3.1.2 函数的单调性（讲义）高一数学人教B版必修第一册

本高中数学讲义聚焦函数的单调性核心知识点，系统梳理增函数减函数定义（强调任意性与区间）、单调区间规范书写、最值概念及几何意义、平均变化率与单调性关系，拓展复合函数“同增异减”规律，构建从概念抽象到性质应用的完整学习支架。 该资料以数学抽象、逻辑推理、直观想象为导向，通过“提醒”“想一想”深化概念理解，如辨析定义中“任意性”的重要性。题型分层设计，含定义证明四步法、图象法求最值三步骤等解题贴士及变式训练，课中辅助教师系统授课，课后通过基础通关、素养提升等练习帮助学生查漏补缺，强化应用能力。

第三章 函数 3.1.2 函数的单调性 课标要点 借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值，理解函数的平均变化率，理解它们的作用和实际意义（数学抽象、直观想象、逻辑推理、数学运算）. 学习重难点 重点： 掌握函数单调性定义，会用定义证明单调； 看懂增减函数图像特征； 熟记单调区间书写规范； 能利用单调性比较函数值、解不等式；分清复合函数单调 “同增异减”。 难点： 用定义证明单调性时作差变形符号判断； 复合函数内外层单调区间结合； 忽略定义域直接求单调区间； 含参函数单调性分类讨论。 知识点一　增函数、减函数的概念 1.增函数、减函数的定义 一般地，设函数y＝f（x）的定义域为D，且区间I⊆D： （1）如果对任意x1，x2∈I，当x1＜x2时，都有　f（x1）＜f（x2）　，则称y＝f（x）在区间I上是增函数（也称在区间I上　单调递增　），如图①所示； （2）如果对任意x1，x2∈I，当x1＜x2时，都有　f（x1）＞f（x2）　，则称y＝f（x）在区间I上是减函数（也称在区间I上　单调递减　），如图②所示. 提醒：（1）单调性是函数在某一区间上的“整体”性质，因此对x1，x2有下列要求：①属于同一个区间I；②任意性，即x1，x2是定义域中某一区间I上的任意两个值，不能用特殊值代替；③区分大小，即确定的任意两值x1，x2必须区分大小，一般令x1＜x2. （2）并非所有的函数都具有单调性.如函数f（x）＝它的定义域为R，但不具有单调性. 【想一想】 在增函数和减函数定义中，能否把“任意x1，x2∈I”改为“存在x1，x2∈I”？ 2.函数的单调区间 在上述两种情况下，都称函数在区间I上具有单调性（区间I称为函数的　单调区间　，也可分别称为　单调递增区间　或　单调递减区间　）. 提醒：（1）函数在某个区间上是增（减）函数，但是在整个定义域上不一定是增（减）函数.如函数y＝（x≠0）在区间（－∞，0）和（0，＋∞）上都是减函数，但是在整个定义域上不具有单调性. （2）一个函数出现两个或者两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接，而应该用“和”或“，”连接.如函数y＝（x≠0）在区间（－∞，0）和（0，＋∞）上都是减函数，不能认为y＝（x≠0）的单调递减区间为（－∞，0）∪（0，＋∞）. （3）当一个函数给定后，它的单调区间相应被确定，函数y＝f（x）在区间I上单调与函数y＝f（x）的单调区间是I的含义不同.如函数y＝x2在[a，＋∞）上单调递增时，a≥0，函数y＝x2的单调递增区间是[a，＋∞）时，a＝0. 随学随练 1.下列函数中，在R上是增函数的是（　　） A.y＝｜x｜　 B.y＝x C.y＝x2　 D.y＝ 2.若函数f（x）＝（2a－1）x（a为实数）是R上的减函数，则（　　） A.a≥　 B.a≤ C.a＞　 D.a＜ 3.如果函数y＝f（x）的图象如图所示，那么此函数的减区间为　 　. 知识点二　函数的最值 1.函数的最大值和最小值 一般地，设函数f（x）的定义域为D，且x0∈D： （1）如果对任意x∈D，都有　f（x）≤f（x0）　，则称f（x）的最大值为f（x0）（记作f（x）max＝f（x0）），而x0称为f（x）的　最大值点　； （2）如果对任意x∈D，都有　f（x）≥f（x0）　，则称f（x）的最小值为f（x0）（记作f（x）min＝f（x0）），而x0称为f（x）的　最小值点　. 提醒：对函数最值的几点说明：①最值首先是一个函数值，即存在一个自变量x0，使得f（x0）等于最值；②对于定义域内的任意元素x，都有f（x）≤f（x0）（或f（x）≥f（x0）），“任意”两个字不可省略；③函数f（x）在其定义域（某个区间）内不一定有最大（小）值，如果有，最大（小）值只能有一个.但最大（小）值点x0可能不止一个.这里的最大（小）值点不是点而是实数；④函数f（x）在其定义域（某个区间）内的最大值的几何意义是其图象上最高点的纵坐标；最小值的几何意义是其图象上最低点的纵坐标. 2.最值和最值点 　最大　值和　最小　值统称为最值，最大值点和最小值点统称为　最值　点. 【想一想】 如果函数f（x）对于定义域内的任意x都满足f（x）≤M，那么M一定是函数f（x）的最大值吗？ 随学随练 1..y＝＋1在区间[3，4]上的最大值为（　　） A.2　 B. C.　 D.4 2.如图是函数y＝f（x），x∈[－4，3]的图象，则下列说法正确的是（　　） A.f（x）在[－4，－1]和[1，3]上单调递减 B.f（x）在区间（－1，3）上的最大值为3，最小值为－2 C.f（x）在[－4，1]上有最大值2，有最小值－1 D.当直线y＝m与函数y＝f（x），x∈[－4，3]的图象有交点时，－2＜m＜3 知识点三　函数的平均变化率 1.直线的斜率 （1）定义：给定平面直角坐标系中的任意两点A（x1，y1），B（x2，y2），当x1≠x2时，称　　为直线AB的斜率（若记Δx＝x2－x1，相应的Δy＝y2－y1，当Δx≠0时，斜率记为）；当x1＝x2时，称直线AB的斜率　不存在　. （2）作用：直线AB的斜率反映了直线相对于　x轴　的倾斜程度. 2.平均变化率与函数的单调性 若区间I是函数y＝f（x）的定义域的子集，对任意x1，x2∈I且x1≠x2，记y1＝f（x1），y2＝f（x2），＝，则： （1）y＝f（x）在区间I上是增函数的充要条件是　　＞　0　在区间I上恒成立； （2）y＝f（x）在区间I上是减函数的充要条件是　　＜　0　在区间I上恒成立. 当x1≠x2时，称＝为函数y＝f（x）在区间[x1，x2]（x1＜x2时）或[x2，x1]（x1＞x2时）上的平均变化率.通常称Δx为自变量的改变量，Δy为因变量的改变量. 提醒：对函数平均变化率的几点说明：①函数f（x）应在x1，x2处有定义；②x2在x1附近，Δx＝x2－x1≠0，但Δx可正可负；③注意变量的对应，若Δx＝x2－x1，则Δy＝f（x2）－f（x1），而不是Δy＝f（x1）－f（x2）；④平均变化率可正可负，也可为零.但是，若函数在某区间上的平均变化率为0，不能说明该函数在此区间上的函数值都相等.比如，f（x）＝x2在区间[－2，2]上的平均变化率为0，但f（x）＝x2在[－2，2]上的图象先下降后上升，值域是[0，4]；⑤平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”.利用平均变化率可以刻画变量平均变化的趋势和快慢程度，但效果是“粗糙不精确的”.只有当Δx＝x2－x1无限变小时，这种量化才由“粗糙”逼近“精确”. 【想一想】 1.函数的平均变化率是固定不变的吗？ 2.如果＝0在I上恒成立，那么函数f（x）有什么特点？ 随学随练 1.已知函数f（t）＝2t2＋t，当自变量t由2变到2.5时，函数的平均变化率是（　　） A.5.25　 B.10.5 C.5.5　 D.11 2.已知过点P（－2，m）和Q（m，4）的直线的斜率等于1，则m的值为　1　. 拓展 复合函数的单调性 【典例】　已知函数f（x）＝，x∈[2，6]. （1）试判断此函数在x∈[2，6]上的单调性； （2）根据（1）的判断过程，归纳出解题步骤. 结论　一般地，对于复合函数y＝f（g（x）），单调性如表所示，简记为“同增异减”. g（x） f（x） f（g（x）） 增 增 增 增 减 减 减 增 减 减 减 增 【迁移应用】 求函数f（x）＝的单调区间. 题型一 利用定义判断或证明函数的单调性 解题贴士：利用定义证明函数单调性的4个步骤 【例1】求证：函数f（x）＝在（0，＋∞）上是减函数，在（－∞，0）上是增函数. 【变式1】（25-26高三·全国·一轮复习）已知函数在区间上单调递增，且，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高一上·黑龙江大庆·期中）定义域为的函数满足：对任意，有，则有（    ） A． B． C． D． 【变式3】已知函数，证明：函数在上单调递减； 题型二 求函数的单调区间 解题贴士：图象法求函数单调区间的注意点 凡能作出函数图象的求单调区间问题，都可应用图象法.图象法主要用于求熟悉的常见函数（如一次函数、二次函数、反比例函数等）的单调区间，或应用于求能通过常见函数图象的平移、翻折等变换得到所给函数图象的函数的单调区间. 【例2】（25-26高二下·陕西宝鸡·阶段检测）函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高一上·山东枣庄·期中）函数f（x）＝的单调递减区间是（   ） A． B． C．[1,4] D．[－2,1] 【变式2】（25-26高一上·重庆·期末）函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26高一上·浙江宁波·期中）函数的单调递增区间是（   ） A． B．， C．， D．， 题型三 利用单调性求参数及解不等式 解题贴士：1.利用函数的单调性解不等式的方法 利用函数的单调性解不等式，实质上是单调性的逆用，即由函数值的大小得到自变量的大小.若f（x）为增函数，则当f（x1）＜f（x2）时x1＜x2，当f（x1）＞f（x2）时x1＞x2.若f（x）为减函数，则当f（x1）＜f（x2）时x1＞x2，当f（x1）＞f（x2）时x1＜x2.需要注意的是求解时不要忘了函数的定义域对参数的限制. 2.利用函数单调性求参数取值范围的两种思路 （1）已知函数的单调性求参数的取值范围的方法是视参数为已知数，依据函数的图象或单调性的定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数； （2）借助常见函数（如一次函数、反比例函数、二次函数等）的单调性求解. 需注意若一个函数在区间[a，b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的. 【例3】（25-26高一上·重庆·期末）函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高一上·江西赣州·期中）若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高一上·湖南长沙·期中）已知函数在上具有单调性，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26高二下·湖北武汉·期末）“函数在上为增函数”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 题型四 分段函数的单调性 解题贴士：分段函数单调性问题的求解策略 首先分析每段上的单调性，其次是分界点处函数值的大小，如果是增函数，则分界点左侧值小于等于右侧值，如果是减函数，则分界点左侧值大于等于右侧值. 【例4】（25-26高一上·海南省直辖县级单位·期中）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高三上·江苏南通·开学考试）已知函数是上的增函数，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高一上·河南漯河·阶段检测）已知是R上的增函数，那么的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26高一上·福建福州·阶段检测）已知函数是上的减函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型五 直线的斜率公式及应用 解题贴士：利用斜率公式求直线的斜率应注意的事项 （1）运用公式的前提条件是“x1≠x2”，即直线不与x轴垂直，因为当直线与x轴垂直时，斜率是不存在的； （2）斜率公式与两点P1，P2的先后顺序无关，也就是说公式中的x1与x2，y1与y2可以同时交换位置. 【例5】已知直线l过点M（m＋1，m－1），N（2m，1）.当m为何值时，直线l的斜率是1？ 【变式1】已知三点A（a，2），B（3，7），C（－2，－9a）在同一条直线上，求实数a的值. 【变式2】已知函数f（x）＝x2图象上四点A（1，f（1）），B（2，f（2）），C（3，f（3）），D（4，f（4）），直线AB，BC，CD的斜率分别为k1，k2，k3，则（　　） A.k1＜k2＜k3　 B.k2＜k1＜k3 C.k3＜k2＜k1　 D.k1＜k3＜k2 【变式3】若A（3，1），B（－2，k），C（8，1）三点能构成三角形，则实数k的取值范围为　　. 题型六 平均变化率 解题贴士：　求平均变化率可根据定义代入公式直接求解，解题的关键是弄清自变量的增量Δx与函数值的增量Δy，求平均变化率的主要步骤是： 【例6】一正方形铁板在0 ℃时边长为10 cm，加热后会膨胀，当温度为t ℃时，边长变为10（1＋at）cm，a为常数.试求铁板面积对温度的平均膨胀率. 【变式】路灯距地面8 m，一个身高为1.6 m的人以84 m/min的速度在地面上从路灯在地面上的射影点C处沿直线匀速离开路灯. （1）求身影的长度y与人距路灯的射影点C的距离x之间的关系式； （2）求人离开路灯10 s内身影长度y关于时间t的平均变化率. 题型七 图象法求函数的最值 解题贴士：用图象法求最值的3个步骤 【例7】函数y＝｜x＋1｜－｜2－x｜的最大值是（　　） A.3　　　　　　　 B.－3 C.5　 D.－2 【变式1】（25-26高一上·广东潮州·阶段检测）已知函数的定义域为，其图象如图所示，则下列说法中错误的是（    ） A．的单调递减区间为 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的单调递增区间为 【变式2】（25-26高一上·山西太原·阶段检测）如图是函数的图象，则下列说法正确的是（    ） A．在上单调递减，在上单调递增 B．在区间上的最大值为3，最小值为 C．在上有最小值，有最大值3 D．当直线与的图象有三个交点时 【变式3】（25-26高一·全国·课后作业）函数f(x)的部分图象如图所示,则此函数在[-2,2]上的最小值、最大值分别是 A．-1,3 B．0,2 C．-1,2 D．3,2 题型八 利用单调性求函数的最值 解题贴士：函数的最值与单调性的关系 （1）如果函数y＝f（x）在区间（a，b]上是增函数，在区间[b，c）上是减函数，则函数y＝f（x），x∈（a，c）在x＝b处有最大值f（b）； （2）如果函数y＝f（x）在区间（a，b]上是减函数，在区间[b，c）上是增函数，则函数y＝f（x），x∈（a，c）在x＝b处有最小值f（b）； （3）如果函数y＝f（x）在区间[a，b]上是增（减）函数，则在区间[a，b]的左、右端点处分别取得最小（大）值、最大（小）值. 【例8】（25-26高三·全国·一轮复习）已知函数，则在区间上的最大值为（   ） A． B．1 C． D． 【变式1】（25-26高一上·浙江湖州·期末）已知函数，则在上的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高一上·山东济南·阶段检测）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【变式3】（2026高一·全国·专题练习）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 基础通关 1.下列函数中，在区间（－∞，0）上单调递减的是（　　） A.y＝－　　　　　 B.y＝｜x｜ C.y＝x2＋x＋1　 D.y＝2x－1 2.直线l经过原点和点（－1，1），则l的斜率为（　　） A.0　 B.1 C.－1　 D.不存在 3.如图是函数y＝f（x）的图象，其定义域为[－2，＋∞），则函数f（x）的单调递减区间是（　　） A.[－1，0]　 B.[1，＋∞） C.[－1，0]，[1，＋∞）　 D.[－1，0]∪[1，＋∞） 4.若0≤x≤，则y＝－x2－x－2的最大值为（　　） A.－4　 B.－ C.－　 D.－2 5．（25-26高二下·宁夏石嘴山·阶段检测）若函数在区间上的最大值为3，则实数（   ） A． B．1 C．3 D． 6．（25-26高一上·安徽芜湖·期中）函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高一上·江苏常州·期中）“”是“函数在区间上单调递减”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 8.〔多选〕下列关于函数y＝ax＋1，x∈[0，2]的说法正确的是（　　） A.当a＜0时，此函数的最大值为1，最小值为2a＋1 B.当a＜0时，此函数的最大值为2a＋1，最小值为1 C.当a＞0时，此函数的最大值为1，最小值为2a＋1 D.当a＞0时，此函数的最大值为2a＋1，最小值为1 9.〔多选〕下列关于函数f（x）的结论正确的是（　　） A.f（x）＝x－在（－∞，0）和（0，＋∞）上单调递增 B.f（x）＝在（－∞，1）和（1，＋∞）上单调递减 C.f（x）＝｜x｜在（0，＋∞）上为增函数 D.f（x）＝x2－3x在（0，＋∞）上为增函数 10.〔多选〕已知函数f（x）的定义域为[a，b]，且a＜c＜b.则下列说法中错误的是（　　） A.若f（x）在[a，c]上是增函数，在[c，b]上是减函数，则f（x）max＝f（c） B.若f（x）在[a，c）上是增函数，在[c，b]上是减函数，则f（x）max＝f（c） C.若f（x）在（a，c]上是增函数，在[c，b]上是减函数，则f（x）max＝f（c） D.若f（x）在[a，c]上是增函数，在（c，b]上是减函数，则f（x）max＝f（c） 11.已知命题p：“若f（x）＜f（4）对任意的x∈（0，4）都成立，则f（x）在（0，4）上为增函数”.能说明命题p为假命题的一个函数是　 　. 12.已知函数f（x）的图象如图所示，若f（x）在[m，m＋3]上单调递减，则m的取值范围为　　. 13.已知m∈R，若函数y＝的值域为[0，＋∞），则m的取值范围是　m≥3　. 14.已知函数f（x）＝ax－（a，b∈R）的图象经过点（2，），且f（1）＝. （1）求a，b的值； （2）判断并用定义证明函数y＝f（x）在区间（－1，＋∞）上的单调性. 15.已知函数f（x）＝. （1）若f（x）＜2x在x∈（0，＋∞）上恒成立，求实数a的取值范围； （2）若函数f（x）在区间[m，n]上的值域是[m，n]（m，n＞0），求实数a的取值范围. 素养提升 16．（25-26高一上·广东深圳·期末）已知命题，若为假命题，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 17．（2026高三·全国·专题练习）设定义在上的函数的图像如图所示，则关于函数的单调区间表述正确的是（    ）    A．在上单调递减 B．在上单调递减，在上单调递增 C．在上单调递减 D．在上单调递增 18．（25-26高一上·浙江杭州·期中）函数的值域为（   ） A． B． C． D． 19.若函数f（x）＝是R上的减函数，则a的取值范围是　[－3，－1]　. 20.已知函数y＝x＋有如下性质：如果常数t＞0，那么该函数在（0， ]上是减函数，在[，＋∞）上是增函数.已知f（x）＝，x∈[0，1]，利用上述性质，求函数f（x）的单调区间和值域. 迁移创新 13.〔多选〕已知函数f（x）的定义域为A，若对任意x∈A，存在正数M，使得｜f（x）｜≤M成立，则称函数f（x）是定义在A上的“有界函数”.则下列函数是“有界函数”的是（　　） A.f（x）＝　 B.f（x）＝ C.f（x）＝　 D.f（x）＝x＋ 14.对于定义域为I的函数，如果存在区间[m，n]⊆I，同时满足下列两个条件： ①f（x）在区间[m，n]上是单调的； ②当定义域是[m，n]时，f（x）的值域也是[m，n].则称[m，n]是函数y＝f（x）的一个“黄金区间”. （1）请证明：函数y＝1－（x＞0）不存在“黄金区间”； （2）已知函数y＝x2－4x＋6在R上存在“黄金区间”，请求出它的“黄金区间”. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 函数 3.1.2 函数的单调性 课标要点 借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值，理解函数的平均变化率，理解它们的作用和实际意义（数学抽象、直观想象、逻辑推理、数学运算）. 学习重难点 重点： 掌握函数单调性定义，会用定义证明单调； 看懂增减函数图像特征； 熟记单调区间书写规范； 能利用单调性比较函数值、解不等式；分清复合函数单调 “同增异减”。 难点： 用定义证明单调性时作差变形符号判断； 复合函数内外层单调区间结合； 忽略定义域直接求单调区间； 含参函数单调性分类讨论。 知识点一　增函数、减函数的概念 1.增函数、减函数的定义 一般地，设函数y＝f（x）的定义域为D，且区间I⊆D： （1）如果对任意x1，x2∈I，当x1＜x2时，都有　f（x1）＜f（x2）　，则称y＝f（x）在区间I上是增函数（也称在区间I上　单调递增　），如图①所示； （2）如果对任意x1，x2∈I，当x1＜x2时，都有　f（x1）＞f（x2）　，则称y＝f（x）在区间I上是减函数（也称在区间I上　单调递减　），如图②所示. 提醒：（1）单调性是函数在某一区间上的“整体”性质，因此对x1，x2有下列要求：①属于同一个区间I；②任意性，即x1，x2是定义域中某一区间I上的任意两个值，不能用特殊值代替；③区分大小，即确定的任意两值x1，x2必须区分大小，一般令x1＜x2. （2）并非所有的函数都具有单调性.如函数f（x）＝它的定义域为R，但不具有单调性. 【想一想】 在增函数和减函数定义中，能否把“任意x1，x2∈I”改为“存在x1，x2∈I”？ 提示：不能. 2.函数的单调区间 在上述两种情况下，都称函数在区间I上具有单调性（区间I称为函数的　单调区间　，也可分别称为　单调递增区间　或　单调递减区间　）. 　　提醒：（1）函数在某个区间上是增（减）函数，但是在整个定义域上不一定是增（减）函数.如函数y＝（x≠0）在区间（－∞，0）和（0，＋∞）上都是减函数，但是在整个定义域上不具有单调性. （2）一个函数出现两个或者两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接，而应该用“和”或“，”连接.如函数y＝（x≠0）在区间（－∞，0）和（0，＋∞）上都是减函数，不能认为y＝（x≠0）的单调递减区间为（－∞，0）∪（0，＋∞）. （3）当一个函数给定后，它的单调区间相应被确定，函数y＝f（x）在区间I上单调与函数y＝f（x）的单调区间是I的含义不同.如函数y＝x2在[a，＋∞）上单调递增时，a≥0，函数y＝x2的单调递增区间是[a，＋∞）时，a＝0. 随学随练 1.下列函数中，在R上是增函数的是（　　） A.y＝｜x｜　 B.y＝x C.y＝x2　 D.y＝ 【答案】B　 【解析】对于A，y＝｜x｜，当x＜0时，函数为减函数，故错误；对于C，y＝x2，当x＜0时，函数为减函数，故错误；对于D，函数y＝在（－∞，0）和（0，＋∞）上都是减函数，故错误.故选B. 2.若函数f（x）＝（2a－1）x（a为实数）是R上的减函数，则（　　） A.a≥　 B.a≤ C.a＞　 D.a＜ 【答案】D　 【解析】　由题意知2a－1＜0，解得a＜.故选D. 3.如果函数y＝f（x）的图象如图所示，那么此函数的减区间为　 　. 【答案】[－3，－1]，[1，3] 【解析】由函数y＝f（x）的图象得此函数的减区间为：[－3，－1]，[1，3]. 知识点二　函数的最值 1.函数的最大值和最小值 一般地，设函数f（x）的定义域为D，且x0∈D： （1）如果对任意x∈D，都有　f（x）≤f（x0）　，则称f（x）的最大值为f（x0）（记作f（x）max＝f（x0）），而x0称为f（x）的　最大值点　； （2）如果对任意x∈D，都有　f（x）≥f（x0）　，则称f（x）的最小值为f（x0）（记作f（x）min＝f（x0）），而x0称为f（x）的　最小值点　. 提醒：对函数最值的几点说明：①最值首先是一个函数值，即存在一个自变量x0，使得f（x0）等于最值；②对于定义域内的任意元素x，都有f（x）≤f（x0）（或f（x）≥f（x0）），“任意”两个字不可省略；③函数f（x）在其定义域（某个区间）内不一定有最大（小）值，如果有，最大（小）值只能有一个.但最大（小）值点x0可能不止一个.这里的最大（小）值点不是点而是实数；④函数f（x）在其定义域（某个区间）内的最大值的几何意义是其图象上最高点的纵坐标；最小值的几何意义是其图象上最低点的纵坐标. 2.最值和最值点 　最大　值和　最小　值统称为最值，最大值点和最小值点统称为　最值　点. 【想一想】 如果函数f（x）对于定义域内的任意x都满足f（x）≤M，那么M一定是函数f（x）的最大值吗？ 提示：不一定.如函数f（x）＝－x2≤1恒成立，但是1不是函数的最大值. 随学随练 1..y＝＋1在区间[3，4]上的最大值为（　　） A.2　 B. C.　 D.4 【答案】A　 【解析】y＝＋1在[3，4]上是减函数，所以当x＝3时，取得最大值为＋1＝2.故选A. 2.如图是函数y＝f（x），x∈[－4，3]的图象，则下列说法正确的是（　　） A.f（x）在[－4，－1]和[1，3]上单调递减 B.f（x）在区间（－1，3）上的最大值为3，最小值为－2 C.f（x）在[－4，1]上有最大值2，有最小值－1 D.当直线y＝m与函数y＝f（x），x∈[－4，3]的图象有交点时，－2＜m＜3 【答案】A 【解析】对于A，由图象可得，函数f（x）在[－4，－1]上单调递减，在[－1，1]上单调递增，在[1，3]上单调递减，故A正确；对于B，由图象可得，函数f（x）在区间（－1，3）上的最大值为3，无最小值，故B错误；对于C，由图象可得，函数f（x）在[－4，1]上有最大值3，有最小值－2，故C错误；对于D，由图象可得，为使直线y＝m与函数f（x），x∈[－4，3]的图象有交点，只需－2≤m≤3，故D错误.故选A. 知识点三　函数的平均变化率 1.直线的斜率 （1）定义：给定平面直角坐标系中的任意两点A（x1，y1），B（x2，y2），当x1≠x2时，称　　为直线AB的斜率（若记Δx＝x2－x1，相应的Δy＝y2－y1，当Δx≠0时，斜率记为）；当x1＝x2时，称直线AB的斜率　不存在　. （2）作用：直线AB的斜率反映了直线相对于　x轴　的倾斜程度. 2.平均变化率与函数的单调性 若区间I是函数y＝f（x）的定义域的子集，对任意x1，x2∈I且x1≠x2，记y1＝f（x1），y2＝f（x2），＝，则： （1）y＝f（x）在区间I上是增函数的充要条件是　　＞　0　在区间I上恒成立； （2）y＝f（x）在区间I上是减函数的充要条件是　　＜　0　在区间I上恒成立. 当x1≠x2时，称＝为函数y＝f（x）在区间[x1，x2]（x1＜x2时）或[x2，x1]（x1＞x2时）上的平均变化率.通常称Δx为自变量的改变量，Δy为因变量的改变量. 提醒：对函数平均变化率的几点说明：①函数f（x）应在x1，x2处有定义；②x2在x1附近，Δx＝x2－x1≠0，但Δx可正可负；③注意变量的对应，若Δx＝x2－x1，则Δy＝f（x2）－f（x1），而不是Δy＝f（x1）－f（x2）；④平均变化率可正可负，也可为零.但是，若函数在某区间上的平均变化率为0，不能说明该函数在此区间上的函数值都相等.比如，f（x）＝x2在区间[－2，2]上的平均变化率为0，但f（x）＝x2在[－2，2]上的图象先下降后上升，值域是[0，4]；⑤平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”.利用平均变化率可以刻画变量平均变化的趋势和快慢程度，但效果是“粗糙不精确的”.只有当Δx＝x2－x1无限变小时，这种量化才由“粗糙”逼近“精确”. 【想一想】 1.函数的平均变化率是固定不变的吗？ 提示：不一定.当x1取定值后，Δx取不同的数值时，函数的平均变化率不一定相同；当Δx取定值后，x1取不同的数值时，函数的平均变化率也不一定相同.比如，f（x）＝x2在区间[0，2]和[2，4]上都有Δx＝2，但Δy分别为4－0＝4和16－4＝12. 事实上，根据下面将要学习的平均变化率的几何意义可知，曲线上任意不同两点间连线的斜率一般不相等，即一般情况下函数的平均变化率是不相同的. 2.如果＝0在I上恒成立，那么函数f（x）有什么特点？ 提示：函数f（x）是常数函数. 随学随练 1.已知函数f（t）＝2t2＋t，当自变量t由2变到2.5时，函数的平均变化率是（　　） A.5.25　 B.10.5 C.5.5　 D.11 【答案】B　 【解析】∵f（t）＝2t2＋t，∴＝＝10.5.故选B. 2.已知过点P（－2，m）和Q（m，4）的直线的斜率等于1，则m的值为　1　. 【答案】1　 【解析】由题意得＝1，解得m＝1. 拓展 复合函数的单调性 【典例】　已知函数f（x）＝，x∈[2，6]. （1）试判断此函数在x∈[2，6]上的单调性； （2）根据（1）的判断过程，归纳出解题步骤. 【解】（1）函数f（x）＝可分解为函数y＝和函数u＝x－1. 因为x∈[2，6]，所以u∈[1，5]，显然函数u＝x－1在x∈[2，6]上单调递增，函数y＝在u∈[1，5]上单调递减，由复合函数的单调性，知f（x）＝在x∈[2，6]上单调递减. （2）解题步骤为：先求函数的定义域，接着分解复合函数，再判断每一层函数的单调性，最后根据复合函数的单调性确定函数的单调性. 结论　一般地，对于复合函数y＝f（g（x）），单调性如表所示，简记为“同增异减”. g（x） f（x） f（g（x）） 增 增 增 增 减 减 减 增 减 减 减 增 【迁移应用】 求函数f（x）＝的单调区间. 【解】由题意可知8－2x－x2≥0，解得－4≤x≤2，∴函数f（x）的定义域为[－4，2]. 设y＝，u＝8－2x－x2. 二次函数u＝8－2x－x2＝－（x＋1）2＋9的单调递增区间是（－∞，－1]，单调递减区间是[－1，＋∞）. ∴函数y＝f（x）的单调递增区间是[－4，－1]，单调递减区间是[－1，2]. 题型一 利用定义判断或证明函数的单调性 解题贴士：利用定义证明函数单调性的4个步骤 【例1】求证：函数f（x）＝在（0，＋∞）上是减函数，在（－∞，0）上是增函数. 证明：任取x1，x2∈（－∞，0），且x1＜x2，有f（x1）－f（x2）＝－＝＝. ∵x1＜x2＜0，∴x2－x1＞0，x1＋x2＜0，＞0. ∴f（x1）－f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）. ∴函数f（x）＝在（－∞，0）上是增函数. 任取x1，x2∈（0，＋∞），且x1＜x2，有 f（x1）－f（x2）＝. ∵0＜x1＜x2，∴x2－x1＞0，x2＋x1＞0，＞0. ∴f（x1）－f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2）. ∴函数f（x）＝在（0，＋∞）上是减函数. 【变式1】（25-26高三·全国·一轮复习）已知函数在区间上单调递增，且，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为在上单调递增，且，所以，； 判断斜率符号：两点连线斜率，所以选项D正确；排除其他选项： 选项A：，A错误；选项B：斜率为正，B错误； 选项C：取，则，，两者相等，C错误. 【变式2】（25-26高一上·黑龙江大庆·期中）定义域为的函数满足：对任意，有，则有（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据题意，定义域为的函数满足：对任意，有， 所以函数是定义域在上的增函数， 又，所以.故选：A 【变式3】已知函数，证明：函数在上单调递减； 【解】设是区间上的任意两个实数，且， 则 由于，所以， 所以，即， 所以函数在区间上单调递减. 题型二 求函数的单调区间 解题贴士：图象法求函数单调区间的注意点 凡能作出函数图象的求单调区间问题，都可应用图象法.图象法主要用于求熟悉的常见函数（如一次函数、二次函数、反比例函数等）的单调区间，或应用于求能通过常见函数图象的平移、翻折等变换得到所给函数图象的函数的单调区间. 【例2】（25-26高二下·陕西宝鸡·阶段检测）函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】作出函数的图象，如图所示．由图象得的单调递增区间为和． 【变式1】（25-26高一上·山东枣庄·期中）函数f（x）＝的单调递减区间是（   ） A． B． C．[1,4] D．[－2,1] 【答案】C 【解析】由题可知，，解得. 令，则， 因为在上单调递减，而在上单调递增， 根据复合函数单调性“同增异减”，所以在上单调递减.故选：C. 【变式2】（25-26高一上·重庆·期末）函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】， 作出函数图象，如图： 所以函数的单调递减区间为.故选：C. 【变式3】（25-26高一上·浙江宁波·期中）函数的单调递增区间是（   ） A． B．， C．， D．， 【答案】B 【解析】令，解得且， 所以函数的定义域为， 又在上单调递减，在上单调递增， 由反比例函数性质得在，上单调递减， 所以的单调递增区间为，.故选：B 题型三 利用单调性求参数及解不等式 解题贴士：1.利用函数的单调性解不等式的方法 利用函数的单调性解不等式，实质上是单调性的逆用，即由函数值的大小得到自变量的大小.若f（x）为增函数，则当f（x1）＜f（x2）时x1＜x2，当f（x1）＞f（x2）时x1＞x2.若f（x）为减函数，则当f（x1）＜f（x2）时x1＞x2，当f（x1）＞f（x2）时x1＜x2.需要注意的是求解时不要忘了函数的定义域对参数的限制. 2.利用函数单调性求参数取值范围的两种思路 （1）已知函数的单调性求参数的取值范围的方法是视参数为已知数，依据函数的图象或单调性的定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数； （2）借助常见函数（如一次函数、反比例函数、二次函数等）的单调性求解. 需注意若一个函数在区间[a，b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的. 【例3】（25-26高一上·重庆·期末）函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】当时，在上单调递增，符合题意，则； 当时，由函数在上是增函数，得且，解得， 所以实数的取值范围是.故选：D 【变式1】（25-26高一上·江西赣州·期中）若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设，则该函数在上单调递增且在上恒成立， 故，则在上单调递增，且恒成立，符合题设； 若，则，故，综上，，故选：C. 【变式2】（25-26高一上·湖南长沙·期中）已知函数在上具有单调性，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】函数的对称轴为，依题意或， 解得或，所以实数的取值范围是.故选：C 【变式3】（25-26高二下·湖北武汉·期末）“函数在上为增函数”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】函数在上为增函数， 等价于，即， 所以“函数在上为增函数”是“”的必要不充分条件.故选：B. 题型四 分段函数的单调性 解题贴士：分段函数单调性问题的求解策略 首先分析每段上的单调性，其次是分界点处函数值的大小，如果是增函数，则分界点左侧值小于等于右侧值，如果是减函数，则分界点左侧值大于等于右侧值. 【例4】（25-26高一上·海南省直辖县级单位·期中）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】∵函数在上单调递减, 当时，单调递减， ，解得； 当时，单调递减， ；又函数在上单调递减， ，解得， 综上所述，实数的取值范围是．故选：B． 【变式1】（24-25高三上·江苏南通·开学考试）已知函数是上的增函数，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意，， 在中，函数在上是增函数， ，解得.故选：A. 【变式2】（25-26高一上·河南漯河·阶段检测）已知是R上的增函数，那么的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】在上单调递增， 要想是R上的增函数，需满足， 解得，故的取值范围为.故选：C 【变式3】（25-26高一上·福建福州·阶段检测）已知函数是上的减函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由于函数是上的减函数， 则函数在上为减函数，所以，，解得.且有，解得.综上所述，实数的取值范围是.故选：. 题型五 直线的斜率公式及应用 解题贴士：利用斜率公式求直线的斜率应注意的事项 （1）运用公式的前提条件是“x1≠x2”，即直线不与x轴垂直，因为当直线与x轴垂直时，斜率是不存在的； （2）斜率公式与两点P1，P2的先后顺序无关，也就是说公式中的x1与x2，y1与y2可以同时交换位置. 【例5】已知直线l过点M（m＋1，m－1），N（2m，1）.当m为何值时，直线l的斜率是1？ 【解】因为直线l的斜率是1， 所以＝1，即＝1，解得m＝. 【变式1】已知三点A（a，2），B（3，7），C（－2，－9a）在同一条直线上，求实数a的值. 【解】∵A，B，C三点共线，且3≠－2， ∴BC，AB的斜率都存在，且kAB＝kBC. 又∵kAB＝＝，kBC＝＝， ∴＝，解得a＝2或a＝. 【变式2】已知函数f（x）＝x2图象上四点A（1，f（1）），B（2，f（2）），C（3，f（3）），D（4，f（4）），直线AB，BC，CD的斜率分别为k1，k2，k3，则（　　） A.k1＜k2＜k3　 B.k2＜k1＜k3 C.k3＜k2＜k1　 D.k1＜k3＜k2 【答案】A 【解析】∵k1＝＝4－1＝3，k2＝＝9－4＝5，k3＝＝16－9＝7，∴k1＜k2＜k3.故选A. 【变式3】若A（3，1），B（－2，k），C（8，1）三点能构成三角形，则实数k的取值范围为　　. 【答案】（－∞，1）∪（1，＋∞） 【解析】因为A，B，C三点能构成三角形，所以A，B，C三点不共线，所以kAB≠kAC. 即≠，因此k－1≠0，解得k≠1. 故实数k的取值范围为（－∞，1）∪（1，＋∞）. 题型六 平均变化率 解题贴士：　求平均变化率可根据定义代入公式直接求解，解题的关键是弄清自变量的增量Δx与函数值的增量Δy，求平均变化率的主要步骤是： 【例6】一正方形铁板在0 ℃时边长为10 cm，加热后会膨胀，当温度为t ℃时，边长变为10（1＋at）cm，a为常数.试求铁板面积对温度的平均膨胀率. 【解】设温度的增量为Δt，则铁板面积S的增量为 ΔS＝102[1＋a（t＋Δt）]2－102（1＋at）2＝200（a＋a2t）Δt＋100a2（Δt）2， 所以平均膨胀率＝200（a＋a2t）＋100a2Δt. 【变式】路灯距地面8 m，一个身高为1.6 m的人以84 m/min的速度在地面上从路灯在地面上的射影点C处沿直线匀速离开路灯. （1）求身影的长度y与人距路灯的射影点C的距离x之间的关系式； （2）求人离开路灯10 s内身影长度y关于时间t的平均变化率. 【解】（1）如图所示， 由题意知人从C点运动到B点的距离为x m，AB为身影长度，AB的长度为y m，由于CD∥BE， 则＝，即＝，所以y＝0.25x. （2）84 m/min＝1.4 m/s，则y关于t的函数关系式为y＝0.25×1.4t＝0.35t， 所以10 s内平均变化率＝＝0.35（m/s）， 即此人离开路灯10 s内身影长度y关于时间t的平均变化率为0.35 m/s. 题型七 图象法求函数的最值 解题贴士：用图象法求最值的3个步骤 【例7】函数y＝｜x＋1｜－｜2－x｜的最大值是（　　） A.3　　　　　　　 B.－3 C.5　 D.－2 【答案】A　 【解析】由题意可知y＝｜x＋1｜－｜2－x｜＝ 画出函数图象即可得最大值为3.故选A. 【变式1】（25-26高一上·广东潮州·阶段检测）已知函数的定义域为，其图象如图所示，则下列说法中错误的是（    ） A．的单调递减区间为 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的单调递增区间为 【答案】D 【解析】对于A，由图象可知：的单调递减区间为，A正确； 对于B，当时，，B正确； 对于C，当时，，C正确； 对于D，由图象可知：的单调递增区间为和， 但并非严格单调递增，不能用“”连接，D错误.故选：D. 【变式2】（25-26高一上·山西太原·阶段检测）如图是函数的图象，则下列说法正确的是（    ） A．在上单调递减，在上单调递增 B．在区间上的最大值为3，最小值为 C．在上有最小值，有最大值3 D．当直线与的图象有三个交点时 【答案】C 【解析】A选项，由函数图像可得，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，故A错； B选项，由图像可得，在区间上的最大值为，无最小值，故B错； C选项，由图像可得，在上有最小值，有最大值，故C正确； D选项，由图像可得，为使直线与的图象有三个交点，只需，故D错. 故选：C. 【变式3】（25-26高一·全国·课后作业）函数f(x)的部分图象如图所示,则此函数在[-2,2]上的最小值、最大值分别是 A．-1,3 B．0,2 C．-1,2 D．3,2 【答案】C 【解析】当x∈[-2,2]时,由题图可知,x=-2时,f(x)的最小值为f(-2)=-1;x=1时,f(x)的最大值为2.故选C. 题型八 利用单调性求函数的最值 解题贴士：函数的最值与单调性的关系 （1）如果函数y＝f（x）在区间（a，b]上是增函数，在区间[b，c）上是减函数，则函数y＝f（x），x∈（a，c）在x＝b处有最大值f（b）； （2）如果函数y＝f（x）在区间（a，b]上是减函数，在区间[b，c）上是增函数，则函数y＝f（x），x∈（a，c）在x＝b处有最小值f（b）； （3）如果函数y＝f（x）在区间[a，b]上是增（减）函数，则在区间[a，b]的左、右端点处分别取得最小（大）值、最大（小）值. 【例8】（25-26高三·全国·一轮复习）已知函数，则在区间上的最大值为（   ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【解析】由在上单调递增， 所以． 【变式1】（25-26高一上·浙江湖州·期末）已知函数，则在上的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为为开口向上，对称轴为的抛物线， 所以在上单调递减，在上单调递增， 则在上单调递增，在上单调递减， 又，所以在上的最小值为.故选：A 【变式2】（25-26高一上·山东济南·阶段检测）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】令，则，得， 所以可以转化为． 因为二次函数在上单调递增， 当时，，所以函数的值域为．故选：D． 【变式3】（2026高一·全国·专题练习）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】函数的对称轴为， 在单调递减，在单调递增，所以，， 当，，故原函数的值域为. 基础通关 1.下列函数中，在区间（－∞，0）上单调递减的是（　　） A.y＝－　　　　　 B.y＝｜x｜ C.y＝x2＋x＋1　 D.y＝2x－1 【答案】B 【解析】对于A，反比例函数y＝在（－∞，0）上单调递减，y＝－在（－∞，0）上单调递增，不符合题意；对于B，函数y＝｜x｜＝的图象关于y轴对称，且在（－∞，0）上单调递减，符合题意；对于C，二次函数y＝x2＋x＋1图象开口向上，对称轴为直线x＝－，其在（－∞，－）上单调递减，在（－，＋∞）上单调递增，故在（－∞，0）上不单调，不符合题意；对于D，一次函数y＝2x－1为R上的增函数，故不符合题意.故选B. 2.直线l经过原点和点（－1，1），则l的斜率为（　　） A.0　 B.1 C.－1　 D.不存在 【答案】C 【解析】因为直线l经过原点和点（－1，1），所以l的斜率是＝－1.故选C. 3.如图是函数y＝f（x）的图象，其定义域为[－2，＋∞），则函数f（x）的单调递减区间是（　　） A.[－1，0]　 B.[1，＋∞） C.[－1，0]，[1，＋∞）　 D.[－1，0]∪[1，＋∞） 【答案】C 【解析】若函数单调递减，则对应图象呈下降趋势，由图知，f（x）的单调递减区间为[－1，0]和[1，＋∞）.故选C. 4.若0≤x≤，则y＝－x2－x－2的最大值为（　　） A.－4　 B.－ C.－　 D.－2 【答案】D 【解析】y＝－x2－x－2＝－（x＋）2－，则0≤x≤时，y＝－x2－x－2单调递减，当x＝0时，y＝－x2－x－2的最大值为－2.故选D. 5．（25-26高二下·宁夏石嘴山·阶段检测）若函数在区间上的最大值为3，则实数（   ） A． B．1 C．3 D． 【答案】C 【解析】函数，当时，，不合题意； 当时，在上单调递减，最大值为； 当时，在上单调递增，最大值为，解得，不合题意， 所以实数.故选：C 6．（25-26高一上·安徽芜湖·期中）函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由， 所以函数的定义域为， 因为二次函数对称轴为， 所以函数单调递减区间为，故选：B 7．（25-26高一上·江苏常州·期中）“”是“函数在区间上单调递减”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】函数是二次函数，开口向上，对称轴为， 二次函数开口向上时，在对称轴左侧单调递减， 因此需要满足，即； 当时，满足，函数一定在上单调递减，所以“”是充分条件； 函数在上单调递减时，只需要，不一定非要，所以“”不是必要条件. 所以“”是“函数在区间上单调递减”的充分不必要条件.故选：A. 8.〔多选〕下列关于函数y＝ax＋1，x∈[0，2]的说法正确的是（　　） A.当a＜0时，此函数的最大值为1，最小值为2a＋1 B.当a＜0时，此函数的最大值为2a＋1，最小值为1 C.当a＞0时，此函数的最大值为1，最小值为2a＋1 D.当a＞0时，此函数的最大值为2a＋1，最小值为1 【答案】AD 【解析】当a＜0时，函数y＝ax＋1在区间[0，2]上单调递减，当x＝0时，函数取得最大值为1；当x＝2时，函数取得最小值为2a＋1.当a＞0时，函数y＝ax＋1在区间[0，2]上单调递增，当x＝0时，函数取得最小值为1，当x＝2时，函数取得最大值为2a＋1.故选A、D. 9.〔多选〕下列关于函数f（x）的结论正确的是（　　） A.f（x）＝x－在（－∞，0）和（0，＋∞）上单调递增 B.f（x）＝在（－∞，1）和（1，＋∞）上单调递减 C.f（x）＝｜x｜在（0，＋∞）上为增函数 D.f（x）＝x2－3x在（0，＋∞）上为增函数 【答案】ABC 【解析】对于A，函数f（x）＝x－的定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞），由函数y＝x和y＝－在（－∞，0）和（0，＋∞）上都单调递增，所以f（x）＝x－在（－∞，0）和（0，＋∞）上单调递增，A正确；对于B，函数f（x）＝＝1＋，所以f（x）＝在（－∞，1）和（1，＋∞）上单调递减，B正确；对于C，当x＞0时，函数f（x）＝｜x｜＝x，所以f（x）＝｜x｜在（0，＋∞）上为增函数，C正确；对于D，函数f（x）＝x2－3x在（0，］上单调递减，在［，＋∞）上单调递增，D错误.故选A、B、C. 10.〔多选〕已知函数f（x）的定义域为[a，b]，且a＜c＜b.则下列说法中错误的是（　　） A.若f（x）在[a，c]上是增函数，在[c，b]上是减函数，则f（x）max＝f（c） B.若f（x）在[a，c）上是增函数，在[c，b]上是减函数，则f（x）max＝f（c） C.若f（x）在（a，c]上是增函数，在[c，b]上是减函数，则f（x）max＝f（c） D.若f（x）在[a，c]上是增函数，在（c，b]上是减函数，则f（x）max＝f（c） 【答案】BCD 【解析】若f（x）在[a，c]上是增函数，则f（c）≥f（x），x∈[a，c]；在[c，b]上是减函数，则f（c）≥f（x），x∈[c，b]，所以f（x）max＝f（c），故A正确； 若f（x）在[a，c）上是增函数，在[c，b]上是减函数，函数的最大值不一定为f（c）， 如f（x）＝值域为[－1，2），没有最大值，故B错误； 若f（x）在（a，c]上是增函数，在[c，b]上是减函数，函数的最大值不一定为f（c），例如函数f（x）＝其图象如图所示. 显然f（x）在（1，2]上是增函数，在[2，3]上是减函数，但f（x）在[1，3]上的最大值是f（1）＝2，故C不正确.若f（x）在[a，c]上是增函数，在（c，b]上是减函数，函数的最大值不一定为f（c），故D错误.故选B、C、D. 11.已知命题p：“若f（x）＜f（4）对任意的x∈（0，4）都成立，则f（x）在（0，4）上为增函数”.能说明命题p为假命题的一个函数是　 　. 【答案】　f（x）＝（x－1）2，x∈（0，4）（答案不唯一） 【解析】取f（x）＝（x－1）2，x∈（0，4），则函数f（x）在（0，4）上先减后增， 当x＝1时，函数值最小，且f（x）＜f（4），满足题意，所以函数f（x）＝（x－1）2，x∈（0，4）可以说明命题p为假命题. 12.已知函数f（x）的图象如图所示，若f（x）在[m，m＋3]上单调递减，则m的取值范围为　　. 【答案】（－∞，－3]∪[2，＋∞） 【解析】由题图可知，f（x）的单调递减区间为（－∞，0]，[2，＋∞）. 因为函数f（x）在[m，m＋3]上单调递减，则[m，m＋3]⊆（－∞，0]或[m，m＋3]⊆[2，＋∞）， 由题意得m＋3≤0或m≥2，即m≤－3或m≥2. 13.已知m∈R，若函数y＝的值域为[0，＋∞），则m的取值范围是　m≥3　. 【答案】m≥3 【解析】由函数y＝的值域为[0，＋∞），得函数y＝mx2－2mx＋3值域包含[0，＋∞），则解得m≥3，所以m的取值范围是m≥3. 14.已知函数f（x）＝ax－（a，b∈R）的图象经过点（2，），且f（1）＝. （1）求a，b的值； （2）判断并用定义证明函数y＝f（x）在区间（－1，＋∞）上的单调性. 【解】（1）由题意得解得 （2）f（x）＝x－在区间（－1，＋∞）上单调递增，证明如下： 任取x1，x2∈（－1，＋∞），且x1＜x2， 故f（x1）－f（x2）＝x1－－x2＋＝x1－x2＋－ ＝x1－x2＋＝（x1－x2）［1＋］. 因为x1＜x2，所以x1－x2＜0， 又x1，x2∈（－1，＋∞），所以1＋＞0， 故f（x1）－f（x2）＝（x1－x2）［1＋］＜0， 故f（x1）＜f（x2），y＝f（x）在区间（－1，＋∞）上单调递增. 15.已知函数f（x）＝. （1）若f（x）＜2x在x∈（0，＋∞）上恒成立，求实数a的取值范围； （2）若函数f（x）在区间[m，n]上的值域是[m，n]（m，n＞0），求实数a的取值范围. 【解】（1）由f（x）＜2x可得f（x）＝＝a－＜2x，即a＜2x＋在x∈（0，＋∞）上恒成立. 又因为当x＞0时，2x＋≥2，当且仅当2x＝，即x＝时等号成立，所以a＜2. （2）因为函数f（x）＝＝a－在（0，＋∞）上为增函数， 所以当x＝m时，f（m）＝a－＝m； 当x＝n时，f（n）＝a－＝n. 即m，n为方程a－＝x的两个不同的正根，也就是方程x2－ax＋1＝0有两个不同的正根， 于是解得a∈（2，＋∞）. 素养提升 16．（25-26高一上·广东深圳·期末）已知命题，若为假命题，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为为假命题，所以对恒成立， 所以在上恒成立， 令，则， 根据对勾函数的性质知，函数在区间[1，2]上单调递减，在区间[2，4]上单调递增， 所以在处取得最小值，最小值为， 所以.故选：C 17．（2026高三·全国·专题练习）设定义在上的函数的图像如图所示，则关于函数的单调区间表述正确的是（    ）    A．在上单调递减 B．在上单调递减，在上单调递增 C．在上单调递减 D．在上单调递增 【答案】B 【解析】选项，由图象可知，，，， 所以当，，时，函数无意义，错误； 选项，由图象可知在上单调递增，在上单调递减， 所以函数在上单调递减，在上单调递增，正确； 选项，由函数在处无意义，错误； 选项，由函数在处无意义，错误. 18．（25-26高一上·浙江杭州·期中）函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意得，解得，即的定义域为， 令，则，所以，且， 则原函数转化为， 因为与在上均为单调递减函数， 所以在上单调递减， 所以的最大值为，的最小值为， 所以的值域为，即原函数的值域为. 19.若函数f（x）＝是R上的减函数，则a的取值范围是　[－3，－1]　. 【答案】[－3，－1]　 【解析】由题意得，－a≥1且a＜0，解得a≤－1.当x＝1时，1＋2a＋3≥a＋1，解得a≥－3.综上得实数a的取值范围为[－3，－1]. 20.已知函数y＝x＋有如下性质：如果常数t＞0，那么该函数在（0， ]上是减函数，在[，＋∞）上是增函数.已知f（x）＝，x∈[0，1]，利用上述性质，求函数f（x）的单调区间和值域. 【解】f（x）＝＝2x＋1＋－8，设u＝2x＋1，x∈[0，1]，则1≤u≤3，故y＝u＋－8，u∈[1，3].由已知性质得，当1≤u≤2，即0≤x≤时，f（x）单调递减，所以递减区间为；当2≤u≤3，即≤x≤1时，f（x）单调递增，所以递增区间为. 由f（0）＝－3，f＝－4，f（1）＝－， 得f（x）的值域为[－4，－3]. 迁移创新 13.〔多选〕已知函数f（x）的定义域为A，若对任意x∈A，存在正数M，使得｜f（x）｜≤M成立，则称函数f（x）是定义在A上的“有界函数”.则下列函数是“有界函数”的是（　　） A.f（x）＝　 B.f（x）＝ C.f（x）＝　 D.f（x）＝x＋ 【答案】BC　 【解析】对于A，f（x）＝＝－1≠－1，｜f（x）｜∈[0，＋∞），不存在正数M，使得｜f（x）｜≤M成立，f（x） 不是“有界函数”；对于B，f（x）＝∈[0，2]，｜f（x）｜∈[0，2]，存在正数M≥2，使得｜f（x）｜≤M成立，f（x） 是“有界函数”；对于C，f（x）＝＝∈（0，5]，存在正数M≥5，使得｜f（x）｜≤M成立，f（x）是“有界函数”；对于D，f（x）＝x＋在[4，＋∞）上单调递增，所以f（x）∈[4，＋∞），｜f（x）｜∈[4，＋∞），不存在正数M，使得｜f（x）｜≤M成立，f（x）不是“有界函数”.故选B、C. 14.对于定义域为I的函数，如果存在区间[m，n]⊆I，同时满足下列两个条件： ①f（x）在区间[m，n]上是单调的； ②当定义域是[m，n]时，f（x）的值域也是[m，n].则称[m，n]是函数y＝f（x）的一个“黄金区间”. （1）请证明：函数y＝1－（x＞0）不存在“黄金区间”； （2）已知函数y＝x2－4x＋6在R上存在“黄金区间”，请求出它的“黄金区间”. 【解】（1）证明：由y＝f（x）＝1－为（0，＋∞）上的增函数，则有 ∴1－＝x⇔x2－x＋1＝0，无解， ∴y＝1－（x＞0）不存在“黄金区间”. （2）记[m，n]（m＜n）是函数y＝x2－4x＋6的一个“黄金区间”， 由y＝（x－2）2＋2≥2及此时函数值域为[m，n]，可知m≥2， 而其图象的对称轴为直线x＝2， ∴y＝x2－4x＋6在[m，n]上必为增函数， 令x2－4x＋6＝x， ∴x2－5x＋6＝0，∴x1＝2，x2＝3. 故该函数有唯一一个“黄金区间”[2，3]. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $