北京市平谷区2025-2026学年第二学期期末试卷高二数学

2025—2026学年度第二学期期末试卷 高二数学 2026.7 注意事项 1．本试卷共4页，包括两部分，满分150分，考试时间120分钟． 2．在答题卡上准确填写学校名称、班级和姓名． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效；自主命题部分试题答案写在自主命题试卷上． 4．在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 5．考试结束，请将答题卡交回． 第一部分 选择题（共40分） 一、选择题（本大题共10题，每题4分，共40分；在每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意，请将正确选项填涂在答题卡上．） 1．已知集合，，则 A． B． C． D． 2．已知命题P：“，”，则为 A．， B．， C．， D．， 3．已知函数，则是 A．奇函数，且在上是增函数 B．偶函数，且在上是增函数 C．奇函数，且在上是减函数 D．偶函数，且在上是减函数 4．已知a，，，下列不等式恒成立的是 A． B． C． D． 5．函数在处取得极值，则 A． B． C． D．1 6．已知函数，则“”是“”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 7．已知函数，则 A．在处取得极值 B． C． D． 8．已知函数，若时，，则的最大值是 A．1 B．2 C．3 D．4 9．把液体A放在冷空气中冷却，如果液体A原来的温度是，空气的温度是，则后液体A的温度可由公式求得．把温度是的液体A放在的空气中冷却，液体A的温度冷却到和所用时间分别为，，则的值约为（参考数据） A．1.25 B．2.3 C．3.2 D．3.6 10．已知函数定义域为R， ①存在函数在R上单调，使得单调； ②存在单调递减函数，使得恒成立； ③若存在，对，使得成立，则在R上是增函数； ④若函数满足，则函数在R上一定不单调． 以上说法正确的是 A．①③ B．②④ C．①④ D．②③ 第二部分 非选择题（共110分） 二、填空题（本大题共5题，每题5分，共25分，请把答案填在答题卡中相应题中横线上．） 11．若，则的定义域是________． 12．的展开式中的系数是________．（用数字作答） 13．某校高二年级参加研学的学生分为A，B，C三个班，其各班人数如下表： 班级 A B C 人数 20 16 24 研学回来后，德育处用分层随机抽样的方法从三个班中抽取15人进行研学访谈，再从这15人中随机抽取2人各写一份研学报告，则这2人有B班学生的概率为________． 14．已知偶函数的定义域为，在上的图象如图所示，则不等式的解集是________． 15．已知函数，若方程有四个不等的实数根，则m的取值范围是________；的取值范围是________． 三、解答题（本大题共6题，共85分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 16．（13分）已知函数． （Ⅰ）求在点处的切线方程； （Ⅱ）求在区间上的最大值和最小值． 学校自主命题部分 17．（15分） 18．（14分）随着我国航空航天事业的蓬勃发展，不少高中生对航天相关知识愈发感兴趣．为普及航天科普知识，某校组织学生前往中国航天博物馆参观学习．为了解参观学习效果，从高二年级随机抽取10名学生，让他们在学习前和学习后各测试一份航天科普知识问卷，他们的正确率如下图： 以频率估计概率． （Ⅰ）从这10人中随机抽取2人，求这2人中恰有1人测试问卷的正确率增加了以上的概率； （Ⅱ）从高二年级参加此次活动的学生中随机任选3人，设X为学习前的测试成绩低于5号学生或者学习后的测试成绩高于5号学生的人数，求X的分布列和数学期望． （Ⅲ）在抽取的10名学生中，测试前后的成绩方差分别记为，，若去掉4号学生的测试成绩，得到9名学生的前后成绩方差分别为，，试比较与，与的大小．（不需写过程，直接写出结论） 19．（15分）已知焦点在x轴上的椭圆C过点，且离心率为，P为椭圆C的左顶点． （Ⅰ）求椭圆C的标准方程； （Ⅱ）已知过左焦点的直线l与椭圆C交于A，B两点，判断是否存在直线l使得为直角三角形？如果存在，求出直线l的方程；如果不存在，请说明理由． 20．（15分）已知函数． （Ⅰ）求函数的单调区间； （Ⅱ）若函数的图象与直线恰有三个公共点，则m的取值范围． 21．（13分）对于数列A：，，…，，若满足（，2，3，…，n），则称数列A为“数列”．定义变换T，T将“数列”A中原有的每个1都变成1，0，1，原有的每个0都变成0，1，0．例如A：1，0，则：1，0，1，0，1，0．设是“数列”，令，，2，3…．记的项数为，中数字1的个数为，数字0的个数为． （Ⅰ）若数列：1，0，求数列的项数以及的项数通项公式； （Ⅱ）设任意“数列”有n项，求证：对任意正整数k，都有； （Ⅲ）对任意“数列”，记为中数字1的占比，试判断数列是否为常数列，并说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $