专题01二次函数及其图象与性质暑假预习讲义(知识梳理+常考题型精析+强化巩固)2026-2027学年沪教版五四制九年级数学上册

专题01二次函数及其图象与性质暑假预习讲义 ·掌握二次函数定义及一般形式y=ax2+bx+c(a≠0)，识别y=ax2、y=ax2+c、y=ax2+bx特殊形式，能区分二次、一次、反比例函数，牢记二次项系数不为 0 的核心条件。 ·结合生活面积、销售利润、物体运动等实际情境，抽象等量关系列出二次函数解析式，并结合实际场景确定自变量取值范围。 ·认识二次函数图像为抛物线，会用描点法绘制y=ax2基础图像，识别抛物线顶点、对称轴、开口三大核心特征。 ·掌握顶点式y=a(x-h)2+k，直接读出顶点(h,k)与对称轴直线x=h；理解图像平移 “左加右减，上加下减” 规律，分清a、h、k分别对开口宽窄、图像左右、上下位置的影响。 ·熟练运用配方法将二次函数一般式转化为顶点式，熟记一般式对称轴x=-、顶点坐标公式。 ·掌握参数a的作用：a>0开口向上，存在最小值；a<0开口向下，存在最大值；|a|越大，抛物线开口越窄。 ·能根据解析式判断开口方向、对称轴、顶点，准确说出对称轴两侧函数增减变化规律，会求函数整体最值，初步掌握给定自变量取值区间的区间最值求解思路。 ·会利用待定系数法，结合顶点、图像上已知点、坐标轴交点坐标求二次函数解析式；借助数形结合，根据图像判断函数值正负、比较函数值大小。 ·类比一次函数学习思路，建立 “定义 — 解析式 — 图像 — 性质 — 实际应用” 标准化函数学习框架，形成函数类题型解题思维。 ·规避高频易错点：忽略a≠0判定二次函数；配方时符号出错；混淆图像平移左右加减规则；求区间最值只取顶点，忽略区间端点；分不清增减区间分界为对称轴。 预习必备 知识梳理 1.二次函数的定义 2.列二次函数解析式 3.特殊形式y=ax2 4.二次函数的图象与性质 5.二次函数图象与a，b，c的关系 6..图象画法 7.二次函数的平移规律 8.高频易错点汇总 常考题型 精讲精练 1列二次函数关系式. 2.二次函数的识别 3.由二次函数定义求参数 4. y=ax2图象与性质 5.y=ax2+k图象与性质 6.y=a(x-h)2图象与性质 7.y=a(x-h)2+k图象与性质 8.二次函数图象的平移 9.把y=ax2+bx+c化成顶点式 10.y=ax2+bx+c的图象与性质 11.二次函数图象与各项系数符号 12.一次函数二次函数图象综合判断 13.反比例与二次函数图象综合判断 14.由二次函数图象判断式子符号 15.抛物线上对称两点求对称轴 16.由二次函数的对称性求函数值 16.y=ax2+bx+c的最值 强化题型 解答题10题 知识点01：二次函数定义 1.定义：形如y=ax2+bx+c（a、b、c) 为常数a≠0）的函数叫做二次函数。 ax2：二次项，a 为二次项系数； bx：一次项，b 为一次项系数； c：常数项。 2.三种特殊形式 1 最简式：y=ax2 (a≠0)（b=0，c=0） 2 缺一次项：y=ax2+c(a≠0)（b=0） 3 缺常数项：y=ax2+bx(a≠0)（c=0） 3.判断二次函数关键条件 （1） 整理化简后，自变量最高次数为 2； （2） 二次项系数 \(a≠0\)； （3） 等号右边是关于 x 的整式，不含分式、根号、x 在分母。 4.易混区分：一次函数 y=kx+b(k≠0)、反比例函数 y=(k≠0)、二次函数三者区分 函数类型 标准解析式 自变量最高次数 图像 一次函数 y=kx+b (k≠0) 1 直线 反比例函数 y=(k≠0) -1 双曲线 二次函数 y=ax2+bx+c (a≠0) 2 抛物线 知识点02：实际问题列二次函数解析式 常见沪考实际模型：图形面积、销售利润、抛射运动、增长率问题。 解题步骤： 1 找准自变量 x、因变量 y； 2 根据等量关系列出等式，整理成标准二次函数形式； 3 根据实际意义写出自变量取值范围（长度、数量大于 0 等限制） 示例：矩形周长固定，面积与边长的函数关系；商品涨价降价，总利润函数。 自变量取值范围 1.纯代数解析式：全体实数； 2.实际应用题：长度、数量大于 0，限定区间、整数等。 知识点03：二次函数解析式的三种形式 三种解析式互相转化总结 知识点03:特殊形式：y=ax2(a0) 1. 图象特征 图象是抛物线，关于 **y 轴（直线x=0）** 对称。 顶点是原点(0,0)。 ∣a∣ 越大，抛物线开口越窄；∣a∣ 越小，开口越宽。 2. 核心性质 性质 a>0 a<0 开口方向 向上 向下 顶点性质 最低点 最高点 增减性 x<0：y 随 x 增大而减小 x>0：y 随 x 增大而增大 x<0：y 随 x 增大而增大 x>0：y 随 x 增大而减小 最值 当 x=0 时，y最小=0 当 x=0 时，y最大=0 知识点04：二次函数的图象与性质 知识点05：二次函数y=ax2+bx+c图象与a，b，c的关系 · a定开口：正上负下，|a|越大开口越窄； · a、b定对称轴：口诀左同右异，b=0对称轴为y轴； · c定抛物线与y轴交点正负，c=0过原点； ·Δ=b2-4ac决定抛物线和x轴交点数量。 知识点06:图象画法（描点法） 1.化顶点式：将 y=ax2+bx+c 化为 y=a(x−h)2+k。 2.定三要素：开口方向、对称轴 x=h、顶点 (h,k)。 3.对称描点：在对称轴两侧取对称点，用平滑曲线连接。 知识点07:二次函数的平移规律 抛物线的平移是指将抛物线y = ax²的图象进行上下左右移动，得到y = a(x - h)² + k的图象。 1.左右平移：由h的值决定。 *h > 0：抛物线y = ax²向右平移h个单位。 *h < 0：抛物线y = ax²向左平移|h|个单位。 2.上下平移：由k的值决定。 *k > 0：抛物线y = a(x - h)²向上平移k个单位。 *k < 0：抛物线y = a(x - h)²向下平移|k|个单位。 “左加右减”是对x本身进行的变化。 “上加下减”是对整个函数值y进行的变化。 知识点08：高频易错点 1.判断二次函数忽略a≠0； 2.图像平移混淆 “左加右减”，直接在x外侧加减常数； 3.配方漏乘二次项系数a，常数计算出错； 4.顶点坐标、对称轴符号丢负号； 5.求区间最值只看顶点，忽略自变量区间端点； 6.增减性描述缺少对称轴分界条件； 7.交点式使用前提：抛物线与x轴有两个不同交点； 8.实际应用题遗漏自变量取值范围。 题型1列二次函数关系式. 【典例】报告显示，2023年全球金属增材制造市场的总收入达到28.5亿美元．若2025年的市场规模为y亿美元，平均每年的增长率为x，则y与x之间的函数关系式为________． 【答案】 【分析】本题主要考查了根据实际问题列二次函数的关系式，掌握年均增长率下的增长公式，通过逐年推导得出函数关系式是解题的关键． 根据增长率模型，从初始值经过两年增长，利用年均增长率公式求解． 【详解】解：年收入为亿美元，年均增长率为， 年收入为亿美元， 年收入为亿美元， 因此与之间的函数关系式为． 故答案为：． 【跟踪专练1】某工厂生产一种金属板，其总硬度是基础硬度与强化硬度之和，其中基础硬度与厚度x成正比，强化硬度与厚度x的平方成正比．已知时，，．当时，则其总硬度是（   ） A．65 B．75 C．85 D．95 【答案】D 【分析】先根据正比例函数和二次函数的性质，结合已知条件求出基础硬度和强化硬度关于厚度x的表达式，再求出总硬度y关于x的表达式，最后将代入表达式求出总硬度． 【详解】解：∵基础硬度与厚度x成正比，强化硬度与厚度x的平方成正比，总硬度， ∴设，，其中，均不为0， 将，，分别代入得，， 解得，， ∴， 当时，， ∴总硬度是95． 【跟踪专练2】两个正方形的周长之和是．若以两个正方形面积之和为因变量，其中一个正方形的边长（单位：）为自变量，则它们之间的关系式是_______． 【答案】 【分析】本题考查了函数关系式，解决本题的难点是求得另一正方形的边长，找到所求量的等量关系是解决问题的关键． 根据两个正方形的周长之和为，可求出另一个正方形的边长为 ，再利用正方形面积公式得到面积之和的函数关系式． 【详解】解：设其中一个正方形的边长为，则其周长为， 由于两个正方形的周长之和为， 因此另一个正方形的周长为， 故另一个正方形的边长为， 第一个正方形的面积为， 第二个正方形的面积为， 所以两个正方形的面积之和，即． 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，矩形的面积为，点在边上，点在边上，四边形是正方形，记线段的长为的长为，正方形的面积为．当在一定范围内变化时，随的变化而变化，则与满足的函数关系分别是（　　） A．一次函数关系，二次函数关系 B．反比例函数关系，一次函数关系 C．二次函数关系，一次函数关系 D．反比例函数关系，二次函数关系 【答案】D 【分析】本题主要考查反比例函数和二次函数的定义，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，分别根据题意得，即可得与满足的函数关系． 【详解】解：矩形的面积为，线段的长为，的长为， ， ， 正方形的面积为， ， 与满足的函数关系分别是反比例函数关系，二次函数关系， 故选：． 题型2.二次函数的识别 【典例】二次函数的二次项系数是 ___________． 【答案】 【分析】本题考查的是二次函数的一般形式，解决本题的关键是将二次函数化为一般式． 通过去括号，移项，合并同类项，得到二次函数的一般形式，即可得出二次项系数． 【详解】解：变形为， 二次项系数为． 故答案为：． 【跟踪专练1】下列函数中，属于二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的定义判断，二次函数是形如（，，是常数，）的整式函数，据此逐一分析选项即可． 【详解】解：A. 不是整式函数，不符合二次函数的定义，故不符合题意； B. ，该函数是一次函数，不是二次函数，故不符合题意； C. 符合（，，）的形式，是二次函数，故符合题意； D. ，不是整式函数，不符合二次函数的定义，故不符合题意， 综上，选C． 【跟踪专练2】下列函数是关于x的二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的定义，根据形如 (为常数，）的函数是二次函数，判断即可，熟练掌握二次函数的一般形式是解题的关键． 【详解】解：A、的分母含有自变量，不是关于的二次函数，故A不符合题意； B、，是关于的二次函数，故B符合题意； C、，不是关于的二次函数，故C不符合题意； D、，当时不是二次函数，故D不符合题意； 故选：． 【跟踪专练3】若函数的图象与直线有交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C．且 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了函数图象的交点，分两组情况讨论，当时，两条直线不平行，有交点，当时，抛物线和直线有交点，联立函数得方程有实数解．即. 【详解】解：当时，即，，与直线不平行，故有交点， 当时，函数的图象与直线有交点， 即时， ， 综上所述：实数的取值范围是， 故选：B． 题型3.由二次函数=定义求参数 【典例】若二次函数的图象经过点，则的值为___________． 【答案】1 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征；将点代入二次函数解析式，得到关于的一元一次方程，解方程即可求出的值． 【详解】解：∵二次函数的图象经过点， ∴将，代入解析式得， 即， 解得． 故答案为：1． 【跟踪专练1】已知二次函数的图象和x轴有交点，则k的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】根据二次函数要求二次项系数不为0，二次函数图象与x轴有交点时对应一元二次方程的判别式，据此列不等式求解即可． 【详解】解：∵二次函数， ∴二次项系数， 又∵该函数图象和轴有交点，即方程有实根， ∴， 化简得，解得， 综上的取值范围是且． 【跟踪专练2】函数是关于的二次函数，则______． 【答案】 【分析】根据二次函数的定义，二次函数需满足自变量的最高次数为，且二次项系数不为，据此列出关系式解答即可求解． 【详解】解：∵函数是关于的二次函数， ∴且， 解得． 【跟踪专练3】若抛物线与轴有交点，则的取值范围是（   ） A．且 B． C．且 D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，二次函数的定义，掌握二次函数与轴的交点的横坐标即为时对应一元二次方程的解是解题关键．根据抛物线与x轴有交点，即求令的一元二次方程有实数根，利用根的判别式求解，再结合二次函数的定义，即可确定的取值范围． 【详解】解：抛物线与轴有交点， 关于的方程有实数根，且， ，且， 解得：且， 故选：A． 题型4. y=ax2图象与性质 【典例】二次函数的图象开口向___________．（填“上”或“下”） 【答案】下 【分析】根据二次函数的性质即可得到二次函数图象的开口方向； 【详解】解：∵二次函数中，， ∴二次函数的图象开口向下； 【跟踪专练1】关于函数，下列说法正确的是（    ） A．无论取何值， B．其图象的对称轴是 轴 C． 随的增大而减小 D．其图象在第二、四象限 【答案】B 【分析】本题考查了的图象和性质，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 函数为二次函数，形式为，根据的符号，确定抛物线方向，再根据对称轴，分别出函数的增减性，函数经过的象限． 【详解】∵函数是二次函数，且， ∴抛物线开口向下，顶点在原点， 当时，； 当时，， 故A错误； 对称轴为，即轴， 故B正确； ∵中，， ∴当时，随增大而增大； 当时，随增大而减小， 故C错误； ∵当时，，函数的图象上的点在第四象限； 当时，，函数的图象上的点在第三象限， ∴图象不在第二象限， 故D错误， 故选：B． 【跟踪专练2】如图，在平面直角坐标系中，平行于x轴的直线，与二次函数和分别交于A、B和C、D四个点，若，则a的值是________． 【答案】 【分析】将分别代入和，即可得出求出，长度，根据得出，从而得出a的值 【详解】解：把代入中得，， ∴ ∴A的横坐标为，B横坐标为 ∴ 把代入得，， ∴ ∴C的横坐标为，D横坐标为 ∴ ∵， ∴ ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，表示出A、B、C、D的横坐标是解题的关键． 【跟踪专练3】如图，四边形是正方形，且点、恰好在抛物线上，点在轴上，则的长为（     ） A．2 B． C．4 D． 【答案】A 【分析】根据正方形的性质求出直线的解析式，然后联立方程求出交点坐标，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：根据正方形的性质可得， ∴直线的解析式为， 联立， 解得或， ∴， ∴， 在正方形中， ∴． 题型5.y=ax2+k图象与性质 【典例】如果抛物线的开口向下，那么的取值范围是___________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象和性质的基础题，知识点单一而且简单．本题考查了二次函数的开口方向，是由系数决定的． 【详解】解：抛物线的开口向下， ． 故答案为：． 【跟踪专练1】二次函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是二次函数的图象，根据二次函数特征判断图象即可． 【详解】解：∵二次函数中， ∴抛物线开口向上，对称轴为y轴，与y轴交于负半轴， 故选：B． 【跟踪专练2】若，，为二次函数的图像上的三点，则，，的大小关系是_____．（用“”连接） 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象及其性质，根据抛物线的解析式，得出开口向上，和对称轴为轴，再根据二次函数的增减性判断即可，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象及其性质的应用． 【详解】解：由，得出开口向上，和对称轴为轴， ∴与点关于即轴对称， ∵当时，随的增大而增大， ∵， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，已知抛物线，将该抛物线在x轴及x轴下方的部分记作，将沿x轴翻折构成的图形记作，将和构成的图形记作．关于图形，给出的下列四个结论，不正确的是（   ） A．图形恰好经过4个整点（横、纵坐标均为整数的点） B．图形上任意一点到原点的最大距离是1 C．图形的周长大于 D．图形所围成区域的面积大于2且小于 【答案】C 【分析】画出图象C3，以及以O为圆心，以1为半径的圆，再作出⊙O内接正方形，根据图象即可判断． 【详解】解：如图所示， A、图形C3恰好经过（1，0）、（-1，0）、（0，1）、（0，-1）4个整点，故正确，不符合题意； B、由图象可知，图形C3上任意一点到原点的距离都不超过1，故正确，不符合题意； C、图形C3的周长小于⊙O的周长，所以图形C3的周长小于2π，故错误，符合题意； D、图形C3所围成的区域的面积小于⊙O的面积，大于⊙O内接正方形的面积，所以图形C3所围成的区域的面积大于2且小于π，故正确，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与几何变换，数形结合是解题的关键． 题型6.y=a(x-h)2图象与性质 【典例】如果二次函数的图象在它对称轴左侧部分是上升的，那么a的取值范围是_______． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据抛物线在它对称轴左侧部分是上升的，得到抛物线的开口向下，即可得出结果． 【详解】解：∵二次函数的图象在它对称轴左侧部分是上升的， ∴抛物线的开口向下， ∴； 故答案为： 【跟踪专练1】已知抛物线，其中，该抛物线示意图是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据抛物线的顶点式确定顶点坐标以及开口方向，结合 确定顶点在坐标系中的位置即可解答． 【详解】解：∵ 抛物线的解析式为 ， ∴该抛物线的顶点坐标为 ，抛物线开口向上， ∵ ， ∴顶点 在 x轴的正半轴上，抛物线开口向上，即选项A符合题意． 【跟踪专练2】对于二次函数和，其自变量和函数值的两组对应值如下表所示： 根据二次函数图象的相关性质可知：_______，_______． 【答案】 4 5 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，先将表格的自变量和函数值转化为点的坐标，然后根据函数的对称性直接写出每个字母的值即可． 【详解】解：对于二次函数和， 由表格中的数据得：当时，， 即； ， ∴； 当时，， 代入得，， ，代入得， 化简得，， 解得：或； 若，代入则可得，此情况不存在， 当时，代入则可得， 解得，符合， ∴，， ∴； 故答案为：4；5． 【跟踪专练3】点都在二次函数的图像上．若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次函数图像与性质，由当时，对称轴，可知当时，对称轴，列不等式求解即可得到答案． 【详解】解：二次函数， 抛物线的开口向上，对称轴为， 点都在二次函数的图像上，且， ，即，解得， 故选：B． 【点睛】本题考查二次函数图像与性质，理解利用二次函数图像与性质比较大小的方法是解决问题的关键． 题型7.y=a(x-h)2+k图象与性质 【典例】已知点、在二次函数的图象上，若，则___（填“”、“”或“”）． 【答案】< 【分析】先确定二次函数的开口方向与对称轴，再根据二次函数的增减性，结合比较与的大小． 【详解】二次函数 中，二次项系数，因此抛物线开口向上， 该抛物线的对称轴为直线 ， 根据二次函数的性质，当 时， 随 的增大而减小， 已知 ，所以 ． 【跟踪专练1】关于抛物线，下列说法正确的是（     ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．顶点坐标是 D．时，随增大而增大 【答案】C 【分析】根据顶点式的性质，判断开口方向、对称轴、顶点坐标和增减性即可得到答案． 【详解】解：， ∴顶点坐标为，对称轴为直线，故B错误，C正确； ∵， ∴抛物线开口向下，故A错误， ∴当时，随的增大而减小，故D错误． 【跟踪专练2】抛物线经过点，且对称轴与线段有交点，点，，则的取值范围是___________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，由题意可得，将代入抛物线解析式得出，再结合二次函数的性质即可得解，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵抛物线的对称轴与线段有交点，点，， ∴， ∵抛物线经过点， ∴， ∴， ∵， ∴当时，最大为，当时，，当时，， ∴的取值范围是， 故答案为：． 【跟踪专练3】已知二次函数经过点，若，则下列说法正确的为（   ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】D 【分析】根据解析式可得对称轴，当时，函数图象开口向上，离对称轴越远，函数值越大，当时，函数图象开口向下，离对称轴越远，函数值越小，据此根据讨论求解即可． 【详解】解：∵二次函数的解析式为， ∴对称轴为直线， 当时，则函数图象开口向上， ∴离对称轴越远，函数值越大， ∵二次函数经过点，， ∴， ∴， ∴， 解得； 当时，则函数图象开口向下， ∴离对称轴越远，函数值越小， ∵二次函数经过点，， ∴， ∴， ∴， 解得． 题型8.二次函数图象的平移 【典例】将抛物线向上平移个单位，得到新抛物线的表达式是______． 【答案】 【分析】根据二次函数图象平移规则“左加右减，上加下减”，向上平移直接在函数表达式整体加上平移的单位，即可得到答案． 【详解】解：∵抛物线向上平移个单位， ∴得到新抛物线的表达式是． 【跟踪专练1】将抛物线向左平移个单位，再向下平移个单位，得到的抛物线解析式是(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数图象的平移，利用“左加右减自变量，上加下减常数项”的平移规则计算即可得到新抛物线的解析式． 【详解】解：原抛物线解析式为 ∵抛物线向左平移2个单位，根据平移规则“左加右减自变量”，得平移后解析式为 再将得到的抛物线向下平移3个单位，根据平移规则“上加下减常数项”，得最终解析式为． 【跟踪专练2】将二次函数的图象向下平移一个单位长度后，得到的函数表达式是__________． 【答案】 【分析】根据“上加下减”原则即可作答． 【详解】解：将二次函数的图象向下平移1个单位长度， 所得的函数表达式为，即． 【跟踪专练3】抛物线先向左平移3个单位，再向下平移4个单位后的函数解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的平移性质，二次函数的平移规律：“左加右减，上加下减”，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：∵抛物线先向左平移3个单位，再向下平移4个单位， ∴平移后的函数解析式为， 故选：B． 题型9.把y=ax2+bx+c化成顶点式 【典例】把二次函数变形为的形式，则的值为______ ． 【答案】4 【分析】先把二次函数化为顶点式，再求出，的值，进而可得出结论． 【详解】， ，， ． 【跟踪专练1】将二次函数配成的形式，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查将一般式转化为顶点式，通过配方法将二次函数的一般式转换为顶点式即可. 【详解】解：， ； 故选A. 【跟踪专练2】在平面直角坐标系中，点是抛物线的顶点，点Q是抛物线的顶点，如果，那么点Q的坐标是_______． 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数的图像与性质，分别求出两个函数图像顶点坐标，根据勾股定理列方程求出a的值即可． 【详解】解：， ∴顶点P的坐标为； 又， ∴该抛物线顶点Q的坐标为， ∴；；， 又， ∴， ∴， 解得， 将代入得， 故答案为：． 【跟踪专练3】已知抛物线（c为常数）经过点，，当时，则m的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的顶点式、二次函数对称轴的性质以及判断二次函数在自变量范围内的增减性等知识，先求出抛物线的对称轴，判断和关于对称轴对称，从而得到和的关系，再代入，求出的取值范围，再将代入抛物线的解析式，等到关于m和的二次函数关系式，即可求得答案． 【详解】解：∵抛物线的解析式为 ∴抛物线的对称轴为， ∵和的函数值相等， ∴和关于抛物线对称， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 将代入， 有，变形得， 当时，m最大，， 当时，m最小，， ∴m的取值范围为， 故选：B． 题型10.y=ax2+bx+c的图象与性质 【典例】如果抛物线有最高点，那么的取值范围是_____． 【答案】 【分析】此题主要考查二次函数的图象与性质，抛物线有最高点需满足二次项系数小于零，即开口向下． 【详解】解：抛物线 有最高点， 二次项系数， 解得， 故答案为：． 【跟踪专练1】已知抛物线上有三点，，，则，，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据抛物线顶点式确定开口方向和对称轴，利用开口向上时，点到对称轴的距离越大，对应函数值越大，比较三个点的距离即可得到结果． 【详解】解：抛物线解析式为，其中二次项系数， 抛物线开口向上，对称轴为直线， 抛物线上的点到对称轴的距离越大，对应的函数值越大， 三个点的横坐标到对称轴的距离为：，，， ， ． 【跟踪专练2】二次函数的部分图象和对称轴如图所示．若方程总有两个不同的正实数根，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数，根据题意可知与的函数图象有两个交点，且两个交点的横坐标大于，求出结合函数图象即可得到答案． 【详解】解：由图象可知，该二次函数的图象经过点，对称轴为直线， ∴该二次函数的图象与轴的另一个交点的坐标为， 设该二次函数的解析式为， 把代入，得， 解得， 该二次函数的解析式为， 即：， 该抛物线的顶点坐标是， ∵方程总有两个不同的正实数根， ∴与 的函数图象有交点，且两个交点的横坐标大于， ∴． 故答案为：． 【跟踪专练3】二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线，当时，的取值范围是（   ） A． B．或 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握抛物线的对称性和开口方向对函数值取值范围的影响是解题的关键． 先根据抛物线的对称轴和已知点，找到对应的点，再结合抛物线开口方向确定时的范围． 【详解】解：∵二次函数的图象过点，对称轴为直线， ∴点关于对称轴的对称点为， ∵，抛物线开口向下， ∴当时，的取值范围是， 故选：C． 题型11.二次函数图象与各项系数符号 【典例】二次函数的图象如图所示，那么b______0，c______0（填“＞”，“=”，或“＜”）． 【答案】 < < 【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】（1）抛物线的开口方向向下，则a＜0，抛物线的对称轴在y轴的左侧，则a、b同号，所以b<0. （2）抛物线与y轴的交于负半轴，则c＜0 故答案是：<；<； 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象性质，利用数形结合的思想将图象与所求结论结合在一起，判断题目中的结论是否正确． 【跟踪专练1】如图：是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的一部分，则b__2a（填“＞”“＝”“＜”）． 【答案】＝ 【分析】由抛物线的对称轴x=-1利用对称轴公式可得＝1即可． 【详解】解：由图象可知，抛物线的对称轴x=-1， 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣＝﹣1， ∴b＝2a， 故答案为：＝． 【点睛】本题考查抛物线的对称轴，掌握抛物线的对称轴公式是解题关键． 【跟踪专练2】如图是二次函数的图像一部分，其对称轴是x=-1，且过点（-3，0），说法： ① abc<0；②2a-b=0；③4a+2b+c<0；④若 、是抛物线上两点，则 ； 其中正确的有（　　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】由开口方向确定a的符号；由抛物线与y轴的交点确定c的符号；由对称轴确定b的符号，判断①③；利用图像得出与x轴的另一交点，进而得出a+b+c=0，即可判断②，x=2时，y＞0，判断④；根据函数增减性，判断⑤． 【详解】∵二次函数的图像开口向上， ∴a＞0， ∵二次函数的图像交y轴的负半轴于一点， ∴c＜0， ∵对称轴是直线x=-1， ∴-=-1， ∴b=2a＞0， ∴abc＜0，2a-b=0， 故①②正确； ∵抛物线的对称轴为x=-1，且过点（-3，0）， ∴抛物线与x轴另一交点为（1，0）． ∵当x＞-1时，y随x的增大而增大， ∴当x=2时y＞0，即4a+2b+c＞0， 故③错误； ∵关于直线x=-1的对称点的坐标是， 又∵当x＞-1时，y随x的增大而增大，3＞， ∴， 故④正确． 综合上述可得：①②④正确，共计3个． 故选：C． 【点睛】考查了二次函数图像与系数的关系，解题关键是理解：二次函数 （a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小，当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）．抛物线与y轴交于（0，c）．抛物线与x轴交点个数：时，抛物线与x轴有2个交点；时，抛物线与x轴有1个交点；时，抛物线与x轴没有交点． 【跟踪专练3】如图，二次函数（）的图象与轴交于点，对称轴为直线，下列结论中错误的是（     ） A． B．当时，随的增大而增大 C．二次函数图形与轴的另一个交点的横坐标为 D． 【答案】D 【分析】根据开口向上，可得，根据对称轴计算公式可得，根据抛物线与y轴的交点位置可得，据此可判断A，B；根据对称性可得抛物线与x轴的另一个交点的坐标为，则当时，，据此可判断C，D． 【详解】解：函数图象开口方向向上，与轴交于负半轴， ，， 对称轴为直线， ∴，当时，y随x的增大而增大；故B正确， ∴， ∴，故A正确， 二次函数的图象与x轴交于点，对称轴为直线， ∴抛物线与x轴的另一个交点的坐标为， 即二次函数图形与x轴的另一个交点的横坐标为，故C正确， ∴由函数图象可知，当时，， ∴，故D错误． 题型12.一次函数二次函数图象综合判断 【典例】二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象不经过第______象限． 【答案】四 【分析】本题考查一次函数与二次函数图象的综合；根据二次函数的图象确定b，c的符号，即可确定一次函数不经过的象限． 【详解】解：由二次函数图象知，， 又抛物线的对称轴在y轴右边，即，则， ∴一次函数图象过一、二、三象限，不过第四象限， 故答案为：四． 【跟踪专练1】二次函数和一次函数在同一坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数与一次函数图象的综合判断．根据一次函数的增减性和与轴的交点位置可判断的正负；结合二次函数图象的开口和对称轴位置，即可进行判断． 【详解】解：A：∵一次函数的图象从左往右呈上升趋势，且交于轴的正半轴 ∴ ∵二次函数的图象开口向上，且对称轴 ∴ 故A不正确； B：：∵一次函数的图象从左往右呈上升趋势，且交于轴的负半轴 ∴ ∵二次函数的图象开口向上，且对称轴 ∴ 故B不正确； C：∵一次函数的图象从左往右呈下降趋势，且交于轴的负半轴 ∴ ∵二次函数的图象开口向下，且对称轴 ∴ 故C不正确； D：：∵一次函数的图象从左往右呈下降趋势，且交于轴的负半轴 ∴ ∵二次函数的图象开口向下，且对称轴 ∴ 故D正确； 故选：D． 【跟踪专练2】将抛物线的图象位于直线以下的部分向上翻折，得到如图图象，若直线与此图象有四个交点；则的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象变换，涉及了二次函数与一次函数的交点问题，根据题意，画出新图象，分别确定直线与抛物线有一个交点、直线经过点时的的值，即可求解． 【详解】解：根据题意，画出新图象如图所示： 直线与抛物线有一个交点时：方程有一个实数根， 整理方程得：， ， 解得：； 由解得：，， ∴ 当直线经过点时，得， ∴m的取值范围是： 故答案为：． 【跟踪专练3】一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了“一次函数的图象与系数的关系”“二次函数的图象与系数的关系”，根据图象判断出系数和常数项的正负是解题关键． 根据一次函数的图象，a决定直线的方向，b决定直线与y轴交点的位置，判断a与b的正负，再通过a和b的正负判断二次函数的图象即可． 【详解】解：由图可知，，， ∴， ∴二次函数的开口方向向下，与y轴的交点在y轴的负半轴， 四个选项中，符合要求的只有D选项， 故选：D ． 题型13.反比例与二次函数图象综合判断 【典例】函数与在同一直角坐标系中的图象可能是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数及反比例函数和图象，解决此类问题步骤一般为：（1）先根据图象的特点判断k取值是否矛盾；（2）根据二次函数图象判断抛物线与y轴的交点是否符合要求．根据，，结合两个函数的图象及其性质分类讨论． 【详解】解：分两种情况讨论： ①当时，反比例函数，在二、四象限，而二次函数开口向上，与轴交于负半轴，故A、B、C、D都不符合题意； ②当时，反比例函数，在一、三象限，而二次函数开口向下，与y轴交点在原点上方，故选项A正确， 故选：A． 【跟踪专练1】若，则函数、在同一坐标系中的图象可能是（    ） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数的图象和二次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据二次函数的性质和反比例函数的性质，可知当和，两个函数图象所在的象限，从而可以解答本题． 【详解】解：当时，函数的图象开口向上，顶点在原点，对称轴为y轴；函数的图象位于第一、三象限，故①符合题意，②不符合题意； 当时，函数的图象开口向下，顶点在原点，对称轴为y轴；函数的图象位于第二、四象限，故③不符合题意，④符合题意； 故选：B． 【跟踪专练2】二次函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数与反比例函数的图象性质，解题的关键是根据的正负，判断两个函数图象的开口方向、所在象限及与轴交点的位置． 分和两种情况讨论；当时，二次函数开口向上，与轴交于负半轴，反比例函数图象在一、三象限；当时，二次函数开口向下，与轴交于正半轴，反比例函数图象在二、四象限；据此逐一判断选项． 【详解】解：A、反比例函数图象在一、三象限，故；二次函数开口向下，故，两者矛盾，此选项不符合题意． B、反比例函数图象在一、三象限，故；二次函数与轴交于正半轴，故，即，两者矛盾，此选项不符合题意． C、反比例函数图象在二、四象限，故；二次函数与轴交于负半轴，故，即，两者矛盾，此选项不符合题意． D、反比例函数图象在二、四象限，故；二次函数开口向下，故，与轴交于正半轴，故，即，三者一致，此选项符合题意． 故选：D． 【跟踪专练3】一次函数与反比例函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数图象，一次函数图象和反比例函数图象综合，根据一次函数和反比例函数图象经过的象限可得到，，则，则可得到二次函数的图象开口向下，与y轴交于负半轴，对称轴z在y轴右侧，据此可得答案． 【详解】解：∵一次函数的图象经过第一、三、四象限， ∴， ∵反比例函数的图象经过第一、三象限， ∴， ∴， ∴， ∴二次函数的图象开口向下，与y轴交于负半轴，对称轴z在y轴右侧， ∴只有D选项中的函数图象符合题意， 故选：D． 题型14.由二次函数图象判断式子符号 【典例】如图是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为直线x＝﹣1，且过点（﹣3，0），下列说法：①abc＜0；②2a﹣b＝0；③4a+2b+c＜0；④若（﹣5，y1），（2.5，y2）是抛物线上两点，则y1＞y2，其中说法正确的是（　　） A．①②③ B．②③ C．①②④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】根据图象分别求出a、b、c的符号，即可判断①，根据对称轴求出b＝2a，代入2a﹣b即可判断②，把x＝2代入二次函数的解析式，再根据图象即可判断③，求出点（﹣5，y1）关于直线x＝﹣1的对称点的坐标，根据对称轴即可判断y1和y2的大小. 【详解】解：∵二次函数的图象开口向上， ∴a＞0， ∵二次函数的图象交y轴的负半轴于一点， ∴c＜0， ∵对称轴是中线x＝﹣1， ∴﹣＝﹣1，∴b＝2a＞0， ∴abc＜0，∴①正确； ∵b＝2a， ∴2a﹣b＝0，∴②正确； 把x＝2代入y＝ax2+bx+c得：y＝4a+2b+c， 从图象可知，当x＝2时y＞0， 即4a+2b+c＞0，∴③错误； ∵（﹣5，y1）关于直线x＝﹣1的对称点的坐标是（3，y1）， 又∵当x＞﹣1时，y随x的增大而增大，2.5＜3， ∴y1＞y2，∴④正确； 即正确的有3个①②④. 故选：C. 【点睛】本题考查了二次函数的图象和系数的关系的应用，关键是注意：当a＞0时，二次函数的图象开口向上，当a＜0时，二次函数的图象开口向下. 【跟踪专练1】过点的抛物线与轴交点的横坐标分别为，且，．下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有_____（填序号） 【答案】①②③④ 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，解题关键是根据题目给出的信息，画出二次函数图象，利用数形结合思想解答即可． 【详解】解：过点的抛物线与轴交点的横坐标分别为，且，，画出图象如图所示， ∵抛物线开口向下，∴， ∵对称轴在y轴左侧，∴， ∵，∴，①正确； ∵，， ∴，即， ，，②正确； 根据图象得，，， 第二个不等式乘以3加上第一个不等式得，解得，，③正确； ∵， ∴， ∵， ∴，， ，④正确； 故答案为：①②③④． 【跟踪专练2】如图，二次函数的图象经过点，，下列说法正确的是（   ） A． B． C． D．图象的对称轴是直线 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，解决本题的关键是根据抛物线的开口方向、与轴交点的个数、对称轴判断各项是否正确． 【详解】解：A选项：当时，，由函数图像可知，抛物线与轴的交点在轴的正半轴，，故A选项错误； B选项：由函数图像可知，抛物线与轴有两个不同的交点， 方程有个不相等的实数解， ，故B选项错误； C选项：二次函数的图象经过点， 当时，，故C选项错误； D选项：二次函数的图象经过点，， 抛物线的对称轴是，故D选项正确． 故选：D． 题型15.抛物线上对称两点求对称轴 【典例】若点是抛物线上的两个点，则_____ 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图像上点的坐标特征和二次函数的性质，求出抛物线的对称轴是解题的关键．根据二次函数的对称性即可确定抛物线对称轴，根据对称轴方程即可求出b的值． 【详解】解：由题意可得，抛物线的对称轴为直线， ， ， 故答案为：． 【跟踪专练1】若，是抛物线上的两个点，则抛物线的对称轴是（    ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】A 【分析】本题考查的是利用抛物线上对称的两点坐标求解对称轴方程，理解对称轴方程的含义是解本题的关键． 由，是抛物线上的两点，而这两点关于抛物线的对称轴对称，从而可得答案． 【详解】解：，是抛物线上的两点， 抛物线的对称轴是直线． 故选：A． 【跟踪专练2】已知抛物线经过点和点，则的最大值是______． 【答案】1 【分析】此题考查了二次函数的性质，求二次函数对称轴，解题的关键是掌握二次函数的性质． 根据抛物线的对称轴以及对称轴公式确定，即可得到，由抛物线经过点和点得到，结合即可确定的最小值． 【详解】解：抛物线， 抛物线的对称轴为直线， 抛物线经过点和点， 点和点关于对称轴对称，， ，即， ， ， ， 时，有最大值为：． 故答案为：1． 【跟踪专练3】已知，两点在二次函数的图象上，下列判断错误的是（） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的对称性与单调性，需结合函数性质逐一分析选项判断正误． 【详解】解：∵二次函数开口向上，对称轴为（y轴），在时单调递减，时单调递增，且点到对称轴距离越远，函数值越大． 选项A：当时，，，两点关于y轴对称，∴，A正确． 选项B：若，则、关于y轴对称，∴，解得，B正确． 选项C：若，则，∵函数在时单调递增，∴，C正确． 选项D：若，则，两边平方得，化简得，即，并非（如时，，，但），D错误． 故选：D． 题型16.由二次函数的对称性求函数值 【典例】若为二次函数的图象上的三点，则的大小关系是_________(用“<”表示) ． 【答案】 【分析】本题考查了比较二次函数函数值的大小．正确计算函数值是解题的关键．分别计算的值，然后比大小即可． 【详解】解：由题意知，，，， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，直线从左至右交抛物线G，L于点M，N，P，Q，且两条抛物线的顶点A，B都在直线上，已知，，，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的性质，由抛物线的对称性找到线段之间的关系来求解的长度是解决本题的关键． 分别求出，和的长度，再根据抛物线的对称性即可求解． 【详解】解：因为，，， 由图可知， ， ， 因为两条抛物线的顶点A，B都在直线上， 根据抛物线的对称性可知． 故选：B． 【跟踪专练2】已知点，，都在函数的图象上，则、、的大小关系是___________． 【答案】/ 【分析】根据函数表达式可知抛物线开口向下，对称轴，在对称轴处，函数取得最大值，分别计算点、点、点横坐标到对称轴距离进行比较即可． 【详解】解：由函数表达式可知，函数图象为抛物线，抛物线开口向下，对称轴为直线， 当时，随着增大而增大，当时，随着增大而减小，在对称轴处，函数取得最大值， ∴距离对称轴越近的点，函数值越大，距离对称轴越远的点，函数值越小， 分别计算，点，三点的横坐标到对称轴的距离： 点的横坐标为，到对称轴的距离为， 点的横坐标为 ，到对称轴的距离为， 点的横坐标为 ，到对称轴的距离为， ∴． 【跟踪专练3】如图，已知抛物线的顶点 A 在 y 轴上，过点 A 作 x 轴的平行直线，将原抛物线对称轴右侧的部分沿直线翻折后，所得的部分与原抛物线对称轴左侧的部分构成一个新函数的图像（图中的实线部分），若这十个点都在此新函数的图像上，这10个点的横坐标从开始依次增加1，则的值是（    ） A．0 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的性质、轴对称变换、中心对称变换，理解题意，得到根据二次函数的性质及轴对称性质可得到与，与与与都关于点A对称，根据中心对称性质可得，进而可求解． 【详解】解：抛物线的顶点坐标A为，对称轴为y轴， 根据题意，与点A重合，即， ∴根据对称性质可得与，与与与都关于点A对称， ∴， 又， ∴ =， 故选：D． 题型17.y=ax2+bx+c的最值 【典例】已知实数，满足，则的最大值为________． 【答案】34 【分析】根据已知条件将用含的代数式表示，代入所求式子，转化为关于的二次函数，利用二次函数的性质求解最大值． 【详解】解：， ， 将 代入得 ． 二次项系数， 该二次函数开口向下，当时，取得最大值，最大值为． 【跟踪专练1】已知二次函数，当时，函数的最小值为，则b的值为（       ） A． B．2 C． D．1 【答案】A 【分析】先求出二次函数开口向上，对称轴为直线，则离对称轴越近函数值越小，再分当时，当时，两种情况根据二次函数的性质结合当时，函数的最小值为进行求解即可． 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴二次函数开口向上，对称轴为直线， ∴离对称轴越近函数值越小， 当时， ∵当时，函数的最小值为， ∴，解得（舍去）； 当时，则， ∵当时，函数的最小值为， ∴当时， ， ∴， 解得； 综上所述，， 故选A． 【点睛】本题主要考查了二次函数的最值问题，正确得到离对称轴越近函数值越小是解题的关键， 【跟踪专练2】已知二次函数，当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，则t的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的最值等知识．熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 由，可知图象开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，当时，，即关于对称轴对称的点坐标为，由当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，可得，计算求解，然后作答即可． 【详解】解：∵， ∴图象开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， 当时，， ∴关于对称轴对称的点坐标为， ∵当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值， ∴， 解得，， 故选：C． 【跟踪专练3】将科技元素与农业资源相结合，是推动农业现代化、提升农业生产效率和效益的重要途径．某农田引进了一台移动喷灌机，如图，灌溉机喷出的两条水流具有相同的抛物线形状，而且左右两条抛物线关于y轴对称．按照图中的平面直角坐标系，左侧的一条抛物线可以用表示，则左右两条水流最高点之间的距离为________． 【答案】6 【分析】将左侧抛物线的解析式化为顶点式，从而可得左侧的一条抛物线的最高点的横坐标为，由轴对称的性质得出右侧的一条抛物线的最高点的横坐标为，由此即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴左侧的一条抛物线的最高点的坐标为，即左侧的一条抛物线的最高点的横坐标为， ∵左右两条抛物线关于y轴对称， ∴右侧的一条抛物线的最高点的横坐标为， ∴左右两条水流最高点之间的距离为． 解答题 1．如图，中，，，．动点P，Q分别从A，C两点同时出发，点P沿边向C以每秒3个单位长度的速度运动，点Q沿边向B以每秒4个单位长度的速度运动，当P，Q到达终点C，B时，运动停止．设运动时间为t（s）． (1)①当运动停止时，t的值为 ． ②设P，C之间的距离为y，则y与t满足 ． A．正比例函数关系 B．一次函数关系 C．二次函数关系 (2)设的面积为S， ①求S的表达式（用含有t的代数式表示）； ②求当t为何值时，S取得最大值，这个最大值是多少？ 【答案】(1)①2；②B (2)①；②， 【分析】本题主要考查了求一次函数关系式，求二次函数关系式，二次函数图象的性质，求二次函数的极值， 对于（1），先根据路程和速度求出时间，再根据得出关系式解答； 对于（2），先根据列出二次函数关系式，再根据图象的性质讨论最大值即可． 【详解】（1）解：①由题意，∵当P，Q到达终点C，B时，运动停止， ∴运动停止时，运动时间（s）． 故答案为：2； ②由题意得，，即， ∴y与t满足一次函数关系． 故选：B； （2）解：①由题意得，，， 又的面积， ∴（）； ②由题意，∵， ∴该函数的图象开口向下，其顶点在． ∴当时，． 2．已知是关于x的二次函数． (1)求满足条件的k的值． (2)为何值时，该二次函数有最大值？最大值是多少？ 【答案】(1)2或 (2)当时，该二次函数有最大值，最大值为 【分析】本题主要考查了二次函数的定义的应用，二次函数的性质，二次函数的最值，关键是根据定义求出k的值． （1）根据二次函数的定义求出k的值即可解决问题； （2）运用当二次项系数小于0时，抛物线开口向下，图象有最高点，据此解答即可． 【详解】（1）解：是关于x的二次函数， ， 解得：， 满足条件的k的值为2或． （2）解：当二次函数有最大值时，其图象的开口向下， ，即， 由（1）得， ， 该二次函数为， 二次函数最大值为， 当时，该二次函数有最大值，最大值为． 3．如图，二次函数的图象经过点，过点作轴的平行线交该二次函数的图象于两点． (1)求二次函数的解析式； (2)为平面内一点，当是等边三角形时，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了二次函数解析式的求解、函数与直线的交点坐标计算，以及等边三角形的性质，熟练结合函数与几何图形的性质是解题关键． （1）利用二次函数图象上点的坐标特征，代入已知点坐标求出函数解析式； （2）先结合直线方程与二次函数解析式求出交点坐标，再根据等边三角形的中线、高的性质，计算出顶点的坐标． 【详解】（1）解：二次函数的图象经过点， ， 解得：， 二次函数的解析式为； （2）解：将代入， 解得：，， 点、的坐标分别为，， ，， 是等边三角形， 易得点在轴上，且， 轴， ， ， 点的坐标为， 点的坐标为或． 4．用描点法画出函数的图象，结合图象，回答下列问题：    (1)开口方向________； (2)对称轴________； (3)顶点坐标________； (4)当时，y随x的增大而________； (5)当x________时，； (6)当时，y的取值范围是________． 【答案】(1)向上 (2)轴 (3) (4)增大 (5) (6) 【分析】（1）先列表，再描点，并画图，再根据图象可得开口方向； （2）根据图象可得对称轴方程； （3）根据图象可得顶点坐标； （4）根据图象可得增减性； （5）根据图象可得函数值为0时，自变量的值； （6）根据函数图象可得当时，y的取值范围． 【详解】（1）解：如图， 列表如下： 0 1 2 0 0 3 描点并画图：    ∴图象开口向上； （2）图象的对称轴为轴； （3）图象的顶点坐标为：； （4）当时，y随x的增大而增大； （5）当时，则， 解得：； （6）当时，函数最小值为， 当时，， 当时，， ∴当时，y的取值范围是． 【点睛】本题考查的是画二次函数的图象，二次函数的图象与性质，根据二次函数的图象总结二次函数的性质是解本题的关键． 5．在平面直角坐标系中，已知点在抛物线上． (1)求该抛物线的对称轴． (2)若点，也在抛物线上，请通过计算比较，的大小． 【答案】(1)直线 (2)当时，；当时，；当时， 【分析】本题考查二次函九图像与性质， （1）将点代入得出的关系与的关系，即可得出结论； （2）分，，三种情况讨论即可； 掌握二次函数的增减性及分类讨论思想的运用是解题的关键． 【详解】（1）解：∵点在抛物线上， ∴， ∴， ∴， ∴该抛物线的对称轴为直线； （2）∵， ∴抛物线的图像开口向上， ∴抛物线上的点离对称轴越近其函数值越小， 当时，， 此时点与点关于直线对称， ∴； 当时，点离直线更近，则； 当时，点离直线更近，则； 综上所述，当时，；当时，；当时，． 6．已知二次函数，其中为常数． (1)若，求此函数图象的顶点坐标； (2)当时，y随x的增大而减小；当时，随的增大而增大，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将代入二次函数中，得到，即可得到函数图象的顶点坐标为； （2）先求得抛物线的对称轴为直线，根据当时，y随x的增大而减小；当时，随的增大而增大，得到，即可求得的取值范围． 【详解】（1）解：∵， ∴二次函数， ∴函数图象的顶点坐标为； （2）解：∵二次函数为， ∴对称轴为直线， ∵当时，y随x的增大而减小， ∴，解得； ∵当时，随的增大而增大， ∴，解得， ∴的取值范围是． 7．已知关于x的二次函数． (1)该二次函数的对称轴为______． (2)亮亮说：“若二次函数存在最值 ，则该值为最小值．”请通过计算说明亮亮的判断是否正确． (3)将二次函数的图象向右平移个单位长度，平移后的新二次函数的图象在的范围内的最大值为，直接写出m的值． 【答案】(1) (2)正确 (3)或 【分析】（1）直接利用对称轴的计算公式即可； （2）首先利用顶点坐标公式求出顶点的纵坐标，然后根据最值为确定的值，由的符号判断是否为最小值即可； （3）首先确定平移后新二次函数图象对称轴的位置，然后根据二次函数图象的增减性，对的值分类讨论即可． 【详解】（1）解：由二次函数的对称轴公式，得对称轴． （2）解：二次函数图象的顶点纵坐标为． 令，则． ∵， ∴该值为最小值，即亮亮的判断正确． （3）解：或， 理由：由（1）、（2）可知原二次函数图象的顶点坐标为， 平移后新二次函数的表达式为，顶点坐标为， ①若， ∵， ∴新二次函数图象的对称轴位于直线和轴之间， 当时，时取得最大值． ∴， 解得或（不合题意，舍去）； 当时，时取得最大值， ∴， 解得或（不合题意，舍去）． ②若 ， 则新二次函数在的范围内的最大值始终为， 根据题意，得， 解得，与题设矛盾，故此种情况的值不存在． 综上可知，m的值为或． 8．在平面直角坐标系中，已知函数（m，n为常数）图象的顶点坐标为． (1)当，时，求该函数图象的顶点坐标． (2)若，为该函数图象上的点，当时，比较，的大小． (3)若该函数的图象经过点，当时，求k的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）把，代入函数解析式整理并化成顶点式即可求解． （2）根据对称轴为直线得出，把和分别代入二次函数求出对应的和，然后相减即可得出答案． （3）根据二次函数顶点坐标得出把点代入，得出，根据顶点坐标得出，，根据h的取值范围即可求出k的取值范围． 【详解】（1）解：当，时， 函数可化为． 整理得：． ∴该函数图象的顶点坐标为． （2）解：已知函数， 其对称轴为， ∵，即对称轴为， ∴， ∴， 将代入函数中，可得， 将代入函数中，可得， ∴， ∴． （3）解：把点代入， 得， ∴， 已知函数（m，n为常数）图象的顶点坐标为， ∴，， ∴， ∴ ∵， ∴． 9．已知二次函数的图象对称轴为直线，点都在该二次函数图象上． (1)用含a的代数式表示b； (2)当时，比较与的大小，并说明理由； (3)当时，都有，直接写出t的取值范围． 【答案】(1) (2) ，理由如下： ∵对称轴为直线， ∴点关于直线的对称点为， ∵， ∴抛物线开口向下，当时，随着增大而减小， ∵，， ∴； (3)或 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是： （1）根据对称轴公式求解即可； （2）求出点关于直线的对称点为，然后根据二次函数的增减性求解即可； （3）分、 都在对称轴直线的右侧；、 在对称轴直线的两侧；、 都在对称轴直线的左侧，三种情况讨论，画出对应的草图，数形结合，根据二次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象对称轴为直线， ∴， ∴； （2）略 （3）解：当时，， ∵， ∴在的右侧， 当、 都在对称轴直线的右侧时，如图， ∵， ∴，解得； 当、 在对称轴直线的两侧时， 即关于直线的对称点为 关于直线的对称点为 ∵， ∴， 解得 当、 都在对称轴直线的左侧时， ∵， ∴开口向下，在对称轴直线的左侧，y随x的增大而增大， ∵， ∴， 与相矛盾， ∴此种情况不存在， 综上，或． 10．已知抛物线经过点． (1)求该抛物线的对称轴． (2)当时，若点在抛物线上，求的最小值． (3)若存在实数，当，且时，的取值范围是，求，的值． 【答案】(1)直线 (2) (3)或 【分析】（1）先将已知点代入抛物线解析式，得到，再利用抛物线对称轴公式直接计算得到对称轴 （2）代入得到抛物线解析式，配方得顶点坐标，根据开口方向得到的最小值，即的最小值 （3）将抛物线化为顶点式，对称轴在给定区间内，分和两种情况，根据开口方向判断区间内最值位置，列方程求解得到和 【详解】（1）解：将点代入得： 整理得， 抛物线对称轴为 ∴该抛物线的对称轴为直线 （2）解：当时，， 抛物线解析式为： 抛物线开口向上， 点在抛物线上， 的最小值为； （3）将抛物线化为顶点式得，对称轴 ，且， 对称轴在内， 分两种情况讨论：情况1：，抛物线开口向上，顶点为最小值点， ， 解得， 左端点到对称轴的距离为，右端点到对称轴的距离为，， 最大值在处， 代入得 把代入得， 解得 ， ； 情况2：，抛物线开口向下，顶点为最大值点 ，解得， ∵抛物线的右端点到对称轴距离更远， 最小值在处.代入得， 把代入得， 解得 ， ， 综上，或 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01二次函数及其图象与性质暑假预习讲义 ·掌握二次函数定义及一般形式y=ax2+bx+c(a≠0)，识别y=ax2、y=ax2+c、y=ax2+bx特殊形式，能区分二次、一次、反比例函数，牢记二次项系数不为 0 的核心条件。 ·结合生活面积、销售利润、物体运动等实际情境，抽象等量关系列出二次函数解析式，并结合实际场景确定自变量取值范围。 ·认识二次函数图像为抛物线，会用描点法绘制y=ax2基础图像，识别抛物线顶点、对称轴、开口三大核心特征。 ·掌握顶点式y=a(x-h)2+k，直接读出顶点(h,k)与对称轴直线x=h；理解图像平移 “左加右减，上加下减” 规律，分清a、h、k分别对开口宽窄、图像左右、上下位置的影响。 ·熟练运用配方法将二次函数一般式转化为顶点式，熟记一般式对称轴x=-、顶点坐标公式。 ·掌握参数a的作用：a>0开口向上，存在最小值；a<0开口向下，存在最大值；|a|越大，抛物线开口越窄。 ·能根据解析式判断开口方向、对称轴、顶点，准确说出对称轴两侧函数增减变化规律，会求函数整体最值，初步掌握给定自变量取值区间的区间最值求解思路。 ·会利用待定系数法，结合顶点、图像上已知点、坐标轴交点坐标求二次函数解析式；借助数形结合，根据图像判断函数值正负、比较函数值大小。 ·类比一次函数学习思路，建立 “定义 — 解析式 — 图像 — 性质 — 实际应用” 标准化函数学习框架，形成函数类题型解题思维。 ·规避高频易错点：忽略a≠0判定二次函数；配方时符号出错；混淆图像平移左右加减规则；求区间最值只取顶点，忽略区间端点；分不清增减区间分界为对称轴。 预习必备 知识梳理 1.二次函数的定义 2.列二次函数解析式 3.特殊形式y=ax2 4.二次函数的图象与性质 5.二次函数图象与a，b，c的关系 6..图象画法 7.二次函数的平移规律 8.高频易错点汇总 常考题型 精讲精练 1列二次函数关系式. 2.二次函数的识别 3.由二次函数定义求参数 4. y=ax2图象与性质 5.y=ax2+k图象与性质 6.y=a(x-h)2图象与性质 7.y=a(x-h)2+k图象与性质 8.二次函数图象的平移 9.把y=ax2+bx+c化成顶点式 10.y=ax2+bx+c的图象与性质 11.二次函数图象与各项系数符号 12.一次函数二次函数图象综合判断 13.反比例与二次函数图象综合判断 14.由二次函数图象判断式子符号 15.抛物线上对称两点求对称轴 16.由二次函数的对称性求函数值 16.y=ax2+bx+c的最值 强化题型 解答题10题 知识点01：二次函数定义 1.定义：形如y=ax2+bx+c（a、b、c) 为常数a≠0）的函数叫做二次函数。 ax2：二次项，a 为二次项系数； bx：一次项，b 为一次项系数； c：常数项。 2.三种特殊形式 1 最简式：y=ax2 (a≠0)（b=0，c=0） 2 缺一次项：y=ax2+c(a≠0)（b=0） 3 缺常数项：y=ax2+bx(a≠0)（c=0） 3.判断二次函数关键条件 （1） 整理化简后，自变量最高次数为 2； （2） 二次项系数 \(a≠0\)； （3） 等号右边是关于 x 的整式，不含分式、根号、x 在分母。 4.易混区分：一次函数 y=kx+b(k≠0)、反比例函数 y=(k≠0)、二次函数三者区分 函数类型 标准解析式 自变量最高次数 图像 一次函数 y=kx+b (k≠0) 1 直线 反比例函数 y=(k≠0) -1 双曲线 二次函数 y=ax2+bx+c (a≠0) 2 抛物线 知识点02：实际问题列二次函数解析式 常见沪考实际模型：图形面积、销售利润、抛射运动、增长率问题。 解题步骤： 1 找准自变量 x、因变量 y； 2 根据等量关系列出等式，整理成标准二次函数形式； 3 根据实际意义写出自变量取值范围（长度、数量大于 0 等限制） 示例：矩形周长固定，面积与边长的函数关系；商品涨价降价，总利润函数。 自变量取值范围 1.纯代数解析式：全体实数； 2.实际应用题：长度、数量大于 0，限定区间、整数等。 知识点03：二次函数解析式的三种形式 三种解析式互相转化总结 知识点03:特殊形式：y=ax2(a0) 1. 图象特征 图象是抛物线，关于 **y 轴（直线x=0）** 对称。 顶点是原点(0,0)。 ∣a∣ 越大，抛物线开口越窄；∣a∣ 越小，开口越宽。 2. 核心性质 性质 a>0 a<0 开口方向 向上 向下 顶点性质 最低点 最高点 增减性 x<0：y 随 x 增大而减小 x>0：y 随 x 增大而增大 x<0：y 随 x 增大而增大 x>0：y 随 x 增大而减小 最值 当 x=0 时，y最小=0 当 x=0 时，y最大=0 知识点04：二次函数的图象与性质 知识点05：二次函数y=ax2+bx+c图象与a，b，c的关系 · a定开口：正上负下，|a|越大开口越窄； · a、b定对称轴：口诀左同右异，b=0对称轴为y轴； · c定抛物线与y轴交点正负，c=0过原点； ·Δ=b2-4ac决定抛物线和x轴交点数量。 知识点06:图象画法（描点法） 1.化顶点式：将 y=ax2+bx+c 化为 y=a(x−h)2+k。 2.定三要素：开口方向、对称轴 x=h、顶点 (h,k)。 3.对称描点：在对称轴两侧取对称点，用平滑曲线连接。 知识点07:二次函数的平移规律 抛物线的平移是指将抛物线y = ax²的图象进行上下左右移动，得到y = a(x - h)² + k的图象。 1.左右平移：由h的值决定。 *h > 0：抛物线y = ax²向右平移h个单位。 *h < 0：抛物线y = ax²向左平移|h|个单位。 2.上下平移：由k的值决定。 *k > 0：抛物线y = a(x - h)²向上平移k个单位。 *k < 0：抛物线y = a(x - h)²向下平移|k|个单位。 “左加右减”是对x本身进行的变化。 “上加下减”是对整个函数值y进行的变化。 知识点08：高频易错点 1.判断二次函数忽略a≠0； 2.图像平移混淆 “左加右减”，直接在x外侧加减常数； 3.配方漏乘二次项系数a，常数计算出错； 4.顶点坐标、对称轴符号丢负号； 5.求区间最值只看顶点，忽略自变量区间端点； 6.增减性描述缺少对称轴分界条件； 7.交点式使用前提：抛物线与x轴有两个不同交点； 8.实际应用题遗漏自变量取值范围。 题型1列二次函数关系式. 【典例】报告显示，2023年全球金属增材制造市场的总收入达到28.5亿美元．若2025年的市场规模为y亿美元，平均每年的增长率为x，则y与x之间的函数关系式为________． 【跟踪专练1】某工厂生产一种金属板，其总硬度是基础硬度与强化硬度之和，其中基础硬度与厚度x成正比，强化硬度与厚度x的平方成正比．已知时，，．当时，则其总硬度是（   ） A．65 B．75 C．85 D．95 【跟踪专练2】两个正方形的周长之和是．若以两个正方形面积之和为因变量，其中一个正方形的边长（单位：）为自变量，则它们之间的关系式是_______． 【跟踪专练3】如图，矩形的面积为，点在边上，点在边上，四边形是正方形，记线段的长为的长为，正方形的面积为．当在一定范围内变化时，随的变化而变化，则与满足的函数关系分别是（　　） A．一次函数关系，二次函数关系 B．反比例函数关系，一次函数关系 C．二次函数关系，一次函数关系 D．反比例函数关系，二次函数关系 题型2.二次函数的识别 【典例】二次函数的二次项系数是 ___________． 【跟踪专练1】下列函数中，属于二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】下列函数是关于x的二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练3】若函数的图象与直线有交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C．且 D． 题型3.由二次函数=定义求参数 【典例】若二次函数的图象经过点，则的值为___________． 【跟踪专练1】已知二次函数的图象和x轴有交点，则k的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 【跟踪专练2】函数是关于的二次函数，则______． 【跟踪专练3】若抛物线与轴有交点，则的取值范围是（   ） A．且 B． C．且 D． 题型4. y=ax2图象与性质 【典例】二次函数的图象开口向___________．（填“上”或“下”） 【跟踪专练1】关于函数，下列说法正确的是（    ） A．无论取何值， B．其图象的对称轴是 轴 C． 随的增大而减小 D．其图象在第二、四象限 【跟踪专练2】如图，在平面直角坐标系中，平行于x轴的直线，与二次函数和分别交于A、B和C、D四个点，若，则a的值是________． 【跟踪专练3】如图，四边形是正方形，且点、恰好在抛物线上，点在轴上，则的长为（     ） A．2 B． C．4 D． 题型5.y=ax2+k图象与性质 【典例】如果抛物线的开口向下，那么的取值范围是___________． 【跟踪专练1】二次函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】若，，为二次函数的图像上的三点，则，，的大小关系是_____．（用“”连接） 【跟踪专练3】如图，已知抛物线，将该抛物线在x轴及x轴下方的部分记作，将沿x轴翻折构成的图形记作，将和构成的图形记作．关于图形，给出的下列四个结论，不正确的是（   ） A．图形恰好经过4个整点（横、纵坐标均为整数的点） B．图形上任意一点到原点的最大距离是1 C．图形的周长大于 D．图形所围成区域的面积大于2且小于 题型6.y=a(x-h)2图象与性质 【典例】如果二次函数的图象在它对称轴左侧部分是上升的，那么a的取值范围是_______． 【跟踪专练1】已知抛物线，其中，该抛物线示意图是（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】对于二次函数和，其自变量和函数值的两组对应值如下表所示： 根据二次函数图象的相关性质可知：_______，_______． 【跟踪专练3】点都在二次函数的图像上．若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型7.y=a(x-h)2+k图象与性质 【典例】已知点、在二次函数的图象上，若，则___（填“”、“”或“”）． 【跟踪专练1】关于抛物线，下列说法正确的是（     ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．顶点坐标是 D．时，随增大而增大 【跟踪专练2】抛物线经过点，且对称轴与线段有交点，点，，则的取值范围是___________． 【跟踪专练3】已知二次函数经过点，若，则下列说法正确的为（   ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 题型8.二次函数图象的平移 【典例】将抛物线向上平移个单位，得到新抛物线的表达式是______． 【跟踪专练1】将抛物线向左平移个单位，再向下平移个单位，得到的抛物线解析式是(    ) A． B． C． D． 【跟踪专练2】将二次函数的图象向下平移一个单位长度后，得到的函数表达式是__________． 【跟踪专练3】抛物线先向左平移3个单位，再向下平移4个单位后的函数解析式为（    ） A． B． C． D． 题型9.把y=ax2+bx+c化成顶点式 【典例】把二次函数变形为的形式，则的值为______ ． 【跟踪专练1】将二次函数配成的形式，正确的是（　　） A． B． C． D． 【跟踪专练2】在平面直角坐标系中，点是抛物线的顶点，点Q是抛物线的顶点，如果，那么点Q的坐标是_______． 【跟踪专练3】已知抛物线（c为常数）经过点，，当时，则m的取值范围为（　　） A． B． C． D． 题型10.y=ax2+bx+c的图象与性质 【典例】如果抛物线有最高点，那么的取值范围是_____． 【跟踪专练1】已知抛物线上有三点，，，则，，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】二次函数的部分图象和对称轴如图所示．若方程总有两个不同的正实数根，则的取值范围是______． 【跟踪专练3】二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线，当时，的取值范围是（   ） A． B．或 C． D． 题型11.二次函数图象与各项系数符号 【典例】二次函数的图象如图所示，那么b______0，c______0（填“＞”，“=”，或“＜”）． 【跟踪专练1】如图：是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的一部分，则b__2a（填“＞”“＝”“＜”）． 【跟踪专练2】如图是二次函数的图像一部分，其对称轴是x=-1，且过点（-3，0），说法： ① abc<0；②2a-b=0；③4a+2b+c<0；④若 、是抛物线上两点，则 ； 其中正确的有（　　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【跟踪专练3】如图，二次函数（）的图象与轴交于点，对称轴为直线，下列结论中错误的是（     ） A． B．当时，随的增大而增大 C．二次函数图形与轴的另一个交点的横坐标为 D． 题型12.一次函数二次函数图象综合判断 【典例】二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象不经过第______象限． 【跟踪专练1】二次函数和一次函数在同一坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】将抛物线的图象位于直线以下的部分向上翻折，得到如图图象，若直线与此图象有四个交点；则的取值范围是______． 【跟踪专练3】一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能为（    ） A． B． C． D． 题型13.反比例与二次函数图象综合判断 【典例】函数与在同一直角坐标系中的图象可能是（    ） A．   B．   C．   D．   【跟踪专练1】若，则函数、在同一坐标系中的图象可能是（    ） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【跟踪专练2】二次函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练3】一次函数与反比例函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 题型14.由二次函数图象判断式子符号 【典例】如图是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为直线x＝﹣1，且过点（﹣3，0），下列说法：①abc＜0；②2a﹣b＝0；③4a+2b+c＜0；④若（﹣5，y1），（2.5，y2）是抛物线上两点，则y1＞y2，其中说法正确的是（　　） A．①②③ B．②③ C．①②④ D．①②③④ 【跟踪专练1】过点的抛物线与轴交点的横坐标分别为，且，．下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有_____（填序号） 【跟踪专练2】如图，二次函数的图象经过点，，下列说法正确的是（   ） A． B． C． D．图象的对称轴是直线 题型15.抛物线上对称两点求对称轴 【典例】若点是抛物线上的两个点，则_____ 【跟踪专练1】若，是抛物线上的两个点，则抛物线的对称轴是（    ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【跟踪专练2】已知抛物线经过点和点，则的最大值是______． 【跟踪专练3】已知，两点在二次函数的图象上，下列判断错误的是（） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 题型16.由二次函数的对称性求函数值 【典例】若为二次函数的图象上的三点，则的大小关系是_________(用“<”表示) ． 【跟踪专练1】如图，直线从左至右交抛物线G，L于点M，N，P，Q，且两条抛物线的顶点A，B都在直线上，已知，，，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【跟踪专练2】已知点，，都在函数的图象上，则、、的大小关系是___________． 【跟踪专练3】如图，已知抛物线的顶点 A 在 y 轴上，过点 A 作 x 轴的平行直线，将原抛物线对称轴右侧的部分沿直线翻折后，所得的部分与原抛物线对称轴左侧的部分构成一个新函数的图像（图中的实线部分），若这十个点都在此新函数的图像上，这10个点的横坐标从开始依次增加1，则的值是（    ） A．0 B． C． D． 题型17.y=ax2+bx+c的最值 【典例】已知实数，满足，则的最大值为________． 【跟踪专练1】已知二次函数，当时，函数的最小值为，则b的值为（       ） A． B．2 C． D．1 【跟踪专练2】已知二次函数，当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，则t的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练3】将科技元素与农业资源相结合，是推动农业现代化、提升农业生产效率和效益的重要途径．某农田引进了一台移动喷灌机，如图，灌溉机喷出的两条水流具有相同的抛物线形状，而且左右两条抛物线关于y轴对称．按照图中的平面直角坐标系，左侧的一条抛物线可以用表示，则左右两条水流最高点之间的距离为________． 解答题 1．如图，中，，，．动点P，Q分别从A，C两点同时出发，点P沿边向C以每秒3个单位长度的速度运动，点Q沿边向B以每秒4个单位长度的速度运动，当P，Q到达终点C，B时，运动停止．设运动时间为t（s）． (1)①当运动停止时，t的值为 ． ②设P，C之间的距离为y，则y与t满足 ． A．正比例函数关系 B．一次函数关系 C．二次函数关系 (2)设的面积为S， ①求S的表达式（用含有t的代数式表示）； ②求当t为何值时，S取得最大值，这个最大值是多少？ 2．已知是关于x的二次函数． (1)求满足条件的k的值． (2)为何值时，该二次函数有最大值？最大值是多少？ 3．如图，二次函数的图象经过点，过点作轴的平行线交该二次函数的图象于两点． (1)求二次函数的解析式； (2)为平面内一点，当是等边三角形时，求点的坐标． 4．用描点法画出函数的图象，结合图象，回答下列问题：    (1)开口方向________； (2)对称轴________； (3)顶点坐标________； (4)当时，y随x的增大而________； (5)当x________时，； (6)当时，y的取值范围是________． 5．在平面直角坐标系中，已知点在抛物线上． (1)求该抛物线的对称轴． (2)若点，也在抛物线上，请通过计算比较，的大小． 6．已知二次函数，其中为常数． (1)若，求此函数图象的顶点坐标； (2)当时，y随x的增大而减小；当时，随的增大而增大，求的取值范围． 7．已知关于x的二次函数． (1)该二次函数的对称轴为______． (2)亮亮说：“若二次函数存在最值 ，则该值为最小值．”请通过计算说明亮亮的判断是否正确． (3)将二次函数的图象向右平移个单位长度，平移后的新二次函数的图象在的范围内的最大值为，直接写出m的值． 8．在平面直角坐标系中，已知函数（m，n为常数）图象的顶点坐标为． (1)当，时，求该函数图象的顶点坐标． (2)若，为该函数图象上的点，当时，比较，的大小． (3)若该函数的图象经过点，当时，求k的取值范围． 9．已知二次函数的图象对称轴为直线，点都在该二次函数图象上． (1)用含a的代数式表示b； (2)当时，比较与的大小，并说明理由； (3)当时，都有，直接写出t的取值范围． 10．已知抛物线经过点． (1)求该抛物线的对称轴． (2)当时，若点在抛物线上，求的最小值． (3)若存在实数，当，且时，的取值范围是，求，的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $