3.2.1 单调性与最大（小）值（分层作业）数学人教A版2019必修第一册

3.2.1 单调性与最大（小）值 知识点1 对单调性定义的理解 1．（23-24高一下·江西·月考）已知函数的定义域为，则“”是“函数在区间上单调递增”的（    ） A．充要条件 B．既不充分也不必要条件 C．充分不必要条件 D．必要不充分条件 2．（24-25高一上·上海·课堂例题）若定义在上的函数对任意两个不相等的实数、，总有成立，则必有（    ） A．在上是严格增函数 B．在上是严格减函数 C．函数是先增后减函数 D．函数是先减后增函数 3．（23-24高一上·上海·期末）已知函数的定义域为，给定下列四个语句： ①在区间上是严格增函数，在区间上也是严格增函数； ②在区间上是严格增函数，在区间上也是严格增函数； ③在区间上是严格增函数，在区间上也是严格增函数； ④在区间上是严格增函数，且是奇函数. 其中是“函数在上是严格增函数”的充分条件的有（    ）个. A．1 B．2 C．3 D．4 4．（24-25高一上·山西太原·月考）（多选）已知函数的图象是一条连续不断的曲线，的定义域为且，下列选项可判断为单调函数的是（    ） A． B． C． D． 知识点2 定义法讨论函数的单调性 1．（24-25高一上·安徽铜陵·月考）已知函数， (1)用定义法判断在区间上的单调性 (2)求出该函数在区间上的最大值和最小值. 2．（24-25高一上·上海·月考）已知函数的图象过点和． (1)求函数的解析式； (2)判断函数在区间上的单调性，并用单调性的定义证明． 3．（24-25高一上·山西·期中）已知函数满足 (1)求的解析式； (2)用定义法证明在上单调递减. 4．（24-25高一上·河南驻马店·期中）已知函数. (1)求的值； (2)判断的单调性，并用定义法进行证明； (3)证明：. 知识点3 求函数的单调区间 1．（24-25高一上·广东揭阳·月考）函数的单调增区间是（    ） A． B． C． D．， 2．（24-25高一上·湖南·月考）函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·福建泉州·月考）函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·浙江·期中）函数的单调递增区间是 ． 知识点4 利用函数的单调性求参数范围 1．（24-25高一下·广西贵港·期中）已知函数在上具有单调性，则k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·辽宁朝阳·月考）已知函数，在上单调递增，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·广东广州·月考）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·云南昭通·月考）（多选）函数在区间上单调递增，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 知识点5 利用函数的单调性比较大小 1．（24-25高一上·河南郑州·期中）函数在区间上单调递减，则有（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·河北承德·期中）若函数在上是增函数，则下列关系式中成立的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·江苏宿迁·期中）已知定义在上的函数满足，且在上单调递减，则，的大小顺序是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·安徽亳州·月考）（多选）已知函数在上是减函数，且，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 知识点6 利用函数的单调性解不等式 1．（24-25高一上·广东中山·月考）定义在上的函数满足，且，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期中）函数是定义在的增函数，则满足的x取值范围（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·福建南安·月考）已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·江西鹰潭·期中）已知定义在上的函数满足对，都有，若，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 知识点7 求函数的最值或值域 1．（24-25高一上·江苏南通·月考）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·云南红河·月考）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·辽宁大连·月考）若函数的值域是，则函数的值域是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·上海·月考）已知，则的最小值为 ． 知识点8 根据函数的最值或值域 1．（24-25高一上·河南南阳·期中）若函数在区间上的值域为，则的最大值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 2．（24-25高一下·河南安阳·月考）（多选）若函数的定义域为，最大值、最小值分别为，，则实数的值可能为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．（24-25高一上·湖北宜昌·月考）已知函数的值域为R，则m的取值范围是 ． 4．（24-25高一下·湖北·月考）已知函数的最小值为，则实数a的取值范围是 ． 1．（24-25高一上·安徽亳州·月考）若函数在上的最大值为，则（    ） A． B．1 C． D． 2．（24-25高一上·内蒙古赤峰·月考）若函数的定义域为，若对任意不相等的实数，恒有，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·河北廊坊·月考）已知函数（） (1)设函数在区间上的最小值为，求的表达式； (2)对（1）中的，当，时，恒有成立，求实数m的取值范围． 4．（24-25高三上·甘肃兰州·开学考试）定义在上的函数满足：①，②，其中为任意正实数：③任意正实数满足时，恒成立． (1)求、； (2)试判断函数的单调性： (3)如果，试求的取值范围． 1．（24-25高一上·贵州毕节·月考）若定义运算，则函数的值域是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·海南海口·月考）表示与中的较大者，设，则函数的最小值是（    ） A． B． C．0 D．1 3．（24-25高一上·广东广州·月考）在上定义运算：，若不等式对恒成立，则实数的最大值为 ． 4．（24-25高一上·湖北·月考）对于定义在上的函数，若其在区间上存在最小值和最大值，且满足，则称是区间上的“聚集函数”.给定函数 (1)当时，求函数在上的最大值和最小值，并判断是否是“聚集函数”； (2)若函数是上的“聚集函数”，求实数的取值范围. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3.2.1 单调性与最大（小）值 知识点1 对单调性定义的理解 1．（23-24高一下·江西·月考）已知函数的定义域为，则“”是“函数在区间上单调递增”的（    ） A．充要条件 B．既不充分也不必要条件 C．充分不必要条件 D．必要不充分条件 【答案】D 【解析】由得不到“函数在区间上单调递增”， 如，， 显然满足，但是函数在上递增，在上递减， 故“”不是“函数在区间上单调递增”的充分条件； 而由“函数在区间上单调递增”可得. 则“”是“函数在区间上单调递增”的必要不充分条件.故选：D. 2．（24-25高一上·上海·课堂例题）若定义在上的函数对任意两个不相等的实数、，总有成立，则必有（    ） A．在上是严格增函数 B．在上是严格减函数 C．函数是先增后减函数 D．函数是先减后增函数 【答案】B 【解析】因为，所以和异号， 所以当时，，当时，， 故在上是严格减函数，故B正确.故选：B 3．（23-24高一上·上海·期末）已知函数的定义域为，给定下列四个语句： ①在区间上是严格增函数，在区间上也是严格增函数； ②在区间上是严格增函数，在区间上也是严格增函数； ③在区间上是严格增函数，在区间上也是严格增函数； ④在区间上是严格增函数，且是奇函数. 其中是“函数在上是严格增函数”的充分条件的有（    ）个. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】对于①，令， 满足在区间上是严格增函数，在区间上也是严格增函数， 但是函数在上不单调，故①错误； 对于②：在区间上是严格增函数，在区间上也是严格增函数， 即任意的都有，都有， 所以， 设任意的且，若，则， 若，则， 若，，则， 所以函数在上是严格增函数，故②正确； 对于③：在区间上是严格增函数，在区间上也是严格增函数， 则在区间上是严格增函数，在区间上也是严格增函数， 结合②可知，函数在上是严格增函数，故③正确； 对于④：令，满足在区间上是严格增函数，且是奇函数， 但是函数在上不单调，故④错误.故选：B 4．（24-25高一上·山西太原·月考）（多选）已知函数的图象是一条连续不断的曲线，的定义域为且，下列选项可判断为单调函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【解析】A选项，，有， 由函数单调性定义得在上单调递减，A正确； B选项，， 因为，故，故， 由函数单调性定义得在上单调递增，B正确； C选项，，故， 由函数单调性定义得在上单调递增，C正确； D选项，由题意得或，不是单调函数，D错误.故选：ABC. 知识点2 定义法讨论函数的单调性 1．（24-25高一上·安徽铜陵·月考）已知函数， (1)用定义法判断在区间上的单调性 (2)求出该函数在区间上的最大值和最小值. 【答案】(1)证明过程见解析；(2)最小值为，最大值为. 【解析】（1），且， 则 因，则， 则，即， 则在区间上单调递增. （2）由（1）可知在区间上单调递增， 则的最小值为，最大值为. 2．（24-25高一上·上海·月考）已知函数的图象过点和． (1)求函数的解析式； (2)判断函数在区间上的单调性，并用单调性的定义证明． 【答案】(1)；(2)函数在上为减函数.证明见解析. 【解析】（1）根据题意函数的图象过点和， 则，，解得，， 则. （2）函数在上单调递减， 证明：任取，，设， 则， 又因为，则，，，， 则；所以, 故函数在上为减函数. 3．（24-25高一上·山西·期中）已知函数满足 (1)求的解析式； (2)用定义法证明在上单调递减. 【答案】(1)；(2)证明见解析 【解析】（1）因为恒成立，所以的定义域为， ， 令，，则， 故的解析式为，. （2）证明：任取，令， 则， 因为，所以，， 从而，即， 故在上单调递减. 4．（24-25高一上·河南驻马店·期中）已知函数. (1)求的值； (2)判断的单调性，并用定义法进行证明； (3)证明：. 【答案】(1)3；(2)在上单调递减，证明见解析；(3)证明见解析 【解析】（1） （2）在上单调递减.证明如下：取，，且， 因为 故， 即，， 则， 即， 故，即， 所以在上单调递减； （3）证明：由（2）可得， 又因为， 故，故. 知识点3 求函数的单调区间 1．（24-25高一上·广东揭阳·月考）函数的单调增区间是（    ） A． B． C． D．， 【答案】D 【解析】函数的定义域为， 又的图象是由向右平移个单位而来， 的单调递增区间为，， 所以的单调递增区间为，.故选：D 2．（24-25高一上·湖南·月考）函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意得，解得，故的定义域为， 由于在上单调递减，由复合函数单调性可知， 故只需求解在内的单调递增区间， 开口向下，对称轴为，故即为所求.故选：B 3．（24-25高一上·福建泉州·月考）函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】当时，， 则在单调递减，单调递增， 当时， 则在单调递增， 所以的减区间为，故选：B. 4．（24-25高一上·浙江·期中）函数的单调递增区间是 ． 【答案】和 【解析】作出的图象如下图所示， 由图象可知，的单调递增区间是和， 知识点4 利用函数的单调性求参数范围 1．（24-25高一下·广西贵港·期中）已知函数在上具有单调性，则k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意二次函数对称轴为：， 要使得函数在上具有单调性， 需满足或，得或， 则k的取值范围为．故选：B 2．（24-25高一下·辽宁朝阳·月考）已知函数，在上单调递增，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意可得，，解得，即， 所以实数的取值范围为.故选：A 3．（24-25高一上·广东广州·月考）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】若，则当时，函数单调递增， 又，函数在上单调递减， 若，则当时，函数单调递减， 只有时，才有可能使函数在上单调递减， ，解得 综上，实数的取值范围是故选：A 4．（24-25高一下·云南昭通·月考）（多选）函数在区间上单调递增，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【解析】由在区间上单调递增， 则，即，故B正确，A错误； 又在区间上单调递增， 则，即，故D正确，C错误.故选：BD. 知识点5 利用函数的单调性比较大小 1．（24-25高一上·河南郑州·期中）函数在区间上单调递减，则有（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】A：因为，所以不能判断的大小关系； B：因为，且函数在区间上单调递减， 所以有，因此本选项不正确； C：因为，所以不能判断的大小关系； D：由B可知本选项正确，故选：D 2．（24-25高一上·河北承德·期中）若函数在上是增函数，则下列关系式中成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为在上是增函数，且， 所以.故选：. 3．（24-25高一上·江苏宿迁·期中）已知定义在上的函数满足，且在上单调递减，则，的大小顺序是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】依题意，， 由在上单调递减，，得， 所以.故选：C 4．（23-24高一上·安徽亳州·月考）（多选）已知函数在上是减函数，且，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【解析】由，则， 因为函数在上是减函数，所以， 则，.故选：CD. 知识点6 利用函数的单调性解不等式 1．（24-25高一上·广东中山·月考）定义在上的函数满足，且，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为函数满足， 所以函数在上单调递增， 根据题设不等式关系，有， 即，解得或.故选：A 2．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期中）函数是定义在的增函数，则满足的x取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为函数是定义在上的增函数， 由，得， 解得，即，故选：B 3．（24-25高一上·福建南安·月考）已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】函数，所以定义域为，解得， 因为是单调递增函数，是单调递增函数， 所以是上的单调递增函数， 由不等式得，解得，故选：C． 4．（24-25高一上·江西鹰潭·期中）已知定义在上的函数满足对，都有，若，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，得， 令，则，因此函数在上单调递增， 由，得， 由，得， 即，则，解得， 所以原不等式的解集为.故选：C 知识点7 求函数的最值或值域 1．（24-25高一上·江苏南通·月考）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】函数在上单调递增，在上单调递减， 当时，；当时，， 所以所求值域为.故选：C 2．（24-25高一上·云南红河·月考）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】化简可得：， 设,则. 由对勾函数的性值可知： 函数是奇函数，在上单调递减，上单调递增， 当时，在处取得最小值，当或时，， 所以的值域为， 所以函数值域为，故选：C. 3．（24-25高一上·辽宁大连·月考）若函数的值域是，则函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为函数的值域是， 所以函数的值域是， 令，则， 由对勾函数的性质可知：函数在上单调递减，在上单调递增， 而，，， 则，即函数的值域是.故选：B. 4．（24-25高一下·上海·月考）已知，则的最小值为 ． 【答案】-3 【解析】当时，令， 当时，， 当时，单调递减，最小值为， 综上，的最小值为-3. 知识点8 根据函数的最值或值域 1．（24-25高一上·河南南阳·期中）若函数在区间上的值域为，则的最大值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【解析】因为函数， 所以当时，有最小值， 当时，，解得或， 又因为当时，单调递减，当时，单调递增， 所以的最大值为5，的最小值为， 所以的最大值为．故选：D. 2．（24-25高一下·河南安阳·月考）（多选）若函数的定义域为，最大值、最小值分别为，，则实数的值可能为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】ABC 【解析】由，得函数的对称轴为， 当时，函数取的最小值为， 当或时，函数值为， 函数的定义域为，值域为， 所以，实数的值可能为．故选：ABC 3．（24-25高一上·湖北宜昌·月考）已知函数的值域为R，则m的取值范围是 ． 【答案】 【解析】由于的值域为R，当时，， 所以，解得． 故m的范围是. 4．（24-25高一下·湖北·月考）已知函数的最小值为，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【解析】若，则，在上是减函数，不是最小值，不合题意； 若，则时，是增函数，因此时，，函数无最小值； 若，则时，是减函数，， 时，，因此在时是增函数， 由得，所以， 当时，，的最小值是，不是，不合题意， 综上，的取值范围是． 1．（24-25高一上·安徽亳州·月考）若函数在上的最大值为，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【解析】因为，所以当时，在上单调递减， 则，解得，与矛盾，不符合题意； 当时，根据对勾函数单调性可知， 函数在上单调递减，在上单调递增， 故当时，函数在上单调递增，则在上单调递减， 所以，解得，符合题意； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，解得，与矛盾，不符合题意； 综上所述，.故选：D 2．（24-25高一上·内蒙古赤峰·月考）若函数的定义域为，若对任意不相等的实数，恒有，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对任意不相等的实数，恒有, 则任意不相等的实数，恒有，即， 令，不妨设，可得 则可得，即， 所以是上单调递减函数， 不等式， 即，所以，解之可得， 所以不等式的解集为.故选：C 3．（24-25高一上·河北廊坊·月考）已知函数（） (1)设函数在区间上的最小值为，求的表达式； (2)对（1）中的，当，时，恒有成立，求实数m的取值范围． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）函数的图象是开口向上抛物线，且对称轴为， 当时，函数在区间上单调递增，所以； 当时，函数在区间上单调递减，所以； 当时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以， 所以的表达式为. （2）当时，可得，可得， 因为当，恒有成立， 所以当，恒有， 令，则， 当时，即时，，解得，所以； 当时，即时，，解得，所以， 综上所述，实数的取值范围是. 4．（24-25高三上·甘肃兰州·开学考试）定义在上的函数满足：①，②，其中为任意正实数：③任意正实数满足时，恒成立． (1)求、； (2)试判断函数的单调性： (3)如果，试求的取值范围． 【答案】(1)；；(2)在上单调递增；(3) 【解析】（1）取得，； ；； （2）令，可得， 设，则，所以，即， 在上单调递增； （3）根据满足的条件②及，由得，； 根据为增函数得：； 再由的定义域，便得到不等式组；解得， 的取值范围为． 1．（24-25高一上·贵州毕节·月考）若定义运算，则函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题，. 注意到在上单调递增，在上单调递减， 则在上单调递增，在上单调递减，则， 即值域为.故选：D 2．（24-25高一上·海南海口·月考）表示与中的较大者，设，则函数的最小值是（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】C 【解析】设，， 当时，，此时， 当时，，此时， 当时，，即， 当时，，即， 所以， 当时，，当且仅当时取等号， 当时，， 当时，， 故函数的最小值为0.故选：C. 3．（24-25高一上·广东广州·月考）在上定义运算：，若不等式对恒成立，则实数的最大值为 ． 【答案】 【解析】由题意可知，， 由不等式恒成立， 整理可得恒成立， 即恒成立， ， ，即，解得 则实数的最大值为. 4．（24-25高一上·湖北·月考）对于定义在上的函数，若其在区间上存在最小值和最大值，且满足，则称是区间上的“聚集函数”.给定函数 (1)当时，求函数在上的最大值和最小值，并判断是否是“聚集函数”； (2)若函数是上的“聚集函数”，求实数的取值范围. 【答案】(1)最大、最小值分别为，是“聚集函数”；(2). 【解析】（1）由题设，在上的值域为， 所以函数最大、最小值分别为，满足题设， 所以是“聚集函数”； （2）由在区间上， 当时，最大值，最小值， 由，则， 可得，显然不满足； 当时，最大值，最小值， 由，则， 可得，结合，有； 当时，最大值，最小值， 由，则， 可得且，结合，则； 当时，最大值，最小值， 由，则， 可得，显然不满足； 综上，. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$