【安徽省县中联盟】2025-2026学年下学期高二期末联考数学试题

高二数学 考生注意： 1.满分150分，考试时间120分钟。 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题 目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作 答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。 3.本卷命题范围：高考范围。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的。 1.已知集合A={5},B={x5x-x2=0},则AUB= A.{5} B.{0,5} C.{-5,5》 D.{-5,0,5} 2.已知随机变量X~N(6.5,o2),若P(5<X<8)=0.8,则P(X≤5)= A.0.1 B.0.2 C.0.4 D.0.6 3.(2 的展开式中的第3项为 A.20 B.60 C.60x2 D 4.若平面向量a,b满足a=2,b=1,且a⊥(a一3b),则a与b的夹角的余弦值为 A号 B吉 c号 D-号 5.已知抛物线C:y=8x的焦点为F,过点A(一2,0)的直线与C相切于点B,则B BAT A.1 B.√2 c n号 6.若0<m<<1,且a=(月）“，6=logm,c=logm,则 A.a<b<c B.c<b<a C.b<c<a D.c<a<b 7.已知等差数列{an}的前n项和为Sm,若a十a号=9，则Ss的最大值为 A.15√5 B.15 C.30√5 D.30 【高二数学第1页（共4页）】 8.已知函数f(x)=e+2一a(x2十4x)有2个极值点，x2,且f(x)在x=xo处取得最值，若x1<0 ≤xo≤2<x2,则a的取值范围是 A[食，] B(合] c[别 D(剖 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求。 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知a∈R,复数x=(a十i)(2一i),则 A.当a=1时，x=10 B.当z∈R时，a=2 C.当a=0时，（之-1）3=一8i D.当之在复平面内对应的点在第一象限时，a∈（分，2） 10.如图，在四棱柱ABCD-A1B1CD1中，底面ABCD是边长为2的正方形，AB1·AB=一5， ∠AAB=∠AAD-牙，点E满足DE=入DC(0≤A≤1)，则 A.四棱柱ABCD-A1BCD1的表面积为8+123 B.当入=2时，A立在A官上的投影向量为号A官 C当AE=时1= D.存在，使得DE=xDA+yDC+xDCi,且x十y十之=1 11.若数列{am}满足am+=an十（一1）”n(t∈N),称数列{am}为“t阶摆动数列”，下列结论正确的是 A.若{an}是“1阶摆动数列”，则a1o1一a9=1 B.若{am}是“1阶摆动数列”，且a1=0,则a1oo=一50 C.若{an}是“2阶摆动数列”，且a1=a2=0,则a9十a1oo=98 D.若a}是“4阶摆动数列，且a1=a=ag=a4=1,则登a,=700 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.样本数据1,2,3,4,2,4,6,8的40%分位数是 13.将编号为1,2,3,4的4个乒乓球分别放入编号为1,2,3,4的4个盒子中，每个盒子中放入1个 球，记这4个盒子中盒子编号与所放球的编号之和为5的共有X个，则P(X=2)= 14.已知点A(一40，B(-1,0),动点Pm,)满足路=2，则士m-2的最大值 m-2√2 为 【高二数学第2页（共4页）】 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤。 15.(本小题满分13分) 已知函数f(x)=3sin(+x)十sin(元-x)-√3. (1)求函数f(x)图象的对称轴方程： (2)在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若f(A)=0,a=7,c=8,求△ABC的面积. 16.(本小题满分15分) 已知函数f(x)=aln(x十2)+x,a∈R (1)若a=2,求f(x)的图象在x=一1处的切线方程； (2)讨论f(x)的单调性. 17.(本小题满分15分) 如图，在三棱柱ABC-A1B1C中，D为AB的中点. (1)证明：BC∥平面ACD: (2)若AB=AC=BC=AA1=AC=2,BC1=√6，求平面A1CD与平面ABC1夹角的余弦值， 【高二数学第3页（共4页）】 18.(本小题满分17分) 某人工智能实验室研发了一款AI智能学习助手.为了评估该模型在连续对话任务中的稳定性 与优化效果，研究团队构建了如下概率模型：假设A】在处理每一轮用户指令时，其内部状态分 为2种：“待优化”、“运行中”.AI初始状态为“待优化”状态，现对AI进行多轮处理，首轮处理，有 0.6的概率成功进入“运行中”状态，有0.4的概率继续保持“待优化”状态，以后每轮处理，若前 一轮处于“待优化”状态，则后一轮有0.6的概率成功进入“运行中”状态，有0.4的概率继续保持 “待优化”状态，若前一轮处于“运行中”状态，则后一轮有0.8的概率继续保持“运行中”状态，有 0.2的概率退回到“待优化”状态 (1)求第1轮与第2轮处理后AI都处于“待优化”状态的概率； (2)记第1轮与第2轮处理后AI处于“运行中”状态的次数为X,求X的分布列与数学期望； (3)设P表示经过第n轮处理后，AI处于“运行中”的概率，求P. 19.(本小题满分17分) 已知椭圆C号芳-1。>6>0)经过点P1,2引，且离心率为 (1)求C的方程： (2)若点D,E分别为C的左、右顶点，直线x=x。与C交于两点M,N(其中M在x轴上方)，证 明，直线DM.EN的交点G恒在双曲线C':若-苦-1上： (3)若动直线I:y=kx十t与C交于与点P不重合的点A,B,且PA⊥PB,证明：当直线L与曲线 2y一3x=14xy交于两点M1,M2时，M1,M2关于某定点对称. 【高二数学第4页（共4页）】高二数学 参考答案、提示及评分细则 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B A C C D D A B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求。全部选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 题号 9 10 11 答案 BC ACD ABD 1.B因为A={5},B={x|5x一x2=0〉={0,5}，所以AUB={0,5},故选B. 2.AP(X≤5)=1-P(5X<8=0.1,故选A 2 3.C (2z+)的展开式中的第3项为C(2x)(元》 =60x2,故选C. 4.C 由aL(a-3b)得a·(a-3b)=a2-3a·b=0,即4-3×2×1Xc0s(a,b)=0,所以cos(a,b)=号，故选C 5.D设切线AB方程为y=k(x十2)，与y=8.x联立得k2x2+(4k一8)x+4k2=0,所以(4k-8)2-16k=0, 太士1，∠BA一5，设点B到C的准线距离为d,则需-岛一m5-号散选D 6D因为0<m<<1,则片>>1，-m<0,由指数厨数的单调性可得0<a=(日）”<（分） =1,由对数函数 m n 的单调性可得b=logm>logn=1,c=log1n<log21=0,所以c<a<b,故选D. 7.A设{an}的公差为d,由a+a=9,得(ag-2d)2+(ag+dl)2=9,整理得5-2asdl+2a-9=0,所以 (-2ag)2-4×5×(2a-9)≥0，解得a≤5，a8≤√5，所以S15=15ag≤15√5，故选A. 8.B因为f(x)=e2-a(.x2+4x),所以f(x)=e+2-a(2x十4)，设g(x)=f(x),则g(x)=e+2-2a,若a ≤0，则g'(x)>0,∫(x)单调递增，f(x)最多有1个极值点，不满足题意，所以a>0,此时∫(x)在 (ln2a-2,十∞)上单调递增，在（一∞，ln2a-2)上单调递减，所以=ln2a一2，又x1<0,x2>2,所以 0≤ln2a-2≤2， 厂0)-。a<0,解得答<u≤兮放述B f'(2)=e4-8a<0, 9.BC对于A,当a=1时，|x|=1+i|2-i=2×5=√10，A错误；对于B,x=2a+1+(2一a)i为实数，则 2-a=0,a=2,B正确；对于C,当a=0时，2=1十2i,(之一1)3=(2i)3=一8i,C正确；对于D,当之在复平面对应 的点在第一象限时得一名a<2.D错误，放选C 10.ACD对于A,由AB·AB=(AB+AA)·(AB-AA)=AB-AA=4-AA12=-5,得AA,=3,所以 四棱柱ABCD-AB,CD,的表面积为2X22+4X2X3Xsim号-=8+123，A正确：对于B,当入=2时，A花. A店-(Ai+AA+号A)·A店=0十3×2×c0s号+×4=5，所以A它在A上的投影向量为 E.AB IABI AB .B错误由AE得A士AM十A2士9++6+0十成牛+19限解 AB 4 得入=}（负值舍去），C正确：对于D,由x十y叶=1，得点E在平面ACC,内，此时E,C重合A=1,D正确， 故选ACD. 11.ABD对于A,由a+1=an十(-1)n得a2+1=a2十2k,a2=a2-1一2k+1,k∈N*,两式相加得a2+1一a2-1= 1,所以a1o1一ag9=1,A正确： 对于B,a1=0,a2=a1-1=-1,a2+2=a2+1-2k-1,a2+1=a2十2k,k∈N*,两式相加得a2k+2一a2=-1,所 【高二数学参考答案第1页（共4页）】 以a1m=ag8-1=…=a2一49=一50，B正确； 对于C,由a+2=a,十(-1)”n得a2+1=a2k-1-2k+1,a2k+2=a2十2k,k∈N*,两式相加得a2+1十a2+2=a2-1 十a2%十1，所以ag9十a1=a1十a2十49=49，C错误； 对于D,由已知可得a4+4十a4+3十a+2十a+1=a十a4-1十a4-2十a4-3十4k-(4k-1)十4k一2-(4k-3)= 109 25 a4十a4地-1十a-2十a4w-3十2，所以a4k十a4k-1十ak-2十a4h-3=4十2(k-1)=2k+2,所以∑a:=∑(2i+2)= 700.D正确，故选ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.3把这组数据按照从小到大排列为1,2,2,3,4,4,6,8,40%×8=3.2，所以40%分位数是第4个数3. 总的放法种数为A=24,盒子编号与所放球的编号之和为5的结果有(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，所以 pX=)号- 14.9√2 由已知得|PA2=4|PB|2,所以(m十4)2+n2=4(m+1)2+4n2,整理得m2+2=4,所以 mn+n+2m-12-(m2+m)n十/2m=12=2+4m2,12表示圆x2+y=4上的点与点 -2√2 m-2√2 m-2√2'm-22 Q(2√2,2)连线的斜率，设过点Q的直线方程为y一2=k(x一2√2)，即kx一y-2√2k十2=0，圆心(0,0)到该 直线的距离不大于圆的半径，即一2Ek+2≤2，解得0≤k≤2反，所以”2的最大值为222十 √/R2+1 m-2√2 4(n2的最大值为9V2,即mn+m+Em-12的最大值为9反. m-2√2 m-2√2 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤。 15.解：1Df(x)=cos十simx-5=2cos(x-晋)-月. …2分 令x-否=kx,k∈Z,得x=kr十否，b∈Z, …4分 所以fr)图象的对称轴方程为x一π十若，∈乙 …5分 (2)油(1)可得KA=20s(A-吾)-5=-0，所以os(A-吾）- …6分 因为A∈(0，，所以A-晋∈(-吾，器)，所以A-晋=晋故A=晋 …8分 因为a2=b+c2-2 bccos A,且a=7,c=8, 所以b2一8b十15=0，解得b=3或b=5,经检验，均符合要求，…11分 当6-3时，S三2 -bcsin A=2X3X8X号=63；… …12分 当-5时，5ar一号csmA-号×5x8×9=105。 2 13分 解：①当a=2时，)=2m(x+2)+x,了(x)=22十 2分 所以f(-1)=-1,f(-1)=3,…4分 所以f(x)的图象在x=一1处的切线方程为y+1=3(x+1), 即3江-y十2=0.…6分 2的定文城为(-2.+∞)，且/)千2+1-生年， x十2 8分 当a≥0时，f(x)>0,f(x)单调递增； …10分 当a<0时，令f(x)<0,得-2<x<-a-2,此时f(.x)单调递减， 令f(x)>0,得x>一Q一2，此时f(x)单调递增.…13分 综上得，a≥0时f(x)在(-2，+∞)上单调递增，a<0时f(x)在（一2，一a一2）上单调递减，在 （-Q-2,十0∞)上单调递增。…15分 17.(1)证明：设AC∩AC=E,则E为AC1的中点，…1分 连接DE,因为D为AB的中点， 所以DE/∥BC,…3分 因为DEC平面A,CD,BC在平面ACD, 【高二数学参考答案第2页（共4页）】 所以BC∥平面ACD.…4分 (2)解：由已知得，△ABC与△ACC都是边长为2的正三角形， 取AC中点O,连接OB,OC1,则OC1⊥AC,OB⊥AC,且OB=OC1=3, 因为BC=√6，所以OB2+OC=BC,所以OB⊥OC, 则OB,OC,Q汇1两两垂直.…6分 以O为原点，OB,OC,OC,所在直线分别为x,y,之轴建立空间直角坐标系 则A0,-1.0.B500.C(01.0.D(-2o小A0.-2w5) C(0,0,5), 所以d-(-号是o).=0,-3w)=1.0).ad=(01w月). …9分 设平面ACD的法向量m=(x,y,之)，由 mD心-0·得 m.CA=0," 3y+√5x=0, 取y=1,得m=(5,1,5).… 11分 n·AB=0,相∫5a+b=0, 设平面ABC,的法向量n=(a,b,c),由 得 n·AC=0, b+5c=0, 取c=1,得n=（1,-/5,1),… 13分 设平面A1CD与平面ABC的夹角为0，则cos0= m·n 5 ./105 mn√7X√5 35 即平面ACD与平面ABC,夹角的余弦值为0西 35· ……15分 18.解：(1)AI开始处于“待优化”状态，第1轮处理后AI处于“待优化”状态的概率为0.4， 当第1轮处理后AI处于“待优化”状态时，第2轮处理后A1处于“待优化”状态的概率为0.4， 所以第1轮与第2轮处理后AI都处于“待优化”状态的概率为0.4×0.4=0.16.…3分 (2)X的所有可能取值分别为0,1,2，…4分 P(X=0)=0.4×0.4=0.16, P(X=1)=0.6×0.2+0.4×0.6=0.36, P(X=2)=0.6X0.8=0.48,… 7分 所以X的分布列为 X 0 1 2 0.16 0.36 0.48 8分 E(X)=0×0.16+1×0.36+2×0.48=1.32. 10分 (3)由已知得P,=0.6, Pn+1=Pn×0.8+(1-Pm)X0.6=0.2Pn+0.6, …12分 设P+1+入=0.2(P,十A),则0.2入一入=0.6，入=-0.75， 所以数列{P一0.75}是公比为0.2的等比数列，首项为P1一0.75=一0.15，…15分 所以Pn-0.75=-0.15X0.2-1,P=0.75-0.15X0.2-1.…17分 织解：因为C经过点P山所以十，……… 因为C的离心率为所以2无，即463a,a…于 2分 代人克十花1得a=4,所以仔=3，………心3分 所以C的方程为号+苦-1. 3 …4分 (2)i证明：由1得D(-2.0),E2,0),把=代入号+学-1得M(V3一云).N(,√3一子)， ……5分 【高二数学参考答案第3页（共4页）】 32 y 设G(x',y'),由D,M,G三点共线得 x十2 x'+2 6分 1/3 同理可得 x0-2 x'-2 7分 3 所以 y 4x63 3 -X x'-2x'+2 x6-44’ …8分 整理得y 43=1, 所以点G恒在双曲线号一苦一1上 …9分 (y=kx+t; （3)证明：设A(),B(x),由￡+兰-1， 4T3 得(3+4k2)x2+8ktx+42-12=0, 丽以n+3十0-纤最 10分 因为PA1PB,所以Pi.P店=(x-1)(x-1)+(一)（一） =(-1)(x-1D+(x+i-2)(x,+i-2】 =(1+)x+(-k-1)(a+%)+2-3+ -1士g28幽3老+g-+5-a 3十4k 3+4k 整理得(+及一号)+号+)=0， …12分 因为直线1不经过点P,所以十一号≠0， 所以+7+音-0，即1=一女一音： 代人y=kx+得y=(红-号)-寻 所以直线1过定点Q(号，一是)】 …14分 下面证明曲线2y一3x=14xy关于点Q对称， 设点R(m,n)是曲线2y-3.x=14xy上任意一点，则2m-3m=14mn, 点R关于点Q的对称点为R'(号-m,一号-小， 因为2(-号-m-3(号-m)-14(号-m(-号-n =号+(3m-2m)-14[-是+号3m-2m)+m =2m-3m-14mn=0, 所以R(号-m,一鸟-）在曲线2y一3x=14上.即曲线2y-3x=4y关于点Q对称。…16分 所以当直线1与曲线2y一3=1xy交于两点M,M,时，M,M关于定点Q<号，是对称…17分 【高二数学参考答案第4页（共4页）】高二数学 答题卡 姓名： 填 正确填涂 准考证号 ■ 考场号： 样 错误填涂 0000 0000 ■ 例 W☒ 座位号： ©可 姓名×XX 贴条形码区 考场号XX 座位号X× 缺考 填涂说明，缺考考生由监考员用2》 标记 铅笔填涂准考证号及左边缺考标记 选择题(58分) 1AB©D可 5ABCD 9ABCD ■ 2AB☑可 6AB®©D 10AB©D 3ABIC网D 7ABCD 11ABCD 4ABD可 8AB☑可 非选择题(92分) 12.(5分) ■ 13.(5分) 14.(5分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 高二数学第1页（共6页） ■■■■■■■■■■■■■■■■■■ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 15.(本小题满分13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 高二数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 16.(本小题满分15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 高二数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 17.(本小题满分15分) A 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 高二数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 18.(本小题满分17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 高二数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 19.(本小题满分17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 高二数学第6页（共6页）