2.1 等式与不等式性质（第1课时）（题型专练，3基础题型+2提升题型+培优题）数学人教A版2019必修第一册

2.1 等式与不等式性质 （第1课时） 题型一：作差法比较代数式的大小 1.已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】作差法比较代数式的大小 【分析】用作差法比较大小即可求解. 【详解】, . 故选：C 2.下列选项正确的是（    ） A．a与b的差不是正数用不等式表示为a-b<0 B．a的绝对值不超过3用不等式表示为a≤3 C．(x-3)2<(x-2)(x-4) D．x2+y2+1>2(x+y-1) 【答案】D 【知识点】作差法比较代数式的大小 【分析】用做差法比较大小，即可做出判断. 【详解】A.a与b的差不是正数用不等式表示为a-b≤0，故A错误； B.a的绝对值不超过3用不等式表示为|a|≤3，故B错误； C.(x-3)2-(x-2)(x-4)=1>0，所以(x-3)2>(x-2)(x-4)，故C错误； D.x2+y2+1-2(x+y-1)=(x-1)2+(y-1)2+1>0，所以x2+y2+1>2(x+y-1)，故D正确. 故选：D 3.某次全程马拉松比赛中，选手甲前半程以速度a匀速跑，后半程以速度b匀速跑；选手乙前一半时间以速度a匀速跑，后一半时间以速度b匀速跑（注：速度单位），若，则（    ） A．甲先到达终点 B．乙先到达终点 C．甲乙同时到达终点 D．无法确定谁先到达终点 【答案】B 【知识点】作差法比较代数式的大小 【解析】设马拉松全程为x，得到甲用的时间为，乙用的时间为， 做差比较大小可得答案. 【详解】设马拉松全程为x，所以甲用的时间为，乙用的时间为， 因为， 所以， 所以，则乙先到达终点. 故选：B. 【点睛】比较大小的方法有： （1）根据单调性比较大小；（2）作差法比较大小； （3）作商法比较大小；（4）中间量法比较大小. 4.（多选题）下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BD 【知识点】作差法比较代数式的大小、由不等式的性质比较数（式）大小 【解析】分析的情况并判断A选项；根据作差法判断B选项；再根据不等式的性质分析CD选项，由此判断出真命题. 【详解】A．当时，，故错误； B．因为，且，所以，所以，故正确； C．因为，所以，所以，故错误； D．因为，所以，又，且， 所以，所以，故正确， 故选：BD. 【点睛】方法点睛：常见的比较大小的方法： （1）作差法：作差与作比较； （2）作商法：作商与作比较（注意正负）； （3）函数单调性法：根据函数单调性比较大小； （4）中间值法：取中间值进行大小比较. 题型二：由已知条件判断所给不等式是否正确 1.若，，则下列不等式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确 【分析】根据同向不等式可以加，不等号方向不变，可判断A； BCD可通过举反例判断. 【详解】解：因为，，则，故A正确； 当时，，故B错误； 当时，，故C错误； 当时，，故D错误. 故选：A. 2.已知，则下列不等式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确 【分析】弄清不等式成立的条件，不等式成立的性质以及一些特殊情况，即可得到答案. 【详解】对于选项A：由，当时，，故选项A不正确； 对于选项B：由，当时，，故选项B不正确； 对于选项C：因，则，又，所以，故选项C正确； 对于选项D：取，，，则，但，故选项D不正确. 故选：C. 【点睛】本题考查不等式与不等关系，不等式的基本性质，属于基础题 3.下列命题中，一定正确的是　　 A．若，则， B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】A 【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确 【分析】根据不等式的性质，对选项进行一一验证，即可得答案； 【详解】对A，，，，因此，正确． 对B，时不成立． 对C，取，，，，满足，，而，因此不正确． 对D，取，，，，满足，，则，不正确． 故选：A． 【点睛】本题考查不等式的基本性质，考查推理能力与计算能力，属于基础题． 4.与等价的是 A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确 【分析】根据不等式的自反性性质，即可得答案； 【详解】由不等式的自反性可得：， 故选：C. 【点睛】本题考查不等式的性质，属于基础题. 题型三：由不等式的性质比较数（式）大小 1.下列命题为真命题的是（    ） A．若a>b>0，则ac2>bc2 B．若a>b，则a2>b2 C．若a<b<0，则a2<ab<b2 D．若a<b<0，则 【答案】D 【知识点】由不等式的性质比较数（式）大小 【分析】举反例说明ABC不正确，依据不等式的性质可知D正确，从而得出选项. 【详解】对于A，当c=0时，ac2=bc2，所以A不是真命题； 对于B，当a=0，b=-2时，a>b，但a2<b2，所以B不是真命题； 对于C，当a=-4，b=-1时，a<b<0，a2>ab>b2，所以C不是真命题； 对于D，若a<b<0，则，所以D是真命题． 故选:D． 2.若，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确、由不等式的性质比较数（式）大小 【分析】利用不等式的性质判断各选项即可. 【详解】由题意得，， 所以两边同时除以得，即，A不正确； 两边同时除以得，B不正确； 两边同时乘得，C正确； 由可得，两边同时除以得，D错误. 故选：C 3.下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确 【分析】对于ACD，通过举反例判断，对于B，利用不等式的性质判断即可 【详解】解：对于A，若，则，此时，所以A错误； 对于B，因为，，所以，所以B正确； 对于C，若，则，此时，所以C错误； 对于D，若，则，此时，所以D错误， 故选：B 4.已知，则下列大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确、由不等式的性质比较数（式）大小 【分析】根据不等式的性质可解. 【详解】由，可得， 又因为，所以. 故选：B 题型一：利用不等式求值或取值范围 1.已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】利用不等式求值或取值范围 【分析】根据不等式的性质即可求解. 【详解】解：因为，， 所以，， 所以， 所以的取值范围是， 故选：D. 2.已知二次函数的图象过原点，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用不等式求值或取值范围 【分析】设二次函数为：，令，解出，则，利用，和不等式的性质可得结果. 【详解】因为二次函数的图像过原点，所以设二次函数为：， 因为，， 所以，， 令，，则，， 联立，解得，， 所以， 由，得， 即. 故选：B. 【点睛】本题考查了利用不等式的性质求取值范围，解题关键是整体换元，化为关于的不等式，利用不等式的性质解题，属于中档题. 3.已知，，则的最大值为（    ） A． B． C．3 D．4 【答案】A 【知识点】利用不等式求值或取值范围 【分析】用表示，利用不等式的性质求的范围. 【详解】由不等式的性质得，，， ∴，∴， ∵，∴，∴， 当且仅当即时，取到最大值. 故选：A. 4.（多选题）已知，，则下列正确的是　　 A． B． C． D． 【答案】AC 【知识点】利用不等式求值或取值范围 【分析】直接利用不等式的基本性质的应用求出结果． 【详解】由于，， 所以：，故，故选项正确． ，所以，故选项错误． 对于选项，所以，故选项正确． 对于选项，即故选项错误． 故选：AC． 【点睛】本题考查的知识要点：不等式的基本性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型． 题型二：由已知条件判断所给不等式是否正确、由不等式的性质比较数（式）大小 1.已知，则下列不等式成立的是（　　） A． B． C． D．（） 【答案】D 【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确、由不等式的性质比较数（式）大小 【分析】利用不等式的基本性质，结合特殊值法，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中， 当时，，此时，所以A错误； 对于B中， 当时，，所以B错误. 对于C中， 当时，，所以C错误. 对于D中，因为，可得，所以D正确. 故选：D. 【点睛】本题主要考查了不等式的基本性质的应用，其中解答中熟练不等式的基本性质，以及合理利用特殊值求解是解答的关键，着重考查推理与论证能力. 2.（多选题）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确、由不等式的性质比较数（式）大小 【分析】A选项可以举出反例，BCD可以利用不等式的基本性质推导出. 【详解】，，满足条件，故A错误；，故B正确；由得，故C正确；由有，故D正确． 故选：BCD 3.（多选题）已知x＞y＞z，x＋y＋z＝0，则下列不等式不成立的是（    ） A．xy＞yz B．xy＞xz C．xz＞yz D．x|y|＞|y|z 【答案】ACD 【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确、由不等式的性质比较数（式）大小 【分析】利用不等式的基本性质即可得出结果. 【详解】由题意知，，所以， 又，所以，得， 同理，，即. 所以若y=0时，不一定成立；成立；不成立；若时，则不一定成立. 故选：ACD 4.（多选题）已知，，，都是正数，且，，则下列关系正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确、由不等式的性质比较数（式）大小、作差法比较代数式的大小、由不等式的性质证明不等式 【分析】在已知条件下，利用不等式的性质，判断选项中的结论是否正确. 【详解】已知，，，都是正数，且，， 对于A选项，满足已知条件，但此时，A选项错误； 对于B选项，由不等式的同向可加性，，时，有，B选项正确； 对于C选项，由，，有，所以，C选项正确； 对于D选项，由，， 有， 所以，得，D选项正确； 故选：BCD 1.（2012·湖南·高考真题）设 a＞b＞1， ，给出下列三个结论： ① ＞ ；② ＜ ； ③ ， 其中所有的正确结论的序号是 A．① B．① ② C．② ③ D．① ②③ 【答案】D 【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确 【详解】由不等式及a＞b＞1知，又，所以＞，①正确;由幂函数函数的图像与性质知②正确；由a＞b＞1，知，由对数函数的图像与性质知③正确. 2.（24-25高一上·广东珠海·期中）若，且，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确 【解析】根据已知条件，结合不等式的性质，对选项进行逐一判断即可. 【详解】因为， 对：当 不一定成立，比如不成立，故不成立； 对：因为，故可得，故一定成立； 对：因为，，故不成立； 对：因为，，故不成立. 故选：B. 【点睛】本题考查不等式的性质，举反例是常用判断方法，属基础题. 3.下列命题正确的是 A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确 【分析】A项中，需要看分母的正负；B项和C项中，已知两个数平方的大小只能比较出两个数绝对值的大小. 【详解】A项中，若，则有，故A项错误；B项中，若，则，故B项错误；C项中，若则即，故C项错误；D项中，若，则一定有，故D项正确. 故选：D 【点睛】本题主要考查不等关系与不等式，属于基础题. 4.（多选题）已知、、、均为实数，则下列命题中正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，则 【答案】CD 【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确 【分析】对于A：由和已知条件和，可判断； 对于B：由题意得，可判断； 对于C：由，得，又由，可判断； 对于D：由，可得，继而得，，可判断. 【详解】对于A：，，又，，即，故A不正确； 对于B：，，，所以，即，故B错误； 对于C：，，又，，故C正确； 对于D：由，可知，，，成立，故D正确. 故选：CD. 【点睛】本题考查根据不等式的性质判断不等式是否成立，常用的方法是作差法，属于基础题. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.1 等式与不等式性质 （第1课时） 题型一：作差法比较代数式的大小 1.已知，则（    ） A． B． C． D． 2.下列选项正确的是（    ） A．a与b的差不是正数用不等式表示为a-b<0 B．a的绝对值不超过3用不等式表示为a≤3 C．(x-3)2<(x-2)(x-4) D．x2+y2+1>2(x+y-1) 3.某次全程马拉松比赛中，选手甲前半程以速度a匀速跑，后半程以速度b匀速跑；选手乙前一半时间以速度a匀速跑，后一半时间以速度b匀速跑（注：速度单位），若，则（    ） A．甲先到达终点 B．乙先到达终点 C．甲乙同时到达终点 D．无法确定谁先到达终点 4.（多选题）下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 题型二：由已知条件判断所给不等式是否正确 1.若，，则下列不等式中正确的是（    ） A． B． C． D． 2.已知，则下列不等式中正确的是（    ） A． B． C． D． 3.下列命题中，一定正确的是　　 A．若，则， B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 4.与等价的是 A． B． C． D． 题型三：由不等式的性质比较数（式）大小 1.下列命题为真命题的是（    ） A．若a>b>0，则ac2>bc2 B．若a>b，则a2>b2 C．若a<b<0，则a2<ab<b2 D．若a<b<0，则 2.若，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 3.下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4.已知，则下列大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 题型一：利用不等式求值或取值范围 1.已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2.已知二次函数的图象过原点，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3.已知，，则的最大值为（    ） A． B． C．3 D．4 4.已知，，则下列正确的是　　 A． B． C． D． 题型二：由已知条件判断所给不等式是否正确、由不等式的性质比较数（式）大小 1.已知，则下列不等式成立的是（　　） A． B． C． D．（） 2.（多选题）已知，则（    ） A． B． C． D． 3.（多选题）已知x＞y＞z，x＋y＋z＝0，则下列不等式不成立的是（    ） A．xy＞yz B．xy＞xz C．xz＞yz D．x|y|＞|y|z 4.（多选题）已知，，，都是正数，且，，则下列关系正确的有（    ） A． B． C． D． 1.（2012·湖南·高考真题）设 a＞b＞1， ，给出下列三个结论： ① ＞ ；② ＜ ； ③ ， 其中所有的正确结论的序号是 A．① B．① ② C．② ③ D．① ②③ 2.（24-25高一上·广东珠海·期中）若，且，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 3.下列命题正确的是 A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4.（多选题）已知、、、均为实数，则下列命题中正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，则 学科网（北京）股份有限公司 $$