2.2.1 不等式及其性质（分层作业练题型）高一数学人教B版必修第一册

**基本信息** 本同步练习通过A、B、C组及高考拓展的分层设计，以作差法、作商法比较大小及不等式性质应用为核心，构建从基础巩固到思维创新的知识进阶路径，适配新授课分层教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组巩固过关|作差法、作商法比较大小，不等式性质判断与简单应用|基础题型对应单一考点，如选择比较数式大小，培养运算能力与推理意识| |B组能力进阶|不等式性质综合判断、代数式范围求解、证明题|多选题与证明题结合，如多条件不等式推理，发展逻辑思维与批判性思维| |C组思维拔高|实际情境应用（糖水不等式）、逻辑关系探究|结合生活情境设计开放题，如跑步与走路时间比较，提升应用意识与创新意识|

2.2.1 不等式及其性质 目 录 A组 巩固过关 题型01 作差法比较大小 题型02 作商法比较大小 题型03 利用不等式性质判断命题的真假 题型04 由不等式的性质比较数(式)大小 题型05 利用不等式性质求代数式的范围 题型06 利用不等式性质证明不等式 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接高考 作差法比较大小题型01 1．（25-26高一上·湖北武汉·期末）已知，，记，，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．与的大小关系不确定 【答案】A 【解析】 因为，，所以，.所以，得，即. 2．（25-26高二下·天津滨海新区·阶段检测）若，，则，的大小关系是（ ） A． B． C． D．随的值变化而变化 【答案】B 【解析】已知，， 则， 即对任意恒成立，因此恒成立，故B正确. 3．（25-26高二·全国·暑假作业）若，，则，的大小关系是（    ） A． B． C． D．随的值变化而变化 【答案】B 【解析】已知，， 则， 即对任意恒成立，因此恒成立，故B正确. 4．（25-26高一上·宁夏银川·阶段检测），，则，的大小关系为（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【解析】因为，， 所以 ，所以.故选：B. 作商法比较大小题型02 5．（25-26高二下·江西赣州·期中）已知c＞1，且x＝－，y＝－，则x，y之间的大小关系是（    ） A．x＞y B．x＝y C．x＜y D．x，y的关系随c而定 【答案】C 【解析】由题设，易知x，y＞0，又，∴x＜y.故选：C. 6．设，，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，， 则. 故，当且仅当时，取等号，故选：D 7．（25-26高二上·江西九江·阶段检测）若，则、、、中最小的是__________. 【答案】 【解析】因为，所以，， 因为，，所以，即 8．（25-26高一上·上海·期中）如果，，那么，，从小到大的顺序是___________ 【答案】 【解析】因为三个式子很明显都是负数，所以，所以； 同理，所以。综上： 利用不等式性质判断命题的真假题型03 9．（25-26高二下·福建福州·期末）已知，则下列不等式正确的是（        ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，所以，则，则，故B正确，A错误； 因为，所以，故C错误； 因为，所以，故D错误. 10．（25-26高二下·广西柳州·期末）下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【解析】对于A，由，所以，故A错误； 对于B，由，所以，，所以，故B错误； 对于C，若，由，所以，故C错误； 对于D，若，则，故D正确. 11．（2026·北京·三模）已知，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A、B，当时，，所以，故A、B均不正确； 对于C、D，因为，所以，又，所以，所以，即，C正确，D错误； 12．（25-26高一上·湖北孝感·期末）下列命题是假命题的为（    ） A．若，，则 B．若且，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【解析】对于A：由，所以，故A正确； 对于B：由，得，所以，又，所以，故B正确； 对于C：当时，，故C错误； 对于D：由，所以，所以，故D正确. 由不等式的性质比较数(式)大小题型04 13．（25-26高二下·浙江·期中）已知，则下列不等式一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】选项A：因为，所以；因为，所以，正数一定大于负数，即，故A错误； 选项B：因为，所以；因为，所以，正数一定大于负数，即，故B错误； 选项C：仅知道，无法确定与的大小关系， 例如：若，则；若，则，故C不一定正确； 选项D：用作差法验证：， 因为，所以，若且（成立，因为），则分母， 因此，差，即，可得，故D一定正确． 14．（25-26高一下·浙江·期中）若，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】当时，，故A不成立； 当时，满足，此时， 故B不成立； 当时，满足， ，故，故C不成立； ，，， ，故成立． 15．（25-26高一下·湖南长沙·期中）已知，，，则下列正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对于A，因为，所以，因为，所以，A错误； 对于B，因为，，所以，同乘以 ，所以，B正确； 对于C，因为，，所以，C错误； 对于D，因为，，所以，D错误. 16．（25-26高三下·安徽·开学考试）已知，则下列结论不成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于A，因为，故，故， 故，故A成立； 对于B，因为，故，又，故，故B成立； 对于C，因为，故，又，故，故C成立； 对于D，因为，故，故，故D不成立. 利用不等式性质求代数式的范围题型05 17．（25-26高一上·湖南长沙·期中）若，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由条件，又，故，所以．故选：B 18．（25-26高一上·云南昭通·期中）已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，得，又，得，所以的取值范围是故选：C. 19．（25-26高三上·河北邯郸·期中）已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，，，又，．故选：D． 20．（25-26高一上·湖北荆门·阶段检测）已知，则的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，所以， 当时，，即， 当时，，即，综上可知，故选：B. 利用不等式性质证明不等式题型06 21．已知，求证：． 【解】证明：因为，所以，，， 所以， 所以，即， 所以． 22（25-26高一上·北京西城·阶段检测）设，求证. 【解】由， 因为，可得， 所以，即，所以. 23.已知，，求证． 【解】根据不等式的性质利用综合法即可证明． 因为，所以， 又因为，所以， 所以，所以， 所以， 所以． 24若，，证明：． 【解】∵，∴， 又∵，∴， ∴，则有：， 又∵， ∴． 1．（25-26高一上·新疆乌鲁木齐·期中）设，，则（    ） A． B． C． D．与的大小与有关 【答案】C 【解析】由，所以. 故选：C 2．（2026·上海金山·一模）已知，则下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于A，因，由，可得，故A错误； 对于B，因，则，利用不等式的性质，可得，即，故B错误； 对于C，因，由，可得，故C错误； 对于D，因，利用不等式的性质，可得，即，故D正确. 故选：D. 3．（2023高二下·吉林·学业考试）若，则下列不等式中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A，当时，无意义，故A错误； 对于B，当时，，故B错误； 对于C，， 因为，所以， 因为，当且仅当时取等号， 又，所以， 所以，即，故C正确； 对于D，当时，无意义，故D错误.故选：C. 4．（25-26高一上·贵州·期中）已知，，，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对A：由，则，又，则，故，故A错误； 对B：取、、，，则，故B错误； 对C：由，则，则， 又，则，故，故C正确； 对D：， 由，，故，故，故D错误. 故选：C. 5．（25-26高一上·福建莆田·阶段检测）下列命题中，正确的是（    ） A．若，则 B．，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【解析】对于A：当，，A错误； 对于B：因为，所以，又， 所以，B错误； 对于C：因为，，又，所以，C正确； 对于D：当时，满足， 但，D错误；故选：C. 6．（25-26高一上·北京·阶段检测）设，则的取值可能为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【解析】由可得，故， 故的取值可能为，故选：A 7．（25-26高一上·福建厦门·阶段检测）下列说法正确的为（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AD 【解析】若 ，则，即，A选项正确； 当，，满足 ，但，B选项错误； 当，，满足 ，但，C选项错误； 若 ，有，则，即，D选项正确. 8．（25-26高二下·天津河西·期末）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】若，则，， 所以，即充分性成立， 令，则，，满足关系，但， 即必要性不成立； 故“”是“”的充分不必要条件. 9．（25-26高一上·安徽·阶段检测）已知实数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设，所以解方程得：， 由不等式性质可知：①，②，①+②得，即. 故选：A 10．（25-26高一上·四川巴中·阶段检测）已知均为实数，下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若， D．若，则 【答案】AD 【解析】由，所以，所以，故A正确； 令，所以，得，故B错误； 当时，，故C错误； 由，又，，所以，即，故D正确. 11．（2026高一·全国·专题练习）（多选题）若实数a，b满足，则下列说法正确的有（ ） A．的取值范围为 B．的取值范围是 C．的取值范围是 D．的取值范围是 【答案】ABC 【解析】对于A，由， 两式相加得，即，故A正确； 对于B，由，得，又， 两式相加得，即，故B正确； 对于CD，设， 所以，解得，则， 因为，所以， 又因为，所以， 所以，即，故C正确，D错误. 12．（25-26高三·全国·一轮复习）[多选]下列说法中正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】AB 【解析】对于A，因为，不等式两边同除以，可得，故A正确； 对于B，因为，所以，又，所以，故B正确； 对于C，因为，所以，又，所以，故C不正确； 对于D，令， 则，解得，所以， 因为，所以， 因为，所以， 所以，故D不正确. 13．（25-26高一上·安徽合肥·阶段检测）已知，，，则与的大小关系为_________. 【答案】 【解析】由，， 则，则， 又，则. 14．（25-26高一上·上海·期中）命题“”是命题“”的___________条件． 【答案】必要不充分 【解析】当时，，所以命题“”是命题“”的不充分条件； 若，则，两边同时乘以得， 所以命题“”是命题“”的必要条件； 综上，命题“”是命题“”的必要不充分条件； 15．（25-26高一上·云南大理·阶段检测）（1）已知，比较与的大小； （2）若，，，求证：． 【解】（1）， 所以. （2）证明： 因为，，， 所以，， 所以原式大于0，即. 16．（25-26高二下·安徽芜湖·期末）记小明走路去学校的速度为，跑步去学校的速度为，方式一为一半的路程走路，一半的路程跑步，方式二为一半的时间走路，一半的时间跑步，则（    ） A．方式二比方式一先到学校 B．方式一比方式二先到学校 C．两种方式到学校的时间一样 D．无法确定哪种方式先到学校 【答案】A 【解析】设方式一用时间为，方式二用时间为，小明到学校的距离为， 则，得到， 则，得到， 故方式二比方式一先到学校． 17．（25-26高一下·浙江·期中）设、、，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】若，则，由不等式的基本性质可得， 即“”“”； 若，不妨取，，，则， 但，所以“”“”. 所以“”是“”的充分不必要条件. 18．（25-26高一上·浙江杭州·阶段检测）已知x、y、z是实数，，，下列说法正确的是（   ） A．a、b、c三个数必为两正一负或两负一正 B．a、b、c三个数中，至少有一个数是0 C．a、b、c三个数中，至少有一个数是正数 D．a、b、c三个数中，至少有一个数是负数 【答案】C 【解析】对于选项A：若取，则， 三个数都为正数，不是“两正一负或两负一正”，A错误； 对于选项B：同选项A的举例，不存在0，B错误； 对于选项C：因为 ， 因为平方非负，且，因此， 若全不为正数，则，与矛盾，因此三个数中至少有一个正数，C正确； 对于选项D：时三个数均为正数，没有负数，D错误； 19．（2025高一·上海·专题练习）对于四个正数，如果，那么称是的“下位序列”. (1)对于，试问是否为的“下位序列”，请说明理由； (2)设均为正数，且是的“下位序列”，试判断：之间的大小关系，并说明理由； 【解】（1）由于，即，不满足“下位序列”的概念，所以不是“下位序列”. （2）均为正数，由是的“下位序列”，得，即， 则，即， ，即， 所以. 20．（25-26高一上·贵州贵阳·阶段检测）已知（）克糖水中含有（）克糖，向杯中再添加（）克糖（全部溶解），糖水变甜了.这其中蕴含着著名的“糖水不等式”. (1)请将上述事实表示为一个不等式，并证明该不等式成立； (2)已知，，是三角形的三边，求证：. 【解】（1）“糖水不等式”为：实数，则， 由，得， 所以. （2）由（1）及，，是三角形的三边，得，则， 同理， 所以. 1．（2026·北京·高考真题）学校组织高一、高二学生参观甲、乙两地博物馆，每位学生可自主选择一处前往．已知高一学生总人数多于高二学生总人数，前往甲地的全体学生总数多于前往乙地的全体学生总数，则（     ） A．去甲地的高一学生人数多于去乙地的高一学生人数 B．去甲地的高一学生人数多于去乙地的高二学生人数 C．去甲地的高一学生人数不多于去乙地的高二学生人数 D．去乙地的高二学生人数不少于去甲地的高二学生人数 【答案】B 【解析】由题意，设高一学生去甲地的人数为，去乙地的人数为， 高二学生去甲地的人数为，去乙地的人数为， ∴高一总人数：，高二总人数，前往甲地的学生人数：，前往乙地的学生人数：， ∵高一总人数多于高二总人数，前往甲地的全体学生总数多于前往乙地的全体学生总数， ∴，由不等式的性质，两侧分别相加并化简得， ∴高一学生去甲地的人数多于高二学生去乙地的人数，故B正确，A，C，D均错误. 2．（2026·上海·高考真题）已知，则下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A,取，则故，所以A错误， 对于B，取则，此时，故B错误， 对于C，由于，故，因此，C正确， 对于D,取，则，此时，故D错误， 故选：C 3．（2024·上海·高考真题），，，，下列不等式恒成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对于A，若，则，选项不成立，故A错误； 对于B，由不等式的可加性可知，，故B正确； 对于C、D，若，则选项不成立，故C、D错误．故选：B． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.2.1 不等式及其性质 目 录 A组 巩固过关 题型01 作差法比较大小 题型02 作商法比较大小 题型03 利用不等式性质判断命题的真假 题型04 由不等式的性质比较数(式)大小 题型05 利用不等式性质求代数式的范围 题型06 利用不等式性质证明不等式 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接高考 作差法比较大小题型01 1．（25-26高一上·湖北武汉·期末）已知，，记，，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．与的大小关系不确定 2．（25-26高二下·天津滨海新区·阶段检测）若，，则，的大小关系是（ ） A． B． C． D．随的值变化而变化 3．（25-26高二·全国·暑假作业）若，，则，的大小关系是（    ） A． B． C． D．随的值变化而变化 4．（25-26高一上·宁夏银川·阶段检测），，则，的大小关系为（   ） A． B． C． D．无法确定 作商法比较大小题型02 5．（25-26高二下·江西赣州·期中）已知c＞1，且x＝－，y＝－，则x，y之间的大小关系是（    ） A．x＞y B．x＝y C．x＜y D．x，y的关系随c而定 6．设，，则（    ）． A． B． C． D． 7．（25-26高二上·江西九江·阶段检测）若，则、、、中最小的是__________. 8．（25-26高一上·上海·期中）如果，，那么，，从小到大的顺序是___________ 利用不等式性质判断命题的真假题型03 9．（25-26高二下·福建福州·期末）已知，则下列不等式正确的是（        ） A． B． C． D． 10．（25-26高二下·广西柳州·期末）下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 11．（2026·北京·三模）已知，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 12．（25-26高一上·湖北孝感·期末）下列命题是假命题的为（    ） A．若，，则 B．若且，则 C．若，则 D．若，则 由不等式的性质比较数(式)大小题型04 13．（25-26高二下·浙江·期中）已知，则下列不等式一定正确的是（   ） A． B． C． D． 14．（25-26高一下·浙江·期中）若，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 15．（25-26高一下·湖南长沙·期中）已知，，，则下列正确的是（    ） A． B． C． D． 16．（25-26高三下·安徽·开学考试）已知，则下列结论不成立的是（   ） A． B． C． D． 利用不等式性质求代数式的范围题型05 17．（25-26高一上·湖南长沙·期中）若，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 18．（25-26高一上·云南昭通·期中）已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 19．（25-26高三上·河北邯郸·期中）已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 20．（25-26高一上·湖北荆门·阶段检测）已知，则的范围是（    ） A． B． C． D． 利用不等式性质证明不等式题型06 21．已知，求证：． 22（25-26高一上·北京西城·阶段检测）设，求证. 23.已知，，求证． 24若，，证明：． 1．（25-26高一上·新疆乌鲁木齐·期中）设，，则（    ） A． B． C． D．与的大小与有关 2．（2026·上海金山·一模）已知，则下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 3．（2023高二下·吉林·学业考试）若，则下列不等式中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·贵州·期中）已知，，，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·福建莆田·阶段检测）下列命题中，正确的是（    ） A．若，则 B．，则 C．若，则 D．若，则 6．（25-26高一上·北京·阶段检测）设，则的取值可能为（    ） A． B． C．1 D． 7．（25-26高一上·福建厦门·阶段检测）下列说法正确的为（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 8．（25-26高二下·天津河西·期末）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 9．（25-26高一上·安徽·阶段检测）已知实数满足，则（    ） A． B． C． D． 10．（25-26高一上·四川巴中·阶段检测）已知均为实数，下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若， D．若，则 11．（2026高一·全国·专题练习）（多选题）若实数a，b满足，则下列说法正确的有（ ） A．的取值范围为 B．的取值范围是 C．的取值范围是 D．的取值范围是 12．（25-26高三·全国·一轮复习）[多选]下列说法中正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 13．（25-26高一上·安徽合肥·阶段检测）已知，，，则与的大小关系为_________. 14．（25-26高一上·上海·期中）命题“”是命题“”的___________条件． 15．（25-26高一上·云南大理·阶段检测）（1）已知，比较与的大小； （2）若，，，求证：． 16．（25-26高二下·安徽芜湖·期末）记小明走路去学校的速度为，跑步去学校的速度为，方式一为一半的路程走路，一半的路程跑步，方式二为一半的时间走路，一半的时间跑步，则（    ） A．方式二比方式一先到学校 B．方式一比方式二先到学校 C．两种方式到学校的时间一样 D．无法确定哪种方式先到学校 17．（25-26高一下·浙江·期中）设、、，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 18．（25-26高一上·浙江杭州·阶段检测）已知x、y、z是实数，，，下列说法正确的是（   ） A．a、b、c三个数必为两正一负或两负一正 B．a、b、c三个数中，至少有一个数是0 C．a、b、c三个数中，至少有一个数是正数 D．a、b、c三个数中，至少有一个数是负数 19．（2025高一·上海·专题练习）对于四个正数，如果，那么称是的“下位序列”. (1)对于，试问是否为的“下位序列”，请说明理由； (2)设均为正数，且是的“下位序列”，试判断：之间的大小关系，并说明理由； 20．（25-26高一上·贵州贵阳·阶段检测）已知（）克糖水中含有（）克糖，向杯中再添加（）克糖（全部溶解），糖水变甜了.这其中蕴含着著名的“糖水不等式”. (1)请将上述事实表示为一个不等式，并证明该不等式成立； (2)已知，，是三角形的三边，求证：. 1．（2026·北京·高考真题）学校组织高一、高二学生参观甲、乙两地博物馆，每位学生可自主选择一处前往．已知高一学生总人数多于高二学生总人数，前往甲地的全体学生总数多于前往乙地的全体学生总数，则（     ） A．去甲地的高一学生人数多于去乙地的高一学生人数 B．去甲地的高一学生人数多于去乙地的高二学生人数 C．去甲地的高一学生人数不多于去乙地的高二学生人数 D．去乙地的高二学生人数不少于去甲地的高二学生人数 2．（2026·上海·高考真题）已知，则下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·上海·高考真题），，，，下列不等式恒成立的是（   ） A． B． C． D． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $