精品解析：北京市平谷区2024-2025学年高二下学期教学质量监控（7月期末）数学试卷

平谷区2024—2025学年度第二学期教学质量监控试卷 高二数学 注意事项 1．本试卷共4页，包括两部分，满分150分，考试时间120分钟． 2．在答题卡上准确填写学校名称、班级和姓名． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 5．考试结束，请将答题卡交回． 第一部分 选择题（共40分） 一、选择题（本大题共10题，每题4分，共40分；在每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意，请将正确选项填涂在答题卡上．） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用交集运算即可. 【详解】因为，， 所以， 故选：B. 2. 下列函数中，既是奇函数又在上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据定义域关于原点对称及可判断函数为奇函数，再根据函数在上的单调性进行判断. 【详解】的定义域为，，函数为奇函数且在上单调递减，排除A； 的定义域为，但不是奇函数，排除B； 的定义域为且，所以为奇函数，在上单调递增，C符合题意； 的定义域为，，是奇函数，函数在上单调递减，在上单调递增，不符合题意排除D. 故选：C 3. 已知函数，则（ ） A. 1 B. C. －1 D. 0 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角函数求导公式求出导函数，将代入导函数计算即可. 【详解】，，. 故选：C 4. 已知等差数列中，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知条件求出等差数列的首项和公差，进而可求得数列第5项的值. 【详解】因为数列是等差数列，， 所以，化简得， 解得， 所以. 故选：C. 5. 在的展开式中，的系数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】写出该二项式展开式的通项，令的指数为1，求解此时的，再代入系数即可. 【详解】展开式的通项为： ， 令，解得， 则的系数为. 故选：D. 6. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】令，，求导，得到函数单调性，其中，故在上恒成立，充分性成立，举出反例得到必要性不成立，得到结论. 【详解】令，， 则， 令得，解得， 令得， 故在上单调递增，在上单调递减， 其中，故在上单调递增， 其中，故在上恒成立， 所以充分性成立， 但必要性不成立，比如，但， 所以”是“”的充分不必要条件. 故选：A 7. 某学校从5名男生和3名女生中推荐3人参加区级演讲比赛，若选出的3人既有男生又有女生，则不同的选法有（ ） A. 45种 B. 56种 C. 15种 D. 30种 【答案】A 【解析】 【分析】列出选出的3人既有男生又有女生的所有可能，用组合数表示每种可能的选法种数，再使用分类加法计数原理即可. 【详解】选出的3人中有1名男生和2名女生的选法有种，选出的3人中有2名男生和1名女生的选法有种， 则选出的3人既有男生又有女生的选法有种. 故选：A. 8. 一个容器装有细沙，细沙从容器底部匀速漏出，t min后剩余的沙量（单位：）．已知经过4min后容器里的细沙还有开始时的，若再经过 min，容器里的细沙只有开始时的，则（ ） A. 10 B. 8 C. 6 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可得，解得，从而可求解. 【详解】由题意可得，即，两边取对数可得，解得， 再经过 min，容器里的细沙只有开始时的， 则，即，解得，故C正确. 故选：C. 9. 已知函数，若且，则以下错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据对数函数的单调性判断A；根据对数的运算法则可判断B；直接代入函数解析式判断是否相等即可判断C；由及对数函数的单调性可判断D. 【详解】对A，因为在上单调递增，所以对且，均有成立，A正确； 对B，，B正确； 对C，，C错误； 对D，因为对且，， 所以，D正确. 故选：C 10. 已知函数，则下面说法正确的是（ ） A. 函数是最小正周期为的奇函数 B. 函数在区间上单调递减 C. 函数的一条对称轴为 D. 函数图象在直线与之间 【答案】D 【解析】 【分析】A选项：由定义域及判断函数是奇函数，利用验证是函数的周期；B选项：利用导数判断函数在上的单调性；C选项：验证从而判断是否为的一条对称轴；D选项：根据三角函数的值域可推出，所以图象在直线与之间. 【详解】函数的定义域为，定义域关于原点对称，，故是奇函数，，所以不是的周期，A错误； ，因为在上单调递减，且，，所以存在，使得，在上单调递增，在上单调递减，B错误； 因为，所以不是的对称轴，C错误； 对任意的x，，即，所以函数图象在直线与之间，D正确. 故选：D 第二部分 非选择题（共110分） 二、填空题（本大题共5题，每题5分，共25分，请把答案填在答题卡中相应题中横线上．） 11. 函数的定义域是______． 【答案】 【解析】 【分析】应用对数函数定义及分式分母不为0计算定义域即可. 【详解】因为函数，所以且不是2， 所以函数定义域为. 故答案为：. 12. 某射手每次射击击中目标的概率均为，比赛中该射手连续射击3次，则该射手恰好击中目标2次的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用独立重复试验的概率公式可求得所求事件的概率. 【详解】由题意可知：恰好有两次击中目标的概率为. 故答案为：. 13. 在平面直角坐标系xOy中，角与角的顶点与原点重合，它们的始边与x轴正半轴重合，终边关于y轴对称．若将终边按逆时针方向旋转恰与终边重合，则的一个取值为______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 分析】根据终边相等知识可得，再结合与关于轴对称，从而可求解. 【详解】由题意与关于轴对称，则， 又将终边按逆时针方向旋转恰与终边重合，则， 求解得，不妨取时，. 故答案为：（答案不唯一）. 14. 已知公比的等比数列，，且、、成等差数列，则______，______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据等比数列及等差中项化简基本量运算求解即可，再应用等比数列求和公式得出应用等比通项计算. 【详解】因为等比数列，，且、、成等差数列， 所以，所以，所以，且， 所以， ，所以，所以. 故答案为：；. 15. 设函数，给出下列四个结论： ①的图像恒过定点； ②对任意的，都不是单调函数； ③当时，存在2个零点； ④若函数存在最大值，则实数a的取值范围． 其中所有正确结论的序号是______． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】取即可判定①；研究当时单调性即可判定②错误；分别研究和函数的图像，即可判定③正确；分，两种情况 分析函数存在最大值的条件，进而可判定④正确. 【详解】设函数，. 对于①，,∴函数图像恒过定点,故①正确； 对于②，当时，函数在上单调递增，函数在上单调递增， 且,∴此时函数为单调递增函数，故②错误； 对于③，时，函数在上单调递增，且,故无零点. 函数图像为开口向下的抛物线，对称轴为,判别式,故有2个不同零点， 此时函数存在2个零点，符合题意； 当时，函数在有且只有1个零点. 函数图像为开口向上的抛物线，对称轴为,过定点,故有1个零点， 此时函数存在2个零点，符合题意. 综上，③正确； 对于④，当时，当时，,无最大值， 当时，函数有最大值，必须且只需,即, ,,,, 又∵,∴实数a的取值范围,故④正确. 故答案为：①③④. 三、解答题（本大题共6题，共85分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 16. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求函数的极值． 【答案】（1） （2）极大值为，无极小值. 【解析】 【分析】（1）对函数求导，可得到切线的斜率，然后根据点的坐标即可求出切线方程. （2）对函数求导，根据定义域确定函数的单调性，从而确定极值点和极值. 【小问1详解】 因为，所以. 所以切线斜率为，而， 所以曲线在点处的切线方程为，即. 【小问2详解】 令，则，求得. 因为，当时，；当时，； 所以函数在单调递增，在上单调递减， 所以函数在处取得极大值为. 所以函数的极大值为，无极小值. 17. 如图，在四棱锥中，底面ABCD为正方形，，平面ABCD，，，点E为线段PO中点． （1）求证：平面PAC； （2）求平面PAC与平面PBC夹角的大小． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先利用线面垂直的性质定理得，然后利用等腰三角形的性质得，进而利用线面垂直的判断定理即可得证； （2）建立空间直角坐标系，求平面PBC的法向量为，由（1）可知，为平面PAC的法向量，利用夹角公式即可求解. 【小问1详解】 因平面ABCD，平面，所以， 又底面ABCD为正方形，，，平面，平面，所以平面，平面，所以， 平面ABCD，平面，所以， 在中，，又点E为线段PO中点，所以， 因为，平面PAC，平面PAC，所以平面PAC； 【小问2详解】 如图所示，建立空间直角坐标系， 则，，，，， 则，，，， 设平面PBC的一个法向量为， 则即，令，则，所以． 由（1）可知，为平面PAC的法向量， 设平面PAC与平面PBC夹角的夹角为，则， 又，所以，即平面PAC与平面PBC夹角为． 18. 中小学体育锻炼是青少年成长的必修课，不仅促进学生身心发展，增强学生的体质和耐力，还帮助学生培养锻炼习惯，形成健康生活方式．现从某高中校甲、乙两个班随机选出几名学生，统计了他们平时周末在户外运动时长，得到以下数据（单位：分）： 甲班：40，60，80，100，120，140，160，190，200，220； 乙班：50，60，100，110，150，160，170，200． 假设用频率估计概率，且每名学生的户外运动情况相互独立． （1）现从甲班的样本中随机选出2人进行问卷调查，求这2人中恰有1人周末户外运动时长超过3个小时的概率； （2）现从甲班全体学生中随机抽取2人，乙班全体学生中随机抽取1人，记X为这3人中在周末户外运动时长不少于120分钟的人数，求X的分布列和数学期望； （3）设样本中甲班学生周末户外运动时长的方差为、乙班学生周末户外运动时长的方差为，直接写出与的大小关系．（结论不要求证明） 【答案】（1） （2）分布列见解析， （3） 【解析】 【分析】（1）首先求出周末户外运动时长超过3个小时的概率，然后利用组合数求出所求概率即可. （2）首先确定甲班、乙班周末户外运动时长不少于120分钟的概率，确定的可能取值和对应概率，进而列出的分布列，计算出数学期望. （3）通过数据直观看出数据的波动性大小来比较甲班、乙班方差的大小即可. 【小问1详解】 由甲班数据可以看出，周末户外运动时长超过3个小时的人数为3人. 从10人中随机选取2人，恰有1人周末户外运动时长超过3个小时的概率为. 【小问2详解】 由甲乙班数据可以得出，甲班周末户外运动时长不少于120分钟的概率为. 乙班周末户外运动时长不少于120分钟的概率为. 根据题意，的可能取值为，则 ； ； ； . 所以的分布列为： 0 1 2 3 所以的数学期望为. 【小问3详解】 由于甲班数据波动性更大，所以有. 19. 已知函数，从以下三个条件中选择适当的两个作为函数在同一周期内满足的条件，使函数存在且唯一确定．解答下列问题： （1）求函数解析式； （2）设函数， （i）求函数的单调增区间； （ⅱ）求函数在区间的最大值和最小值． 条件①：，． 条件②：． 条件③：． （注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．如果选择的条件不符合要求，得0分．） 【答案】（1） （2）（i）；（ⅱ），． 【解析】 【分析】（1）选条件①和条件②：可得到，，根据条件②得到，又根据条件①即可得到，进而即可求得函数解析式；选条件①和条件③：根据周期与对称之间的关系，可得的值，结合，即可求解，选②③得到，又根据条件③即可得到，，进而得到，或，故舍去． （2）（i）根据（1）及题意可得，再根据三角函数的性质即可求得其单调增区间； （ⅱ）根据（i）中，再根据三角函数的性质在区间的最大值和最小值． 【小问1详解】 选条件①和条件②： 则，即，， 由，得， 又，得； 由，，即，，解得，， 又，，则， 所以函数解析式为． 选条件①和条件③：由题意可知和点分别为在一个周期内的对称轴和对称中心， 若和点是相邻的，则，解得，不符合，舍去， 若和点不是相邻的，则，解得，不符合，舍去， 故选条件①和条件③时，不存在， 选条件②和条件③： 则，即，， 由，得， 又，得， 由，即，，解得，， 又，，则，或， 所以函数不能唯一确定，故舍去． 【小问2详解】 （i）由（1）可知，且， 则函数， 令，， 得函数的单调增区间为． （ⅱ）求函数在区间的最大值和最小值． 由（i）得， 由，则，所以， 所以的最大值为，最小值为． 20. 已知函数． （1）求函数的单调区间； （2）证明：． 【答案】（1）答案见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）首先对函数求导，然后讨论时函数的单调区间. （2）根据（1）中讨论的函数单调性，分别求出对应的最小值，即可证明结论的正确性. 【小问1详解】 对函数求导得：. 当时，，此时在上单调递增，在上单调递减； 当时，令，则. 若，或；若，则， 此时在，上单调递增，在上单调递减. 当时，令，则. 若，或；若，则， 此时在，上单调递减，在上单调递增. 【小问2详解】 由（1）可知： 当时，在上单调递增，在上单调递减，此时； 当时，在，上单调递增，在上单调递减. 而，（当时，,的增长速度远远超过二次函数的增长速度），所以此时； 当时，在，上单调递减，在上单调递增. 而，（当时，,的增长速度远远超过二次函数的增长速度）. 此时. 综上所述，. 21. 若数列满足，则称数列为Q增数列． （1）判断下面两个数列是否为Q增数列？并说明理由． ① ② （2）若数列为Q增数列，且任意项，，，，求正整数k的最大值． 【答案】（1）①是，②不是，理由见解析 （2）64 【解析】 【分析】（1）根据增数列的定义验证不等式是否成立即可判断其是否是增数列. （2）根据增数列的定义可判断数列为递增数列，根据整数性质可得到，从而可根据这一条件列出关于的不等式，求解其最大值即可. 【小问1详解】 ①数列是增数列. 因为，所以，. 所以， 所以，即. 所以该数列是增数列. ②数列不是增数列. 因为，所以，. 因为，根据对数的单调性可知. 即，所以该数列不是增数列. 【小问2详解】 因为数列是增数列，所以. 所以，设，则是递增数列. 因，所以. 所以. 又. 所以，化简得. 解得，又且，所以的最大值为64. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 平谷区2024—2025学年度第二学期教学质量监控试卷 高二数学 注意事项 1．本试卷共4页，包括两部分，满分150分，考试时间120分钟． 2．在答题卡上准确填写学校名称、班级和姓名． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 5．考试结束，请将答题卡交回． 第一部分 选择题（共40分） 一、选择题（本大题共10题，每题4分，共40分；在每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意，请将正确选项填涂在答题卡上．） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 下列函数中，既是奇函数又在上单调递增是（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数，则（ ） A. 1 B. C. －1 D. 0 4. 已知等差数列中，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 在的展开式中，的系数为（ ） A. B. C. D. 6. “”是“”的（ ） A 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 某学校从5名男生和3名女生中推荐3人参加区级演讲比赛，若选出的3人既有男生又有女生，则不同的选法有（ ） A. 45种 B. 56种 C. 15种 D. 30种 8. 一个容器装有细沙，细沙从容器底部匀速漏出，t min后剩余的沙量（单位：）．已知经过4min后容器里的细沙还有开始时的，若再经过 min，容器里的细沙只有开始时的，则（ ） A. 10 B. 8 C. 6 D. 4 9. 已知函数，若且，则以下错误的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，则下面说法正确的是（ ） A. 函数是最小正周期为的奇函数 B. 函数在区间上单调递减 C. 函数的一条对称轴为 D. 函数图象在直线与之间 第二部分 非选择题（共110分） 二、填空题（本大题共5题，每题5分，共25分，请把答案填在答题卡中相应题中横线上．） 11. 函数的定义域是______． 12. 某射手每次射击击中目标的概率均为，比赛中该射手连续射击3次，则该射手恰好击中目标2次的概率为______． 13. 在平面直角坐标系xOy中，角与角顶点与原点重合，它们的始边与x轴正半轴重合，终边关于y轴对称．若将终边按逆时针方向旋转恰与终边重合，则的一个取值为______． 14. 已知公比的等比数列，，且、、成等差数列，则______，______． 15. 设函数，给出下列四个结论： ①的图像恒过定点； ②对任意的，都不是单调函数； ③当时，存在2个零点； ④若函数存在最大值，则实数a的取值范围． 其中所有正确结论的序号是______． 三、解答题（本大题共6题，共85分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 16. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求函数的极值． 17. 如图，在四棱锥中，底面ABCD为正方形，，平面ABCD，，，点E为线段PO中点． （1）求证：平面PAC； （2）求平面PAC与平面PBC夹角大小． 18. 中小学体育锻炼是青少年成长的必修课，不仅促进学生身心发展，增强学生的体质和耐力，还帮助学生培养锻炼习惯，形成健康生活方式．现从某高中校甲、乙两个班随机选出几名学生，统计了他们平时周末在户外运动时长，得到以下数据（单位：分）： 甲班：40，60，80，100，120，140，160，190，200，220； 乙班：50，60，100，110，150，160，170，200． 假设用频率估计概率，且每名学生的户外运动情况相互独立． （1）现从甲班的样本中随机选出2人进行问卷调查，求这2人中恰有1人周末户外运动时长超过3个小时的概率； （2）现从甲班全体学生中随机抽取2人，乙班全体学生中随机抽取1人，记X为这3人中在周末户外运动时长不少于120分钟的人数，求X的分布列和数学期望； （3）设样本中甲班学生周末户外运动时长方差为、乙班学生周末户外运动时长的方差为，直接写出与的大小关系．（结论不要求证明） 19. 已知函数，从以下三个条件中选择适当的两个作为函数在同一周期内满足的条件，使函数存在且唯一确定．解答下列问题： （1）求函数解析式； （2）设函数， （i）求函数的单调增区间； （ⅱ）求函数在区间的最大值和最小值． 条件①：，． 条件②：． 条件③：． （注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．如果选择的条件不符合要求，得0分．） 20. 已知函数． （1）求函数的单调区间； （2）证明：． 21. 若数列满足，则称数列为Q增数列． （1）判断下面两个数列是否为Q增数列？并说明理由． ① ② （2）若数列为Q增数列，且任意项，，，，求正整数k的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$