3.1.2 函数的单调性（分层作业练题型）高一数学人教B版必修第一册

**基本信息** 本同步练以“函数的单调性”为核心，通过A/B/C组及高考链接的分层设计，构建“概念理解—综合应用—创新拓展—高考衔接”的知识巩固路径，培养数学抽象、逻辑推理与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组巩固过关|单调性定义、单调区间、最值求法等基础知识点|以选择、填空、证明题为主，如定义证明单调性，夯实概念理解，培养推理意识| |B组能力进阶|分段函数单调性、参数范围求解等综合应用|结合多知识点，如已知单调性求参数，深化逻辑推理与运算能力| |C组思维拔高|抽象函数、新定义“有界函数”等创新问题|通过抽象函数单调性证明，提升创新意识与批判性思维| |拓展链接高考|高考真题题型|选取全国卷真题，如判断增函数，衔接高考，体现应用意识|

3.1.2 函数的单调性 目 录 A组 巩固过关 题型01对函数单调性理解 题型02 利用定义判断或证明函数的单调性 题型03求函数的单调区间 题型04利用单调性求参数及解不等式 题型05分段函数的单调性 题型06平均变化率 题型07图象法求函数的最值 题型08利用单调性求函数的最值 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接高考 对函数单调性理解题型01 1．（25-26高三·全国·一轮复习）已知函数在区间上单调递增，且，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·江苏南通·开学考试）设函数的定义域为，则“”是“不是减函数”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（25-26高一上·上海·课堂例题）若定义在上的函数对任意两个不相等的实数、，总有成立，则必有（    ） A．在上是严格增函数 B．在上是严格减函数 C．函数是先增后减函数 D．函数是先减后增函数 4.已知函数在区间上单调递增,在区间上单调递减,那么下列说法中,一定正确的是 . (1); (2); (3)在区间上有最大值,而且是最大值; (4)与的大小关系不确定; (5)在区间上有最小值; (6)在区间上的最小值是. 利用定义判断或证明函数的单调性题型02 5．（2026高一·全国·专题练习）已知函数，证明：函数在上单调递减； 6．（25-26高一上·天津和平·期中）用函数单调性的定义证明：在上为单调递增函数． 7．（25-26高一上·上海青浦·阶段检测）证明：函数是严格增函数. 8．（2026高三上·广东·学业考试）已知函数 (1)求函数的定义域； (2)判断并证明函数的单调性． 求函数的单调区间题型03 9．（25-26高一上·四川眉山·期中）函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 10．（25-26高一上·河南驻马店·期中）函数的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 11．（25-26高一上·浙江宁波·期中）函数的单调递增区间是（   ） A． B．， C．， D．， 12.（25-26高一上·北京·期中）函数的单调递减区间是 ． 利用单调性求参数题型04 13．（25-26高一上·湖南长沙·期中）已知函数在上具有单调性，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 14．（25-26高一上·浙江温州·期中）已知函数在［2，4］上是单调函数，则实数的取值范围是（    ） A． B．[8，16] C． D． 15．（25-26高一上·浙江杭州·期中）已知函数在上具有单调性，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 16．（25-26高一上·全国·课后作业）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 分段函数的单调性题型05 17．（25-26高一上·福建福州·阶段检测）已知函数是上的减函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 18．（25-26高一上·江西景德镇·期中）已知函数是上的增函数，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 19．（25-26高一上·四川广安·期末）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 20．（25-26高三上·江苏南京·期中）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是(    ). A． B． C． D． 平均变化率题型06 21．（25-26高二下·江西吉安·阶段检测）已知函数，当自变量由1变到时，的平均变化率为（   ） A．1 B． C．2 D． 22．（25-26高二下·全国·期末）已知函数，则在上的平均变化率为（　　） A． B． C． D． 23．（25-26高二下·河南驻马店·期中）函数在上的平均变化率为（   ） A． B． C． D． 24.一正方形铁板在0 ℃时边长为10 cm，加热后会膨胀，当温度为t ℃时，边长变为10（1＋at）cm，a为常数.试求铁板面积对温度的平均膨胀率. 图象法求函数的最值题型07 25．（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数的部分图象如下，则下列说法中正确的是（    ） A．在区间内，的最小值为 B．在区间内，的最大值为 C．在区间内，的最小值为 D．在区间内，的最大值为 26.（25-26高一上·广东潮州·阶段检测）已知函数的定义域为，其图象如图所示，则下列说法中错误的是（    ） A．的单调递减区间为 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的单调递增区间为 27.（25-26高一上·山西太原·阶段检测）如图是函数的图象，则下列说法正确的是（    ） A．在上单调递减，在上单调递增 B．在区间上的最大值为3，最小值为 C．在上有最小值，有最大值3 D．当直线与的图象有三个交点时 28.对于每个实数x，设f(x)取y＝4x＋1，y＝x＋2，y＝－2x＋4三个函数中的最小值，用分段函数写出f(x)的解析式，并求f(x)的最大值． 利用单调性求函数的最值题型08 29.（25-26高三·全国·一轮复习）已知函数，则在区间上的最大值为（   ） A． B．1 C． D． 30.（25-26高一上·浙江湖州·期末）已知函数，则在上的最小值为（    ） A． B． C． D． 31．（24-25高一上·全国·课前预习）已知函数，. (1)判断并证明函数的单调性； (2)求函数的最大值与最小值. 32．（24-25高一上·全国·课前预习）已知函数，. (1)判断函数的单调性，并证明； (2)求函数的最大值和最小值. 1．下列说法正确的是（   ） A．所有的函数在其定义域上都具有单调性. B．若函数在区间上是减函数，则函数的单调递减区间是. C．若函数为R上的减函数，则. D．若函数在定义域上有，则函数是增函数. 2．（25-26高一上·上海·随堂练习）下列函数在定义域上为严格减函数的是（　　） A． B． C． D． 3．设函数在上为增函数，则下列结论正确的是（    ） A．在R上为减函数 B．在R上为增函数 C．在R上为增函数 D．在R上为减函数 4．（25-26高一上·安徽阜阳·阶段检测）函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·河北张家口·期末）函数在区间上的最大值、最小值分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 6．（25-26高一下·北京·开学考试）定义在上的函数是增函数，则系数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高一上·四川南充·阶段检测）已知函数（），在区间上单调递增，则实数b的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高三下·青海西宁·阶段检测）已知函数的图象如图所示，则（    ） A．在区间上单调递减 B．在区间上单调递增 C．在区间上单调递减 D．在区间上单调递增 9．（25-26高一上·安徽马鞍山·期中）下列说法正确的是（   ） A．函数是减函数 B．函数在上单调递减 C．函数在上单调递增 D．函数在上单调递增 10．（25-26高一上·全国·阶段检测）已知函数，则下列选项正确的是（   ） A．函数的定义域为 B．且， C．函数在上单调递减 D．当时，函数的值域为 11．（25-26高一上·江西南昌·阶段检测）如图，是边长为2的正三角形，记位于直线左侧的图形的面积为，则下列正确的命题是（    ） A．函数的定义域是 B．函数是增函数 C．当时，有最大值 D．函数的最大值是 12．（25-26高一上·福建厦门·期中）函数 的最大值为_____________． 13．（25-26高一上·安徽·阶段检测）已知函数在上单调递减，则的取值范围是______. 14．已知函数，判断函数的单调性，并利用定义证明. 15．（25-26高一上·浙江杭州·期中）已知函数， (1)判断函数在区间上的单调性，并用定义证明你的结论． (2)求该函数在区间上的最大值与最小值． 16．（25-26高三·全国·一轮复习）已知函数的定义域为，若对任意，存在正数，使得成立，则称函数是定义在上的“有界函数”．则下列函数是“有界函数”的是（   ） A． B． C． D． 17．（25-26高一下·湖南·阶段检测）设函数，若，且，使成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 18．（25-26高一上·陕西榆林·期末）函数的定义域为，对任意实数x，y都有，当时，，且，则下列判断正确的是（   ） A． B． C．在上单调递增 D．关于x的不等式的解集为 19．（25-26高一上·浙江杭州·期中）已知命题，命题，不等式恒成立，若p和q有且仅有一个正确，则实数m的取值范围 20．（25-26高一下·陕西安康·期中）已知函数的定义域为，对任意正实数，，恒有，且当时，. (1)求证：，且当时，； (2)判断在上的单调性； (3)若存在，使得，求实数的取值范围. 1.（2021·全国甲卷T4）下列函数中是增函数的为（    ） A． B． C． D． 2.（2020·新课标1卷）已知函数的定义域是，若对于任意两个不相等的实数，，总有成立，则函数一定是（    ） A．奇函数 B．偶函数 C．增函数 D．减函数 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.1.2 函数的单调性 目 录 A组 巩固过关 题型01对函数单调性理解 题型02 利用定义判断或证明函数的单调性 题型03求函数的单调区间 题型04利用单调性求参数及解不等式 题型05分段函数的单调性 题型06平均变化率 题型07图象法求函数的最值 题型08利用单调性求函数的最值 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接高考 对函数单调性理解题型01 1．（25-26高三·全国·一轮复习）已知函数在区间上单调递增，且，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为在上单调递增，且，所以，； 判断斜率符号：两点连线斜率，所以选项D正确；排除其他选项： 选项A：，A错误；选项B：斜率为正，B错误； 选项C：取，则，，两者相等，C错误. 2．（25-26高三上·江苏南通·开学考试）设函数的定义域为，则“”是“不是减函数”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】首先，若，则函数必定不是减函数，所以“不是减函数”，所以“”是“不是减函数”的充分条件； 其次，若不是减函数，则至少存在一组，使得，但并不一定是，这一组. 比如，在上单调递减，在上单调递增，所以函数不是减函数，但是,所以“不是减函数”不能推出“”，即“”不是“不是减函数”的必要条件. 故“”是“不是减函数”的充分不必要条件. 故选：A 3．（25-26高一上·上海·课堂例题）若定义在上的函数对任意两个不相等的实数、，总有成立，则必有（    ） A．在上是严格增函数 B．在上是严格减函数 C．函数是先增后减函数 D．函数是先减后增函数 【答案】B 【解析】因为，所以和异号， 所以当时，，当时，， 故在上是严格减函数，故B正确，故选B 4.已知函数在区间上单调递增,在区间上单调递减,那么下列说法中,一定正确的是 . (1); (2); (3)在区间上有最大值,而且是最大值; (4)与的大小关系不确定; (5)在区间上有最小值; (6)在区间上的最小值是. 【答案】(1)(3)(4)(5) . 【解析】∵在区间上递增，∴，故(1)正确. ∵函数在区间上递减，∴，故(2)错误. ∵函数在区间上递增，在区间上递减， ∴函数在区间上有最大值，也有最小值，且是最大值，或是最小值， 故(3)(5)正确，(6)不正确，而与的大小不确定，故(4)正确. 利用定义判断或证明函数的单调性题型02 5．（2026高一·全国·专题练习）已知函数，证明：函数在上单调递减； 【解】设是区间上的任意两个实数，且， 则 由于，所以， 所以，即， 所以函数在区间上单调递减. 6．（25-26高一上·天津和平·期中）用函数单调性的定义证明：在上为单调递增函数． 【解】设，则， 由题意得，，， 则有，即，且， 故在上为单调递增函数. 7．（25-26高一上·上海青浦·阶段检测）证明：函数是严格增函数. 【解】设，， 任取，且， 则， ，，， 所以，即， 所以函数在上是严格增函数. 8．（2026高三上·广东·学业考试）已知函数 (1)求函数的定义域； (2)判断并证明函数的单调性． 【解】（1）由，所以，解得， 所以函数定义域为. （2）在上单调递增，证明如下： 的定义域为， ∴任取， 则 ， ，，又有， 所以，即， 是上的单调递增. 求函数的单调区间题型03 9．（25-26高一上·四川眉山·期中）函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】函数，则该函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数的单调递减区间为. 故选：C 10．（25-26高一上·河南驻马店·期中）函数的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，解得或， 所以函数的定义域为， 因为在上单调递减，在上单调递增， 又因为为单调递增函数， 所以函数的单调递增区间是.故选：D. 11．（25-26高一上·浙江宁波·期中）函数的单调递增区间是（   ） A． B．， C．， D．， 【答案】B 【解析】令，解得且， 所以函数的定义域为， 又在上单调递减，在上单调递增， 由反比例函数性质得在，上单调递减， 所以的单调递增区间为，，故选B 12.（25-26高一上·北京·期中）函数的单调递减区间是 ． 【答案】 【解析】函数的图象即为的图象位于x轴下方部分对折至x轴上方，其余部分不变，据此可得函数的图象，如图所示： 由图可知函数的单调递减区间是. 利用单调性求参数题型04 13．（25-26高一上·湖南长沙·期中）已知函数在上具有单调性，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】函数的对称轴为，依题意或， 解得或，所以实数的取值范围是.故选：C 14．（25-26高一上·浙江温州·期中）已知函数在［2，4］上是单调函数，则实数的取值范围是（    ） A． B．[8，16] C． D． 【答案】D 【解析】函数的图象为开口向上的抛物线，对称轴为. 因为该函数在 上单调，因此，需满足：或， 解得：或 .故选：D 15．（25-26高一上·浙江杭州·期中）已知函数在上具有单调性，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为函数在上具有单调性， 所以或，解得或， 即实数的取值范围是. 故选：B 16．（25-26高一上·全国·课后作业）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为， 所以当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 即的单调递增区间为，故，解得， 所以实数的取值范围为．故选：A 分段函数的单调性题型05 17．（25-26高一上·福建福州·阶段检测）已知函数是上的减函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由于函数是上的减函数， 则函数在上为减函数，所以，，解得.且有，解得.综上所述，实数的取值范围是.故选：. 18．（25-26高一上·江西景德镇·期中）已知函数是上的增函数，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】函数是上的增函数， 则，解得.故选：B. 19．（25-26高一上·四川广安·期末）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为当时，， 函数的图象开口向下，对称轴为， 又因为当时，，又因为函数在R上单调递增， 所以，解得.故选：D. 20．（25-26高三上·江苏南京·期中）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是(    ). A． B． C． D． 【答案】C 【解析】已知函数，当时， 单调递增，所以最大值为； 当且时，在上单调递增，最小值为； 所以要使函数在上单调递增， 则，解得或(舍去). 故选：C. 平均变化率题型06 21．（25-26高二下·江西吉安·阶段检测）已知函数，当自变量由1变到时，的平均变化率为（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【解析】. 22．（25-26高二下·全国·期末）已知函数，则在上的平均变化率为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据题意，函数， 则在上的平均变化率． 23．（25-26高二下·河南驻马店·期中）函数在上的平均变化率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】函数在上的平均变化率． 24.一正方形铁板在0 ℃时边长为10 cm，加热后会膨胀，当温度为t ℃时，边长变为10（1＋at）cm，a为常数.试求铁板面积对温度的平均膨胀率. 【解】设温度的增量为Δt，则铁板面积S的增量为 ΔS＝102[1＋a（t＋Δt）]2－102（1＋at）2＝200（a＋a2t）Δt＋100a2（Δt）2， 所以平均膨胀率＝200（a＋a2t）＋100a2Δt. 图象法求函数的最值题型07 25．（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数的部分图象如下，则下列说法中正确的是（    ） A．在区间内，的最小值为 B．在区间内，的最大值为 C．在区间内，的最小值为 D．在区间内，的最大值为 【答案】C 【解析】对于A，在区间内，由于区间左端点取不到， 所以没有最小值，A错误； 对于B，在区间内，因为区间右端点取不到， 则没有最大值，B错误； 对于C，在区间内，的最小值为，C正确； 对于D，在区间内，因为区间端点取不到， 则没有最大值，D错误．故选C. 26.（25-26高一上·广东潮州·阶段检测）已知函数的定义域为，其图象如图所示，则下列说法中错误的是（    ） A．的单调递减区间为 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的单调递增区间为 【答案】D 【解析】对于A，由图象可知：的单调递减区间为，A正确； 对于B，当时，，B正确； 对于C，当时，，C正确； 对于D，由图象可知：的单调递增区间为和， 但并非严格单调递增，不能用“”连接，D错误.故选：D. 27.（25-26高一上·山西太原·阶段检测）如图是函数的图象，则下列说法正确的是（    ） A．在上单调递减，在上单调递增 B．在区间上的最大值为3，最小值为 C．在上有最小值，有最大值3 D．当直线与的图象有三个交点时 【答案】C 【解析】A选项，由函数图像可得，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，故A错； B选项，由图像可得，在区间上的最大值为，无最小值，故B错； C选项，由图像可得，在上有最小值，有最大值，故C正确； D选项，由图像可得，为使直线与的图象有三个交点，只需，故D错. 故选：C. 28.对于每个实数x，设f(x)取y＝4x＋1，y＝x＋2，y＝－2x＋4三个函数中的最小值，用分段函数写出f(x)的解析式，并求f(x)的最大值． 【解】由直线y＝4x＋1与y＝x＋2求得交点； 由直线y＝x＋2与y＝－2x＋4，求出交点. 由图象可看出： , f(x)的最大值为.    利用单调性求函数的最值题型08 29.（25-26高三·全国·一轮复习）已知函数，则在区间上的最大值为（   ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【解析】由在上单调递增， 所以． 30.（25-26高一上·浙江湖州·期末）已知函数，则在上的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为为开口向上，对称轴为的抛物线， 所以在上单调递减，在上单调递增， 则在上单调递增，在上单调递减， 又，所以在上的最小值为.故选：A 31．（24-25高一上·全国·课前预习）已知函数，. (1)判断并证明函数的单调性； (2)求函数的最大值与最小值. 【解】（1）函数在区间上是减函数，证明如下： 任取且， ， 因为且， 所以，，， 所以，即， 所以是上的减函数. （2）由（1）知是上的减函数， 所以，. 32．（24-25高一上·全国·课前预习）已知函数，. (1)判断函数的单调性，并证明； (2)求函数的最大值和最小值. 【解】（1）在上是增函数，证明如下： 任取且， . ， ，， ，即， 在上为增函数. （2）由（1）知，在上为增函数， 则，. 1．下列说法正确的是（   ） A．所有的函数在其定义域上都具有单调性. B．若函数在区间上是减函数，则函数的单调递减区间是. C．若函数为R上的减函数，则. D．若函数在定义域上有，则函数是增函数. 【答案】C 【解析】函数在其定义域上不具有单调性，故A错误； 函数在区间上是减函数，而的单调递减区间是，故B错误； 若函数为R上的减函数，因为，所以，故C正确； 函数，，满足， 而在上单调递增，在上单调递减， 在其定义域R上不是增函数，故D错误. 故选：C 2．（25-26高一上·上海·随堂练习）下列函数在定义域上为严格减函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于A:当，当，,在定义域上不是严格减函数，错误； 对于B:当，当，，在定义域上不是严格减函数，错误； 对于C:,当，，在定义域上不是严格减函数，错误； 对于D:因为在定义域内为严格减函数,正确. 故选：D. 3．设函数在上为增函数，则下列结论正确的是（    ） A．在R上为减函数 B．在R上为增函数 C．在R上为增函数 D．在R上为减函数 【答案】D 【解析】对于A选项，若，则，在上不是减函数，故A错误； 对于B选项，若，则，在上不是增函数，故B错误； 对于C选项，若，则，在上不是增函数，故C错误； 对于D选项，函数在上为增函数，则对于任意的，设，必有，即， 对于，则有 则在上为减函数，故D正确． 故选：D. 4．（25-26高一上·安徽阜阳·阶段检测）函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由函数，所以函数的单调递减区间为. 故选：D. 5．（25-26高一上·河北张家口·期末）函数在区间上的最大值、最小值分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【解析】，该函数在上单调递增， 所以， 故选：B 6．（25-26高一下·北京·开学考试）定义在上的函数是增函数，则系数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】二次函数的对称轴为，考虑到其定义域为，故. 故选：A. 7．（25-26高一上·四川南充·阶段检测）已知函数（），在区间上单调递增，则实数b的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】任取，， 故. 当时，，，故， 故，，故函数单调递减； 当时，，，故， 故， 函数单调递增；又在区间上单调递增，所以.故选：A 8．（25-26高三下·青海西宁·阶段检测）已知函数的图象如图所示，则（    ） A．在区间上单调递减 B．在区间上单调递增 C．在区间上单调递减 D．在区间上单调递增 【答案】AD 【解析】由图可知函数在区间和上单调递增， 在区间和上单调递减．故AD选项正确． 9．（25-26高一上·安徽马鞍山·期中）下列说法正确的是（   ） A．函数是减函数 B．函数在上单调递减 C．函数在上单调递增 D．函数在上单调递增 【答案】AC 【解析】对于A，在上是减函数，故A正确； 对于B，在单调递减，故B错误； 对于C，在单调递增，故C正确； 对于D，在单调递减，在单调递增，故D错误； 故选：AC. 10．（25-26高一上·全国·阶段检测）已知函数，则下列选项正确的是（   ） A．函数的定义域为 B．且， C．函数在上单调递减 D．当时，函数的值域为 【答案】ABD 【解析】对于A，由，得，即函数的定义域为，故A正确； 对于B，且，，故B正确； 对于C，因为在和上单调递减， ， 所以函数在和上单调递减，但在定义域上不单调，故C错误； 对于D，由C选项知，函数在上单调递减，又，所以函数的值域为.故D正确. 故选：ABD. 11．（25-26高一上·江西南昌·阶段检测）如图，是边长为2的正三角形，记位于直线左侧的图形的面积为，则下列正确的命题是（    ） A．函数的定义域是 B．函数是增函数 C．当时，有最大值 D．函数的最大值是 【答案】AD 【解析】当时，； 当时，；当时，， 所以，由解析式可知函数的定义域为，故A正确； 作的图象，如图， 由图可知，函数在上单调递增， 所以当时取得最大值，故B，C错误，D正确. 故选：AD 12．（25-26高一上·福建厦门·期中）函数 的最大值为_____________． 【答案】2 【解析】当时，函数为减函数，所以在处取得最大值； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减， 在处取得最大值. 故函数的最大值为2. 13．（25-26高一上·安徽·阶段检测）已知函数在上单调递减，则的取值范围是______. 【答案】 【解析】由函数在上单调递减， 可得，可得，解得. 14．已知函数，判断函数的单调性，并利用定义证明. 【解】在上递减，理由如下： 任取，且， 则， 因为，且， 所以，， 所以，即， 所以在上递减 15．（25-26高一上·浙江杭州·期中）已知函数， (1)判断函数在区间上的单调性，并用定义证明你的结论． (2)求该函数在区间上的最大值与最小值． 【解】（1）在上的单调递增，证明如下： 在内任取，且， ， 因为，所以， 所以，即， 所以在上的单调递增. （2）由（1）得在上的单调递增， 所以的最大值为，的最小值为. 16．（25-26高三·全国·一轮复习）已知函数的定义域为，若对任意，存在正数，使得成立，则称函数是定义在上的“有界函数”．则下列函数是“有界函数”的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】对于A，，由于，所以，当，所以，故不存在正数，使得成立， 不是“有界函数”； 对于B，令，则，，当时，取得最大值4，所以，所以，故存在正数2，使得成立， 是“有界函数”； 对于C，令+1，则，易得，所以，即，故存在正数5，使得成立， 是“有界函数”； 对于D，令，则，，则，易得，当，所以，故不存在正数，使得成立， 不是“有界函数”． 17．（25-26高一下·湖南·阶段检测）设函数，若，且，使成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】当时，函数，对称轴为， 当，即时，此时，使得，满足题意； 当，即时，在上单调递增，在上也单调递增， 要想，且，使得，则，得， 而，矛盾.综上. 18．（25-26高一上·陕西榆林·期末）函数的定义域为，对任意实数x，y都有，当时，，且，则下列判断正确的是（   ） A． B． C．在上单调递增 D．关于x的不等式的解集为 【答案】ACD 【解析】因为， 令，则，故A正确； 令，则，所以， 令，则，所以， 令，则，所以，故B错误； 任取，则，， 所以， 所以，所以在上单调递增，故C正确； 关于x的不等式，所以， 所以，由于在上单调递增，所以， 所以，关于x的不等式的解集为，故D正确； 故选：ACD 19．（25-26高一上·浙江杭州·期中）已知命题，命题，不等式恒成立，若p和q有且仅有一个正确，则实数m的取值范围 【答案】 【解析】对于命题，在上有解，而为减函数， 所以当时，，解得. 对于命题，不等式恒成立，可化为在上恒成立. 又在上单调递减，在上单调递增， 当时，当时，，所以，所以. 和有且仅有一个正确，只有两种情况： ①真假，此时，解得； ②假真，此时，则. 综上，. 20．（25-26高一下·陕西安康·期中）已知函数的定义域为，对任意正实数，，恒有，且当时，. (1)求证：，且当时，； (2)判断在上的单调性； (3)若存在，使得，求实数的取值范围. 【解】（1）由题可知，所以， 因为，则，又， 所以， 所以当时，； （2）任取，则，则， 又， 所以， 所以在上的单调递增； （3）由题意，需满足定义域条件 ，解得，且， 由（2）知 单调递增，原不等式等价于 ， 要使该不等式有解，只需 小于 在其定义域 上的最大值， 令，则， 所以，解得， 所以的取值范围为 1.（2021·全国甲卷T4）下列函数中是增函数的为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于A，为上的减函数，不合题意，舍. 对于B，为上的减函数，不合题意，舍. 对于C，在为减函数，不合题意，舍. 对于D，为上的增函数，符合题意，故选D. 2.（2020·新课标1卷）已知函数的定义域是，若对于任意两个不相等的实数，，总有成立，则函数一定是（    ） A．奇函数 B．偶函数 C．增函数 D．减函数 【答案】C 【解析】对于任意两个不相等的实数，，总有成立， 等价于对于任意两个不相等的实数，总有. 所以函数一定是增函数，故选C 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $