－7，－3]上是减函数且最大值为5，那么函数f(x)在区间[3，7]上是(　　) A．增函数且最小值为－5 B．增函数且最大值为－5 C．减函数且最小值为－5 D．减函数且最大值为－5 练5-3 设奇函数f(x)的定义域为[－5，5]，当x∈[0，5]时，函数y＝f(x)的图像如下图所示，则使函数值y<0的解集为(　 　) A.(2，5) B．(－5，－2)∪(2，5) C．(－2，0) D．(－2，0)∪(2，5) 练5-4 已知y＝f(x)是偶函数，y＝g(x)是奇函数，它们的定义域都是[－3，3]，且它们在 x∈[0，3]时的图像如下图所示，则不等式<0的解集为(　 　) A．(1，2) B．(0，1)∪(2，3) C．(－2，－1)∪(0，1)∪(2，3) D．(－3，－2)∪(－1，1)∪(2，3) 题型六 利用函数的奇偶性求值 （教材）例6-1 已知奇函数在区间上是增函数，且在区间上的最大值为8，最小值为，求的值. 例6-2 设函数f(x)＝若f(x)是奇函数，则g(2)的值是(　　) A．3 B．5 C．－5 D．－3 例6-3 已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c是定义在[2b－5，2b－3]上的奇函数，则f的值为(　　) A. B. C．1 D．无法确定 （教材）例6-4 已知函数,且,求的值. 例6-5 已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，则f(1)＋g(1)＝________． 练6-1 已知，且 则的值为（ ） A．4 B．0 C． D． 练6-2 已知f(x)＝x5＋ax3＋bx－2，若f(－3)＝10，则f(3)＝(　　) A．－8 B．18 C．10 D．－14 练6-3 已知函数f(x)是奇函数，若g(x)＝f(x)＋2，且g(1)＝1，则g(－1)＝________． 题型七利用函数的奇偶性求参数 （教材）7-1 已知函数是偶函数,求实数的值. 例7-2 若f(x)＝ax2＋bx＋b＋1是定义在[a－1，2a]上的偶函数，则a＋b的值为(　　) A．－ B. C．－ D. 例7-3 已知函数f(x)＝为奇函数，则m＝________，n＝________． 练7-1 若定义在(－1，1)上的奇函数f(x)＝，则m＝________，n＝________． 练7-2 已知函数f(x)＝x3＋(a＋1)x2的图像关于原点对称，则a＝(　 ) A．1 B．－1 C．－2 D．2 题型八 利用函数的奇偶性求解析式 （教材）例8-1 已知是定义域为的奇函数，且时，，求时的解析式. 例8-2 已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)=x3+x+1，则f(x)的解析式为 . 例8-3 设函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x<0时，f(x)＝－x2－x，求当x>0时，f(x)的解析式． 例8-4 设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝x2＋2x，求函数f(x)，g(x)的解析式． 例8-5 若函数f(x)为奇函数，函数g(x)为偶函数，且f(x)－g(x)＝x2＋3x＋2，则f(x)＋g(x)＝________． 练8-1 已知函数是定义在上的奇函数，当时，，求出的解析式． 练8-2 设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝，求函数f(x)，g(x)的解析式． 题型九 函数奇偶性与单调性的综合应用 （教材）例9-1 研究函数的性质，并作出函数图像． （教材）例9-2 设函数在上是偶函数，且在上是增函数，比较与的大小. 例9-3 设定义在[－2，2]上的奇函数f(x)在区间[0，2]上单调递减，若f(m)＋f(m－1)>0，求实数m的取值范围． 例9-4 设函数f(x)在R上是偶函数，在(－∞，0)上单调递减，若f(a2－2a＋3)>f(a2＋a＋1)，求实数a的取值范围． 例9-5 已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f(2x－1)<f的x的取值范围是________． 例9-6 已知f(x)是定义在R上的函数，对x，y∈R都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且当x>0时，f(x)<0，f(－1)＝2. (1)求证：f(x)为奇函数； (2)求证：f(x)是R上的减函数； (3)求f(x)在[－2，4]上的最值． （教材）练9-1 研究函数的性质,并作出函数图像. 练9-2 设f(x)是R上的偶函数，且在[0，＋∞)上单调递增，则f(－2)，f(－π)，f(3)的大小关系是(　　) A．f(－π)>f(3)>f(－2) B．f(－π)>f(－2)>f(3) C．f(3)>f(－2)>f(－π) D．f(3)>f(－π)>f(－2) 练9-3 已知函数f(x)的定义域为(－1，1)，且满足下列条件：①f(x)为奇函数；②f(x)在定义域上单调递减；③f(1－a)＋f(1－a2)<0，求实数a的取值范围． 练9-4 设函数f(x)是定义在R上的奇函数，且在区间(－∞，0)内是减函数，且f(x)>0，实数a满足不等式f(3a2＋a－3)<f(3a2－2a)，求实数a的取值范围． 练9-5 已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足条件f(2x＋1)<f(5)的x的取值范围是(　 　) A．(－3，2) B．(－2，3) C．(－2，2) D．[－3，2] 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.1.3函数的奇偶性 题型一 函数奇偶性的判断 （教材）例1-1 判断下列函数是否具有奇偶性： （1）； （2）； （3）； （4），． 解 （1）因为函数的定义域为，所以时，． 又因为， 所以函数是奇函数． （2）因为函数的定义域为，所以时，． 又因为，所以函数是偶函数． （3）因为函数的定义域为，所以时，． 又因为，，所以且， 因此函数既不是奇函数也不是偶函数（也可说成是非奇非偶函数） （4）因为函数的定义域为，而，但，所以函数，是非奇非偶函数． 例1-2判断下列函数的奇偶性： （1）f（x）＝2－｜x｜； （2）f（x）＝ ＋ ； （3）f（x）＝； （4）f（x）＝ 解：（1）∵函数f（x）的定义域为R，关于原点对称， 又f（－x）＝2－｜－x｜＝2－｜x｜＝f（x），∴f（x）为偶函数. （2）∵函数f（x）的定义域为{－1，1}，关于原点对称，且f（x）＝0， 又∵f（－x）＝－f（x），f（－x）＝f（x），∴f（x）既是奇函数又是偶函数. （3）∵函数f（x）的定义域为{x｜x≠1}，不关于原点对称，∴f（x）是非奇非偶函数. （4）f（x）的定义域是（－∞，0）∪（0，＋∞），关于原点对称. 当x＞0时，－x＜0，f（－x）＝1－（－x）＝1＋x＝f（x）； 当x＜0时，－x＞0，f（－x）＝1＋（－x）＝1－x＝f（x）. 综上可知，对于x∈（－∞，0）∪（0，＋∞），都有f（－x）＝f（x），f（x）为偶函数. （教材）例1-3已知函数的定义域关于原点对称,判断下列函数的奇偶性: (1); (2); (3). 【答案】(1)偶函数.(2)奇函数.(3)偶函数. 【详解】解:(1)令,因为的定义域关于原点对称, 所以的定义域关于原点对称,且, 因此函数为偶函数. (2)令,则定义域关于原点对称,且,因此函数为奇函数. (3)令,则定义域关于原点对称. 因为,所以函数为偶函数. （教材）练1-1 判断下列函数是否具有奇偶性: (1); (2); (3); (4). 【答案】(1)奇函数.(2)偶函数.(3)既不是奇函数也不是偶函数.(4)非奇非偶函数. 【详解】解:(1)定义域为R.设,则. 因为,所以函数为奇函数. (2)定义域为R.设,则.因为,所以函数为偶函数. (3)因为,所以函数既不是奇函数也不是偶函救. (4)因为.所以定义域不关于原点对称,因此函数为非奇非偶函数. （教材）练1-2 判断下列函数是否具有奇偶性： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）. 【答案】（1）（4）非奇非偶函数；（2）（6）奇函数；（3）（5）偶函数. 【详解】（1），定义域为，，故，且，故为非奇非偶函数； （2），定义域为，，故为奇函数； （3），定义域为，，故为偶函数； （4），定义域为，，故，且，故为非奇非偶函数； （5），定义域为，，故为偶函数； （6），定义域为，，故为奇函数； （教材）练1-3 判断下列函数是否具有奇偶性: (1); (2); (3); (4). 【答案】(1)偶函数;(2)非奇非偶函数;(3)奇函数;(4)偶函数. 【详解】（1）定义域为， 偶函数 （2）定义域为，，且 为非奇非偶函数 （3）定义域为， 为奇函数 （4）由得：，即定义域为，定义域关于原点对称     为偶函数 （教材）练1-4 如果函数和的定义域相同,且为偶函数,为奇函数,判断下列函数的奇偶性,并说明理由: (1); (2). 【答案】(1)奇函数.见解析(2)非奇非偶函数.见解析 【详解】解:(1)因为函数的定义域相同,是偶函数,为奇函数, 所以定义域关于原点对称,所以, 因此是奇函数. (2)因为函数定义域相同,是偶函数,为奇函数, 所以的定义域关于原点对称,所以, 所以且,所以函数为非奇非偶函数. 练1-5 [多选]如果f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)不恒为零，那么下列函数中，一定为奇函数的是(　　) A．g(x)＝x＋f(x) B．g(x)＝xf(x) C．g(x)＝x2＋f(x) D．g(x)＝x2f(x) 答案：AD 解析：因为f(x)是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)．对于A，g(－x)＝－x＋f(－x)＝－x－f(x)＝－g(x)，所以g(x)＝x＋f(x)是奇函数；对于B，g(－x)＝－xf(－x)＝xf(x)＝g(x)，所以g(x)＝xf(x)是偶函数；对于C，g(－x)＝(－x)2＋f(－x)＝x2－f(x)，所以g(x)＝x2＋f(x)是非奇非偶函数；对于D，g(－x)＝(－x)2f(－x)＝－x2f(x)＝－g(x)，所以g(x)＝x2f(x)是奇函数． 题型二 具体函数奇偶性的证明 例2-1已知，求证：是偶函数. 【详解】要使函数有意义，需，所以， 定义域为，关于原点对称， 设定义域为，设，则. 因为，所以是偶函数. 例2-2求证：是偶函数. 【详解】由题意知：定义域为，定义域关于原点对称 设，则    ， 设，则    ， ，又 为上的偶函数 题型三 抽象函数奇偶性的判断与证明 例3-1已知函数f(x)，x∈R，若对于任意实数a，b都有f(a＋b)＝f(a)＋f(b)，求证：f(x)为奇函数． 证明：令a＝0，则f(b)＝f(0)＋f(b)，∴f(0)＝0. 令a＝－x，b＝x，则f(0)＝f(－x)＋f(x)，∴f(－x)＝－f(x)， 又x∈R，关于原点对称，∴f(x)为奇函数． 例3-2 已知函数f(x)，x∈R，若对于任意实数x1，x2，都有f(x1＋x2)＋f(x1－x2)＝2f(x1)·f(x2)，求证：f(x)为偶函数． 证明：令x1＝0，x2＝x，得f(x)＋f(－x)＝2f(0)f(x)．① 令x2＝0，x1＝x，得f(x)＋f(x)＝2f(0)f(x)．② 由①②，得f(x)＋f(－x)＝f(x)＋f(x)，即f(－x)＝f(x)，又x∈R，∴f(x)为偶函数． 题型四 函数图像对称性的证明 （教材）例4-1求证二次函数的图像关于对称． 证明 任取，因为 ， ， 所以，这就说明函数的图像关于对称． （教材）例4-2 求证:函数的图像关于对称. 【详解】证明：由得：，即的定义域为 任取，则，     的图象关于对称 （教材）练4-1 求证:二次函数的图像关于对称. 【详解】证明:任取,因为, ,所以, 因此函数的图像关于对称. 练4-2 证明：函数f(x)＝的图象关于点(－1，1)对称． 证明：函数f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(－1，＋∞)． 由f(x)＝，得f(－2－x)＝＝，则f(x)＋f(－2－x)＝＝2， 即f(x)＋f(－2－x)＝2×1，由函数对称的性质知f(x)的图象关于点(－1，1)对称． 题型五 奇偶函数的图像特征及应用 （教材）例5-1 已知函数满足，分别在下列各条件下比较与的大小： （1）是偶函数；（2）是奇函数． 解 （1）因为是偶函数，所以，因此 ，，从而由条件可知． （2）因为是奇函数，所以，因此 ，，又由条件可知，从而． 例5-2 设奇函数f(x)的定义域为[－6，6]，当x∈[0，6]时，f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)<0的解集用区间表示为________． 答案：[－6，－3)∪(0，3) 解析：由奇函数f(x)在[0，6]上的图象知，其在定义域[－6，6]上的图象如图所示，由图可知，不等式f(x)<0的解集为[－6，－3)∪(0，3)． 例5-3 偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上的图象如图，则函数f(x)的单调递增区间为________． 答案：[－1，0]，[1，＋∞) 解析：偶函数的图象关于y轴对称，补全图象后可知函数f(x)的单调递增区间为[－1，0]，[1，＋∞)． 例5-4 函数f(x)＝的图象大致为(　　) 答案：A 解析：函数f(x)＝的定义域为R，关于原点对称，又f(－x)＝－＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数，排除C，D；又当x＞0时，f(x)＞0，排除B.故选A. 例5-5 已知偶函数f(x)和奇函数g(x)的定义域都是(－4，4)，且在(－4，0]上的图象如图所示，则关于x的不等式f(x)g(x)<0的解集是________． 答案：(－4，－2)∪(0，2) 解析：补全函数f(x)，g(x)的图象如图所示，由图可知，当－4<x<－2时，f(x)>0，g(x)<0，此时f(x)g(x)<0；当0<x<2时，f(x)<0，g(x)>0，此时f(x)g(x)<0.故不等式f(x)g(x)<0的解集是(－4，－2)∪(0，2)． （教材）练5-1 已知函数满足,分别在下列各条件下比较与的大小: (1)是偶函数; (2)是奇函数. 【答案】(1)(2) 【详解】解:(1)因为函数是偶函数,所以, 因此,从而由条件可知. (2)因为函数是奇函数,所以,因此, 由条件可知,因此. 练5-2 如果奇函数f(x)在区间[－7，－3]上是减函数且最大值为5，那么函数f(x)在区间[3，7]上是(　　) A．增函数且最小值为－5 B．增函数且最大值为－5 C．减函数且最小值为－5 D．减函数且最大值为－5 答案：C 解析：∵f(x)为奇函数，∴f(x)在[3，7]上的单调性与在[－7，－3]上一致，且f(7)为最小值．又已知f(－7)＝5，∴f(7)＝－f(－7)＝－5.故选C. 练5-3 设奇函数f(x)的定义域为[－5，5]，当x∈[0，5]时，函数y＝f(x)的图像如下图所示，则使函数值y<0的解集为(　D　) A.(2，5) B．(－5，－2)∪(2，5) C．(－2，0) D．(－2，0)∪(2，5) 解析：因为原函数是奇函数，所以y＝f(x)在[－5，5]上的图像关于坐标原点对称，由y＝f(x)在[0，5]上的图像，知它在[－5，0]上的图像，如右图所示，由图像知，使函数值y<0的解集为(－2，0)∪(2，5). 练5-4 已知y＝f(x)是偶函数，y＝g(x)是奇函数，它们的定义域都是[－3，3]，且它们在 x∈[0，3]时的图像如下图所示，则不等式<0的解集为(　C　) A．(1，2) B．(0，1)∪(2，3) C．(－2，－1)∪(0，1)∪(2，3) D．(－3，－2)∪(－1，1)∪(2，3) 解析：已知y＝f(x)是偶函数，y＝g(x)是奇函数，根据函数图像的对称性画出y＝f(x)，y＝g(x)在[－3，0)上的图像如下图所示． 由图可知f(x)>0⇒0<x<2或－2<x<0，f(x)<0⇒2<x<3或－3<x<－2，g(x)>0⇒1<x<3或－1<x<0，g(x)<0⇒0<x<1或－3<x<－1. 当<0时，有或 则可得所求不等式的解集是(－2，－1)∪(0，1)∪(2，3). 题型六 利用函数的奇偶性求值 （教材）例6-1 已知奇函数在区间上是增函数，且在区间上的最大值为8，最小值为，求的值. 【答案】-15 【详解】因为函数在区间上是增函数，所以. 因为为奇函数，所以， 因此. 例6-2 设函数f(x)＝若f(x)是奇函数，则g(2)的值是(　　) A．3 B．5 C．－5 D．－3 答案：A 解析：∵函数f(x)＝且f(x)是奇函数，∴g(2)＝f(2)＝－f(－2)＝－(－2×2＋1)＝3.故选A. 例6-3 已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c是定义在[2b－5，2b－3]上的奇函数，则f的值为(　　) A. B. C．1 D．无法确定 【答案】　B 解析：∵奇函数的定义域关于原点对称，∴2b－5＝－(2b－3)＝－2b＋3，解得b＝2.∴f(x)是定义在[－1，1]上的奇函数，∴f(0)＝c＝0，f(－1)＝－f(1)，即－1＋a－2＝－(1＋a＋2)，∴a＝0.∴f(x)＝x3＋2x.∴f＝＋2×＝＋1＝. （教材）例6-4 已知函数,且,求的值. 【答案】-26 【详解】解:令,因为定义域为时,. 又,因此函数为奇函数. 又因为,所以,因此, 所以. 例6-5 已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，则f(1)＋g(1)＝________． 答案：1 解析：在f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1中，令x＝－1，得f(－1)－g(－1)＝1，又f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，所以f(1)＋g(1)＝1. 练6-1 已知，且 则的值为 A．4 B．0 C． D． 【答案】A 【详解】设， 练6-2 已知f(x)＝x5＋ax3＋bx－2，若f(－3)＝10，则f(3)＝(　　) A．－8 B．18 C．10 D．－14 答案：D 解析：由f(x)＝x5＋ax3＋bx－2，得f(x)＋2＝x5＋ax3＋bx.令G(x)＝x5＋ax3＋bx＝f(x)＋2，∵G(－x)＝(－x)5＋a(－x)3＋b(－x)＝－(x5＋ax3＋bx)＝－G(x)，∴G(x)是奇函数．∴G(－3)＝－G(3)，即f(－3)＋2＝－f(3)－2，又f(－3)＝10，∴f(3)＝－f(－3)－4＝－10－4＝－14.故选D. 练6-3 已知函数f(x)是奇函数，若g(x)＝f(x)＋2，且g(1)＝1，则g(－1)＝________． 答案：3 解析：∵g(1)＝1，且g(x)＝f(x)＋2，∴f(1)＝g(1)－2＝－1，又f(x)是奇函数，∴f(－1)＝－f(1)＝1，从而g(－1)＝f(－1)＋2＝3. 题型七利用函数的奇偶性求参数 （教材）7-1 已知函数是偶函数,求实数的值. 【答案】2 【详解】 为上的偶函数    ，即，解得： 的值为 例7-2 若f(x)＝ax2＋bx＋b＋1是定义在[a－1，2a]上的偶函数，则a＋b的值为(　　) A．－ B. C．－ D. 答案：B 解析：∵f(x)＝ax2＋bx＋b＋1是定义在[a－1，2a]上的偶函数，∴a－1＝－2a，f(－x)＝ax2－bx＋b＋1＝f(x)＝ax2＋bx＋b＋1.∴a＝，b＝0.∴a＋b＝.故选B. 例7-3 已知函数f(x)＝为奇函数，则m＝________，n＝________． 答案：－1　1 解析：由题意，知则所以当m＝－1，n＝1时，经检验知f(x)为奇函数，故m＝－1，n＝1. 练7-1 若定义在(－1，1)上的奇函数f(x)＝，则m＝________，n＝________． [答案]　0　0 [解析]　由题意，得f(0)＝0，故m＝0.由f(x)是奇函数，知f(－x)＝－f(x)，即＝－，所以x2－nx＋1＝x2＋nx＋1，所以n＝0. 练7-2 已知函数f(x)＝x3＋(a＋1)x2的图像关于原点对称，则a＝(　B　) A．1 B．－1 C．－2 D．2 解析：因为函数图像关于原点对称，所以函数是奇函数，则f(－x)＝－f(x)，得－x3＋(a＋1)x2＝－x3－(a＋1)x2，即(a＋1)x2＝0，即a＋1＝0，得a＝－1. 题型八 利用函数的奇偶性求解析式 （教材）例8-1 已知是定义域为的奇函数，且时，，求时的解析式. 【答案】 【解析】设，则，所以，再利用函数奇偶性代换得到答案. 【详解】设，则，所以. 是奇函数，所以， 因此当时，. 例8-2 已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)=x3+x+1，则f(x)的解析式为 . 【答案】 【详解】设x<0，则-x>0，所以f(-x)=(-x)3+(-x)+1=-x3-x+1. 因为f(x)是奇函数，所以f(-x)=-f(x)，所以-x3-x+1=-f(x)，即f(x)=x3+x-1. 所以x<0时，f(x)=x3+x-1，又因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)=0， 即f(x)=． 例8-3 设函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x<0时，f(x)＝－x2－x，求当x>0时，f(x)的解析式． 解：设x>0，则－x<0，∴f(－x)＝－(－x)2－(－x)＝－x2＋x. 又f(x)是R上的偶函数，∴f(x)＝f(－x)＝－x2＋x， ∴当x>0时，f(x)＝－x2＋x. 例8-4 设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝x2＋2x，求函数f(x)，g(x)的解析式． [解]　∵f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，∴f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)， 由f(x)＋g(x)＝2x＋x2，①用－x代替x，得f(－x)＋g(－x)＝－2x＋(－x)2， ∴f(x)－g(x)＝－2x＋x2，② (①＋②)÷2，得f(x)＝x2；(①－②)÷2，得g(x)＝2x. 例8-5 若函数f(x)为奇函数，函数g(x)为偶函数，且f(x)－g(x)＝x2＋3x＋2，则f(x)＋g(x)＝________． 答案：－x2＋3x－2 解析：∵f(x)－g(x)＝x2＋3x＋2，∴f(－x)－g(－x)＝x2－3x＋2，又函数f(x)为奇函数，函数g(x)为偶函数，∴－f(x)－g(x)＝x2－3x＋2，∴f(x)＋g(x)＝－x2＋3x－2. 练8-1 已知函数是定义在上的奇函数，当时，，求出的解析式． 【答案】 【详解】当时，，所以当时，，则， 整理有，所以的解析式为 练8-2 设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝，求函数f(x)，g(x)的解析式． 解：∵f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，∴f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)， 由f(x)＋g(x)＝，①用－x代替x，得f(－x)＋g(－x)＝， ∴f(x)－g(x)＝，② (①＋②)÷2，得f(x)＝； (1 －②)÷2，得g(x)＝. 题型九 函数奇偶性与单调性的综合应用 （教材）例9-1 研究函数的性质，并作出函数图像． 解 要使函数表达式有意义，需有，因此函数的定义域为， 从而可知函数的图像有左右两部分． 设，则对任意，都有，而且， 所以函数是偶函数，函数的两部分图像关于y轴对称． 下面研究函数在区间上的性质及图像． 因为，时，有， 所以在上是减函数． 又因为时，，所以函数图像在右边的部分一定在第一象限．列出部分函数值如下表所示，然后可以描点作图． x 1 2 3 4 1 再根据函数是偶函数，可以得出函数的图像，如图所示，而且函数的定义域为，函数是偶函数，在上单调递增，在上单调递减，函数的值域是． （教材）例9-2 设函数在上是偶函数，且在上是增函数，比较与的大小. 【答案】 【详解】因为函数是偶函数，且在上是增函数， 所以且在上是减函数. 因为，所以， 因此. 例9-3 设定义在[－2，2]上的奇函数f(x)在区间[0，2]上单调递减，若f(m)＋f(m－1)>0，求实数m的取值范围． 解：由f(m)＋f(m－1)>0，得f(m)>－f(m－1)，即f(1－m)<f(m)． 又f(x)在区间[0，2]上为减函数且f(x)在[－2，2]上为奇函数， 所以f(x)在[－2，2]上为减函数． 所以即 解得－1≤m<. 故实数m的取值范围为. 例9-4 设函数f(x)在R上是偶函数，在(－∞，0)上单调递减，若f(a2－2a＋3)>f(a2＋a＋1)，求实数a的取值范围． 解：由题意，知f(x)在(0，＋∞)上是增函数． 又a2－2a＋3＝(a－1)2＋2>0，a2＋a＋1＝＋>0，且f(a2－2a＋3)>f(a2＋a＋1)， 所以a2－2a＋3>a2＋a＋1，即3a<2，a<. 综上，实数a的取值范围是. 例9-5 已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f(2x－1)<f的x的取值范围是________． 答案： 解析：∵f(x)是偶函数，∴f(x)＝f(|x|)，∴不等式f(2x－1)<f等价于f(|2x－1|)<f，又f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，∴|2x－1|<，解得<x<.故满足f(2x－1)<f的x的取值范围是. 例9-6 已知f(x)是定义在R上的函数，对x，y∈R都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且当x>0时，f(x)<0，f(－1)＝2. (1)求证：f(x)为奇函数； (2)求证：f(x)是R上的减函数； (3)求f(x)在[－2，4]上的最值． 解：(1)证明：由f(x)的定义域为R， 令x＝y＝0，则f(0)＝f(0)＋f(0)，所以f(0)＝0. 令y＝－x，则f(x－x)＝f(x)＋f(－x)，即0＝f(x)＋f(－x)， 所以f(－x)＝－f(x)，即f(x)为奇函数． (2)证明：任取x1，x2∈R，且x1<x2， 则f(x1)－f(x2)＝－[f(x2)－f(x1)]＝－[f(x2)＋f(－x1)]＝－f(x2－x1)． 因为x2－x1>0，所以f(x2－x1)<0.所以f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)． 所以f(x)是R上的减函数． (3)因为f(－1)＝2，所以f(－2)＝f(－1)＋f(－1)＝4.因为f(x)为奇函数， 所以f(2)＝－f(－2)＝－4，所以f(4)＝f(2)＋f(2)＝－8. 因为f(x)在[－2，4]上为减函数， 所以f(x)max＝f(－2)＝4，f(x)min＝f(4)＝－8. （教材）练9-1 研究函数的性质,并作出函数图像. 【详解】解:要使函数有意义，需有,因此函数的定义域为. 对任意,都有,而且,所以函数是奇函数, 函数的图像关于原点对称.下面研究上的性质及图像. 任取,且， 则， 当时，由，，， 所以，即 所以函数在上是增函数. 当时, 由，，， 所以，即 所以函数在上是减函数. 所以当时,函数,无最大值, 因此图像在右边部分一定在第一象限. 列表: x 1 3 9 10 6 10 描点､连线. 又函数为奇函数,所以图像关于原点对称,即得函数的图像. 如图所示：    函数具有以下性质: 定义域.值域:或. 单调性:在上是增函数;在,上是减函数. 奇偶性:奇函数. 练9-2 设f(x)是R上的偶函数，且在[0，＋∞)上单调递增，则f(－2)，f(－π)，f(3)的大小关系是(　　) A．f(－π)>f(3)>f(－2) B．f(－π)>f(－2)>f(3) C．f(3)>f(－2)>f(－π) D．f(3)>f(－π)>f(－2) 答案：A 解析：∵f(x)是R上的偶函数，∴f(－2)＝f(2)，f(－π)＝f(π)，又f(x)在[0，＋∞)上单调递增，且2<3<π，∴f(π)>f(3)>f(2)，即f(－π)>f(3)>f(－2)． 练9-3 已知函数f(x)的定义域为(－1，1)，且满足下列条件：①f(x)为奇函数；②f(x)在定义域上单调递减；③f(1－a)＋f(1－a2)<0，求实数a的取值范围． 解：∵f(x)是奇函数，∴f(1－a2)＝－f(a2－1). ∴f(1－a)＋f(1－a2)<0⇒f(1－a)<－f(1－a2)⇒f(1－a)<f(a2－1). ∵f(x)在定义域(－1，1)内是单调递减的， ∴ 解得0<a<1. ∴实数a的取值范围为(0，1). 练9-4 设函数f(x)是定义在R上的奇函数，且在区间(－∞，0)内是减函数，且f(x)>0，实数a满足不等式f(3a2＋a－3)<f(3a2－2a)，求实数a的取值范围． 解：∵f(x)在区间(－∞，0)内是减函数，∴f(x)的图像在y轴左侧递减． 又∵f(x)是奇函数， ∴f(x)的图像关于原点成中心对称，则在y轴右侧同样递减，且f(x)<0. 又f(－0)＝－f(0)，解得f(0)＝0，∴f(x)的图像在R上递减． ∵f(3a2＋a－3)<f(3a2－2a)，∴3a2＋a－3>3a2－2a，解得a>1， 即实数a的取值范围为(1，＋∞). 练9-5 已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足条件f(2x＋1)<f(5)的x的取值范围是(　A　) A．(－3，2) B．(－2，3) C．(－2，2) D．[－3，2] 解析：因为函数f(x)为偶函数且在区间[0，＋∞)上单调递增，则在(－∞，0)上是减函数，f(2x＋1)<f(5)⇒|2x＋1|<5，即－5<2x＋1<5，所以－3<x<2，即x的取值范围为(－3，2). 学科网（北京）股份有限公司 $