26.2.2 二次函数y=a（x-h）2+k的图象和性质 教学设计 2026-2027学年数学人教版九年级上册

该初中数学教学设计聚焦二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质，分三课时逐步深入。通过复习y=ax²引入y=ax²+k，再迁移到y=a(x-h)²，最终整合为y=a(x-h)²+k，搭建递进式学习支架，梳理知识脉络。 资料以学生自主探究为核心，通过描点画图、小组讨论归纳平移规律，培养几何直观与推理意识。结合篮球投篮、喷水池等实际问题，渗透模型意识，帮助学生理解知识联系，提升教师教学效率，夯实函数学习基础。

26.2.2 二次函数y=a（x-h）2+k的图象和性质 第1课时 二次函数y=ax2+k的图象和性质 课题 二次函数y=ax2+k的图象和性质 课型 新授课 教学内容 教材第36-38页的内容 教学目标 1．使学生能利用描点法正确作出函数y＝ax2＋k的图象。 2．让学生经历二次函数y＝ax2＋k性质探究的过程，理解二次函数y＝ax2＋k的性质及它与函数y＝ax2的关系。 教学重难点 教学重点：会用描点法画出二次函数y＝ax2＋k的图象，理解二次函数y＝ax2＋k的性质，理解函数y＝ax2＋k与函数y＝ax2的相互关系。 教学难点：正确理解二次函数y＝ax2＋k的性质，理解抛物线y＝ax2＋k与抛物线y＝ax2的关系。 教 学 过 程 备 注 1.回顾复习，引入课题 前面我们已经学习了二次函数y=ax2的图象和性质，同学们能说出二次函数y=ax2的图象的开口方向、大小、对称轴、顶点坐标、最值、以及增减性吗? 今天我们将学习只有二次项和常数项的二次函数y=ax2+k的图象和性质. 2.探索新知，归纳知识 【探究1】在同一平面直角坐标系中，画出二次函数y=2x2 +1， y=2x2-1的图象. 【学生活动】 先列表： x … -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 … y =2x2+1 … 9 5.5 3 1.5 1 1.5 3 5.5 9 … y = 2x2 -1 … 7 3.5 1 -0.5 -1 -0.5 1 3.5 7 … 作出函数图象如图： 【追问1】二次函数，的图象的开口方向、对称轴和顶点各如何？ 抛物线的开口向上，对称轴是y轴，顶点是(0，1)；抛物线的开口向上，对称轴是y轴，顶点是(0，-1)。 【追问2】抛物线上的点是，将它的各个点的纵坐标都加1（减1），相应的点在什么抛物线上？由此你能得出什么结论？ 抛物线上的点是，将它的各个点的纵坐标都加1（减1），相应的点在抛物线（）的上；就是将抛物线向上（下）平移1个单位长度，得到抛物线（）。 【总结】当k＞0时，把抛物线y=ax2向上平移k个单位长度，就得到抛物线y=ax2+k；当k＜0时，把抛物线y=ax2向下平移|k|个单位长度，就得到抛物线y=ax2+k。 3.学以致用，应用新知 【例1】抛物线y＝x2+1的图象大致是（　　） A B C D 答案：C 【例2】二次函数y＝﹣+5有最　 　值为　 　． 答案：大 5 【例3】函数y＝4x2+5的图象可由y＝4x2的图象向　 　平移　 　个单位长度得到；函数y＝4x2+5的图象可由y＝4x2﹣11的图象向　 　平移　 　个单位长度得到． 答案： 上 5 上 16 4.随堂训练，巩固新知 （1）抛物线y＝ax2+k与抛物线y=-5x2的形状相同，开口方向相反，且其顶点坐标为（0，5），该抛物线的解析式是（　　） A．y＝5（x+5）2 B．y＝-5（x﹣5）2 C．y＝5x2+5 D．y＝-5x2﹣5 答案：C （2）二次函数y＝ax2+k的图象顶点坐标是（0，2），且形状及开口方向与抛物相线y＝﹣相同． ①确定a，k的值； ②画出二次函数y＝ax2+k的图象． 解：①由y＝ax2+k形状及开口方向与y＝﹣x2相同，所以a＝﹣， 由y＝ax2+k的顶点是（0，2），得k＝2. ②y＝﹣x2+2的函数图象如下. （3）抛物线y＝ax2＋c与y＝－5x2的形状大小，开口方向都相同，且顶点坐标是(0，3)，求抛物线的表达式，它是由抛物线y＝－5x2怎样得到的？ 解：抛物线y＝ax2＋c与y＝－5x2的形状、大小相同，开口方向也相同，∴a＝－5.又∵其顶点坐标为(0，3)．∴c＝3.∴y＝－5x2＋3.它是由抛物线y＝－5x2向上平移3个单位得到的． （4）如图所示，一位篮球运动员投篮，球沿抛物线y＝－x2＋运行，然后准确落入篮筐内，已知篮筐的中心离地面的距离为3.05m. ①球在空中运行的最大高度为多少？ ②如果该运动员跳起，球出手时离地面的高度为2.25m，要想投入篮筐，则他距离篮筐中心的水平距离是多少？ 解：①∵y＝－x2＋的顶点坐标为(0，3.5)， ∴球在空中运行的最大高度为3.5m. ②在y＝－x2＋中，当y＝3.05时，3.05＝－x2＋，解得x＝±1.5.∵篮筐在第一象限内，∴篮筐中心的横坐标x＝1.5.又当y＝2.25时，2.25＝－x2＋，解得x＝±2.5.∵运动员在第二象限内，∴运动员的横坐标x＝－2.5.故该运动员距离篮球筐中心的水平距离为1.5－(－2.5)＝4(m)． 5.课堂小结，自我完善 理解在同一直角坐标系中，函数y＝ax2＋k的图象与函数y＝ax2的图象具有什么关系；能说出函数y＝ax2＋k具有哪些性质。 6.布置作业 课本P38练习。 复习旧知，为类比学习新知作铺垫. 先让学生观察图象，指出抛物线y=2x2+1，y=2x2-1的开口方向、对称轴和顶点。 老师可引导学生观察方向：二次函数y＝2x2＋1的图象与二次函数y＝2x2的图象开口方向、对称轴和顶点坐标是否相同? 从解析式、函数对应值表和图象三个角度，综合进行对比，从而得出形状相同，位置知识上下平移的结论。 归纳抛物线y=ax2+k与抛物线y=ax2的关系。 先直观形象地巩固抛物线y=ax2+k的图象和性质，再巩固抛物线y=ax2+k和抛物线y=ax2的关系。 学生独立完成，教师巡视指导，了解学生掌握情况，并集中订正。 抛物线y＝ax2＋k与y＝ax2开口大小，方向都相同，只是顶点不同，二者可相互平移得到． 板书设计 二次函数y=ax2+k的图象和性质 从开口方向、对称轴和顶点坐标等角度探究抛物线y=ax2+k的图象与性质，探究函数的平移问题。 教后反思 教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，在操作中探究二次函数y＝ax2＋k的图象与性质，体会抛物线y＝ax2与y＝ax2＋k之间联系与区别。 第2课时 二次函数y=a（x-h）2的图象和性质 课题 二次函数y=a（x-h）2的图象和性质 课型 新授课 教学内容 教材第38-39页的内容 教学目标 1．使学生能利用描点法画出二次函数y＝a(x-h)2的图象。 2．让学生经历二次函数y＝a(x-h)2性质探究的过程，理解函数y＝a(x-h)2的性质，理解二次函数y＝a(x-h)2的图象与二次函数y＝ax2的图象的关系。 教学重难点 教学重点：会用描点法画出二次函数y＝a(x-h)2的图象，理解二次函数y＝a(x-h)2的性质，理解二次函数y＝a(x-h)2的图象与二次函数y＝ax2的图象的关系。 教学难点：理解二次函数y＝a(x-h)2的性质，理解二次函数y＝a(x-h)2的图象与二次函数y＝ax2的图象的相互关系。 教 学 过 程 备 注 1.复习回顾，引入课题 【问题】在同一平面直角坐标系内，画出二次函数y＝－x2，y＝－x2－1的图象，并回答： (1)两条抛物线的位置关系、对称轴、开口方向和顶点坐标。 (2)说出它们所具有的公共性质。 【师生活动】学生回答，教师订正。 2.探索新知，归纳知识 【探究】在同一平面直角坐标系内，画出二次函数y＝－(x+1)2的图象与二次函数y＝－(x－1)2的图象。 【师生活动】先列表： x … -4 -3 -2 -1 0 1 2 … y=-(x+1)2 … -4.5 -2 -0.5 0 -0.5 -2 -4.5 … x … -2 -1 0 1 2 3 4 … y＝-(x-1)2 … -4.5 -2 -0.5 0 -0.5 -2 -4.5 … 描点、画图： 【追问】二次函数y＝－(x+1)2的图象与二次函数y＝－(x－1)2的图象的开口方向、对称轴以及顶点坐标相同吗?这两个函数的图象之间有什么关系? 【师生活动】让学生分组讨论，交流合作，各组选派代表发表意见，达成共识：函数y＝－(x+1)2与y＝－(x－1)2的图象、开口方向相同、对称轴和顶点坐标不同；函数y＝－(x+1)2的图象可以看作是函数y＝－x2的图象向左平移1个单位长度得到的，它的对称轴是直线x＝-1，顶点坐标是(-1，0)。函数y＝－(x-1)2的图象可以看作是函数y＝－x2的图象向右平移1个单位长度得到的，它的对称轴是直线x＝1，顶点坐标是(1，0)。 【思考】你能归纳出函数y=a（x-h）2的图象特征和性质吗? 【师生活动】当h＞0时，抛物线y=ax2向右平移h个单位长度，就得到抛物线y=a（x-h）2；当h＜0时，抛物线y=ax2向左平移|h|个单位长度，就得到抛物线y=a（x-h）2。 3.学以致用，应用新知 【例1】已知抛物线y＝a(x－h)2(a≠0)的顶点坐标是(－2，0)，且图象经过点(－4，2)，求a，h的值． 解：∵抛物线y＝a(x－h)2(a≠0)的顶点坐标为(－2，0)， ∴h＝－2. 又∵抛物线y＝a(x＋2)2经过点(－4，2)， ∴(－4＋2)2·a＝2，∴a＝. 【例2】对于二次函数y＝9(x－1)2，下列结论正确的是(　　) A．y随x的增大而增大 B．当x＞0时，y随x的增大而增大 C．当x＞－1时，y随x的增大而增大 D．当x＞1时，y随x的增大而增大 解析：由于a＝9＞0，抛物线开口向上，而h＝1，所以当x＞1时，y随x的增大而增大．故选D. 答案：D 【例3】能否向左或向右平移函数y＝－x2的图象，使得到的新的图象过点(－9，－8)？若能，请求出平移的方向和距离；若不能，请说明理由． 解：能，设平移后的函数为y＝－(x－h)2，将x＝－9，y＝－8代入得－8＝－(－9－h)2，所以h＝－5或h＝－13，所以平移后的函数为y＝－(x＋5)2或y＝－(x＋13)2.即抛物线的顶点为(－5，0)或(－13，0)，所以向左平移5或13个单位． 【例4】把函数y＝x2的图象向右平移4个单位后，其顶点为C，并与直线y＝x分别相交于A、B两点(点A在点B的左边)，求△ABC的面积． 分析：利用二次函数平移规律先确定平移后抛物线解析式，确定C点坐标，再解由得到的二次函数解析式与y＝x组成的方程组，确定A、B两点的坐标，最后求△ABC的面积． 解：平移后的函数为y＝(x－4)2，顶点C的坐标为(4，0)，解方程组得或∵点A在点B的左边，∴A(2，2)，B(8，8)．∴S△ABC＝S△OBC－S△OAC＝OC×8－OC×2＝12. 4.随堂训练，巩固新知 （1）抛物线y=-x2+2和y=-（x+2）2的对称轴分别是（　　） A．y轴，x=2 B．x=2，x=-2 C．x=-2，x=2 D．y轴，x=-2 答案：D （2）对于任何非零实数h，抛物线y＝﹣x2与抛物线y＝﹣（x﹣h）2的相同点是（　　） A．顶点相同 B．对称轴相同 C．开口方向相同 D．都有最低点 答案：C （3）在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+b与二次函数y＝b（x﹣a）2的图象大致为（　　） A B C D 答案：A （4）已知函数y＝−(x+3)2，当函数y随x的增大而减小时，x的取值范围是 . 答案：x＞-3 （5）已知抛物线y＝（x﹣5）2的顶点为A，抛物线与y轴交于点B，过点B作x轴的平行线交抛物线于另外一点C． ①求A，B，C三点的坐标； ②求△ABC的面积； ③试判断△ABC的形状，并说明理由． 解：（1）如图，抛物线y＝（x﹣5）2的顶点为A（5，0）. x＝0时，y＝5，∴点B为（0，5）. ∵对称轴为直线x＝5， ∴点C的坐标为（10，5）. （2）S△ABC＝×10×5＝25. （3）AB＝AC＝5，BC＝10， ∵AB2+AC2＝BC2， ∴△ABC是等腰直角三角形． 5.课堂小结，自我完善 在同一直角坐标系中，理解函数y＝a(x－h)2的图象与函数y＝ax2的图象有什么联系和区别；能说出函数y＝a(x－h)2图象的性质。 6.布置作业 课本P39练习。 先复习上一节课内容（对称轴不变，顶点变），引入到本节课探究中（对称轴和顶点都变）。 学生画图，教师巡视、指导。 本节图象左右平移，对称轴和顶点都改变了。 该结论与上课时的结论相近，可类比探究。 抛物线y＝a(x－h)2的顶点坐标为(h，0)，对称轴是直线x＝h。 根据抛物线平移的规律，向右平移h个单位后，a不变，括号内变“减去h”；若向左平移h个单位，括号内应“加上h”，即“左加右减”。 利用二次函数平移规律先确定平移后抛物线解析式。 两个函数交点的横纵坐标与两个解析式组成的方程组的解是一致的． 学生独立完成，教师巡视指导，了解学生掌握情况，并集中订正。 板书设计 二次函数的图象和性质 类似函数y=ax2+k的研究过程，研究函数y=a（x-h）2的图象和性质，探究函数y=ax2与函数y=a（x-h）2的联系 教后反思 教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，在操作中探究二次函数y＝a(x－h)2的图象与性质，体会数学建模的数形结合思想方法。 第3课时 二次函数y=a（x-h）2+k的图象和性质 课题 二次函数y=a（x-h）2+k的图象和性质 课型 新授课 教学内容 教材第40-41页的内容 教学目标 1．使学生理解函数y=a(x－h)2＋k的图象与函数y=ax2的图象之间的关系。 2．会确定函数y=a(x－h)2＋k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标。 3．让学生经历函数y=a(x－h)2＋k性质的探索过程，理解函数y=a(x－h)2＋k的性质。 教学重难点 教学重点：确定函数y=a(x－h)2＋k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，理解函数y=a(x－h)2＋k的图象与函数y=ax2的图象之间的关系，理解函数y=a(x－h)2＋k的性质。 教学难点：正确理解函数y=a(x－h)2＋k的图象与函数y=ax2的图象之间的关系以及函数y=a(x－h)2＋k的性质。 教 学 过 程 备 注 1.提出问题，引入课题 【问题1】抛物线y=-x2+1与抛物线y=-x2有什么关系? 【师生活动】学生回答，教师指正. 函数y=-x2+1的图象可以看成是将函数y=-x2的图象向上平移一个单位长度得到的. 【问题2】抛物线y=-(x+1)2与抛物线y=-x2有什么关系? 【师生活动】学生回答，教师指正. 函数y=-(x+1)2的图象可以看成是将函数y=-x2的图象向左平移1个单位长度得到的. 【思考1】抛物线y=2(x-1)2+1与抛物线y=2(x-1)2有什么关系?【师生活动】你能填写下表吗? y=2x2向右平移 的图象1个单位 y=2(x－1)2 向上平移 1个单位 y=2(x－1)2＋1 开口方向 向上 对称轴 y轴 顶 点 (0，0) 2. 探索新知，归纳知识 【探究】（1）画出函数y=-(x+1)2-1的图象，并指出它的开口方向、对称轴和顶点. （2）抛物线-(x+1)2-1与抛物线y=-x2有什么关系? 【师生活动】教师可组织学生分组讨论，互相交流，让各组代表发言，达成共识. 抛物线y=-(x+1)2-1开口方向向下；对称轴是直线x=-1；顶点坐标是(-1，-1). 抛物线-(x+1)2-1可以看成是抛物线y=-x2向右平移1个单位长度再向上平移1个单位长度得到的。 【归纳】一般地，抛物线y=a（x-h）2+k与y=ax2形状相同，位置不同，把抛物线y=ax2向上（下）向左（右）平移，可以得到抛物线y=a（x-h）2+k，平移的方向、距离要根据h，k的值来决定。 抛物线y=a（x-h）2+k有如下特点： （1）当a＞0时，开口向上；当a＜0时，开口向下； （2）对称轴是x=h； （3）顶点是（h，k）。 【探究2】二次函数y=a（x-h）2+k的性质是什么？ 【师生活动】教师可组织学生分组讨论，互相交流，让各组代表发言，达成共识. 如果a＞0时，那么当x＜h时，函数值y随x的增大而减小，如果a＜0时，那么当x＞h时，函数值y随x的增大而增大；当x=h时，函数取得最小值，最小值y=1。 3.学以致用，应用新知 【例】要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1.6 m 处达到最高，高度为3 m，水柱落地处离池中心3.6 m，水管的长应为多少？ 解:如图建立直角坐标系,点(1.6,3)是图中这段抛物线的顶点. 因此可设这段抛物线对应的函数是y=a(x－1.6)2＋3 (0≤x≤3.6). ∵这段抛物线经过点(3.6,0)， ∴0=a(3.6－1.6)2＋3，解得a=－， 因此抛物线的解析式为:y=－(x－1.6)2＋3(0≤x≤3.6). 当x=0时,y=1.08. 答:水管长应为1.08 m. 4.随堂训练，巩固新知 （1）将抛物线y＝x2向右平移2个单位，再向下平移1个单位，所得的抛物线是(　　) A．y＝(x－2)2－1 B．y＝(x－2)2＋1 C．y＝(x＋2)2＋1 D．y＝(x＋2)2－1 解析：由“上加下减”的平移规律可知，将抛物线y＝x2向下平移1个单位所得抛物线的解析式为：y＝x2－1；由“左加右减”的平移规律可知，将抛物线y＝x2－1向右平移2个单位所得抛物线的解析式为y＝(x－2)2－1，故选A. 答案：A （2）心理学家发现，学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x(分钟)之间满足函数y＝－(x－13)2＋59.9(0≤x≤30)，y值越大，表示接受能力越强． (1)x在什么范围内，学生的接受能力逐步增强？x在什么范围内，学生的接受能力逐步降低？ (2)第10分钟时，学生的接受能力是多少？ (3)第几分钟时，学生的接受能力最强？ 解：(1)0≤x≤13时，学生的接受能力逐步增强；13≤x≤30时，学生的接受能力逐步降低． (2)当x＝10时，y＝－(10－13)2＋59.9＝59.故第10分钟时，学生的接受能力是59. (3)当x＝13时，y值最大，是59.9，故第13分钟时，学生的接受能力最强． 5.课堂小结，自我完善 1.理解函数y=a(x－h)2＋k的图象与函数y=ax2的图象之间的关系。 2．探究并掌握函数y=a(x－h)2＋k的图象与性质。 6.布置作业 课本P41练习。 先复习上两个课时内容，更顺畅、容易探究本课时内容。 学生填表、交流，教师指导。 由于前2个课时的探究，很容易发现抛物线y=2(x－1)2＋1与抛物线y=2(x－1)2、y=2x2的关系。 归纳得出抛物线y＝a(x－h)2+k的特点。 学生交流，老师适当引导和总结。 引导学生建立直角坐标系求解。 利用二次函数平移规律确定平移后抛物线解析式。 学生独立完成，教师巡视指导，了解学生掌握情况，并集中订正。 板书设计 二次函数+k的图象和性质 类比前2课时，研究函数y=a（x-h）2+k的图象和性质，探究函数y=ax2与函数y=a（x-h）2+k的联系 教后反思 教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，在操作中探究二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象与性质，体会数学建模的数形结合思想方法。 学科网（北京）股份有限公司 $