5.7三角函数的应用课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦三角函数的应用，核心内容包括简谐运动的三角函数模型及实际问题中的函数拟合。课堂导入通过弹簧振子、钟摆等生活中的周期运动实例，衔接已学三角函数图像与性质，以问题链搭建从具体现象到数学抽象的学习支架。 其亮点在于以数学建模和数学思维为核心，采用“问题情境-概念解析-典例探究-类题通法”的教学路径。如典例1通过弹簧振子运动抽象出y=Asin(ωx+φ)模型，典例2结合扇形区域矩形面积问题培养逻辑推理，课堂练习覆盖物理、几何等多场景。小结提炼四步解题法，助力学生提升应用能力，为教师提供结构化教学方案。

5.7　三角函数的应用 素养目标 思维导图 1.会用三角函数解决一些简单的实际问题(数学建模). 2.能够从实际问题中发现周期变化规律(数学抽象). 3.能够将所发现的规律抽象为恰当的三角函数模型(数学建模). 课前自主学习 问题:现实生活中的简谐运动,如弹簧振子的运动,钟摆的摆动,水中浮标的上下浮动,琴弦的振动,等等.这些都是物体在某一中心位置附近循环往复的运动. (1)物理中这些运动,能用哪些数学模型来刻画? 提示:可用三角函数模型. (2)这些物理运动的常见规律有哪些,可以用哪些概念来描述? 提示:周期性,是这些物理运动的共同点.常用振幅、周期、频率、平衡位置等概念来刻画这些物理运动规律. 【核心概念】 1.简谐运动 (1)概念:在物理学中,把物体受到的力(总是指向平衡位置)正比于它离开平衡位置的距离的运动称为“简谐运动”. (2)相关概念:在适当的直角坐标系下,可以用函数y=Asin (ωx+φ),x∈[0,+∞)表示,其中A>0, ω>0. 描述简谐运动的物理量: ①振幅:A就是这个简谐运动的振幅,它是做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离; ②周期:T=,它是做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间; ③频率:f==,它是做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数; ④相位:ωx+φ称为相位,x=0时的相位φ称为初相. 2.三角函数模型的简单应用 (1)匀速圆周运动、简谐运动和交变电流都是理想化的运动变化现象,可以用三角函数模型准确地描述它们的运动变化规律. (2)现实生活中也有仅在一定范围内呈现出近似于周期变化特点的大量运动变化现象,这些现象也可以借助三角函数近似地描述. 3.函数拟合获得具体的函数模型 (1)三角函数模型的作用:三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型,可以用来研究刻画周期变化规律、预测其未来等方面的问题. (2)具体拟合方法:①搜集数据,②画出相应的“散点图”、观察散点图,③进行函数拟合获得具体的函数模型,④利用这个函数模型来解决相应的实际问题. 课堂合作探究 探究点一　三角函数模型在物理中的应用 【典例1】如图,弹簧挂着的小球做上下振动,它在t(单位:s)时相对于平衡位置(静止时的位置)的高度h(单位:cm)由下列关系式决定:h=2sin (t+ ),t∈[0,+∞).以t为横坐标, h为纵坐标,画出这个函数在长度为一个周期的闭区间上的简图,并且回答下列问题: (1)小球在开始振动时(即t=0时)的位置在哪里? (2)小球的最高点和最低点与平衡位置的距离分别是多少? (3)经过多少时间小球往复振动一次(周期)? (4)每秒小球能够振动多少次(频率)? 【思维导引】根据题设应用“五点作图法”确定h=2sin (t+ )的图象. (1)将t=0代入关系式求值即可; (2)(3)直接判断最高点和最低点与平衡位置的距离、周期; (4)根据(3)所得周期,结合频率为求每秒钟小球能够振动的次数. 【解析】由题设关系式,可得函数在[0,2π]上的图象如图: t 0 2π t+ π h 2 0 -2 (1)由题设,t=0时,h=2sin =(cm). (2)由图知:最高点为2,最低点为-2,故小球的最高点和最低点与平衡位置的距离是 2 cm. (3)由题设,小球往复振动一次需T==2π(s). (4)由(3)知,频率为每秒=次. 【类题通法】三角函数解决物理问题的三个关键量 (1)物体运动的初始位置,即初相. (2)完成一次运动需要的时间,即周期. (3)离开平衡位置的最大位移,即振幅. 探究点二　三角函数模型的实际综合应用 【典例2】(2025·六盘水高一检测)为扩大养殖规模,某鲟鱼养殖场计划在如图所示的扇形区域OMN内修建矩形水池ABCD,矩形一边AB在OM上,点C在上,点D在边ON上,且∠MON=,OM=30米,设∠COM=α. (1)求扇形OMN的面积; (2)求矩形水池ABCD的面积S(α); (3)当α为何值时,S(α)取得最大值?并求出这个最大值. 【思维导引】(1)由扇形面积公式可得; (2)利用扇形半径与α的关系,分别表示出AB,BC,进而可得矩形水池面积解析式; (3)利用辅助角公式将S(α)化简变形,结合角α的范围求S(α)最大值可得. 【解析】(1)由题意得,∠MON=,扇形半径即OM=30米,则扇形OMN的面积为 ×302=150π(平方米). (2)在Rt△OBC中,BC=30sin α,OB=30cos α, 在Rt△OAD中,AD=BC=30sin α,则OA==×30sin α=10sin α, 所以AB=OB-OA=30cos α-10sin α,则矩形水池面积S(α)=AB·BC=30sin α(30cos α- 10sin α) =300(sin αcos α-sin2α)=150(sin 2α+cos 2α-1)=300(sin 2α +cos 2α - ) =300sin(2α+ ) -150,0<α<. 所以S(α)=300sin(2α+ ) -150,其中0<α<. (3)S(α)=300sin(2α+ ) -150,其中0<α<. 由<2α+<,则当2α+=,即α=时,S(α)max=150. 所以当α=时,S(α)取得最大值,最大值为150. 【类题通法】解三角函数应用问题的基本步骤 课堂练习 1.某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5 cm,秒针绕点O匀速旋转,当时间t=0时,点A与钟面上标12的点B重合,当t∈[0,60],A,B两点间的距离为d(单位:cm),则d等于 (　　) A.5sin B.10sin C.5sin D.10sin 【解析】选D.由题知,圆心角为,过O作AB的垂线,则AB=2×5×sin=10sin. √ 2.在两个弹簧上各挂一个质量分别为M1和M2的小球,它们做上下自由振动,已知它们在时间t(单位:s)时离开平衡位置的位移s1(单位:cm)和s2(单位:cm)分别由下列两式确定:s1=5sin(2t+),s2=5cos(2t-).则在时间t=时,s1与s2的大小关系是 (　　) A.s1>s2 B.s1<s2 C.s1=s2 D.不能确定 【解析】选C.当t=时,s1=-5,s2=-5, 所以s1=s2. √ 3.一种波的波形为函数y=-sin x的图象,若其在区间[0,t]上至少有2个波峰(图象的最高点),则正整数t的最小值是 (　　) A.5 B.6 C.7 D.8 【解析】选C.函数y=-sin x的周期T=4且x=3时,y=1取得最大值,因此t≥7. √ 4.某实验室一天的温度(单位:℃)随时间t(单位:h)的变化近似满足函数关系:f(t)=10-2sin(t+),t∈[0,24],该实验室这一天的最大温差为　　　　　　　.  【解析】因为f(t)=10-2sin(t+), 所以<t+<, 当t+=时,即t=14时,函数f(t)取得最大值为10+2=12,当t+=时,即t=2时,函数f(t)取得最小值为10-2=8,所以一天的最大温差为12-8=4(℃). 答案:4 ℃ 5.国际油价在某一时间内呈现正弦波动规律:P=Asin(ωπt+)+60(单位:美元,t为天数,A>0,ω>0),现采集到下列信息:最高油价80美元,当t=150时,油价最低.则A的值为　　　　　,ω的最小值为　　　　　.  【解析】由A+60=80得A=20. 因为当t=150时油价最低, 所以150ωπ+=-+2kπ,k∈Z,即ω=,又ω>0,所以当k=1时,ω取得最小值,此时ω==. 答案:20　 谢 谢 $