13.2.1三角形的边（导学练） 2026-2027学年人教版数学八年级上册

该初中数学导学案聚焦“三角形的边”，核心内容为三角形三边关系的探究应用及稳定性理解。课堂导入通过学具操作（摆三角形、拼图形）与追问引导，从路线最短问题推导三边关系，从图形扭动实验感知稳定性，搭建从具体到抽象的学习支架。 资料特色在于学具探究培养几何直观（数学眼光），推导过程发展推理意识（数学思维），例题变式（含参数、等腰三角形周长）与分层习题强化模型应用（数学语言），结构完整助力学生自主学习，提升解决实际问题的能力。

13.2.1 三角形的边 （导学练） 【学习重、难点】 1.三角形三边关系的探究与应用；三角形的稳定性的理解。 2.灵活运用三边关系解决含参数的边长、等腰三角形周长问题；理解“任意”的含义，养成解题时验证三角形的习惯。 【自主预习】阅读教材P5-P6，完成以下问题： 1. 三角形三边的关系 (1)任意两边之和_____第三边：_______________________ (2)任意两边之差_____第三边：_______________________ 2. 三角形的稳定性 三角形具有_______，四边形_______________ 【课堂探究】阅读教材P5--P6，完成以下问题： 自主探究一、三边的关系（准备学具：粉笔、、彩笔、木棒）小组合作：摆三角形 追问1：任意摆一个△ABC，从点B出发沿三角形的边到点C，有几条线路可以选择？哪条路最短？为什么？ 引导推导：结合路线问题，给出△ABC的三边AB、AC、BC， 追问2：由“AC是最短路径”能得到什么不等式？ 同理，BC+AB和AC是什么关系？AC+BC和AB呢？ 【归纳总结】： 【变形推导】：引导学生利用不等式性质，对上述三个式子进行变形，得出“三角形任意两边之差小于第三边”。 __________________________________ __________________________________ __________________________________ 追问3：要判断三条线段能否组成三角形，需要验证所有三组关系吗？有没有更简单的方法？ 自主探究二、三角形的稳定性（准备学具：小木棒、吸管棒、钉子板、弹簧绳） 小组合作：拼出三角形，扭动它 追问4：形状会改变吗？ 小组合作：拼出四边形，扭动它 追问5：形状会改变吗？ 小组合作：在四边形上钉一根木条，连接一对顶点，再扭动 追问6：现在形状改变吗？ 【总结】：__________________________________ 【教材P6例题变式】用一条长为18cm的细绳围成一个等腰三角形. （1）能围成有一边的长为9cm的等腰三角形吗？为什么？ （2）假设等腰三角形的腰长为,求的取值范围？ （3）假设等腰三角形的底边长为,求的取值范围？ （4）假设等腰三角形的最长边为,求的取值范围？ 【基础复习巩固】 知识点1：三角形的三边关系 1.(教材P7练习T1变式)下列长度(单位：cm)的3根小木棒能搭成三角形的是（ ） A.1,2,3 B.2,3,4 C.3,5,8 D.4,5,10 2.把一根细木条按箭头所 指的位置剪成3段(细木条中的每一份长度相 等),下面的剪法中，用剪后得到的3根细木条 能围成等腰三角形的是（ ） A. B. C. D. 3.已知一个三角形的两边长分别为4和9,第三边的长为奇数，则该三角形第三边的长可能是（ ） A.5个 B.10个 C.11个 D.12个 4.在建筑工地我们常看见用木条EF固定矩形门框ABCD的情形，这种做法的根据是(　　) A.两点之间线段最短 B.两点确定一条直线 C.三角形的稳定性 D.矩形的四个角是直角 5.三条线段分别满足下列条件，其中能构成三角形的是( ) A. B. C. D. 6.从长为的四根本条中选出其中三根组成三角形，可以选________________________ (写出所有的方案). 7.若三角形的两边分别为和，则第三条边长的取值范围为____________________. 【方法总结】:已知三角形的两边，确定第三边的取值范围，其方法是：第三边大于已知两边之差，小于已知两边之和. 8.下列长度的三条线段能否组成三角形？为什么？ （1）3，3，6 （2）2，5，6 （3）15，16，2 （4）3，8，20 知识点2：三角形的稳定性 9.下列生产和生活实例：①三角形的屋顶钢架结构；②商店的推拉活动防盗门；③在长方形栅栏 门的两个角上各斜钉一根木条.其中应用了三角形稳定性的有（ ） A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 10.下列图形中，不具有稳定性的是(　　) （11题图） 11.王师傅用4根木条钉成一个四边形木架，如图要使这个木架不变形，他至少要再钉上木条(　　) A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 12.下列不是利用三角形的稳定性的是（ ） A.自行车的三角形车架 B.三角形房梁 C.四边形活动挂架 D.长方形门框的斜拉条 13. 空调安装在墙上时，一般都会采用如图所示的方法固定，这种方法应用的几何原理是_______________________ . 14.(1).已知等腰三角形的腰等于7，底边等于8，则它的周长为_________ (2).已知等腰三角形的一边等于7，另一边等于8，则它的周长为__________ (3).已知等腰三角形的一边等于3，另一边等于8，则它的周长为__________ 【课堂总结】 1.三角形的三边关系（核心考点） (1)任意两边之和大于第三边：,, (2)任意两边之差小于第三边：,, 2.判断三条线段能否围成三角形 最快方法：最短两边之和最长边​只要这一条成立，其余自动成立。 3.已知两边，求第三边的取值范围 设已知两边为 ，第三边为，则：如果是整数边，再在这个范围内数整数解即可 4.三角形具有稳定性，四边形没有稳定性 【课后反思】本节课学习中，你有哪些收获，还有哪些问题？ 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 13.2.1 三角形的边 （导学练） 【学习重、难点】 1.三角形三边关系的探究与应用；三角形的稳定性的理解。 2.灵活运用三边关系解决含参数的边长、等腰三角形周长问题；理解“任意”的含义，养成解题时验证三角形的习惯。 【自主预习】阅读教材P5-P6，完成以下问题： 1. 三角形三边的关系 (1)任意两边之和_____第三边：_______________________ (2)任意两边之差_____第三边：_______________________ 2. 三角形的稳定性 三角形具有_______，四边形_______________ 【课堂探究】阅读教材P5--P6，完成以下问题： 自主探究一、三边的关系（准备学具：粉笔、、彩笔、木棒）小组合作：摆三角形 追问1：任意摆一个△ABC，从点B出发沿三角形的边到点C，有几条线路可以选择？哪条路最短？为什么？ 引导推导：结合路线问题，给出△ABC的三边AB、AC、BC， 追问2：由“AC是最短路径”能得到什么不等式？ 同理，BC+AB和AC是什么关系？AC+BC和AB呢？ 【归纳总结】： 【变形推导】：引导学生利用不等式性质，对上述三个式子进行变形，得出“三角形任意两边之差小于第三边”。 __________________________________ __________________________________ __________________________________ 追问3：要判断三条线段能否组成三角形，需要验证所有三组关系吗？有没有更简单的方法？ 自主探究二、三角形的稳定性（准备学具：小木棒、吸管棒、钉子板、弹簧绳） 小组合作：拼出三角形，扭动它 追问4：形状会改变吗？ 小组合作：拼出四边形，扭动它 追问5：形状会改变吗？ 小组合作：在四边形上钉一根木条，连接一对顶点，再扭动 追问6：现在形状改变吗？ 【总结】：__________________________________ 【教材P6例题变式】用一条长为18cm的细绳围成一个等腰三角形. （1）能围成有一边的长为9cm的等腰三角形吗？为什么？ （2）假设等腰三角形的腰长为,求的取值范围？ （3）假设等腰三角形的底边长为,求的取值范围？ （4）假设等腰三角形的最长边为,求的取值范围？ 【基础复习巩固】 知识点1：三角形的三边关系 1.(教材P7练习T1变式)下列长度(单位：cm)的3根小木棒能搭成三角形的是（ ） A.1,2,3 B.2,3,4 C.3,5,8 D.4,5,10 2.把一根细木条按箭头所 指的位置剪成3段(细木条中的每一份长度相 等),下面的剪法中，用剪后得到的3根细木条 能围成等腰三角形的是（ ） A. B. C. D. 3.已知一个三角形的两边长分别为4和9,第三边的长为奇数，则该三角形第三边的长可能是（ ） A.5个 B.10个 C.11个 D.12个 4.在建筑工地我们常看见用木条EF固定矩形门框ABCD的情形，这种做法的根据是(　　) A.两点之间线段最短 B.两点确定一条直线 C.三角形的稳定性 D.矩形的四个角是直角 5.三条线段分别满足下列条件，其中能构成三角形的是( ) A. B. C. D. 6.从长为的四根本条中选出其中三根组成三角形，可以选________________________ (写出所有的方案). 7.若三角形的两边分别为和，则第三条边长的取值范围为____________________. 【方法总结】:已知三角形的两边，确定第三边的取值范围，其方法是：第三边大于已知两边之差，小于已知两边之和. 8.下列长度的三条线段能否组成三角形？为什么？ （1）3，3，6 （2）2，5，6 （3）15，16，2 （4）3，8，20 知识点2：三角形的稳定性 9.下列生产和生活实例：①三角形的屋顶钢架结构；②商店的推拉活动防盗门；③在长方形栅栏 门的两个角上各斜钉一根木条.其中应用了三角形稳定性的有（ ） A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 10.下列图形中，不具有稳定性的是(　B　) 11.王师傅用4根木条钉成一个四边形木架，如图要使这个木架不变形，他至少要再钉上木条(　　) A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 12.下列不是利用三角形的稳定性的是（ ） A.自行车的三角形车架 B.三角形房梁 C.四边形活动挂架 D.长方形门框的斜拉条 13. 空调安装在墙上时，一般都会采用如图所示的方法固定，这种方法应用的几何原理是_______________________ . 14. (1)在如图所示的图形中，哪些具有稳定性？ (2)对上图中不具有稳定性的图形，请适当地添加线段，使之具有稳定性． 【变式训练】 15.若三角形的两边分别为2和3，则第三条边可能是( ) A.1 B.2 C.5 D.6 16.三角形ABC中，三边均为整数，周长为11，且有一边为4，则这个三角形可能最长边是（ ） A.7 B.6 C.5 D.4 17.(教材习题P9·T2变式)长度分别为2,3,3,4 的四根细木棒首尾相连，围成一个三角形(木棒允许连接，但不允许折断),得到的三角形的最长边长为（ ） A.4 B.5 C.6 D.7 18.(教材复习题P21·T3 变式)如图,点P在△ABC 的内部，连接AP,BP,CP,延长BP 交边 AC 于点 D, 则下列结论中，错误的是（ ） A.AB+AD>BD B.PD+CD>CP C.AB+AC>BP+CP D.AP+BP+CP>AB+BC+AC 19.若一个三角形有两边长为5和2，第三边长为奇数，则此三角形的周长为 12 20.三角形ABC中，AB=7,BC=3，并且AC为奇数,那么三角形ABC的周长 15或17或19 。 21.(教材P10·练习T5变式)(1).已知等腰三角形的腰等于7，底边等于8，则它的周长为_________________ (2).已知等腰三角形的一边等于7，另一边等于8，则它的周长为_____________ (3).已知等腰三角形的一边等于3，另一边等于8，则它的周长为_________ 22. (教材P6·例题变式)用一条长为20 cm 的细绳围成 一个等腰三角形. (1)如果腰长是底边长的2倍，那么各边的长是多少? (2)能围成有一边的长为6cm 的等腰三角形吗?若能，写出所围成等腰三角形的三边长； 若不能，请说明理由. 22.已知三角形的三边长分别为3,,4，求的取值范围 23.已知三角形三条边的长分别为，，，求的取值范围 24.若等腰三角形的三边长分别为，，，求三角形的周长 26.如图，是一个四边形木框，为了使它保持稳定的形状，需在或上钉上一根木条，现量得，，，，试问所需的木条长度至少要多长(结果保留整厘米数) 【课堂总结】 1.三角形的三边关系（核心考点） (1)任意两边之和大于第三边：,, (2)任意两边之差小于第三边：,, 2.判断三条线段能否围成三角形 最快方法：最短两边之和最长边​只要这一条成立，其余自动成立。 3.已知两边，求第三边的取值范围 设已知两边为 ，第三边为，则：如果是整数边，再在这个范围内数整数解即可 4.三角形具有稳定性，四边形没有稳定性 【课后反思】本节课学习中，你有哪些收获，还有哪些问题？ 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 13.2.1 三角形的边 （导学练） 【学习重、难点】 1.三角形三边关系的探究与应用；三角形的稳定性的理解。 2.灵活运用三边关系解决含参数的边长、等腰三角形周长问题；理解“任意”的含义，养成解题时验证三角形的习惯。 【自主预习】阅读教材P5-P6，完成以下问题： 1. 三角形三边的关系 (1)任意两边之和大于第三边：,, (2)任意两边之差小于第三边：,, 2. 三角形的稳定性 三角形具有稳定性，四边形没有稳定性 【课堂探究】阅读教材P5--P6，完成以下问题： 自主探究一、三边的关系（准备学具：粉笔、、彩笔、木棒）小组合作：摆三角形 2根短木棒、1根超长木棒，尝试拼接，首尾无法闭合，围不出三角形；再换 3 根匹配长度木棒，顺利围成。 追问1为什么有的三根木条拼不成三角形？三条边的长度藏着什么规律？ 明确本节课学习目标：认识三角形、探究三条边的长度关系 追问2：小木棒任意摆一个△ABC，从点B出发沿三角 形的边到点C，有几条线路可以选择？哪条路最短？为什么？ 2条路线，线段BC，两点之间线段最短 追问2：由“AC是最短路径”能得到什么不等式？ 同理，BC+AB和AC是什么关系？AC+BC和AB呢？ 【归纳总结】： “三角形任意两边之和大于第三边”。 【变形推导】：引导学生利用不等式性质，对上述三个式子进行变形，得出“三角形任意两边之差小于第三边”。 / / / 追问3：要判断三条线段能否组成三角形，需要验证所有三组关系吗？有没有更简单的方法？ 只需验证“较短两边之和大于最长边”即可，简化判断方法 自主探究二、三角形的稳定性（准备学具：小木棒、吸管棒、钉子板、弹簧绳） 小组合作：拼出三角形，扭动它 追问4：形状会改变吗？ 不会 小组合作：拼出四边形，扭动它 追问5：形状会改变吗？ 会 小组合作：在四边形上钉一根木条，连接一对顶点，再扭动 追问6：现在形状改变吗？ 不会 【总结】：三角形具有稳定性，四边形没有稳定性。 【教材P6例题变式】用一条长为18cm的细绳围成一个等腰三角形. （1）能围成有一边的长为9cm的等腰三角形吗？为什么？ （2）假设等腰三角形的腰长为,求的取值范围？ （3）假设等腰三角形的底边长为,求的取值范围？ （4）假设等腰三角形的最长边为,求的取值范围？ 解（1）：不能围成一边长是9cm的等腰三角形，理由如下： 分两种情况讨论，如下：①当长为的边为腰时，设底边长为,根据题意，得，解得， 所以腰长为时，不能围成等腰三角形； ②当长为的边为底边时，设腰长为,根据题意， 得，解得,由，可知两条线段的和等于第三条线段，所以以为底边长不能组成三角形.故不能围成一边长是9cm的等腰三角形； （2）由题意可知三边长为,, 当腰为短边时：解得 当腰为长边：解得 ∴取值范围为 （3）由题意可知三边长为,,, 则有，解得： ∴取值范围为 （4）由题意可知 ，解得： ∴取值范围为 【基础复习巩固】 知识点1：三角形的三边关系 1.(教材P7·练习T1变式)下列长度(单位：cm)的3根小木棒能搭成三角形的是（ B ） A.1,2,3 B.2,3,4 C.3,5,8 D.4,5,10 2.把一根细木条按箭头所 指的位置剪成3段(细木条中的每一份长度相 等),下面的剪法中，用剪后得到的3根细木条 能围成等腰三角形的是（ C ） A. B. C. D. 3.已知一个三角形的两边长分别为4和9,第三边的长为奇数，则该三角形第三边的长可能是（ A ） A.5个 B.10个 C.11个 D.12个 4.在建筑工地我们常看见用木条EF固定矩形门框ABCD的情形，这种做法的根据是(　C　) A.两点之间线段最短 B.两点确定一条直线 C.三角形的稳定性 D.矩形的四个角是直角 5.三条线段分别满足下列条件，其中能构成三角形的是( C ) A. B. C. D. 6.(教材P9·练习T2变式)从长为的四根本条中选出其中三根组成三角形，可以选 或或 (写出所有的方案) 7.(教材P9·练习T1变式)若三角形的两边分别为和，则第三条边长的取值范围为 【方法总结】:已知三角形的两边，确定第三边的取值范围，其方法是：第三边大于已知两边之差，小于已知两边之和。 8.下列长度的三条线段能否组成三角形？为什么？ （1）3，3，6 （2）2，5，6 （3）15，16，2 （4）3，8，20 解：(1)∵3+3=6， ∴这三条线段不能组成一个三角形. (2)∵2+5>6， ∴这三条线段能组成一个三角形. (3)∵15+2>16， ∴这三条线段能组成一个三角形. (4)∵3+8<20， ∴这三条线段不能组成一个三角形. 【注意】：只要满足较小的两条线段之和大于第三条线段，或较长线段与最短线段之差小于中间线段，便可构成三角形;若不满足，则不能构成三角形. 知识点2：三角形的稳定性 9.下列生产和生活实例：①三角形的屋顶钢架结构；②商店的推拉活动防盗门；③在长方形栅栏 门的两个角上各斜钉一根木条.其中应用了三角形稳定性的有（ C ） A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 10.下列图形中，不具有稳定性的是(　B　) 11.王师傅用4根木条钉成一个四边形木架，如图要使这个木架不变形，他至少要再钉上木条(　B　) A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 12.下列不是利用三角形的稳定性的是（ C ） A.自行车的三角形车架 B.三角形房梁 C.四边形活动挂架 D.长方形门框的斜拉条 13.空调安装在墙上时，一般都会采用如图所示的方法固定，这种方法应用的几何原理是三角形具有稳定性 14.(1)在如图所示的图形中，哪些具有稳定性？ (2)对上图中不具有稳定性的图形，请适当地添加线段，使之具有稳定性． 解(1)1，4，6具有稳定性 2，3，5不具有稳定 (2)如图所示 【规律与方法】怎样判断一个图形是否具有稳定性 从整体上看，如果这个图形全部是由三角形组成的，一般情况下，这个图形就具有稳定性；如果这个图形中除含有三角形外，还含有其他图形（如四边形），那么一般情况下，这个图形不具有稳定性 【变式训练】 15.若三角形的两边分别为2和3，则第三条边可能是( B ) A.1 B.2 C.5 D.6 16.三角形ABC中，三边均为整数，周长为11，且有一边为4，则这个三角形可能最长边是（ C ） A.7 B.6 C.5 D.4 17.(教材习题P9·T2变式)长度分别为2,3,3,4 的四根细木棒首尾相连，围成一个三角形(木棒允许连接，但不允许折断),得到的三角形的最长边长为（ ） A.4 B.5 C.6 D.7 18.(教材复习题P21·T3 变式)如图,点P在△ABC 的内部，连接AP,BP,CP,延长BP 交边 AC 于点 D, 则下列结论中，错误的是（ ） A.AB+AD>BD B.PD+CD>CP C.AB+AC>BP+CP D.AP+BP+CP>AB+BC+AC 19.若一个三角形有两边长为5和2，第三边长为奇数，则此三角形的周长为____12______ 20.三角形ABC中，AB=7,BC=3，并且AC为奇数,那么三角形ABC的周长 15或17或19 21.(教材P10·练习T5变式)(1).已知等腰三角形的腰等于7，底边等于8，则它的周长为____22______ (2).已知等腰三角形的一边等于7，另一边等于8，则它的周长为___ 22或23___ (3).已知等腰三角形的一边等于3，另一边等于8，则它的周长为____19____ 22. (教材P6·例题变式)用一条长为20 cm 的细绳围成 一个等腰三角形. (1)如果腰长是底边长的2倍，那么各边的长是多少? 解：设底边长为，则腰长为2cm，周长列式： 2+2+=20，=4，腰长8cm，三边8cm，8cm，4cm核验三边关系：8+4>8，可以构成三角形. (2)能围成有一边的长为6cm 的等腰三角形吗?若能，写出所围成等腰三角形的三边长； 若不能，请说明理由. 解：分类讨论边长为6cm，是底边/腰 情况①：6cm为底边，腰长=（20-6）÷2=7（cm），三边：7、7、6，核验：7+6>7，符合三边规则，成立. 情况①：6cm为腰，底边=20-6×2=8（cm），三边：6、6、8，核验：6+6>8，符合三边规则，成立. 综上可以围成，两组三边长：7、7、6 6、6、8 22.已知三角形的三边长分别为3,,4，求的取值范围 解：由两边之和大于第三边，两边之差小于第三边 则：即 23.已知三角形三条边的长分别为，，，求的取值范围 解：由题意可得∴ 24.若等腰三角形的三边长分别为，，，求三角形的周长 解 ①当底边长为时，，解得， 此时三边长分别为，，，不符合三角形三边关系； ②当底边长为时，，解得， 此时三边长分别为，，，符合三角形三边关系； ③当底边长为时，，解得， 此时三边长分别为，不符合三角形三边关系. ∴三角形的周长为. 26.如图，是一个四边形木框，为了使它保持稳定的形状，需在或上钉上一根木条，现量得，，，，试问所需的木条长度至少要多长(结果保留整厘米数) 解:当连接时,在△中: 在△中： 即 当连接时,在△中: 在△中： 即 综上所述：所需的木条长度至少要 【课堂总结】 1.三角形的三边关系（核心考点） (1)任意两边之和大于第三边：,, (2)任意两边之差小于第三边：,, 2.判断三条线段能否围成三角形 最快方法：最短两边之和最长边​只要这一条成立，其余自动成立。 3.已知两边，求第三边的取值范围 设已知两边为 ，第三边为，则：如果是整数边，再在这个范围内数整数解即可 4.三角形具有稳定性，四边形没有稳定性 【课后反思】本节课学习中，你有哪些收获，还有哪些问题？ 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $