5.6　函数y=Asin(ωx+φ)(二)课件- 2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦函数y=A sin(ωx+φ)的解析式求解、图象对称性及综合应用，通过课前问题引导学生回顾参数物理意义和函数性质，搭建旧知到新知的学习支架，帮助学生衔接前后知识脉络。 其亮点在于结合数学抽象和直观想象，通过一题多解（如由图象求解析式的逐一定参法、待定系数法等）和思维导图梳理知识，类题通法总结步骤，定向训练融入高考真题。培养学生逻辑推理和应用意识，学生能深化理解，教师可提升教学效率。

5.6　函数y=Asin(ωx+φ)(二) 素养目标 思维导图 1.结合实例了解y=Asin (ωx+φ)的实际意义(数学抽象). 2.了解函数的图象与性质,并能解决有关问题(直观想象). 课前自主学习 问题1.三角函数y=Asin(ωx+φ) 的解析式中参数的物理意义 (1)根据函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的部分图象如何求A? 提示:根据图象的最高点(或最低点)确定A. (2)根据函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的部分图象如何确定ω? 提示:因为T=,所以常通过周期来确定ω. 问题2.函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的性质 (1)若函数y=Asin(ωx+φ)是奇函数,则φ应满足什么条件? 提示:因为y=Asin(ωx+φ)是奇函数,所以f(0)=0,因此sin φ=0,所以φ=kπ,k∈Z. (2)若函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)为偶函数,则φ应满足什么条件? 提示:因为y=Asin(ωx+φ)为偶函数,所以f(0)=A或f(0)=-A,即Asin φ=A或Asin φ=-A,所以有φ=kπ+,k∈Z. (3)函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的对称中心坐标是什么? 提示:设对称中心坐标为(x0,0),由f(x0)=0,即sin(ωx0+φ)=0,所以x0=,k∈Z.故对称中心坐标为(,0)(k∈Z). (4)函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的对称轴方程是什么? 提示:设对称轴方程为x=x0,则f(x0)=A或f(x0)=-A,即Asin(ωx0+φ)=±A,故ωx0+φ=kπ+, k∈Z.即x0=,k∈Z. 【核心概念】 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的有关性质 名称 性质 定义域 __ 值域 ______ 周期性 T=____ 对称性 对称中心(,0)(k∈Z) R [-A,A] 名称 性质 对称轴 _________________ 奇偶性 当φ=kπ(k∈Z)时是____函数; 当φ=kπ+(k∈Z)时是____函数 单调性 通过整体代换可求出其单调区间 x=(k∈Z) 奇 偶 课堂合作探究 探究点一　由三角函数图象求函数解析式 【典例1】(1)(多选题)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<)的部分图象如图所示,下列说法正确的是 (　　) A.函数f(x)的图象关于(-,0)对称 B.函数f(x)的图象关于直线x=-对称 C.该图象向右平移个单位长度可得y=2sin 2x的图象 D.函数f(x)在[-,-]上单调递增 (2)(一题多解) 已知函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<)的图象的一部分,求此函数的解析式. 【思维导引】(1)由图象求出函数解析式,然后由正弦函数的性质逐项判断即可; (2)可以从参数、系数或平移角度分析图象特点求解. 【解析】(1)选BC.由函数图象可得A=2,周期T=4()=π,所以ω==2. 又f()=2sin(2×+φ)=2, 所以2×+φ=2kπ+π,k∈Z,则φ=2kπ+,k∈Z, 因为|φ|<, 所以取k=0,φ=, 故f(x)=2sin(2x+). 对于A,f(-)=2sin(-)≠0,故A错误; 对于B,当x=-时,f(-)=2sin(-×2+)=2sin(-)=-2,故B正确; 对于C,该图象向右平移个单位长度可得f(x)=2sin[2(x-)+]=2sin 2x的图象,故C正确; 对于D,若x∈[-,-],则2x+∈[-π,0],此时函数不单调,故D错误. (2)方法一(逐一定参法): 由图象知A=3,T=-(-)=π, 所以ω==2,所以y=3sin(2x+φ). 因为点(-,0)在函数图象上, 所以-×2+φ=0+2kπ,k∈Z, 所以φ=+2kπ,k∈Z, 又|φ|<,所以φ=,所以y=3sin(2x+). 方法二(待定系数法): 由图象知A=3.因为图象过点(,0)和(,0), 所以解得 所以y=3sin(2x+). 方法三(图象变换法): 由A=3,T=π,点(-,0)在图象上,可知函数图象由y=3sin 2x向左平移个单位长度而得, 所以y=3sin 2(x+),即y=3sin(2x+). 【类题通法】由函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象确定其解析式的步骤 (1)求A,一般由图象的最高点、最低点确定或代入特殊点的坐标通过解方程求出. (2)求ω,确定函数周期T,则ω=. (3)求φ,求φ的值时常把特殊点代入,解简单的三角方程,再结合图形确定. 【拓展】由函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定解析式关键在于确定参数A,ω,φ的值. (1)一般可由图象上的最大值、最小值来确定|A|. (2)因为T=,所以往往通过求周期T来确定ω,可通过已知曲线与x轴的交点从而确定T,即相邻的最高点与最低点所对应的横坐标之间的距离为;相邻的两个最高点(或最低点)之间的距离为T. (3)求φ,常用方法有: ①代入法:把图象上的一个已知点代入转化求解. ②五点法:确定φ值时,往往以寻找“五点法”中的第一个点(-,0)作为突破口,具体如下: “第一点”(即图象上升时与x轴的交点)为ωx+φ=0; “第二点”(即图象的“峰点”)为ωx+φ=; “第三点”(即图象下降时与x轴的交点)为ωx+φ=π; “第四点”(即图象的“谷点”)为ωx+φ=; “第五点”为ωx+φ=2π. 【定向训练】 1.已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(0<φ<π)的大致图象如图,则f(x)的最小正周期为 (　　) A. B. C. D. 【解析】选A.由函数f(x)=2sin(ωx+φ)的大致图象知,f(0)=2sin φ=, 所以sin φ=, 应取φ=,又f()=2sin(·ω+)=0, 所以sin(·ω+)=0,应取·ω+=2π, 解得ω=, 所以f(x)的最小正周期为T===. 2.已知函数f(x)=A[sin(ωx+θ)-cos(ωx+θ)](A>0,ω>0,|θ|<π)的部分图象如图所示,则θ=　　　　　.  【解析】f(x)=A[sin(ωx+θ)-cos(ωx+θ)]=Asin(ωx+θ-),则由A>0,得A=2,即A=,f(x)的周期T=4()=4π, 故|ω|==, 又ω>0,所以ω=,则有+θ-=+2kπ(k∈Z), 解得θ=+2kπ(k∈Z), 又|θ|<π,所以θ=. 答案: 探究点二　三角函数图象的对称性 【典例2】(1)已知函数f(x)=cos(ωx+φ)(ω>0,0<φ<)的图象上相邻两条对称轴的距离为,将f(x)的图象向左平移个单位长度后,图象关于原点对称,则f(x)= (　　) A.cos(x+) B.cos(x+) C.cos(2x+) D.cos(2x+) (2)将函数f(x)=sin 2(-x)-sin 2(x+)的图象向左平移φ(φ>0)个单位长度后,得到函数g(x)的图象,若g(x)满足g(-x)=g(+x),则φ的最小值为 (　　) A. B. C. D. 【思维导引】(1)依题意知最小正周期T=π,可求ω,利用函数y=cos(ωx+φ)的图象变换以及对称性可得到φ=+kπ(k∈Z),再根据φ的范围,可确定φ的值,从而确定f(x)的解析式. (2)先化简f(x),再平移得到g(x)=cos (2x+2φ+),由函数g(x)的图象关于直线x=对称得2×+2φ+=kπ,k∈Z,进而得到φ的最小值. 【解析】(1)选D.因为f(x)的图象上相邻两条对称轴的距离为, 所以=×2,即ω=2,将f(x)的图象向左平移个单位长度后得到g(x)=cos(2x++φ)的图象,因为由题知g(x)图象关于原点对称, 所以g(0)=0,即+φ=+kπ, 解得φ=+kπ,k∈Z, 因为0<φ<, 所以k=0,φ=, 所以f(x)=cos(2x+). (2)选A.f(x)=sin 2(-x)-sin 2(x+) =cos 2(x+)-sin 2(x+)=cos (2x+), 则g(x)=f(x+φ)=cos (2x+2φ+), 因为g(x)满足g(-x)=g(+x), 所以函数g(x)的图象关于直线x=对称, 所以2×+2φ+=kπ,k∈Z, 所以φ=,k∈Z, 因为φ>0,所以φ的最小值为. 【类题通法】三角函数对称轴、对称中心的求法 函数 对称轴 对称中心 y=Asin(ωx+φ) 令ωx+φ=kπ+(k∈Z) 令ωx+φ=kπ(k∈Z)求对称中心横坐标 y=Acos(ωx+φ) 令ωx+φ=kπ(k∈Z) 令ωx+φ=kπ+(k∈Z)求对称中心横坐标 y=Atan(ωx+φ) 无 令ωx+φ=(k∈Z)求对称中心横坐标 【定向训练】 已知函数f(x)=sin(2x+)+. (1)求f(x)的最小正周期及单调递增区间; (2)求f(x)的图象的对称轴方程和对称中心; (3)求f(x)的最小值及取得最小值时x的取值集合. 【解析】(1)函数f(x)的最小正周期T==π, 由2kπ-≤2x+≤2kπ+(k∈Z),得kπ-≤x≤kπ+(k∈Z), 所以f(x)的单调递增区间为[kπ-,kπ+](k∈Z). (2)令2x+=kπ+(k∈Z),则x=(k∈Z),所以对称轴方程为x=(k∈Z); 令2x+=kπ(k∈Z),则x=(k∈Z), 所以对称中心为(,)(k∈Z). (3)当sin(2x+)=-1,即2x+=-+2kπ(k∈Z),x=-+kπ(k∈Z)时,f(x)取得最小值为, 此时x的取值集合是. 探究点三　三角函数性质的综合应用 【典例3】(规范解答) (13分)已知函数f(x)=4cos xsin(x-)+1. (1)求函数f(x)的最小正周期以及单调递增区间. (2)若函数f(x)向左平移φ(φ>0)个单位长度后,所得函数g(x)的图象关于x=对称, ①求φ的最小值; ②在①的条件下,若函数y=g(x)-m(m∈R)在区间[0,]上存在零点,求m的取值范围. 【思维导引】(1)由三角恒等变换得f(x)=2sin(2x-),根据三角函数的周期公式及正弦函数的性质求解即可; (2)①由题意可得g(x)=2sin(2x+2φ-), 由2×+2φ-=kπ+,k∈Z,求解即可; ②将①中φ的值代入,求出函数g(x)在[0,]上的值域,即可得答案. 【解析】(1)因为f(x)=4cos xsin(x-)+1=4cos x(sin x-cos x)+1=2cos xsin x- 2cos2x+1=sin 2x-cos 2x=2sin(2x-),……………………………………2分 所以T==π. ………………………………………………………………3分 由2kπ-≤2x-≤2kπ+,k∈Z, 解得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z, 所以函数的单调递增区间为[kπ-,kπ+],k∈Z. ………………………………4分 (2)①由题意可得g(x)=f(x+φ)=2sin(2x+2φ-), 又因为g(x)的图象关于x=对称, 所以2×+2φ-=kπ+,k∈Z, ………………………………………………6分 解得φ=,k∈Z, 又因为φ>0, 所以当k=0时,φmin=. ………………………………………………………8分 ②令y=g(x)-m=0,则g(x)=m,即y=g(x)的图象与直线y=m在[0,]上有交点…….9分 又因为φ=,所以g(x)=2sin(2x+), 因为x∈[0,], 所以2x+∈[,], ………………………………………………………………11分 所以sin(2x+)∈[-,1],2sin(2x+)∈[-1,2], ……………………………………12分 即g(x)∈[-1,2],所以m∈[-1,2]. ………………………………………………13分 【类题通法】 1.正、余弦型函数奇偶性的判断方法 正弦型函数y=Asin(ωx+φ)和余弦型函数y=Acos(ωx+φ)不一定具备奇偶性.对于函数y=Asin(ωx+φ),当φ=kπ(k∈Z)时为奇函数,当φ=kπ±(k∈Z)时为偶函数;对于函数y=Acos(ωx+φ),当φ=kπ(k∈Z)时为偶函数,当φ=kπ±(k∈Z)时为奇函数. 2.确定函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)单调区间的方法 采用“换元法”整体代换,将ωx+φ看作一个整体,可令“z=ωx+φ”,即通过求y=Asin z的单调区间而求出函数的单调区间.若ω<0,则可利用诱导公式先将x的系数转变为正数,再求单调区间. 【定向训练】 (2023·新高考Ⅰ卷)已知函数f(x)=cos ωx-1(ω>0)在区间[0,2π]上有且仅有3个零点,则ω的取值范围是　　　　.  【解析】因为0≤x≤2π,所以0≤ωx≤2ωπ. 令f(x)=cos ωx-1=0,则cos ωx=1有3个根, 令t=ωx,则cos t=1有3个根,其中t∈[0,2ωπ], 结合余弦函数y=cos t的图象性质可得4π≤2ωπ<6π,故2≤ω<3. 答案:[2,3) 【误区警示】本题在求解的过程中,易忽略端点的取值是否能取到,如本题在建立不等式4π≤2ωπ<6π时,右边也取到等号,进而得出错误的结论2≤ω≤3. 课堂练习 1.函数y=2sin()的最小正周期、最大值依次是 (　　) A.4π,-2 B.4π,2 C.π,2 D.π,-2 【解析】选B.T===4π,A=2,即ymax=2. √ 2.已知函数f(x)=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0)的部分图象如图所示,f()=-,则f(0)= (　　) A.- B. C.- D. √ 【解析】选B.由题图象可知所求函数的周期为T=2×()=, 故ω==3. 将(,0)代入解析式,得Acos(3×+φ)=0, 即cos(+φ)=0, 所以+φ=+2kπ,k∈Z, 所以φ=-π+2kπ,k∈Z. 令φ=-,代入解析式得f(x)=Acos(3x-). 又因为f()=-, 所以f()=-Asin=-A=-, 所以A=. 所以f(0)=cos(-)=cos=. 3.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(ω>0,-<φ<)的部分图象如图所示,则φ的值为 (　　) A.-　 B.　 C.-　 D. 【解析】选B.由题中图象可知A=1,=-(-),故T=π,ω=2,f(x)=sin(2x+φ),由题中图象可知当x=时,sin(2×+φ)=1, 所以φ=. √ 4.在函数y=2sin(ωx+φ)(ω>0)的一个周期上,当x=时,有最大值2,当x=时,有最小值-2,则ω=　　　　　.  【解析】由题意得==,所以T=π, 又T==π,解得ω=2. 答案:2 5.函数y=sin x-cos x,x∈R的最大值为　　　　　.  【解析】函数y=sin x-cos x=2sin(x-)的最大值为2. 答案:2 谢 谢 $