精品解析：安徽宿州市皖北十三校2025-2026学年第二学期期末教学质量检测高二数学试题

2025-2026学年度第二学期期末教学质量检测高二数学试题 （本卷满分150分，考试时间120分钟） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】解二次函数不等式后结合交集的运算即可求解. 【详解】解不等式得,即集合， 所以. 2. “皖美十六运，加宿向未来”，安徽省第十六届运动会2026年在宿州举办，现有4名志愿者参与三天省运会宣传工作，每人仅工作一天，4名志愿者全部安排上岗；要求三天每天均有志愿者工作，且第一天恰有两名志愿者工作，则符合条件的安排方案有（ ）种 A. 81 B. 64 C. 24 D. 12 【答案】D 【解析】 【详解】由题意知第一天2人，剩下2人分到第二天和第三天，每天各1人， 第一步：从4名志愿者中选2人在第一天服务，安排方案有种， 第二步：剩下2名志愿者，要分配到第二天和第三天，且每天1人，安排方案有种， 根据分步乘法计数原理，安排方案共有种. 3. 已知随机变量X服从正态分布，若，，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【详解】因为X服从正态分布，所以正态曲线关于对称， 又因为，则， 且，即， 可知a与3是关于对称的，所以． 4. 下列说法正确的是（ ） A. “若，则”是假命题 B. 若实数满足且，则的最小值是 C. “”是“定义在上的函数是奇函数”的充要条件 D. 命题p：，该命题的否定： 【答案】B 【解析】 【分析】根据假命题的定义可判断A；根据基本不等式可判断B；根据充要条件的定义可判断C；根据特称命题的否定是全称命题可判断D. 【详解】对于A，“若，则”，是真命题，故A错误； 对于B，因为，所以，当且仅当时，等号成立， 所以，解得，当且仅当时等号成立， 所以的最小值为，故B正确； 对于C，取，满足，但不是定义在上的奇函数，故充分性不成立， 若定义在上的函数是奇函数，则，故必要性成立， 所以“”是“定义在上的函数是奇函数”的必要不充分条件，故C错误； 对于D，已知命题， 根据存在量词命题的否定是全称命题可知，该命题的否定：，故D错误； 5. 在二项式的展开式中，第4项和第5项的二项式系数最大，则二项式展开式中的系数为（ ） A. 14 B. C. 84 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意得到展开式共有8项，求出，从而利用展开式通项公式进行求解 【详解】因为在的展开式中，只有第4项和第5项的二项式系数最大， 所以展开式共有8项. 故，解得； 设展开式的通项公式为， 令，解得，所以展开式中项系数为. 6. 已知，下列有关排列数、组合数的等式中不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由组合数的性质、排列数、组合数的计算公式可判断ABCD，或通过展开式中的系数可判断D. 【详解】选项A：由组合数性质知，，故A正确； 选项B：当时，，故B正确； 选项C： ，故C错误； 选项D：法一、直接计算， 法二、展开式中的系数： 右边： . 左边：. 即，故D正确. 7. 一箱产品共有12件，其中有若干件为次品，从这一箱产品中任取2件，恰有1件次品的概率为，且，则这箱产品中次品的个数可能为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】先利用超几何分布公式列出关于次品数n的概率表达式，将其代入已知的概率区间构建一元二次不等式组即可. 【详解】设这一箱产品中有件次品，服从超几何分布， 则从这一箱产品中任取2件，恰有1个次品的概率， 又因为，所以， 即，解得或， 又因为，所以这箱产品中次品件数可能为3或9，结合选项A正确. 8. 已知为上的奇函数，，若对，当时，都有，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由条件确定的单调性和奇偶性，进而可求解. 【详解】由，得， 因为，所以，即， 设，则在上单调递减， 而，则，解得； 因为为上的奇函数，所以， 则为上的偶函数，故在上单调递增， 而，则，解得； 当时，，故该点不在解集内. 综上，原不等式的解集为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的有（ ） A. 对于重伯努利试验，各次试验中事件发生的概率可以不同 B. 随机变量，若，则 C. 若关于的经验回归方程为，则样本点的残差为-1.4 D. 一组样本数据通过计算得线性回归方程为，若为，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】对 A，依据 重伯努利试验独立、单次概率相等的定义直接判断正误；对 B，利用二项分布期望与方差公式联立方程，解出参数、验证结论；对 C，先代入自变量算出回归预测值，再用残差公式 “真实值减预测值” 计算残差判断，对 D，根据线性回归直线必过样本中心点，代入求解截距完成验证。 【详解】对于A：在重伯努利试验中，各次试验的结果相互之间没有影响，各次试验中事件发生的概率相同，A错误； 对于B：二项分布满足，， 代入得，解得，则，B正确； 对于C：将代入回归方程为，可得， 则样本点的残差为，C正确； 对于D：因为线性回归方程必过样本中心点，代入，得，解得，D正确. 10. 设，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则（ ） A. 是相互独立事件 B. 事件，互斥 C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据题意，利用相互独立事件的判定方法，互斥事件的概率加法公式，以及条件概率的计算公式，结合选项，逐项求解，即可得到答案. 【详解】对于A，由， 解得，所以，所以是相互独立事件，所以A正确； 对于B，若互斥，则，由A项知，所以不互斥，所以B错误； 对于C，因为，且与互斥， 根据互斥事件的概率加法公式，可得， 所以，所以C正确； 对于D， 根据条件概率的公式，可得， 因为，， 可得，所以，所以D错误. 11. 已知函数，则（ ） A. 为奇函数 B. 存在极值 C. 的值域是 D. 存在实数，且，使得在上的值域为 【答案】ACD 【解析】 【分析】由奇偶性定义判断A，由单调性定义判断B，结合单调性判断C，结合单调性与奇偶性的性质判断D. 【详解】对于A：由， 则，所以为奇函数，故A正确； 对于B：由， 因为函数在R上单调递增，所以函数在R上单调递减， 则在R上单调递增，无极值，故B错误； 对于C：由B知在R上单调递增，由， 而，则，即，则，即， 故的值域是，故C正确； 对于D：由C知，函数在R上单调递增，若在上的值域为 则，所以方程在上有两个不相等的实根， 则与在R上有两个交点，结合为奇函数，在上单调递增， 且的值域是，且， 可作出函数与的大致图象如图：由图可知与在R上有两个交点， 因此存在实数且，使在上的值域为，故D正确. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若命题“”为假命题，则实数的取值范围是___________. 【答案】 【解析】 【详解】由为假命题，得为真命题， 因此，解得， 所以实数的取值范围是. 13. 已知是定义在上的奇函数，且是偶函数，则___________. 【答案】0 【解析】 【分析】利用奇偶性得出函数的周期性，然后由周期性、奇偶性求值. 【详解】由函数是定义在上的奇函数，可得，且， 又由是偶函数，即函数的图象关于轴对称， 可得函数的图象关于对称，即， 因为，可得，即， 所以函数是以8为周期的周期函数，可得， 因为，可得，所以. 14. 央视大型美食文旅节目《三餐四季》安徽篇6月7日播出，宿州美食惊艳亮相，节目播出后宿州的知名度大幅提升.三位美食博主甲，乙，丙决定探访宿州美食文化，计划打卡埇桥、砀山等五个地方.他们约定每人至少选择一个地方打卡，每个地方都有人去且仅有一人打卡，其中甲在埇桥、砀山中至少选择一个地方，则不同的打卡种数为___________.（用数字作答） 【答案】88 【解析】 【分析】分类讨论甲打卡的地方总数及其包含特定地点的数量，将所有情况分为五类进行排列组合计算. 【详解】当甲只选择埇桥、砀山中的1个，且只去1个地方时，有种选择， 再将其他4个地方分给乙，丙，有种选择， 共有种选择； 当甲只选择埇桥、砀山中的1个，且去2个地方时，有种选择， 再将其他3个地方分给乙，丙，有种选择，共有种选择； 当甲只选择埇桥、砀山中的1个，且去3个地方时，有种选择， 再将其他2个地方分给乙，丙，有种选择，共有种选择； 当甲选择埇桥、砀山2个地方且只去2个地方时， 只需将其他3个地方分给乙，丙，有种选择； 当甲选择埇桥、砀山且去3个景点时，有种选择， 只需将其他2个地方分给乙，丙，有种选择，共有种选择， 种，故共有88种不同的打卡方案. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知为奇函数，为偶函数，且. （1）求，的解析式； （2）若对任意的，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意求出，联立即可求解； （2）利用基本不等式求出的最小值，得到即可求解. 【小问1详解】 因为为奇函数，为偶函数，且有， 所以， 所以， 解方程组得. 【小问2详解】 因为，当且仅当，即时，等号成立，即. 所以对任意的恒成立，即， 则，即，解得， 所以实数的取值范围是. 16. 某中学调查学生日常运动情况，从全校学生中随机抽取100人，统计学生每周运动频次，得到如下的列联表： 性别 运动频次 合计 每周运动不少于3次 每周运动少于3次 女生 20 男生 40 合计 50 （1）补全列联表； （2）能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“学生每周运动频次与性别有关”？请说明理由. 参考附表： 0.100 0.050 0.025 2.706 3.841 5.024 参考公式：，其中. 【答案】（1） 每周运动次 每周运动次 合计 女生 10 20 30 男生 40 30 70 合计 50 50 100 （2）零假设：学生每周运动频次与性别无关. 根据表格中数据经计算得， 所以没有充分的证据表明“学生每周运动频次与性别有关”， 即不能在犯错误的概率不超过0.025的前提下，认为学生每周运动频次与性别有关. 【解析】 【分析】（1）根据给定数据完善列联表. （2）求出的观测值，再与临界值比对作答. 【小问1详解】 依题意得列联表，如下； 每周运动次 每周运动次 合计 女生 10 20 30 男生 40 30 70 合计 50 50 100 【小问2详解】略 17. 某大数据发展有限公司深耕新能源算力、数字科创等特色产业，为夯实产业发展基础、汇聚科研创新力量，该公司计划科学合理增加科创研发资金投入.为了解新能源算力科创研发投入额（单位：千万元）对数字产业年产值提升额（单位：千万元）的影响，经分析知与具有较强的线性相关关系，现对2019年至2025年科创研发投入额和数字产业年产值提升额进行研究，得到相关数据如下： 年份 2019 2020 2021 2022 2023 2024 2025 年份代码i 1 2 3 4 5 6 7 新能源算力科创研发投入额 10 30 40 60 80 90 110 数字产业年产值提升额 3.20 4.00 4.80 6.00 7.30 7.45 9.25 （1）求关于的线性回归方程； （2）若数字产业年产值提升额与新能源算力科创研发投入额的比值大于0.1，则称对应的年份为“云创年份”，从上面的7个年份中任意取3个，记表示这3个年份为“云创年份”的个数，求的分布列及数学期望. 参考数据：. 附：回归方程的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为， 【答案】（1） （2） X 0 1 2 3 P 【解析】 【分析】（1）利用线性回归系数公式，代入已知求和数据与均值计算斜率，再结合截距公式算出，写出回归直线方程； （2）先判断随机变量服从超几何分布，用组合公式算出各取值概率，列出分布列后依据期望公式计算数学期望. 【小问1详解】 ， 所以关于的线性回归方程为. 【小问2详解】 由题意，7个年份中数字产业年产值提升额与新能源算力科创研发投入额的比值大于0.1的有3个，所以X的可能取值为0，1，2，3， ， ， ， ， X 0 1 2 3 P 所以的数学期望. 18. 已知函数是定义在上的偶函数，且. （1）求函数的解析式； （2）判断在上的单调性，并证明； （3）若，求的取值范围. 【答案】（1） （2）函数在上单调递增， 证明如下： 任取，且， 因为， 则 由， 则 即， 故函数在上单调递增. （3） 【解析】 【详解】（1）函数是定义在上的偶函数，则，即，整理可得对任意的恒成立，故， 所以， 因为， 则，解得， 故. （2）略 （3）因为函数为上的偶函数，且该函数在上单调递增， 根据偶函数的对称性可知，在上单调递减， 由可得，得， 即，即， 可得或，解得或或. 因此，不等式的解集为. 19. 某公园湖面每日水质状态分为洁净状态A、微浊状态B两种，每日只会呈现其中一种状态.经过园区长期环境监测统计：湖面首日为洁净状态A的概率为，为微浊状态B的概率为；湖面水质状态的转换遵循固定规律：前一日为洁净状态A时，次日依旧保持洁净状态A的概率为，转变为微浊状态B的概率为；前一日为微浊状态B时，次日转为洁净状态A、保持微浊状态B的概率均为，该转换规律长期稳定不变.记该公园湖面第天为微浊状态B的概率为. （1）求该公园湖面第二天为微浊状态B的概率； （2）证明：数列为等比数列； （3）随机选取100个园区环境监测样本日，记为这100个样本日中第二天该公园湖面为洁净状态A的天数，表示这100个样本日中恰有天为洁净状态A的概率，求取得最大值时对应的的值. 【答案】（1） （2）证明：设“第天为微浊状态B”，则， 根据题意得 由全概率公式得 因此， 又因为， 所以是以为首项，为公比的等比数列 （3） 【解析】 【分析】（1）分别由题意表示出条件概率的值，然后利用全概率公式计算湖面第二天为微浊状态的概率即可. （2）根据条件概率的公式得到第天为微浊状态的概率与第天为微浊状态的概率的递推关系，然后根据等比数列的定义证明. （3）利用二项分布的公式得到分布列的通项,然后利用建立不等式求解即可. 【小问1详解】 设“第1天为微浊状态B”，“第2天为微浊状态B”，则“第1天为洁净状态A”， 则， 由全概率公式得， 即湖面第二天为微浊状态B的概率为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 第二天湖面为洁净状态A的概率 易知， 故， 当取得最大值时， 有 即 解得，又，所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第二学期期末教学质量检测高二数学试题 （本卷满分150分，考试时间120分钟） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. “皖美十六运，加宿向未来”，安徽省第十六届运动会2026年在宿州举办，现有4名志愿者参与三天省运会宣传工作，每人仅工作一天，4名志愿者全部安排上岗；要求三天每天均有志愿者工作，且第一天恰有两名志愿者工作，则符合条件的安排方案有（ ）种 A. 81 B. 64 C. 24 D. 12 3. 已知随机变量X服从正态分布，若，，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 4. 下列说法正确的是（ ） A. “若，则”是假命题 B. 若实数满足且，则的最小值是 C. “”是“定义在上的函数是奇函数”的充要条件 D. 命题p：，该命题的否定： 5. 在二项式的展开式中，第4项和第5项的二项式系数最大，则二项式展开式中的系数为（ ） A. 14 B. C. 84 D. 6. 已知，下列有关排列数、组合数的等式中不正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 一箱产品共有12件，其中有若干件为次品，从这一箱产品中任取2件，恰有1件次品的概率为，且，则这箱产品中次品的个数可能为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 8. 已知为上的奇函数，，若对，当时，都有，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的有（ ） A. 对于重伯努利试验，各次试验中事件发生的概率可以不同 B. 随机变量，若，则 C. 若关于的经验回归方程为，则样本点的残差为-1.4 D. 一组样本数据通过计算得线性回归方程为，若为，则 10. 设，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则（ ） A. 是相互独立事件 B. 事件，互斥 C. D. 11. 已知函数，则（ ） A. 为奇函数 B. 存在极值 C. 的值域是 D. 存在实数，且，使得在上的值域为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若命题“”为假命题，则实数的取值范围是___________. 13. 已知是定义在上的奇函数，且是偶函数，则___________. 14. 央视大型美食文旅节目《三餐四季》安徽篇6月7日播出，宿州美食惊艳亮相，节目播出后宿州的知名度大幅提升.三位美食博主甲，乙，丙决定探访宿州美食文化，计划打卡埇桥、砀山等五个地方.他们约定每人至少选择一个地方打卡，每个地方都有人去且仅有一人打卡，其中甲在埇桥、砀山中至少选择一个地方，则不同的打卡种数为___________.（用数字作答） 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知为奇函数，为偶函数，且. （1）求，的解析式； （2）若对任意的，恒成立，求实数的取值范围. 16. 某中学调查学生日常运动情况，从全校学生中随机抽取100人，统计学生每周运动频次，得到如下的列联表： 性别 运动频次 合计 每周运动不少于3次 每周运动少于3次 女生 20 男生 40 合计 50 （1）补全列联表； （2）能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“学生每周运动频次与性别有关”？请说明理由. 参考附表： 0.100 0.050 0.025 2.706 3.841 5.024 参考公式：，其中. 17. 某大数据发展有限公司深耕新能源算力、数字科创等特色产业，为夯实产业发展基础、汇聚科研创新力量，该公司计划科学合理增加科创研发资金投入.为了解新能源算力科创研发投入额（单位：千万元）对数字产业年产值提升额（单位：千万元）的影响，经分析知与具有较强的线性相关关系，现对2019年至2025年科创研发投入额和数字产业年产值提升额进行研究，得到相关数据如下： 年份 2019 2020 2021 2022 2023 2024 2025 年份代码i 1 2 3 4 5 6 7 新能源算力科创研发投入额 10 30 40 60 80 90 110 数字产业年产值提升额 3.20 4.00 4.80 6.00 7.30 7.45 9.25 （1）求关于的线性回归方程； （2）若数字产业年产值提升额与新能源算力科创研发投入额的比值大于0.1，则称对应的年份为“云创年份”，从上面的7个年份中任意取3个，记表示这3个年份为“云创年份”的个数，求的分布列及数学期望. 参考数据：. 附：回归方程的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为， 18. 已知函数是定义在上的偶函数，且. （1）求函数的解析式； （2）判断在上的单调性，并证明； （3）若，求的取值范围. 19. 某公园湖面每日水质状态分为洁净状态A、微浊状态B两种，每日只会呈现其中一种状态.经过园区长期环境监测统计：湖面首日为洁净状态A的概率为，为微浊状态B的概率为；湖面水质状态的转换遵循固定规律：前一日为洁净状态A时，次日依旧保持洁净状态A的概率为，转变为微浊状态B的概率为；前一日为微浊状态B时，次日转为洁净状态A、保持微浊状态B的概率均为，该转换规律长期稳定不变.记该公园湖面第天为微浊状态B的概率为. （1）求该公园湖面第二天为微浊状态B的概率； （2）证明：数列为等比数列； （3）随机选取100个园区环境监测样本日，记为这100个样本日中第二天该公园湖面为洁净状态A的天数，表示这100个样本日中恰有天为洁净状态A的概率，求取得最大值时对应的的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $