5.6函数y=Asin(ωx+φ)(一)课件- 2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换及作图，通过课前问题链引导学生观察φ、ω、A对图象的影响，从具体实例到一般规律，搭建从y=sinx到目标函数的学习支架，衔接紧密。 其亮点在于融入数学抽象与直观想象素养，借助思维导图梳理变换逻辑，课堂探究通过典例分析平移伸缩规律，如将函数化为单一三角函数判断平移方向，“五点法”作图强化直观理解。学生能系统掌握知识，教师可依托结构化流程提升教学效率。

5.6　函数y=Asin(ωx+φ)(一) 素养目标 思维导图 1.熟练掌握y=sin x→y=Asin (ωx +φ)的图象变换(数学抽象). 2.掌握y=Asin (ωx+φ)的图象作法(直观想象). 课前自主学习 问题1.φ对y=sin(x+φ)(x∈R)的图象的影响 观察如图所示的图象,思考下面的问题: (1)比较函数y=sin(x+)与函数y=sin x的图象的形状和位置,你有什么发现? 提示:两图象形状完全相同,只是位置不同,函数y=sin(x+),x∈R的图象可看作是把正弦曲线y=sin x上所有的点向左平移个单位长度而得到. (2)同样比较函数y=sin(x-)与函数y=sin x的图象,你有什么发现呢? 提示:函数y=sin(x-)的图象可看作是把正弦曲线y=sin x上所有的点向右平移个单位长度而得到. (3)推广到一般,函数y=sin(x+φ)(φ≠0)的图象是由y=sin x的图象经过怎样的变换得到的? 提示:y=sin(x+φ)的图象可以由y=sin x的图象通过左右平移得到. 问题2.ω(ω>0)对y=sin(ωx+φ)的图象的影响 观察下面的图象,思考下面的问题: (1)比较函数y=sin(x+)与y=sin(2x+)的图象的形状和位置,你有什么发现? 提示:函数y=sin(2x+)的图象是由函数y=sin(x+)的图象上各点的横坐标缩短为原来的,纵坐标不变而得到的. (2)同样比较函数y=sin(x+)与y=sin(x+)的图象的形状和位置,你有什么发现? 提示:函数y=sin(x+)的图象是由函数y=sin(x+)的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变得到的. (3)推广到一般,函数y=sin(ωx+φ)(ω>0,φ≠0)的图象是由y=sin(x+φ)的图象经过怎样的变换得到的? 提示:y=sin(ωx+φ)的图象可以由y=sin(x+φ)的图象通过左右伸缩得到. 问题3.A(A>0)对y=A sin(ωx+φ)的图象的影响 观察下面函数的图象,思考下面的问题: (1)比较函数y=sin(2x+)与y=3sin(2x+)的图象的形状和位置,你有什么发现? 提示:函数y=3sin(2x+)的图象是由y=sin(2x+)的图象上各点的纵坐标变为原来的3倍,横坐标不变得到的. (2)同样比较函数y=sin(2x+)与y=sin(2x+)的图象的形状和位置,你有什么发现? 提示:函数y=sin(2x+)的图象是由y=sin(2x+)的图象上各点的纵坐标变为原来的,横坐标不变得到的. (3)推广到一般,函数y=Asin(ωx+φ)的图象是由y=sin(ωx+φ)的图象经过怎样的变换得到的? 提示:y=Asin(ωx+φ)的图象可以由y=sin(ωx+φ)的图象通过上下伸缩得到. 【核心概念】 1.平移变换 函数y=sin x的图象 y =sin(x+φ)的图象. 2.横向伸缩变换(周期变换) y=sin(x+φ)的图象 y=sin(ωx+φ)的图象. 3.纵向伸缩变换(振幅变换) 函数y=sin(ωx+φ)的图象 y=Asin(ωx+φ)的图象. 课堂合作探究 探究点一　三角函数图象的左右平移 【典例1】(1)把函数y=cos 2x+sin 2x的图象经过变换得到y=2sin 2x的图象,这个变换是 (　　) A.向左平移个单位长度 B.向右平移个单位长度 C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度 (2)由函数y=sin(x+ )的图象经过怎样的变换,可以得到y=cos x的图象? 【思维导引】(1)根据两角和的正弦公式,将表达式化为一个三角函数的形式,然后根据左加右减的原则,判断平移的方向与单位长度. (2)利用三角函数图象左右平移的规律以及三角函数诱导公式判断. 【解析】(1)选D.y=cos 2x+sin 2x =2(cos 2x+sin 2x) =2(sincos 2x+cossin 2x) =2sin(2x+), 则y=2sin(2x+)=2sin[2(x+)], 将y=2sin[2(x+)]的图象向右平移个单位长度可得到y=2sin 2x的图象. (2)因为y=sin(x+)=cos[-(x+)]=cos(-x)=cos(x-),故只需将函数y=sin(x+)的图象向左平移个单位长度即可得到y=cos x的图象. 【类题通法】三角函数图象的平移变换 左右平移:已知φ>0, 平移规律为“左加右减”,即: (1)若将函数y=sinx的图象沿x轴向右平移φ个单位长度,得到函数的解析式为y= sin(x-φ). (2)若将函数y=sinx的图象沿x轴向左平移φ个单位长度,得到函数的解析式为y= sin(x+φ). 【定向训练】 1.为了得到函数g(x)=sin 2x的图象,需将函数f(x)=sin(-2x)的图象 (　　) A.向左平移个单位长度 B.向右平移个单位长度 C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度 【解析】选D.因为函数f(x)=sin(-2x) =sin[π-(-2x)]=sin(2x+) =sin[2(x+)], 所以将f(x)=sin[2(x+)]的图象向右平移个单位长度可得函数g(x)=sin 2x的图象. 2.若将函数f(x)=sin(ωx+)(0<ω<7)的图象向右平移个单位长度后恰与f(x)的图象重合,则ω的值是　　　　.  【解题指南】将函数f(x)的图象向右平移个单位长度得y=sin(ωx-)的图象,由已知条件只需满足=2kπ,k∈Z,从而得到ω值. 【解析】将函数f(x)=sin(ωx+)(ω>0,x∈R)的图象向右平移个单位长度后,可得y= sin(ωx-)的图象. 根据所得的图象与原函数图象重合,所以=2kπ,k∈Z,即ω=6k,k∈Z, 又0<ω<7,则ω=6. 答案:6 探究点二　三角函数图象的伸缩变换 【典例2】(1)(多选题)下列四种变换,其中能使y=sin x的图象变为y=sin(2x+)的图象的是(　　) A.向左平移个单位长度,再将各点的横坐标缩短为原来的 B.向左平移个单位长度,再将各点的横坐标缩短为原来的 C.各点横坐标缩短为原来的,再向左平移个单位长度 D.各点横坐标缩短为原来的,再向左平移个单位长度 (2)(一题多解) 把函数y=f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变.再把所得曲线向左平移个单位长度,得到函数y=sin (x+)的图象,则f(x)= (　　) A.sin () B.sin () C.sin (3x+) D.sin (3x+) 【思维导引】利用三角函数图象的横坐标和纵坐标的伸缩变换规律求解. 【解析】(1)选AD.由y=sin x的图象变为y=sin(2x+)的图象的变换方式有两种, 第一种:先平移变换,后周期变换. 由y=sin x的图象先向左平移个单位长度得到y=sin(x+)的图象, 再将所得图象各点的横坐标缩短为原来的得到y=sin(2x+)的图象; 第二种:先周期变换,后平移变换. 先将y=sin x的图象各点横坐标缩短为原来的得到y=sin 2x的图象, 再将所得图象向左平移个单位长度得到y=sin 2(x+)=sin(2x+)的图象. (2)选A.正向变换:第一步:函数y=f(x)的图象上所有点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,得y=f(3x). 第二步:把所得的曲线y=f(3x),向左平移个单位长度,得到y=f[3(x+)]的图象, 又由题意得到的是y=sin (x+),则y=f[3(x+)]=sin (x+),令t=3(x+)得x=,所以x+==, f(t)=sin (),f(x)=sin (). 【一题多解】将函数y=sin (x+)的图象逆向变换: 第一步:函数y=sin (x+)的图象向右平移个单位长度,得到y=sin (x-) =sin (x+). 第二步:把所得的曲线所有点的横坐标伸长到原来的3倍,得到f(x)=sin (). 【类题通法】三角函数图象的伸缩变换 (1)横向伸缩:已知ω>0, 横向伸缩规律为“伸缩倍数乘倒数”,即:若将函数y=sin x的图象的横坐标伸长(或缩短)到原来的ω倍,得到函数的解析式为y=sinx. (2)纵向伸缩:已知A>0, 纵向伸缩规律为“伸缩倍数乘倍数”,即:若将函数y=sin x的图象的纵坐标伸长(或缩短)到原来的A倍,得到函数的解析式为y=Asinx. 【定向训练】 为了得到函数y=sin(3x-)的图象,需将函数y=sin(x-)的图象上所有点的 (　　) A.纵坐标变为原来的3倍,横坐标不变 B.横坐标变为原来的3倍,纵坐标不变 C.横坐标变为原来的,纵坐标不变 D.纵坐标变为原来的,横坐标不变 【解析】选C.只需将函数y=sin(x-)的图象上所有点的横坐标变为原来的,纵坐标不变,可得到函数y=sin(3x-)的图象. 探究点三　三角函数图象的画法与应用 【典例3】(一题多解) 已知函数y=3sin()+3(x∈R). (1)用“五点法”画出它在一个周期内的图象. (2)求函数y=3sin()+3,x∈R的零点. 【思维导引】画图时把看成一个整体,分别取0,,π,,2π,画出相应点的坐标. 【解析】(1)令=Z,则函数y=3sin( ) +3化为y=3sin Z+3,列表: x - 0 π 2π y 3 6 3 0 3 描点画图: (2)方法一:由函数y=3sin()+3的图象可知,函数图象的最低点的横坐标为函数的零点,即x=4kπ+,k∈Z为所求. 方法二:由函数y=3sin()+3=0,得 sin()=-1,由=2kπ+,k∈Z, 解得x=4kπ+,k∈Z. 所以函数的零点为x=4kπ+,k∈Z. 【类题通法】 1.“五点法”作图的实质 利用“五点法”作函数y=Asin(ωx+φ)的图象,实质是利用函数的三个零点,两个最值点画出函数在一个周期内的图象. 2.用“五点法”作函数y=Asin(ωx+φ)图象的步骤 第一步:列表. ωx+φ 0 π 2π x - y 0 A 0 -A 0 第二步:在同一坐标系中描出各点. 第三步:用光滑曲线连接这些点,形成图象. 提醒:三角函数图象的变换规律,体现了函数图象的内在联系,作为画三角函数的图象的方法并不简便,画三角函数图象的一般方法,还是运用“五点画图法”. 【定向训练】 已知函数f(x)=sin(2x-). (1)请用“五点法”画出函数f(x)在一个周期[,]上的简图; (2)请说明由g(x)=sin x到f(x)的变换过程. 【解析】(1)函数f(x)=sin(2x-)在[,]上的取值,列表为: x 2x- 0 π 2π f(x) 0 1 0 -1 0 描点、连线,即得函数f(x)的图象,如图: 课堂练习 1.为了得到函数y=sin(x-)的图象,只需把函数y=sin x的图象 (　　) A.向左平移个单位长度 B.向右平移个单位长度 C.向上平移个单位长度 D.向下平移个单位长度 【解析】选B.将函数y=sin x的图象向右平移个单位长度, 所得图象对应的函数解析式为y=sin(x-). √ 2.为了得到函数y=sin(2x+1)的图象,只需把函数y=sin 2x的图象上所有的点 (　　) A.向左平移个单位长度 B.向右平移个单位长度 C.向左平移1个单位长度 D.向右平移1个单位长度 【解析】选A.因为y=sin(2x+1)=sin[2(x+)],所以需要把y=sin 2x图象上所有的点向左平移个单位长度即得到y=sin(2x+1)的图象. √ 3.将函数y=sin(2x-)图象上所有点的横坐标保持不变,纵坐标　　　　(填“伸长”或“缩短”)为原来的　　　　倍,将会得到函数y=3sin(2x-]的图象.  【解析】A=3>0,故将函数y=sin(2x-)图象上所有点的横坐标保持不变,纵坐标伸长为原来的3倍即可得到函数y=3sin(2x-)的图象. 答案:伸长　3 4.将函数y=sin 4x的图象向左平移个单位长度,得到函数y=sin(4x+φ)(0<φ<π)的图象,则φ的值为　　　　　.  【解析】将函数y=sin 4x的图象向左平移个单位长度,所得函数解析式为y =sin 4(x+)=sin(4x+),所以φ的值为. 答案: 5.函数y=sin(x-)图象上各点的纵坐标不变,将横坐标伸长为原来的5倍,可得到函 数　　　　　的图象.  【解析】y=sin(x-)的图象 y=sin(x-)的图象. 答案:y=sin(x-) 谢 谢 【解析】(2)方法一:y=sin x的图象 y=sin(x-)的图象 y=sin(2x-)的图象. 方法二:y=sin x的图象 y=sin 2x的图象 y=sin(2x-)的图象. $