精品解析：北京市平谷区第五中学2025-2026学年第二学期期中考试高二数学2026.4

北京市平谷区第五中学2025-2026学年第二学期期中考试高二数学 2026.4 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分；在每个小题列出的四个选项中，只有一项是符合要求的．） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求交集可得答案. 【详解】因为集合，所以. 故选：A. 2. 在复平面内，复数对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】先化简计算出，然后根据对应的点的坐标判断出所在象限即可. 【详解】因为，所以对应点的坐标为， 所以对应点所在象限为第二象限， 故选：B. 3. 已知等差数列，，，则（ ） A. 13 B. 15 C. 17 D. 18 【答案】B 【解析】 【详解】因为数列为等差数列，则， 即，解得. 4. 抛物线的焦点为F，点A在W上，且，则线段中点的横坐标为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据方程可得焦点和准线，结合抛物线定义可得，即可得结果. 【详解】由题意可知：抛物线的焦点为，准线为， 设，则，解得， 所以线段中点的横坐标为. 5. 已知是定义在上的偶函数，当时，，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】由偶函数性质以及对数运算即可求解. 【详解】已知是定义在上的偶函数，当时，，则. 故选：C. 6. 若的二项展开式共有8项，则该二项展开式（ ） A. B. 各项的二项式系数和为128 C. 二项式系数最大的项只有1项 D. 第5项系数等于 【答案】B 【解析】 【分析】根据二项展开式的通项公式和相关性质逐一判断各选项即可. 【详解】由题意，解得，故A错误； 二项展开式的各项的二项式系数和为，故B正确； 的二项展开式共有8项，其二项式系数最大的项有两项，分别为第四项和第五项，故C错误； 对于D，二项展开式的第5项为，其系数为35，故D错误. 故选：B. 7. 现有4名志愿者在五一放假三天里，到公园去服务，每人服务一天，那么在这三天里，公园每天都有志愿者服务且第一天有两名志愿者的安排方案有（ ）种 A. 24 B. 12 C. 81 D. 64 【答案】B 【解析】 【详解】由题意知第一天2人，剩下2人分到第二天和第三天，每天各1人， 第一步：从4名志愿者中选2人在第一天服务，安排方案有种， 第二步：剩下2名志愿者，要分配到第二天和第三天，且每天1人，安排方案有种， 根据分步乘法计数原理，安排方案共有种. 8. 已知，则（ ） A. B. 10 C. D. 80 【答案】D 【解析】 【分析】先求得二项展开式的通项，根据题意，得到，即可求解. 【详解】由二项式展开式的通项为， 当时，可得， 因为， 所以，解得. 9. 若圆锥曲线的焦距为4，则其离心率为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由圆锥曲线，可知， 则，所以，曲线为双曲线， 所以焦距为， 解得，则， 所以离心率. 10. 已知函数，则“”是“在上为单调函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】取，结合分段函数单调性可判断必要性不成立；分、两种情况讨论，结合分段函数的单调性可判断充分性成立.由此可得出结论. 【详解】若，则， 当时，函数在上为增函数，函数在上为增函数， 又因为函数在上连续，此时函数在上单调递增； 当时，函数在上为减函数，函数在上为减函数， 又因为函数在上连续，此时函数在上单调递减； 所以“在上为单调函数”不能得到“”； 若，当且时， 函数、在上均为增函数，则函数在上为增函数， 函数、在上均为增函数，则函数在上为增函数， 又因为函数在上连续，故函数在上为增函数； 当且时，函数、在上均为减函数，则函数在上为减函数， 函数、在上均为减函数，则函数在上为减函数， 又因为函数在上连续，故函数在上为减函数； 故“”“在上为单调函数”. 故“”是“在上为单调函数”的充分不必要条件. 二、填空题：（本题共5小题，每小题5分，共25分．） 11. 的展开式中，的系数为60，则实数______． 【答案】 【解析】 【详解】根据二项式定理，的通项为， 令的指数，解得， 此时的系数为，已知该系数为60，即， 解得． 12. 已知双曲线的一条渐近线斜率为3，则______． 【答案】 【解析】 【详解】由题意，. ，， . 13. 从甲，乙，丙，丁4人中选出3人，同时执行3项不同的任务，其中甲必须参加，则不同的选派方法共有______种．（用数字作答） 【答案】18 【解析】 【分析】从乙，丙，丁3人中选2人与甲一起全排列． 【详解】从乙，丙，丁3人中选2人与甲一起全排列，方法数为． 14. 一个袋子里装有大小相同的3个红球和2个黄球，从中同时取出2个，则其中含红球个数的数学期望是________． 【答案】 【解析】 【分析】设取出的红球个数为，则的可能取值为0,1,2，分别求出对应概率，即可求数学期望. 【详解】设取出的红球个数为，则的可能取值为0,1,2， 则 故答案为： 15. 在平面内，点位于直线的右侧，点到点的距离与到直线的距离之积为4． 给出下列四个结论： ①点过坐标原点； ②； ③若点在第一象限内，的最大值为1； ④点经过3个整点（即横、纵坐标均为整数的点）． 其中正确结论的序号是______． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】先求出点P的轨迹方程，将原点O代入轨迹方程即可判断①；由点位于直线的右侧和即可求解判断②；由时求出y即可判断③；由x的取值范围将x的整数取值代入轨迹方程求出y即可判断④. 【详解】点到点的距离为，到直线的距离为， 则，即点的轨迹方程为， 将点代入点P的轨迹方程得， 所以点过坐标原点，①正确； 因为点位于直线的右侧，所以， 又， 所以，②正确； 对于③：在中， 当时，化简得， 当点在第一象限时，取，则， 所以点在第一象限内，的最大值一定大于，故③不正确； 因为，令， 所以点共经过这3个整点（即横、纵坐标均为整数的点），④正确． 三、解答题（共6小题，共85分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．） 16. 如图，在直四棱柱中，，分别为的中点 （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值 【答案】（1）证明见解析； （2） 【解析】 【分析】（1）取中点，连接，证明，再由线面平行的判定得证； （2）建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，由法向量夹角的余弦得二面角的余弦． 【小问1详解】 取中点，连接，因为是中点， 所以在四棱柱中，且， 又，而是中点，所以且， 所以且， 所以是平行四边形，所以， 又因为平面，平面，所以平面； 【小问2详解】 因为，所以是等边三角形， 以等边的边的高所在直线为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，如图，由已知等边的高为， 则，，，，， 所以， 设平面的一个法向量是， 则,令，则， 设平面的一个法向量是， 则,令，则， ， 所以平面与平面夹角的余弦值是． 17. 为了调查“AI赋能教学活动”的实施效果是否达到预期，对甲、乙两个学区的教师进行简单随机抽样，获得评价数据如下表： 学区 甲 乙 性别 男 女 男 女 达到预期 260人 200人 240人 190人 未达到预期 190人 150人 60人 110人 假设所有教师的评价相互独立.用频率估计概率. （1）估计甲学区教师的评价为“达到预期”的概率； （2）若教师的评价为“达到预期”，则赋分为5；若教师的评价为“未达到预期”，则赋分为0. （i）从这两个学区的所有男教师中随机抽取2人，所有女教师中随机抽取1人，记随机变量X为这3人的赋分之和，估计X的数学期望； （ii）记甲学区样本赋分的方差为，乙学区样本赋分的方差为，两学区所有样本赋分的方差为.比较，，的大小.（结论不要求证明） 【答案】（1） （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）根据题设表格中的数据，结合古典概型的概率计算公式，即可求解； 设甲学区的教师评价为“达到预期”为事件， （2）（i）由表格中的数据得，分别求得男、女教师达到预期的概率为和，得到变量的取值为，求得相应的概率，列出分布列，结合期望的公式，即可求解； （ii）分别求得甲、乙学区赋分为5的概率为和，以及所有样本赋分为5的概率为，结合二点分布的方差公式，求得的值，即可求解. 【小问1详解】 解：设甲学区的教师评价为“达到预期”为事件， 由表格中的数据，甲学区教师的总人数为人， 其中评价为“达到预期”的人数为人， 所以，即估计甲学区教师评价为“达到预期”的概率为. 【小问2详解】 解：（i）由表格中的数据得，男教师达到预期的概率为， 女教师达到预期的概率为， 根据题意，随机变量的可能取值为， 可得， ， ， ， 所以随机变量的分布列为： 0 5 10 15 所以期望为. （ii）甲学区赋分为5的概率为，乙学区赋分为5的概率为， 两个学区所有样本赋分为5的概率为， 赋分数据为0或5时，其样本方差为， 由， ，， 因为，可得， 又由，所以. 18. 顺义区的水稻种植历史悠久，最早可追溯到东汉初年.某农科所在顺义区，两镇分别抽取3块试验田开展水稻种植方式实验.种植方式包括有机种植、机械种植、共生种植三种，测得各试验田的平均亩产量如下表（单位：）： 有机种植 机械种植 共生种植 镇 300 350 425 镇 300 375 400 用频率估计概率. （1）从上述试验田中随机抽取2块，求其平均亩产量均不低于375的概率； （2）从，两镇中各随机抽取1块试验田，设为平均亩产量不低于375的试验田的块数，求的分布列和数学期望； （3）为了评估种植方式的综合效益，农科所进一步统计了三种种植方式在某年度的成本与市场售价： 有机种植：每亩成本约为800元，市场售价约为8元/kg； 机械种植：每亩成本约为500元，市场售价约为5元/kg； 共生种植：每亩成本约为1200元，市场售价约为6元/kg. 假设该年度，两镇有机种植、机械种植、共生种植三种方式的种植试验田面积之比均为，记镇水稻种植试验田每亩平均利润为，镇水稻种植试验田每亩平均利润为，试比较与的大小.（结论不要求证明） 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）分别计算总情况数和满足题意的情况数，据此可得概率； （2）由题设可得可为，据此可得分布列及期望； （3）设两地分别有地面积为，由题可得与表达式，据此可得答案. 【小问1详解】 由题可得随机拿地的情况有： 种， 平均亩产量均不低于375的情况有种，故相应概率为：； 【小问2详解】 分别从两地拿地有9种情况，将拿地情况用坐标表示， 横坐标表示A地平均亩产数，纵坐标表示B地平均亩产数. 的情况有共2种； 的情况有共5种； 的情况有种，则分布列如下： 0 1 2 期望为： ； 【小问3详解】 设两地分别有土地面积为亩. 对于A地，用于有机种植的地有亩，有机种植总产量为， 则有机种植的总利润为：元， 类似可得A地机械种植总利润为：元， A地共生种植总利润为：元， 则A地平均利润为：元； 类似可得B地平均利润为：元. 则. 19. 设函数． （1）当时，求证：直线是曲线的切线． （2）求的单调区间； 【答案】（1）详见解析； （2）当时， 的单调递减区间为， 的单调递增区间为； 当时， 的单调递减区间为， 的单调递增区间为； 【解析】 【分析】（1）设切点为，利用导数的几何意义求解； （2），注意到，从而可判断导函数的符号只和有关，对的符号分类讨论求解. 【小问1详解】 当时，函数 ， 则， 设切点为，令， 即，解得或（舍去）， 又，则切线方程为，即； 【小问2详解】 ， 由题知，，则， 所以的符号完全由x确定， 时，定义域为， 故时，，单调递增，当，，单调递减； 时，定义域为， 故时，，单调递增，当，，单调递减； 综上：当时， 的单调递减区间为，单调递增区间为； 当时， 的单调递减区间为，单调递增区间为； 20. 已知椭圆的离心率为，其左、右焦点和上顶点构成的三角形面积为. （1）求椭圆的方程； （2）设为坐标原点，为第一象限内上的动点，点在直线上，且.过作的垂线交直线于，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据已知条件可得出关于、、的方程组，解出这三个量的值，即可得出椭圆的标准方程； （2）求出直线的方程，可得出直线的方程，可得出点的坐标，对直线的斜率是否存在进行分类讨论，在直线的斜率不存在时，求出点的坐标，可得出的值；在直线的斜率存在时，求出直线的斜率，可得出直线的方程，可求出点的坐标，再利用两点间的距离公式可求出的值. 【小问1详解】 由题意可知椭圆的左、右焦点和上顶点构成的三角形面积为， 由已知条件可得，解得， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 因为点在第一象限，所以直线的方程为， 因为，所以直线的方程为， 因为点在直线上，所以点， 若直线的斜率不存在时，轴，则，即， 即，解得（舍）或，此时， 所以直线的方程为，直线的方程为，则，此时； 当直线的斜率存在时，， 因为，所以， 联立，得， 则，则， 所以 ， 所以. 综上所述，. 21. 已知函数． （1）当，求曲线在点处的切线方程； （2）若，求函数极值点的个数； （3）若对任意的实数恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）2个 （3） 【解析】 【分析】（1）切线斜率等于函数在该点的导数值，结合点斜式直线方程即可求解； （2）多次求导得函数的单调性，进而求出函数的极值点即可判断； （3）分离参数得在上恒成立，令，多次求导得其单调性，然后求解最值即可． 【小问1详解】 当时，，所以． 所以． 所以曲线在点处的切线方程为， 即． 【小问2详解】 由，得， 令，则． 当时，，当时，， 所以在区间上是减函数，在区间上是增函数． 所以的最小值为． ， 又在单调递减，在单调递增， 故存在，使得， 所以，在区间上，在区间上． 所以，在区间上单调递增，在区间上单调递减， 故是函数的极大值点． 同理：存在，使得， 所以，在区间上，在区间上． 所以，在区间上单调递减，在区间上单调递增， 故是函数的极小值点． 综上：函数极值点有2个． 【小问3详解】 对任意的实数恒成立， 等价于在上恒成立，得， 令，则． 令，则．因为，所以， 所以在上是增函数，所以，所以， 所以在上是增函数，所以的最小值为．所以， 即实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市平谷区第五中学2025-2026学年第二学期期中考试高二数学 2026.4 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分；在每个小题列出的四个选项中，只有一项是符合要求的．） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 在复平面内，复数对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知等差数列，，，则（ ） A. 13 B. 15 C. 17 D. 18 4. 抛物线的焦点为F，点A在W上，且，则线段中点的横坐标为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 5. 已知是定义在上的偶函数，当时，，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 6. 若的二项展开式共有8项，则该二项展开式（ ） A. B. 各项的二项式系数和为128 C. 二项式系数最大的项只有1项 D. 第5项系数等于 7. 现有4名志愿者在五一放假三天里，到公园去服务，每人服务一天，那么在这三天里，公园每天都有志愿者服务且第一天有两名志愿者的安排方案有（ ）种 A. 24 B. 12 C. 81 D. 64 8. 已知，则（ ） A. B. 10 C. D. 80 9. 若圆锥曲线的焦距为4，则其离心率为（ ） A. 2 B. C. D. 10. 已知函数，则“”是“在上为单调函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 二、填空题：（本题共5小题，每小题5分，共25分．） 11. 的展开式中，的系数为60，则实数______． 12. 已知双曲线的一条渐近线斜率为3，则______． 13. 从甲，乙，丙，丁4人中选出3人，同时执行3项不同的任务，其中甲必须参加，则不同的选派方法共有______种．（用数字作答） 14. 一个袋子里装有大小相同的3个红球和2个黄球，从中同时取出2个，则其中含红球个数的数学期望是________． 15. 在平面内，点位于直线的右侧，点到点的距离与到直线的距离之积为4． 给出下列四个结论： ①点过坐标原点； ②； ③若点在第一象限内，的最大值为1； ④点经过3个整点（即横、纵坐标均为整数的点）． 其中正确结论的序号是______． 三、解答题（共6小题，共85分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．） 16. 如图，在直四棱柱中，，分别为的中点 （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值 17. 为了调查“AI赋能教学活动”的实施效果是否达到预期，对甲、乙两个学区的教师进行简单随机抽样，获得评价数据如下表： 学区 甲 乙 性别 男 女 男 女 达到预期 260人 200人 240人 190人 未达到预期 190人 150人 60人 110人 假设所有教师的评价相互独立.用频率估计概率. （1）估计甲学区教师的评价为“达到预期”的概率； （2）若教师的评价为“达到预期”，则赋分为5；若教师的评价为“未达到预期”，则赋分为0. （i）从这两个学区的所有男教师中随机抽取2人，所有女教师中随机抽取1人，记随机变量X为这3人的赋分之和，估计X的数学期望； （ii）记甲学区样本赋分的方差为，乙学区样本赋分的方差为，两学区所有样本赋分的方差为.比较，，的大小.（结论不要求证明） 18. 顺义区的水稻种植历史悠久，最早可追溯到东汉初年.某农科所在顺义区，两镇分别抽取3块试验田开展水稻种植方式实验.种植方式包括有机种植、机械种植、共生种植三种，测得各试验田的平均亩产量如下表（单位：）： 有机种植 机械种植 共生种植 镇 300 350 425 镇 300 375 400 用频率估计概率. （1）从上述试验田中随机抽取2块，求其平均亩产量均不低于375的概率； （2）从，两镇中各随机抽取1块试验田，设为平均亩产量不低于375的试验田的块数，求的分布列和数学期望； （3）为了评估种植方式的综合效益，农科所进一步统计了三种种植方式在某年度的成本与市场售价： 有机种植：每亩成本约为800元，市场售价约为8元/kg； 机械种植：每亩成本约为500元，市场售价约为5元/kg； 共生种植：每亩成本约为1200元，市场售价约为6元/kg. 假设该年度，两镇有机种植、机械种植、共生种植三种方式的种植试验田面积之比均为，记镇水稻种植试验田每亩平均利润为，镇水稻种植试验田每亩平均利润为，试比较与的大小.（结论不要求证明） 19. 设函数． （1）当时，求证：直线是曲线的切线． （2）求的单调区间； 20. 已知椭圆的离心率为，其左、右焦点和上顶点构成的三角形面积为. （1）求椭圆的方程； （2）设为坐标原点，为第一象限内上的动点，点在直线上，且.过作的垂线交直线于，求的值. 21. 已知函数． （1）当，求曲线在点处的切线方程； （2）若，求函数极值点的个数； （3）若对任意的实数恒成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $