第01讲 二次函数&二次函数y = ax²的图像与性质（知识详解+10典例精讲+课后作业）-2026年九年级数学暑假预习讲义（沪教版五四制）

第01讲 二次函数&二次函数y = ax2的图像与性质 （知识详解+10典例精讲+课后作业） 知识详解·核心内容 知识点01： 二次函数 知识点02：二次函数的图像画法 知识点03：二次函数图像与性质 典例精讲·例题解析 （举一反三） 题型01： 二次函数的识别 题型02：根据二次函数的定义求参数 题型03：二次函数的一般形式 题型04:分类讨论函数类型 题型05：实际应用列函数关系式 题型06：图像性质辨析 题型07：比较二次函数值大小 题型08：待定系数法求解析式 题型09：图象与性质基础应用 题型10：图像与性质跨章节综合 课后作业·巩固延伸 一、单选题（6） 二、填空题（12） 三、解答题（8） 【知识点01】二次函数 定义：一般地，解析式形如（其中是常数，且）的函数叫做二次函数。 定义核心易错点 1.是判定二次函数的核心条件：若，式子变为，属于一次函数，不再是二次函数； 2.可以为0：当，解析式为；当，解析式为；当，解析式为最简二次函数； 3.自变量最高次数必须为2，且解析式为整式形式，分式、根式形式一定不是二次函数。 定义域说明 ①纯代数二次函数：定义域为全体实数； ②实际应用问题中的二次函数：定义域需结合场景限制（如边长、人数、面积大于0），舍去无实际意义的自变量取值。 【知识点02】二次函数的图像画法 以基础函数为例，在平面直角坐标系中作图，三步作图法标准化流程： （1）列表：取自变量x的一些值，计算相应的函数值y，如下表所示： x … -2 -1 0 1 2 … … 4 1 0 1 4 … （2）描点：分别以所取的x的值和相应的函数值y作为点的横坐标和纵坐标，描出这些坐标所对应的各点，如图1所示． 1 2 3 4 1 2 3 4 x y x y O O 1 2 1 2 -2 -1 -2 -1 图1 图2 （3）连线：用光滑的曲线把所描出的这些点顺次联结起来，得到函数的图像，如图2所示． 二次函数的图像是一条曲线，分别向左上方和右上方无限伸展．它属于一类特殊的曲线，这类曲线称为抛物线．二次函数的图像就称为抛物线． 一般地，二次函数的图像是抛物线，称为抛物线。这时，是这条抛物线的表达式。 【知识点03】二次函数图像与性质 1.对称轴：y轴，直线解析式： 2.顶点坐标：坐标原点，也是抛物线最值点 3.开口方向与最值规律 当时：抛物线开口向上，顶点是抛物线最低点，函数有最小值，图像向左上方、右上方无限伸展； 当时：抛物线开口向下，顶点是抛物线最高点，函数有最大值，图像向左下方、右下方无限伸展。 4.补充拓展性质 越大，抛物线开口越窄；越小，抛物线开口越宽； 图像对称性：若点在抛物线上，则对称点也在抛物线上。 课堂必背总结：最简二次函数，对称轴y轴顶点原点，a正开口向上有最小值，a负开口向下有最大值。 【题型01】二次函数的识别 【典例1】（25-26九年级上·上海普陀·期中）下列函数中，一定是y关于x的二次函数的是（  ） A． B． C．（其中m是常数） D．（其中a是常数） 【变式1-1】（25-26九年级上·上海虹口·阶段检测）函数______二次函数．（填“是”或者“不是”） 【变式1-2】（2026·上海长宁·一模）在下列给定的关于的函数中：①，②，③，④，一定是二次函数的是___________．（填写序号） 【变式1-3】判断下列函数是否是二次函数． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【题型02】根据二次函数的定义求参数 【典例2】（2026·上海虹口·一模）已知（为常数）是二次函数，那么的值是（   ） A．3 B． C． D．3或 【变式2-1】（2025·上海虹口·一模）已知是二次函数，那么的值是________． 【变式2-2】（24-25九年级上·上海虹口·阶段检测）已知是y关于x的二次函数，那么t的值是_______． 【变式2-3】一个二次函数． （1）求k的值． （2）求当x=3时，y的值？ 【题型03】二次函数的一般形式 【典例3】二次函数的一般式为______． 【变式3-1】把变成一般式，它的常数项为_____． 【变式3-2】抛物线的二次项系数是_________；一次项系数是_________． 【变式3-3】下列函数中（x，t为自变量），哪些是二次函数？如果是二次函数，请指出二次项、一次项系数及常数项． (1)； (2)； (3)； (4)． 【题型04】分类讨论函数类型 【典例4】已知函数， (1)当为何值时，此函数是一次函数？ (2)当为何值时，此函数是二次函数？ 【变式4-1】已知函数（m是常数）． (1)若该函数是一次函数，求m的值； (2)若该函数是二次函数，求m的值． 【变式4-2】已知函数，其中为常数． (1)当取什么值时，它为二次函数？ (2)当取什么值时，它为一次函数？ 【变式4-3】已知函数（m为常数），求当m为何值时： (1)y是x的一次函数？ (2)y是x的二次函数？并求出此时纵坐标为64的点的横坐标． 【题型05】实际应用列函数关系式 【典例5】深高小学部饲养了两只萌萌的羊驼，建筑队在学校一边靠墙处，计划用15米长的铁栅栏围成三个相连的长方形羊驼草料仓库，仓库总面积为y平方米，为方便取物，在各个仓库之间留出了1米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作小门，若设米，则y关于x的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】原价为160元的电器连续两次降价后的价格为y元，若平均每次降价的百分率是x，则y与x的函数表达式为______． 【变式5-2】（23-24九年级上·上海宝山·期末）直径是2的圆，当半径增加x时，面积的增加值s与x之间的函数关系式是______． 【变式5-3】某工厂计划为一批长方体形状的产品表面涂上油漆，长方体的长和宽相等，高比长多． （1）长方体的长和宽用表示，长方体的表面积的表达式是什么？ （2）如果涂漆每平方米所需要的费用是5元，油漆每个长方体所需费用用y（元）表示，那么y的表达式是什么？ 【题型06】图像性质辨析 【典例6】函数与在同一直角坐标系中的大致图象可能是（ 　　） A．B． C． D． 【变式6-1】（25-26九年级上·上海·课后作业）若二次函数的图象经过点，则该图象必经过点（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】（25-26九年级上·上海·课后作业）对于函数，下列说法正确的是（   ） A．当时，随的增大而减小 B．当时，随的增大而增大 C．随的增大而减小 D．随的增大而增大 【变式6-3】（25-26九年级上·上海·期中）下列关于抛物线和的关系的说法中，正确的是（   ） A．它们的形状相同，开口方向也相同； B．它们都关于y轴对称； C．它们的顶点不相同； D．点既在抛物线上也在上． 【题型07】比较二次函数值大小 【典例7】若二次函数的图象上有两点，，则，的大小关系是______． 【变式7-1】（25-26九年级上·上海·课后作业）已知抛物线过、两点，则下列关系式一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式7-2】（2025·上海宝山·一模）在平面直角坐标系中，如果点都在抛物线上，那么（  ） A． B． C． D． 【变式7-3】已知、、在函数的图像上，则的大小关系是________．（用“”号联结） 【题型08】待定系数法求解析式 【典例8】已知点在抛物线上，那么的值为______． 【变式8-1】抛物线经过点，那么这个抛物线的开口向______． 【变式8-2】若二次函数的图像过点，则a的值为______． 【变式8-3】二次函数的图像经过点，则的值是___________． 【题型09】图象与性质基础应用 【典例9】不画图象，说出抛物线和的开口方向、对称轴和顶点坐标． 【变式9-1】已知二次函数图像经过点． (1)判断这个函数图像的开口方向； (2)点在这个函数图像上，求m的值． 【变式9-2】在如图所示网格内建立恰当直角坐标系后，画出函数和的图象，并根据图象回答下列问题(设小方格的边长为1)： (1)说出这两个函数图象的开口方向，对称轴和顶点坐标； (2)抛物线，当______时，抛物线上的点都在轴的上方，它的顶点是图象的最______点； (3)函数，对于一切的值，总有函数______0；当______时，有最______值是______． 【变式9-3】（25-26九年级上·上海·课后作业）根据条件，求下列各题中的取值或取值范围． (1)函数有最小值； (2)函数，当时，随着的增大而增大； (3)与的函数图象形状相同； (4)函数的图象是开口向下的抛物线． 【题型10】图像与性质跨章节综合 【典例10】根据下列条件求的取值范围： (1)二次函数，当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大； (2)二次函数有最小值； 【变式10-1】如图，二次函数的图象经过点，过点作轴的平行线交该二次函数的图象于两点． (1)求二次函数的解析式； (2)为平面内一点，当是等边三角形时，求点的坐标． 【变式10-2】如图，点、、、在函数的图像上，且点、和点、分别关于轴对称，点的横坐标为，点的纵坐标为． (1)求点的纵坐标和点的横坐标，并写出点、的坐标 (2)在原图中，利用对称性，直接找特殊点，画出二次函数的图像． 【变式10-3】如图，点、在的图象上.直线与y轴交于点C，连接、. (1) ； ； (2)直线的函数表达式 ； (3)求的面积； (4)观察图象，当时，y的取值范围 ；当时，y的取值范围 . 一、核心概念：二次函数定义 1. 一般定义：形如 （为常数，） 的函数叫做二次函数。 2. 关键辨析要点： 自变量最高次数必须为2，不可化简后二次项消失； 核心限制：，可以为0； 特殊形式：时，二次函数最简形式：（本节课重点）。 3. 易错判断：式子含有不一定是二次函数，必须保证二次项系数不为0。 二、最简二次函数图像总特征 1. 图像形状：抛物线，属于轴对称图形； 2. 固定核心要素： 顶点坐标：（坐标原点） 对称轴：轴（直线） 必过定点：原点 三、图像与性质分两类总结（必考） 系数取值 开口方向 开口向上 开口向下 最值 顶点为最低点，时， 顶点为最高点，时， 增减性 ①，随增大而减小；② ，随增大而增大 ①，随增大而增大；② ，随增大而减小 开口大小 越大，抛物线开口越窄；越小，开口越宽 四、三大必考解题规律 1.符号定开口：正开口向上、负开口向下； 2.绝对值定宽窄：数值越大，抛物线开口越小； 3.对称值相等：抛物线上关于轴对称的两点，函数值相等，即若自变量为、，对应函数值相等。 五、高频易错避雷 易错1：判定二次函数忽略前提，做题需优先判定二次项系数不为0； 易错2：判断函数增减性，必须分对称轴左右两侧讨论，不可笼统判定增减； 易错3：混淆正负、大小分别对开口方向、开口宽窄的影响。 六、预习核心口诀（必背） 二次函数辨值，不为零是前提； ，顶点原点轴为； 正开口有底小，负开口有顶大； 大开口窄，左增右减看正负。 一、单选题 1．（24-25九年级上·上海普陀·期中）下列函数中是二次函数的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·上海奉贤·期末）已知抛物线经过两个不同的点和，那么的值是（   ） A．2 B． C．8 D． 3．（24-25九年级上·上海虹口·阶段检测）抛物线的开口向下，那么a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4.关于二次函数的图像，下列说法错误的是（    ） A．它是一条抛物线 B．它的开口向上，且关于y轴对称 C．它的顶点是抛物线的最高点 D．它与的图像关于x轴对称 5.在一个边长为1的正方形中挖去一个边长为的小正方形，如果设剩余部分的面积为y，那么y关于x的函数表达式为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25九年级上·上海普陀·阶段检测）已知二次函数，则的值为（   ） A．1或3 B．3 C．1 D．以上都不对 二、填空题 7．（25-26九年级上·上海宝山·阶段检测）已知抛物线在轴左侧的部分是下降的，那么的取值范围是____________． 8．（25-26九年级上·上海·阶段检测）若抛物线有最低点，则m的取值范围是_________． 9．（25-26九年级上·上海虹口·阶段检测）如果抛物线有最高点，那么a的取值范围是______． 10．如图所示四个二次函数的图象中，分别对应的是①；②；③；④，则的大小关系为________． 11．（25-26九年级上·上海闵行·期中）若抛物线（为常数），不经过第二象限，则的取值范围是_______． 12．（25-26九年级上·上海·课后作业）已知二次函数，当自变量的取值范围是时，函数值的取值范围为____． 13．（25-26九年级上·上海·课后作业）若点在函数的图象上，则点关于这个函数的对称轴对称的点的坐标为____． 14．（25-26九年级上·上海·课后作业）二次函数①，②，③的开口大小从大到小排列为_____（填入编号） 15．（24-25九年级下·上海·开学考试）如果某抛物线开口方向与抛物线的开口方向相同，那么该抛物线有最_________点（填“高”或“低”）． 16．（24-25九年级上·上海·期中）拋物线在对称轴左侧的部分是上升的，那么的取值范围是______． 17．（24-25九年级上·上海·阶段检测）已知点和在二次函数图像上，则_____0．（填“”、“”或“”） 18．（2025·上海虹口·二模）如图，点，，，平移得，顶点、、分别与点、、对应，如果点、都在抛物线上，那么点到点的距离是_____． 三、解答题 19.已知是关于的二次函数，求出它的解析式，并写出其二次项系数、一次项系数及常数项． 20.函数与直线交于点 (1)求，的值； (2)取何值时，二次函数中的随的增大而增大？ 21.已知是二次函数，且当时，随的增大而增大． (1)求的值； (2)直接写出抛物线的顶点坐标和对称轴． 22．下列函数在同一平面直角坐标系中，画出下列函数的图象：①；②；③；④．根据图象回答下列问题： (1)这些函数的图象都是轴对称图形吗？如果是，对称轴是什么？ (2)图象有最高点或最低点吗？如果有，最高点或最低点的坐标是什么？ 23.如图，已知一次函数的图象与二次函数的图象交于点和．    (1)求两个函数的解析式； (2)求的面积． 24．已知抛物线经过点 (1)求此抛物线的函数解析式； (2)判断点是否在此抛物线上； (3)求出抛物线上纵坐标为的点的坐标． 25．已知函数是关于x的二次函数． (1)求m的值； (2)当m为何值时，该函数图象的开口向下？ (3)当m为何值时，该函数有最小值，最小值是多少？ 26.如图，点、在的图象上．直线与轴交于点，连接、． (1) _______； _______； (2)求直线的函数表达式； (3)当 时， 的取值范围为_____． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第01讲 二次函数&二次函数y = ax2的图像与性质 （知识详解+10典例精讲+课后作业） 知识详解·核心内容 知识点01： 二次函数 知识点02：二次函数的图像画法 知识点03：二次函数图像与性质 典例精讲·例题解析 （举一反三） 题型01： 二次函数的识别 题型02：根据二次函数的定义求参数 题型03：二次函数的一般形式 题型04:分类讨论函数类型 题型05：实际应用列函数关系式 题型06：图像性质辨析 题型07：比较二次函数值大小 题型08：待定系数法求解析式 题型09：图象与性质基础应用 题型10：图像与性质跨章节综合 课后作业·巩固延伸 一、单选题（6） 二、填空题（12） 三、解答题（8） 【知识点01】二次函数 定义：一般地，解析式形如（其中是常数，且）的函数叫做二次函数。 定义核心易错点 1.是判定二次函数的核心条件：若，式子变为，属于一次函数，不再是二次函数； 2.可以为0：当，解析式为；当，解析式为；当，解析式为最简二次函数； 3.自变量最高次数必须为2，且解析式为整式形式，分式、根式形式一定不是二次函数。 定义域说明 ①纯代数二次函数：定义域为全体实数； ②实际应用问题中的二次函数：定义域需结合场景限制（如边长、人数、面积大于0），舍去无实际意义的自变量取值。 【知识点02】二次函数的图像画法 以基础函数为例，在平面直角坐标系中作图，三步作图法标准化流程： （1）列表：取自变量x的一些值，计算相应的函数值y，如下表所示： x … -2 -1 0 1 2 … … 4 1 0 1 4 … （2）描点：分别以所取的x的值和相应的函数值y作为点的横坐标和纵坐标，描出这些坐标所对应的各点，如图1所示． 1 2 3 4 1 2 3 4 x y x y O O 1 2 1 2 -2 -1 -2 -1 图1 图2 （3）连线：用光滑的曲线把所描出的这些点顺次联结起来，得到函数的图像，如图2所示． 二次函数的图像是一条曲线，分别向左上方和右上方无限伸展．它属于一类特殊的曲线，这类曲线称为抛物线．二次函数的图像就称为抛物线． 一般地，二次函数的图像是抛物线，称为抛物线。这时，是这条抛物线的表达式。 【知识点03】二次函数图像与性质 1.对称轴：y轴，直线解析式： 2.顶点坐标：坐标原点，也是抛物线最值点 3.开口方向与最值规律 当时：抛物线开口向上，顶点是抛物线最低点，函数有最小值，图像向左上方、右上方无限伸展； 当时：抛物线开口向下，顶点是抛物线最高点，函数有最大值，图像向左下方、右下方无限伸展。 4.补充拓展性质 越大，抛物线开口越窄；越小，抛物线开口越宽； 图像对称性：若点在抛物线上，则对称点也在抛物线上。 课堂必背总结：最简二次函数，对称轴y轴顶点原点，a正开口向上有最小值，a负开口向下有最大值。 【题型01】二次函数的识别 【典例1】（25-26九年级上·上海普陀·期中）下列函数中，一定是y关于x的二次函数的是（  ） A． B． C．（其中m是常数） D．（其中a是常数） 【答案】B 【详解】解：A、，为一次函数，故此选项不符合题意； B、，为二次函数，故此选项符合题意； C、，为一次函数，故此选项不符合题意； D、，当时，，此时不是二次函数，故此选项不符合题意； 故选：B． 【变式1-1】（25-26九年级上·上海虹口·阶段检测）函数______二次函数．（填“是”或者“不是”） 【答案】是 【详解】解：函数可展开为，该形式为，其中，因此是二次函数． 故答案为：是． 【变式1-2】（2026·上海长宁·一模）在下列给定的关于的函数中：①，②，③，④，一定是二次函数的是___________．（填写序号） 【答案】① 【详解】解：①，其中，是二次函数； ②，可能为0，不一定是二次函数； ③，为一次函数，不是二次函数； ④，是分式函数，不是二次函数． 故答案为：①． 【变式1-3】判断下列函数是否是二次函数． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【详解】（1），没有二次项，故不是二次函数； （2），符合，故是二次函数； （3），不是整式，故不是二次函数； （4），符合，故是二次函数； （5），符合，故是二次函数； （6），没有二次项，故不是二次函数． 【题型02】根据二次函数的定义求参数 【典例2】（2026·上海虹口·一模）已知（为常数）是二次函数，那么的值是（   ） A．3 B． C． D．3或 【答案】B 【详解】解：∵（为常数）是二次函数， ∴， ∴， 解得， 故选：B． 【变式2-1】（2025·上海虹口·一模）已知是二次函数，那么的值是________． 【答案】 【详解】解：根据题意，得， ∴． 故答案为：． 【变式2-2】（24-25九年级上·上海虹口·阶段检测）已知是y关于x的二次函数，那么t的值是_______． 【答案】8 根据二次函数的定义，即可求解． 【详解】解：由题意得，， 解得：， 故答案为：8． 【变式2-3】一个二次函数． （1）求k的值． （2）求当x=3时，y的值？ 【详解】解：（1）依题意有， 解得：k=2， ∴k的值为2； （2）把k=2代入函数解析式中得：， 当x=3时，y=14， ∴y的值为14． 【题型03】二次函数的一般形式 【典例3】二次函数的一般式为______． 【答案】 【详解】解：二次函数的一般式为． 故答案为：． 【变式3-1】把变成一般式，它的常数项为_____． 【答案】 【详解】解：， 把变成一般式，它的常数项为， 故答案为：. 【变式3-2】抛物线的二次项系数是_________；一次项系数是_________． 【答案】 1 4 【详解】解：二次函数的二次项系数是1，一次项系数是4， 故答案为：1；4． 【变式3-3】下列函数中（x，t为自变量），哪些是二次函数？如果是二次函数，请指出二次项、一次项系数及常数项． (1)； (2)； (3)； (4)． 【详解】（1）是二次函数，二次项是、一次项系数是、常数项是； （2），不含二次项，故不是二次函数； （3）是二次函数，二次项是、一次项系数是、常数项是； （4）中不是整式，故不是二次函数． 【题型04】分类讨论函数类型 【典例4】已知函数， (1)当为何值时，此函数是一次函数？ (2)当为何值时，此函数是二次函数？ 【详解】（1）解：若函数为一次函数， 则有， 解得， 所以，当时，此函数是一次函数； （2）解：若函数为二次函数， 则有， 解得且， 所以，当且时，此函数是二次函数． 【变式4-1】已知函数（m是常数）． (1)若该函数是一次函数，求m的值； (2)若该函数是二次函数，求m的值． 【详解】（1）解：是一次函数， 且， 解得； （2）解：是二次函数， ， 解得， 当时，，不符合题意， ． 【变式4-2】已知函数，其中为常数． (1)当取什么值时，它为二次函数？ (2)当取什么值时，它为一次函数？ 【详解】（1）解：根据题意，得， 解得； （2）解：当，即时，原函数为，是一次函数； 当即时，原函数为，也是一次函数， 综上所述，当或时，是一次函数． 【变式4-3】已知函数（m为常数），求当m为何值时： (1)y是x的一次函数？ (2)y是x的二次函数？并求出此时纵坐标为64的点的横坐标． 【详解】（1）解：（1）由题意，得 ，且， 解得， 当时，y是x的一次函数； （2）由题意，得 ，且， 解得， 当时，y是x的二次函数， 当时，， 解得， 纵坐标为64的点的横坐标． 【题型05】实际应用列函数关系式 【典例5】深高小学部饲养了两只萌萌的羊驼，建筑队在学校一边靠墙处，计划用15米长的铁栅栏围成三个相连的长方形羊驼草料仓库，仓库总面积为y平方米，为方便取物，在各个仓库之间留出了1米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作小门，若设米，则y关于x的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：铁栅栏的全长为15米，米， 平行于墙的一边长为米． 根据题意得：． 故选：A． 【变式5-1】原价为160元的电器连续两次降价后的价格为y元，若平均每次降价的百分率是x，则y与x的函数表达式为______． 【答案】 【详解】解：由题意得：， 故答案为：． 【变式5-2】（23-24九年级上·上海宝山·期末）直径是2的圆，当半径增加x时，面积的增加值s与x之间的函数关系式是______． 【详解】解：根据题意，得， 故答案为：． 【变式5-3】某工厂计划为一批长方体形状的产品表面涂上油漆，长方体的长和宽相等，高比长多． （1）长方体的长和宽用表示，长方体的表面积的表达式是什么？ （2）如果涂漆每平方米所需要的费用是5元，油漆每个长方体所需费用用y（元）表示，那么y的表达式是什么？ 【答案】（1）；（2） 【详解】解：（1） ； （2）． 【题型06】图像性质辨析 【典例6】函数与在同一直角坐标系中的大致图象可能是（ 　　） A．B． C． D． 【答案】B 【详解】解： A. 函数图形可得，则开口方向向下正确，但顶点坐标应交于原点，而不是交轴正半轴，故选项A不正确； B. 函数图形可得，则开口方向向下正确，顶点坐标为,故选项B正确； C. 函数图形可得，则开口方向向上正确，但顶点坐标应交于原点，故选项C不正确； D. 函数图形可得，则开口方向向上正确，但顶点坐标应交于原点，故选项D不正确； 故选B． 【变式6-1】（25-26九年级上·上海·课后作业）若二次函数的图象经过点，则该图象必经过点（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：二次函数的图象经过点， ，解得， 二次函数解析式为， 当时，，当或时，， 故点在抛物线上. 故选：B． 【变式6-2】（25-26九年级上·上海·课后作业）对于函数，下列说法正确的是（   ） A．当时，随的增大而减小 B．当时，随的增大而增大 C．随的增大而减小 D．随的增大而增大 【答案】B 【详解】解：，对称轴为直线， 抛物线开口向上，当时，随的增大而增大 当时，随的增大而减小，故B正确． 故选：B． 【变式6-3】（25-26九年级上·上海·期中）下列关于抛物线和的关系的说法中，正确的是（   ） A．它们的形状相同，开口方向也相同； B．它们都关于y轴对称； C．它们的顶点不相同； D．点既在抛物线上也在上． 【答案】B 【详解】解：∵抛物线和中二次项系数的绝对值相等， ∴它们的形状相同，开口方向相反，故A错误； 它们的对称轴都是y轴，故B正确； 它们的顶点都是，故C错误； 把代入得：， ∴点在抛物线上， 把代入得：， ∴点不在抛物线上，故D错误． 故选：B． 【题型07】比较二次函数值大小 【典例7】若二次函数的图象上有两点，，则，的大小关系是______． 【答案】 【详解】解：将代入，得， 将代入，得， ∵， ∴． 【变式7-1】（25-26九年级上·上海·课后作业）已知抛物线过、两点，则下列关系式一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：抛物线， ∴对称轴为轴，开口向上，顶点坐标为， 时，随的增大而减小， ， . 故选：A． 【变式7-2】（2025·上海宝山·一模）在平面直角坐标系中，如果点都在抛物线上，那么（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】解：∵抛物线的开口向上，对称轴为轴， ∴时，y随x的增大而增大， ∵点都在抛物线上，且， ∴ 故选：A． 【变式7-3】已知、、在函数的图像上，则的大小关系是________．（用“”号联结） 【答案】 【详解】解：∵二次函数的对称轴是直线， ∴时的函数值等于时的函数值，即点也在函数的图像上， ∵二次函数的开口向上，对称轴是直线， ∴当时，随的增大而减小， 又∵点、、在函数的图像上，， ∴， 故答案为：． 【题型08】待定系数法求解析式 【典例8】已知点在抛物线上，那么的值为______． 【答案】 【详解】解：把入， 得：． 故答案为：． 【变式8-1】抛物线经过点，那么这个抛物线的开口向______． 【答案】下 【详解】解：∵抛物线经过点， ∴ ， ∵ ， ∴这个抛物线的开口向下． 故答案为：下 【变式8-2】若二次函数的图像过点，则a的值为______． 【答案】2 【详解】解：将点代入二次函数得：，解得：． 【变式8-3】二次函数的图像经过点，则的值是___________． 【答案】 【详解】解：二次函数 () 的图像经过点 ， 当 时，， 代入二次函数解析式得：， 整理得：， 解得：． 故答案为：． 【题型09】图象与性质基础应用 【典例9】不画图象，说出抛物线和的开口方向、对称轴和顶点坐标． 【详解】解：抛物线中， ， 抛物线开口向下，对称轴是直线（轴），顶点坐标为； 抛物线中， ， 抛物线开口向上，对称轴是直线（轴），顶点坐标为． 【变式9-1】已知二次函数图像经过点． (1)判断这个函数图像的开口方向； (2)点在这个函数图像上，求m的值． 【详解】（1）解：将点代入中 得 即 解得 因为 所以这个函数图像的开口向上 （2）解：由（1）可知二次函数解析式为 将点代入中 得 解得. 【变式9-2】在如图所示网格内建立恰当直角坐标系后，画出函数和的图象，并根据图象回答下列问题(设小方格的边长为1)： (1)说出这两个函数图象的开口方向，对称轴和顶点坐标； (2)抛物线，当______时，抛物线上的点都在轴的上方，它的顶点是图象的最______点； (3)函数，对于一切的值，总有函数______0；当______时，有最______值是______． 【详解】（1）解：图象如图： 由图可得：二次函数的图象开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为；二次函数的图象开口向下，对称轴为y轴，顶点坐标为． （2）解：抛物线，当时，抛物线上的点都在轴的上方，它的顶点是图象的最低点． 故答案为：，低． （3）解：函数，对于一切的值，总有函数；当时，有最大值是0． 故答案为：，，大，0． 【变式9-3】（25-26九年级上·上海·课后作业）根据条件，求下列各题中的取值或取值范围． (1)函数有最小值； (2)函数，当时，随着的增大而增大； (3)与的函数图象形状相同； (4)函数的图象是开口向下的抛物线． 【详解】（1）解：函数有最小值， ， ； （2）解：当时，函数的函数值随着的增大而增大， ， ； （3）解：与的函数图象形状相同， ， 或； （4）解：函数的图象是开口向下的抛物线， 且， 或， ， ． 【题型10】图像与性质跨章节综合 【典例10】根据下列条件求的取值范围： (1)二次函数，当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大； (2)二次函数有最小值； 【详解】（1）解：∵当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大， ∴， 解得：； （2）解：∵函数有最小值， ∴， 解得：． 【变式10-1】如图，二次函数的图象经过点，过点作轴的平行线交该二次函数的图象于两点． (1)求二次函数的解析式； (2)为平面内一点，当是等边三角形时，求点的坐标． 【详解】（1）解：二次函数的图象经过点， ， 解得：， 二次函数的解析式为； （2）解：将代入， 解得：，， 点、的坐标分别为，， ，， 是等边三角形， 易得点在轴上，且， 轴， ， ， 点的坐标为， 点的坐标为或． 【变式10-2】如图，点、、、在函数的图像上，且点、和点、分别关于轴对称，点的横坐标为，点的纵坐标为． (1)求点的纵坐标和点的横坐标，并写出点、的坐标 (2)在原图中，利用对称性，直接找特殊点，画出二次函数的图像． 【详解】（1）解：点在函数的图像上， 当时，， ， 点的纵坐标为， 点、关于轴对称， , 点在函数的图像上，点、关于轴对称， 当时，， 解得， 、， 点的横坐标为； （2）解：∵和关于x轴对称， ∴画图如下所示 【变式10-3】如图，点、在的图象上.直线与y轴交于点C，连接、. (1) ； ； (2)直线的函数表达式 ； (3)求的面积； (4)观察图象，当时，y的取值范围 ；当时，y的取值范围 . 【详解】（1）解：∵点在的图象上， ∴， ∴， ∵点在的图象上， ∴， 故答案为：；4； （2）解：设直线的解析式为， ∵、， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 故答案为：； （3）解：在中，令，则， ∴C的坐标为， ∴， ∴； （4）解：∵、， 观察图象，当时，当时有最小值；当时有最大值； y的取值范围； 当时， 当时有最小值， 当时有最大值， ∴y的取值范围， 故答案为：；． 一、核心概念：二次函数定义 1. 一般定义：形如 （为常数，） 的函数叫做二次函数。 2. 关键辨析要点： 自变量最高次数必须为2，不可化简后二次项消失； 核心限制：，可以为0； 特殊形式：时，二次函数最简形式：（本节课重点）。 3. 易错判断：式子含有不一定是二次函数，必须保证二次项系数不为0。 二、最简二次函数图像总特征 1. 图像形状：抛物线，属于轴对称图形； 2. 固定核心要素： 顶点坐标：（坐标原点） 对称轴：轴（直线） 必过定点：原点 三、图像与性质分两类总结（必考） 系数取值 开口方向 开口向上 开口向下 最值 顶点为最低点，时， 顶点为最高点，时， 增减性 ①，随增大而减小；② ，随增大而增大 ①，随增大而增大；② ，随增大而减小 开口大小 越大，抛物线开口越窄；越小，开口越宽 四、三大必考解题规律 1.符号定开口：正开口向上、负开口向下； 2.绝对值定宽窄：数值越大，抛物线开口越小； 3.对称值相等：抛物线上关于轴对称的两点，函数值相等，即若自变量为、，对应函数值相等。 五、高频易错避雷 易错1：判定二次函数忽略前提，做题需优先判定二次项系数不为0； 易错2：判断函数增减性，必须分对称轴左右两侧讨论，不可笼统判定增减； 易错3：混淆正负、大小分别对开口方向、开口宽窄的影响。 六、预习核心口诀（必背） 二次函数辨值，不为零是前提； ，顶点原点轴为； 正开口有底小，负开口有顶大； 大开口窄，左增右减看正负。 一、单选题 1．（24-25九年级上·上海普陀·期中）下列函数中是二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A. 不符合二次函数的定义，不是二次函数； B. 是一次函数，不是二次函数； C. 不符合二次函数的定义，不是二次函数；     D. 符合二次函数的定义，是二次函数； 故选：D． 2．（25-26九年级上·上海奉贤·期末）已知抛物线经过两个不同的点和，那么的值是（   ） A．2 B． C．8 D． 【答案】B 【详解】解：抛物线的对称轴为轴，且点和的纵坐标均为， 点和点关于轴对称， ， 故选：B． 3．（24-25九年级上·上海虹口·阶段检测）抛物线的开口向下，那么a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵抛物线的开口向下， ∴， ∴， 故选：B． 4.关于二次函数的图像，下列说法错误的是（    ） A．它是一条抛物线 B．它的开口向上，且关于y轴对称 C．它的顶点是抛物线的最高点 D．它与的图像关于x轴对称 【答案】C 【详解】解：A. 它是一条抛物线，故原选项正确，不符合题意； B. ∵，∴它的开口向上，且关于y轴对称，故原选项正确，不符合题意； C. ∵的图像开口向上，∴它的顶点是抛物线的最低点，故原选项错误，符合题意； D. 它与的图像关于x轴对称，故原选项正确，不符合题意． 故选：C． 5.在一个边长为1的正方形中挖去一个边长为的小正方形，如果设剩余部分的面积为y，那么y关于x的函数表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：设剩下部分的面积为y，则： ， 故选：B． 6．（24-25九年级上·上海普陀·阶段检测）已知二次函数，则的值为（   ） A．1或3 B．3 C．1 D．以上都不对 【答案】B 【详解】∵是二次函数， ∴，且， ∴， 故选：B． 二、填空题 7．（25-26九年级上·上海宝山·阶段检测）已知抛物线在轴左侧的部分是下降的，那么的取值范围是____________． 【答案】 【详解】解：∵抛物线在对称轴左侧的部分是下降的， ∴抛物线开口向上， ∴，解得：． 故答案为：． 8．（25-26九年级上·上海·阶段检测）若抛物线有最低点，则m的取值范围是_________． 【答案】 【详解】解：抛物线有最低点， 二次函数图象开口向上，即，解得． 故答案为：． 9．（25-26九年级上·上海虹口·阶段检测）如果抛物线有最高点，那么a的取值范围是______． 【答案】 【详解】解：抛物线有最高点，说明抛物线开口向下， ∴二次项系数，解得． 故答案为：． 10．如图所示四个二次函数的图象中，分别对应的是①；②；③；④，则的大小关系为________． 【答案】 【详解】解：直线与四条抛物线的交点从上到下依次为，，，， ， 故答案为：． 11．（25-26九年级上·上海闵行·期中）若抛物线（为常数），不经过第二象限，则的取值范围是_______． 【答案】 【详解】解：抛物线的顶点为， 当时，开口向上，时，经过第二象限； 当时，开口向下，时，不经过第二象限； 故答案为：． 12．（25-26九年级上·上海·课后作业）已知二次函数，当自变量的取值范围是时，函数值的取值范围为____． 【答案】 【详解】解：由题意，的对称轴为轴，开口向上， 函数值有最小值． 当时，； 当时，； 当时，； 结合图象，可得当时，的取值范围是． 故答案为：． 13．（25-26九年级上·上海·课后作业）若点在函数的图象上，则点关于这个函数的对称轴对称的点的坐标为____． 【答案】 【详解】解：∵的对称轴是：直线， ∵点在函数的图象上， ∴关于直线对称， ∴， 故答案为：． 14．（25-26九年级上·上海·课后作业）二次函数①，②，③的开口大小从大到小排列为_____（填入编号） 【答案】②③① 【详解】解：对于二次函数，开口大小与成反比；函数①的，函数②的，函数③的； 比较的大小：， 因此开口大小从大到小排列为②、③、①； 故答案为②③①． 15．（24-25九年级下·上海·开学考试）如果某抛物线开口方向与抛物线的开口方向相同，那么该抛物线有最_________点（填“高”或“低”）． 【答案】高 【详解】解：∵抛物线开口方向与抛物线的开口方向相同，在抛物线中，， ∴抛物线的开口向下， ∴该抛物线有最高点， 故答案为：高． 16．（24-25九年级上·上海·期中）拋物线在对称轴左侧的部分是上升的，那么的取值范围是______． 【答案】 【详解】解：∵拋物线在对称轴左侧的部分是上升的， ∴拋物线在对称轴左侧y随x增大而增大， ∴， ∴， 故答案为：． 17．（24-25九年级上·上海·阶段检测）已知点和在二次函数图像上，则_____0．（填“”、“”或“”） 【答案】 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向下，对称轴为轴， ∴当时，随着轴的增大而减小， ∴， ∴， 故答案为： 18．（2025·上海虹口·二模）如图，点，，，平移得，顶点、、分别与点、、对应，如果点、都在抛物线上，那么点到点的距离是_____． 【答案】 【详解】解：设沿轴正方向平移个单位，沿轴正方向平移个单位， 则点、， 由于点、都在抛物线上， 则， 解得， 将代入得：， ∴， 故答案为：． 三、解答题 19.已知是关于的二次函数，求出它的解析式，并写出其二次项系数、一次项系数及常数项． 【详解】解：根据题意可得 解之得：或， 当时，二次函数为，其二次项系数为，一次项系数为，常数项为； 当时，二次函数为，其二次项系数为，一次项系数为，常数项为． 20.函数与直线交于点 (1)求，的值； (2)取何值时，二次函数中的随的增大而增大？ 【详解】（1）解：把代入可得： 点的坐标为 把代入可得： ，； （2）解：由（1）可得， 抛物线开口向下，且对称轴为轴， 当时，随的增大而增大． 21.已知是二次函数，且当时，随的增大而增大． (1)求的值； (2)直接写出抛物线的顶点坐标和对称轴． 【详解】（1）解：∵是二次函数， ∴且， 解得，， ∵二次函数当时，y随x的增大而增大， ∴二次函数的图象的开口向下，即， ∴， ∴； （2）解：由（1）得， ∴顶点坐标为，对称轴为y轴． 22．下列函数在同一平面直角坐标系中，画出下列函数的图象：①；②；③；④．根据图象回答下列问题： (1)这些函数的图象都是轴对称图形吗？如果是，对称轴是什么？ (2)图象有最高点或最低点吗？如果有，最高点或最低点的坐标是什么？ 【详解】（1）要画出已知四个函数的图象，需先列表，因为在这些函数中，自变量的取值范围是全体实数，故应以原点O为中心，对称地选取x的值，列出函数的对应值表． 解：列表： 4 描点、连线，函数图象如图所示． 这四个函数的图象都是轴对称图形，对称轴都是轴； （2）函数和的图象有最低点，函数和的图象有最高点，这些最低点和最高点的坐标都是． 23.如图，已知一次函数的图象与二次函数的图象交于点和．    (1)求两个函数的解析式； (2)求的面积． 【详解】（1）解：把点代入二次函数得，， 二次函数的解析式； 点代入二次函数解析式得， 把点，代入一次函数得 ， 解得， 故一次函数的解析式． （2）一次函数的解析式中，令，得， ∴一次函数与轴交于点， ∴． 24．已知抛物线经过点 (1)求此抛物线的函数解析式； (2)判断点是否在此抛物线上； (3)求出抛物线上纵坐标为的点的坐标． 【详解】（1）抛物线经过点， 把点代入抛物线中：， ， 此抛物线的函数解析式为：； （2）当时，， 点不在此抛物线上； （3）此抛物线上一点的纵坐标为， 把代入此抛物线中得：， ， 此抛物线上纵坐标为的点的坐标为或． 25．已知函数是关于x的二次函数． (1)求m的值； (2)当m为何值时，该函数图象的开口向下？ (3)当m为何值时，该函数有最小值，最小值是多少？ 【详解】（1）解：∵函数是关于x的二次函数， ∴，， 解得：； （2）解：∵函数图象的开口向下， ， ， ∴当时，该函数图象的开口向下； （3）解：∵当时，抛物线有最低点，函数有最小值， ，即 ∵抛物线顶点坐标为， ∴该函数最小值为． 26.如图，点、在的图象上．直线与轴交于点，连接、． (1) _______； _______； (2)求直线的函数表达式； (3)当 时， 的取值范围为_____． 【详解】（1）解：∵点在的图象上， ∴， 解得， ∴， 当时，； 故答案为：；； （2）解：∵，， 设直线的解析式为， 把，点坐标代入得， 解得，， ∴直线的解析式为：； （3）解：对于抛物线， ∵， ∴当时，有最小值为0， ∵，， ∴当时，y的取值范围为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $