25.2.3因式分解法 课件 2026—2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程的因式分解法，通过复习引入环节回顾方程概念、已有解法及根的判别式，结合“选择合适方法解方程”的问题，搭建新旧知识衔接的学习支架，引导学生自然过渡到新知学习。 其亮点在于以物理上抛问题驱动合作探究，培养学生用数学眼光抽象现实问题的能力，通过对比三种解法归纳因式分解法步骤，发展推理意识，中考演练与圆形场地半径等实际应用强化模型意识。学生能深化降次思想理解，教师可借助分层练习与当堂检测提升教学效率。

人教版数学九年级上册 第二十五章 一元二次方程 25.2降次——解一元二次方程 25.2.3 因式分解法 学习目标 1 2 会选择合适的方法进行因式分解，并解一元二次方程. 在探究因式分解法解方程的过程中体会转化、降次的数学思想． 目录 1 4 2 3 巩固练习 典例分析 复习引入 合作探究 5 6 当堂检测 课堂小结 7 布置作业 1 复习引入 一元二次方程 概念 相关概念 解法 应用 只含有一个未知数，且含有未知数的式子都是整式，未知数的最高次数是2的方程. 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫作一元二次方程的根. 直接开平方法 ... 降次 配方法 转化 公式法 应用 2.当Δ≥0时，方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的实数根可写为 . 的形式，这个式子叫作一元二次方程ax2+bx+c=0的求根公式. 1.式子 可以判别一元二次方程的根的情况，因此把它叫作一元二次方程ax2+bx+c=0的根的判别式，通常用希腊字母“ ”表示， 1 复习引入 当Δ>0时，方程 ； 当Δ=0时，方程 ； 当Δ<0时，方程 . b2−4ac Δ 有两个不相等的实数根 有两个相等的实数根 无实数根 x= 3. 用哪种方法解下列方程比较合适？ (1) (x−2)2=4； (2) x2+4x=5； (3) x2+x=1； 配方法 公式法 直接开平方法 1 复习引入 2 合作探究 问题 根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10 m/s的速度竖直上抛，那么物体经过x s后的离地高度(单位：m)约为10x−5x2.根据上述规律，物体经过多少秒落回地面? 2 合作探究 分析：设物体经过x s落回地面，这时它离地面的高度为0 m，即 . 将方程的左边分解因式，得 . 所以 . 因此，方程10x−5x2=0的两个根是 . 对于这两个根，x1=0表示物体抛离地面的时刻，即在0 s时 物体被抛出，此刻物体的高度是0 m；而x2=2表示物体在抛离地 面2 s时落回地面. 10x−5x2=0 x(10−5x)=0 如果ab=0， 那么a=0或b=0. x=0或10−5x=0 x1=0，x2=2 请大家解这个方程. 你认为哪种解法更简单？ 2 合作探究 10x−5x2=0 解： x(10−5x)=0， x=0或10−5x=0， x1=0，x2=2. 思考 解方程10x−5x2=0时，二次方程是如何降为一次的? 降次 在上述解法中，由10x−5x2=0到x=0或10−5x=0的过程，不是用开平方降次，而是先分解因式，使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次.这种解一元二次方程的方法叫作因式分解法. 2 合作探究 思考 归纳因式分解法解一元二次方程的步骤： 一移 将方程化为等号一边为0的形式； 二分 将方程左边因式分解； 三化 至少有一个因式为零，得到两个一元一次方程； 四解 两个一元一次方程的解就是原方程的解． 10x−5x2=0 解： x(10−5x)=0， x=0或10−5x=0， x1=0，x2=2. 2 合作探究 思考 学习了配方法、公式法、因式分解法等求解一元二次方程的方法后，你能说说它们各自的特点吗? 解法 降次方法 变形结果 方程的根 适用范围 配方法 公式法 因式分解法 x= 先配方 再开方 (x+n)2=p (p≥0) x=−n± 所有一元二次方程 直接代入求根公式 (x−a)(x−b)=0 因式分解 ax2+bx+c=0 (Δ≥0) x1=a，x2=b 所有一元二次方程 部分一元二次方程 3 典例分析 例4 解下列方程： (1)x(x−2)+x−2=0； (2)5x2−2x− =x2−2x+· 解：(1)左边分解因式，得 (x−2)(x+1)=0. 于是 x−2=0或x+1=0， 即 x1=2，x2=−1. 解：(2)移项、合并同类项，得 4x2−1=0. 左边分解因式，得 (2x+1)(2x−1)=0. 于是 2x+1=0或2x−1=0, 即 x1=− ，x2=. 3 典例分析 中考演练（2026山东）若关于x的一元二次方程(x−2)(x−m)=0的一个根 是10，则另一个根是________． 2 分析： (x−2)(x−m)=0 ， x−2=0 或 x−m=0， 解得 x1=2，x2=m， ∵方程的一个根是10， ∴m=10， ∴方程的另一个根为2． 3 典例分析 中考演练（2026江苏连云港）解方程 x(x−1)=8x−8． 解： x(x−1)=8x−8， x(x−1)−8(x−1)=0， (x−8)(x−1)=0， x−8=0或x−1=0， ∴x1=8，x2=1． 4 巩固练习 1. 直接说出下列方程的根. (1) x(x+2)=0； (1) x1=0，x2=−2； (2) (x−2)(x+1)=0； (2) x1=2，x2=−1 ； (3) (3y+6)(2y−4)=0； (3) y1=−2，y2=2； (4) (x−5)2=0. (4) x1=x2=5. 2. 小明同学解方程：2(x−2)=(x−2)2的过程如下： 小明：两边同除以(x−2)，得2=x−2， 第一步 则x=4． 第二步 你认为小明的解法是否正确？若不正确，从第____步开始出现错误；并写出你的解答过程． 4 巩固练习 (x−2)可能为0，等式两边不能同时除以值可能为0的式子，直接除以(x−2)会漏掉x=2这个根． 解：小明的解法不正确，从第一步开始出错． 正确解答过程如下： 2(x−2)=(x−2)2， 移项，得 2(x−2)−(x−2)2=0， 提取公因式，得 (x−2)(2−x+2)=0， 整理得 (x−2)(4−x)=0， 则 x−2=0 或 4−x=0， 解得 x1=2，x2=4． 4 巩固练习 4 巩固练习 3. 解下列方程： (1) x2+x=0； (2) x2−2x=0； (3) 3x2−6x=−3； (4) 4x2−81=0； (5) 3x(2x+1)=4x+2； (6) (x−4)2=(5−2x)2. 4 巩固练习 快速核对答案 4 巩固练习 4. 如图，把小圆形场地的半径增加5 m，得到大圆形场地，大圆形场地与小圆形场地的面积比为9:4.求小圆形场地的半径. 解：设小圆形场地的半径为r， 根据题意得 4π(r+5)2=9πr2. 变形得 4(r+5)2−9r2=0. 因式分解得 (2r+10+3r)(2r+10−3r)=0. 所以 5r+10=0或10−r=0. 所以 r1=−2(舍去)，r2=10. 答：小圆形场地的半径为10 m. 5 当堂检测 1. 方程(x+1)(x−1)=0的根是 ． 方程 x(x+4)=0 的根是 ． 方程(3−x)(x−3)=0的根是 ． 方程2(x+3)(x+4)=0的根是 ． x1=−1，x2=1 x1=0，x2=−4 x1=x2=3 x1=−3，x2=−4 2. 已知方程x2−9x+14=0的两根恰好是某菱形的对角线长，则这个菱形的面积是（     ） A．4 B．5 C．6 D．7 D 5 当堂检测 3. 若实数k、b是一元二次方程(x+3)(x−1)=0的两个根，且k<b，则一次函数y=kx+b的图象不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 C 5 当堂检测 5 当堂检测 3. 用因式分解法解方程： (1) 5x2=6x； (2) (m+1)2=4(m+1)； 解： 5x2=6x， 5x2−6x=0， x(5x−6)=0， x=0或5x−6=0， x1=0，x2=； 解： (m+1)2=4(m+1)， (m+1)2−4(m+1)=0， (m+1)(m−3)=0， m+1=0或m−3=0， m1=−1，m2=3． 解： (x−1)2=25， x−1=±5， x−1=5或x−1=−5， x1=6，x2=−4. 5 当堂检测 4. 用合适的方法解方程： (1) x2−6x+8=0； (2) x2−2x+1=25； 解： (x−2)(x−4)=0， x−2=0或x−4=0， x1=2，x2=4； 6 课堂小结 一元二次方程 概念 相关概念 解法 应用 只含有一个未知数，且含有未知数的式子都是整式，未知数的最高次数是2的方程. 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫作一元二次方程的根. 直接开平方法 降次 配方法 转化 公式法 应用 因式分解法 7 布置作业 A B 习题25.2：第6题. 习题25.2：第9题. $