2.1轴对称及其性质（分层作业练题型）数学新教材鲁教版五四制七年级上册

**基本信息** 以“概念识别—技能操作—综合应用”为分层路径，通过生活情境与梯度题型融合，强化轴对称性质的理解与迁移，培养几何直观与空间观念。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知层|轴对称图形识别、性质判断|结合城市LOGO、汉字等生活实例，以选择填空巩固概念，渗透抽象能力| |技能操作层|画对称轴、作轴对称图形|通过网格作图、坐标变换题，训练动手操作与空间想象，体现几何直观| |综合应用层|折叠问题、镜面对称、实际应用|设置折纸、台球反弹等情境题，综合性质与逻辑推理，发展应用意识与创新意识|

2.1轴对称及其性质 题型一 轴对称图形的识别 1．【答案】B 2．【答案】B 3．【答案】A 4．【答案】B 5．【答案】C 6．【答案】C 7．【答案】D 8．【答案】A 9．【答案】D 10．【答案】C 题型二 根据轴对称图形的特征进行判断 1．【答案】D 2．【答案】B 3．【答案】B 4．【答案】C 5．【答案】B 6．【答案】B 题型三 画对称轴 1．【答案】A 2．【答案】 3． 【答案】见解析 【分析】根据轴对称的性质画出及对称轴，即可求解． 【详解】解：如图所示 4． 【答案】(1)不是轴对称图形 (2)是轴对称图形，对称轴见解析（答案不唯一） (3)是轴对称图形，对称轴见解析（答案不唯一） (4)是轴对称图形，对称轴见解析（答案不唯一） 【分析】轴对称图形：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的图形能够互相重合，这个图形就叫轴对称图形，这条直线就是对称轴． 【详解】（1）解：该图形不是轴对称图形； （2）解：如图所示， （3）解：如图所示， （4）解：如图所示， 5． 【答案】见解析 【分析】本题考查了画对称轴，熟练掌握画对称轴的方法是解题的关键； 分别分析两个图形的特点找出对称轴即可． 【详解】解：如图所示． 6． 【答案】见解析 【分析】本题考查了画对称轴，轴对称图形的识别，解题关键是识别出轴对称图形． 先识别图，确定是轴对称图形，再找出所给图的对称轴，然后画出所给图的对称轴． 【详解】解：如图所示：第三个图和第七个图不是轴对称图形． 题型四 画轴对称图形 1．【答案】C 2．【答案】5 3． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】（1）根据关于y轴对称的坐标特征找出A、B、C三点的对应点D、E、F，再连线即可； （2）根据割补法计算即可； （3）连接交y轴于点P即可． 【详解】（1）解：的位置如图所示： （2）解： ； （3）解：点P位置如图所示： 4． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了关于轴对称的点的坐标特征、三角形面积的计算． （1）根据关于轴对称的点的坐标特征，纵坐标不变，横坐标互为相反数，得到点、、的坐标，描出各点，依次连接即可画出； （2）采用割补法，构造一个能够完全包围的最小矩形，然后用矩形的面积减去三个直角三角形的面积即可解答． 【详解】（1）解：如图，关于轴对称的图形即为所求； （2）解：由图可知，． 5． 【答案】画图见解析 【分析】本题考查了画轴对称图形，根据轴对称图形的性质画出图形即可，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：画图如下： 6． 【答案】(1)画图见解析 (2)画图见解析 【分析】本题主要考查轴对称图形和全等三角形的判定及性质： （1）找到点关于直线的对称点即可； （2）如图1所示，可知，，可证得． 【详解】（1）解：如图所示，点关于直线的对称点为点． 如图所示，即为所求． （2）解：如图1所示， 可知，． ∴． ∴． ∴． ∴． 如图2所示，线段即为所求． 题型五 设计轴对称图案 1．【答案】D 2．【答案】D 3．【答案】C 4．【答案】 5． 【答案】见解析 【分析】本题考查了利用轴对称设计图案，熟悉轴对称图形及基本作图是解题的关键． 补画出小圆，使画出的图形关于某条直线对称即可，该直线即为对称轴． 【详解】解：如图． 题型一 根据轴对称图形的特征进行求解 1．【答案】D2． 【答案】D 3．【答案】18 4．【答案】4 5．【答案】/112度 6．【答案】/24度 7．【答案】 8． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】本题考查作图一复杂作图，轴对称的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． （）根据轴对称的性质即可求解； （）根据轴对称的性质即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，直线即为所求； （2）解：如图所示，点即为所求． 题型二 镜面对称 1．【答案】D 2．【答案】A 3．【答案】3265 4．【答案】 5．【答案】 6．【答案】 7．【答案】 题型三 折叠问题 1．【答案】A 2．【答案】 3．【答案】/度 4．【答案】或 5．【答案】 6． 【答案】 【分析】本题可利用平行线的性质，先由 得到与 相等的内错角，再结合平角的定义求出 的度数，最后根据折叠的性质（折叠前后对应角相等），得出 是 的一半，进而计算出 的度数． 【详解】解：， ， ． 由题意可知， ． 题型四 轴对称实际问题 1．【答案】C 2．【答案】B 3．【答案】B 4．【答案】B 5．【答案】D 6．【答案】/64度 7．【答案】 8． 【答案】见解析 【分析】本题考查了轴对称的性质及两点之间线段最短，解题的关键是利用轴对称将折线路程转化为直线段路程． 作点关于河边的对称点，连接与河边所在直线l交于点；利用轴对称得，结合两点之间线段最短，知为最短路程． 【详解】解：作点关于河边所在直线l的对称点， 连接，与河边所在直线l交于点， 点与关于河边对称， ， ， 由两点之间线段最短，得为最短路径， 故点是使路程最短的饮马点． 9． 【答案】(1)3 (2)7，图见解析 (3) 【分析】本题考查了轴对称作图，规律总结，列代数式，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． （1）根据题中的作图方法，在图5中作图即可解答； （2）根据题中的作图方法，在图6中，利用网格作图即可解答； （3）根据题中呈、、时，能看到的蜡烛个数，总结出规律即可解答． 【详解】（1）解：如图，作出点关于、的对称点为，即为两个镜中的像，继续作出关于的对称点均为， ∴当两面镜子呈夹角时，镜中能看见3个完整的蜡烛； 故答案为：3； （2）解：如图，即为所求， ∴当两面镜子呈夹角时，镜中能看见7个完整的蜡烛； 故答案为：7； （3）解：∵当两面镜子呈夹角时，镜中能看见个完整的蜡烛； 当两面镜子呈夹角时，镜中能看见个完整的蜡烛； 当两面镜子呈夹角时，镜中能看见个完整的蜡烛； 当两面镜子呈夹角，且为整数时，镜中能看见个完整的蜡烛； 故答案为：． 10． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了轴对称作图，解题的关键是熟练掌握光在入射时，入射角等于反射角；两条入射光线的交点处是点光源所在处．作出和的入射光线，相交处即为点S所在位置． 【详解】解：如图所示： 题型一 轴对称综合问题 1．【答案】C 2．【答案】C 3．【答案】 4． 【答案】（1）④，两点之间线段最短；（2）11；（3）①见解析；②70 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，两点之间线段最短等知识点． （1）根据轴对称的性质以及两点之间线段最短即可求解； （2）过点A作直线m的对称点，连接与直线m的交点即为周长的最小值的点，由对称轴的性质可得，，则，则的周长最小值转化为的值； （3）①过点分别作的对称点，连接与交点即为点，则此时最短； ②由三角形内角和定理可得，由轴对称的性质可得，则，故，同理可得，再由三角形内角和定理求解． 【详解】解：（1）正确的方案是④， 因为由轴对称的性质可得， 所以当点三点共线时， 所以此方案中用到的求最短路程的数学知识是两点之间，线段最短； （2）过点A作直线m的对称点，连接与直线m的交点即为周长的最小值的点， 由对称轴的性质可得，， ∴， ∴， ∴的周长最小值为， 故答案为：11； （3）①如图，最短， 过点分别作的对称点，连接与交点即为点 则， ∴； ②如图： 因为， 所以， 由轴对称的性质可得， 因为， 所以， 所以， 同理可得， ∴ 故答案为：． 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.1轴对称及其性质 题型一 轴对称图形的识别 1．（2026·山西太原·一模）城市LOGO是一座城市的名片，它可以是山河图腾的浓缩，也可以是地标文化的符号．以下是我国四个城市的LOGO图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，据此进行分析即可． 【详解】解：A．该文字上方的图案不是轴对称图形，故此选项不符合题意； B．该文字上方的图案是轴对称图形，故此选项符合题意； C．该文字上方的图案不是轴对称图形，故此选项不符合题意； D．该文字上方的图案不是轴对称图形，故此选项不符合题意． 2．（2026年云南省初中学业水平考试数学仿真卷（一））作为国家历史文化名城，昆明凭着气候宜人的特征，享有“春城”美誉．下列四个选项中，可以看作轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查轴对称图形，根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿某条直线对折后，直线两旁的部分能够完全重合，逐一进行判断即可．掌握轴对称图形的概念是解题的关键． 【详解】解：根据轴对称图形的概念，只有B选项中的汉字是轴对称图形． 3．（25-26九年级下·江苏南京·月考）下列图形中，是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A.该图形是轴对称图形，符合题意； B. 该图形不是轴对称图形，不符合题意； C. 该图形不是轴对称图形，不符合题意； D. 该图形不是轴对称图形，不符合题意． 4．（24-25八年级上·安徽马鞍山·期末）下列图形是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴，据此可得答案． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； B、是轴对称图形，故此选项符合题意； C、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； D、不是轴对称图形，故此选项不符合题意． 5．（广东佛山市2025-2026学年下学期九年级供题训练（一）数学（3月））第15届全运会于2025年11月9日-21日在广东、香港、澳门三地共同举办．体育蕴含着昂扬向上、追求卓越的精神力量．下列关于体育运动的图标中是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A、B、D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； C选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． 6．（24-25八年级上·云南德宏·期末）汉字是世界上最古老的文字之一，它是中华文明的符号与象征，许多中国汉字的形体和结构充满着“对称美”，下列四个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（　　） A．爱 B．我 C．中 D．华 【答案】C 【详解】解：A、“爱”无法找到一条直线，使图形沿直线折叠后直线两旁部分完全重合，故不是轴对称图形，此选项不符合题意； B、“我”无法找到一条直线，使图形沿直线折叠后直线两旁部分完全重合，故不是轴对称图形，此选项不符合题意； C、“中”沿竖直中间的直线折叠，直线两旁部分可以完全重合，是轴对称图形，此选项符合题意； D、“华”无法找到一条直线，使图形沿直线折叠后直线两旁部分完全重合，故不是轴对称图形，此选项不符合题意． 7．（25-26八年级上·全国·期末）下列两个电子数字成轴对称的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了轴对称图形，正确掌握轴对称图形的定义是解题关键．把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，也称轴对称，这条直线叫做对称轴．根据定义逐一分析即可． 【详解】解：A、两个数字都不能确定一条直线使两个数字关于这条直线对称，则都不是轴对称； B、两个数字都不能确定一条直线使两个数字关于这条直线对称，则都不是轴对称； C、两个数字都不能确定一条直线使两个数字关于这条直线对称，则都不是轴对称； D、两个数字能确定一条直线使两个数字关于这条直线对称，则两个数字成轴对称． 故选：D． 8．（25-26八年级上·福建福州·期末）如图，图中编号为②，③，④的三角形能与编号为①的三角形成轴对称图形的有（    ） A．②，④ B．②，③ C．③，④ D．②，③，④ 【答案】A 【分析】本题主要考查了成轴对称图形的识别，根据成轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果两个平面图形沿一条直线折叠，两个图形能够互相重合，那么这两个图形叫做成轴对称图形． 【详解】解：由成轴对称图形的定义可知，编号为②和④的三角形都可以与编号为①的三角形成轴对称图形， 编号为③的三角形不可以与编号为①的三角形成轴对称图形， 故选：A． 9．（25-26八年级上·山东德州·期末）下列两图形成轴对称的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的知识点是两图形成轴对称的定义，解题关键是熟练掌握某两个图形沿着一条直线对折，能够完全重合，则称这两个图形关于这条直线形成轴对称． 根据两图形成轴对称的定义对选项进行逐一判断即可． 【详解】解：选项，两图形大小不相等，不能完全重合，不符合两图形成轴对称的定义，不符合题意； 选项，两图形大小不相等，形状不相同，不能完全重合，不符合两图形成轴对称的定义，不符合题意； 选项，两图形大小不相等，形状不相同，不能完全重合，不符合两图形成轴对称的定义，不符合题意； 选项，能找到直线使两图形完全重合，符合定义，符合题意． 故选：． 10．（23-24七年级下·全国·课后作业）视力表中的字母“E”有各种不同的摆放形式，下面每种组合的两个字母“E”不能关于某条直线成轴对称的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称的定义，把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，也称轴对称，这条直线叫做对称轴，根据定义逐项判断即可． 【详解】A．可以找到一条直线，使两个图形沿这条直线折叠，能够完全重合，这两个图形能关于这条直线成轴对称，故选项不符合题意； B．可以找到一条直线，使两个图形沿这条直线折叠，能够完全重合，这两个图形能关于这条直线成轴对称，故选项不符合题意； C．找不到一条直线，使两个图形沿这条直线折叠，不能够完全重合，这两个图形不能关于直线成轴对称，故选项符合题意； D．可以找到一条直线，使两个图形沿这条直线折叠，能够完全重合，这两个图形能关于这条直线成轴对称，故选项不符合题意； 故选：C． 题型二 根据轴对称图形的特征进行判断 1．（25-26八年级上·福建厦门·期末）如图，与关于直线对称，下列所连线段中，能被直线垂直平分的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了轴对称图形的性质；根据对称点所连线段被对称轴垂直平分，即可得到答案． 【详解】解：∵与关于直线对称， ∴对称点所连线段被对称轴垂直平分， ∴能被直线垂直平分的是， 故选：D． 2．（25-26八年级上·湖北宜昌·期末）下列说法正确的是（    ）． A．如果两个三角形全等，那么它们必是关于某条直线成轴对称的图形 B．如果两个三角形关于某条直线成轴对称，那么它们是全等三角形 C．等腰三角形是以一条边上的中线为对称轴的轴对称图形 D．一条线段是以经过该线段中点的直线为对称轴的轴对称图形 【答案】B 【分析】本题考查轴对称的性质、全等三角形与轴对称图形的关系及等腰三角形、线段的对称轴定义，需逐项分析各选项的正误． 【详解】解：∵全等的两个三角形仅形状大小完全相同，不一定关于某条直线成轴对称，例如随意摆放的两个全等三角形， ∴A选项错误． ∵成轴对称的两个图形能够完全重合， ∴关于某条直线成轴对称的两个三角形是全等三角形， ∴B选项正确． ∵等腰三角形的对称轴是底边上的中线所在的直线，并非任意一条边上的中线，且对称轴是直线而中线是线段， ∴C选项错误． ∵一条线段的对称轴是经过线段中点且垂直于该线段的直线以及线段本身所在的直线，并非所有经过线段中点的直线， ∴D选项错误． 故选：B． 3．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，六边形ABCDEF关于直线l对称的图形是六边形．下列判断错误的是（   ） A． B． C．直线 D． 【答案】B 【分析】此题考查轴对称图形的性质，掌握关于某条直线对称的两个图形全等，对应点到对称轴的距离相等是解决问题的关键． 根据轴对称的性质逐一判断即可． 【详解】解：A、点和对称点是点和，．故该选项说法正确，不符合题意； B、∵点、、、对称点是点、、和，，．故该选项说法错误，符合题意； C、∵点、对称点分别是点、，直线故该选项说法正确，不符合题意； D、∵点对称点是点，，故该选项说法正确，不符合题意； 故选：B． 4．（25-26九年级上·广东惠州·月考）作出一个图形的轴对称图形后，若新图形与原图形不重合，则这两个图形的（    ） A．形状不同 B．大小不同 C．位置不同 D．以上都对 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称性质，理解轴对称图形变换后，图形全等，形状和大小不变，但位置改变，即可解题． 【详解】解：∵轴对称变换保持图形的形状和大小不变，仅改变其位置， ∴原图形与轴对称图形形状相同、大小相同，但位置不同． 故选：C． 5．（25-26八年级上·安徽亳州·月考）如图，若与关于直线对称，交于点，则下列说法中，不一定正确的是（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查轴对称的性质；根据轴对称的性质对各选项分析判断后利用排除法求解；轴对称的性质：对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等． 【详解】解：与关于直线对称， ，，，故A、C、D选项正确， 不一定成立，故B选项错误， 所以，不一定正确的是B． 故选：B． 6．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）已知，与关于直线对称，交于点，则下列结论中不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查轴对称的性质，对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，由轴对称的性质不能得出非对应线段的关系．由轴对称的性质可以得到对应线段、对应点的连线与对称轴的位置关系，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，不能得出非对应线段的关系． 【详解】解：根据题意分析，由轴对称的性质可以得到：对应线段相等，即A选项成立；对应线段是平行，即C选项成立；对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，即D选项成立；与为非对应线段，无法得到与的关系， 故选：B． 题型三 画对称轴 1．如图是一个轴对称图形，对称轴是直线（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的定义． 如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，能使图形完全重合的直线叫做该图形的对称轴，据此即可解题． 【详解】解：由图知，该图形的对称轴是直线． 故选：A． 2．如图，长方形是轴对称图形，对称轴可以是直线__________． 【答案】 【分析】本题考查轴对称图形的对称轴识别，掌握长方形的对称轴是过对边中点的直线，而非对角线所在直线是解题的关键． 先根据轴对称图形的定义，判断图中哪条直线能使长方形沿其折叠后完全重合，从而确定长方形的对称轴． 【详解】解：长方形是轴对称图形，它的对称轴是过对边中点的直线． 图中直线是竖直方向过对边中点的直线，沿它折叠，长方形两边能完全重合，是对称轴； 直线是对角线所在直线，折叠后两边无法完全重合，不是对称轴； 沿折叠后两边无法完全重合，不是对称轴； 因此，对称轴可以是直线． 故答案为：． 3．在的正方形格点图中，有格点和，且和关于某直线成轴对称，请在如图给出的图中画出符合条件的及对称轴．（每个正方形格点图中限画一种，若两个图形中的对称轴是平行的，则视为一种）． 【答案】见解析 【分析】根据轴对称的性质画出及对称轴，即可求解． 【详解】解：如图所示 4．判断下列图形是否是轴对称图形，如果是，请画出其中的一条对称轴． (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)不是轴对称图形 (2)是轴对称图形，对称轴见解析（答案不唯一） (3)是轴对称图形，对称轴见解析（答案不唯一） (4)是轴对称图形，对称轴见解析（答案不唯一） 【分析】轴对称图形：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的图形能够互相重合，这个图形就叫轴对称图形，这条直线就是对称轴． 【详解】（1）解：该图形不是轴对称图形； （2）解：如图所示， （3）解：如图所示， （4）解：如图所示， 5．分别画出下列各个图形的对称轴（不写画法）． 【答案】见解析 【分析】本题考查了画对称轴，熟练掌握画对称轴的方法是解题的关键； 分别分析两个图形的特点找出对称轴即可． 【详解】解：如图所示． 6．找出下面图形中的轴对称图形，并画出它们的对称轴． 【答案】见解析 【分析】本题考查了画对称轴，轴对称图形的识别，解题关键是识别出轴对称图形． 先识别图，确定是轴对称图形，再找出所给图的对称轴，然后画出所给图的对称轴． 【详解】解：如图所示：第三个图和第七个图不是轴对称图形． 题型四 画轴对称图形 1．（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）如图的正方形网格中，的顶点都在小正方形的格点上（网格线之间的交点称为格点），这样的三角形称为格点三角形，在网格中与成轴对称的格点三角形共有（   ）个（注：与重合的不计） A．7 B．9 C．11 D．13 【答案】C 【分析】本题考查作网格中的对称图形，利用对称性作出图形即可得到答案． 按照题意，在网格中作出与成轴对称的格点三角形即可得到答案． 【详解】解：如图所示： 在网格中与成轴对称的格点三角形共有个， 故选：C． 2．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）如图为的正方形网格，每个小正方形的边长均为1．可以画出与成轴对称、每个顶点都在格点上，且位置不同的三角形有________个． 【答案】5 【分析】本题主要考查了轴对称图形的定义，在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形是轴对称图形是解题的关键． 根据轴对称图形画出满足题意的三角形，再统计即可解答． 【详解】解：根据轴对称图形的定义可以画出与成轴对称的三角形如下： 即可以画5个． 故答案为：5． 3．（21-22八年级上·吉林白城·期末）在平面直角坐标系中的位置如图所示，按照要求作图（不写作法，保留作图痕迹）： (1)作关于y轴对称的，其中，A、B、C三点的对应分别为D、E、F； (2)求的面积； (3)在y轴上找到一点P，使的周长最小． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】（1）根据关于y轴对称的坐标特征找出A、B、C三点的对应点D、E、F，再连线即可； （2）根据割补法计算即可； （3）连接交y轴于点P即可． 【详解】（1）解：的位置如图所示： （2）解： ； （3）解：点P位置如图所示： 4．（25-26八年级上·广东佛山·期末）如图，在平面直角坐标系中，各个顶点的坐标分别是，，． (1)画出关于轴对称的图形； (2)的面积为___________． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了关于轴对称的点的坐标特征、三角形面积的计算． （1）根据关于轴对称的点的坐标特征，纵坐标不变，横坐标互为相反数，得到点、、的坐标，描出各点，依次连接即可画出； （2）采用割补法，构造一个能够完全包围的最小矩形，然后用矩形的面积减去三个直角三角形的面积即可解答． 【详解】（1）解：如图，关于轴对称的图形即为所求； （2）解：由图可知，． 5．（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）图，图，图均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点都在格点上，只用无刻度的直尺，在下列个网格里分别画出一个三角形并涂上阴影，使其与关于某条直线成轴对称图形，要求画出图形的位置不同且顶点都在格点上． 【答案】画图见解析 【分析】本题考查了画轴对称图形，根据轴对称图形的性质画出图形即可，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：画图如下： 6．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）如图，在的正方形网格中，的三个顶点都在格点上．用无刻度直尺按照下列要求作图． (1)在图1中作出关于直线对称的． (2)在图2中作出的高线． 【答案】(1)画图见解析 (2)画图见解析 【分析】本题主要考查轴对称图形和全等三角形的判定及性质： （1）找到点关于直线的对称点即可； （2）如图1所示，可知，，可证得． 【详解】（1）解：如图所示，点关于直线的对称点为点． 如图所示，即为所求． （2）解：如图1所示， 可知，． ∴． ∴． ∴． ∴． 如图2所示，线段即为所求． 题型五 设计轴对称图案 1．（25-26七年级下·江苏连云港·月考）将一个正方形彩纸依次按如图1，如图2所示的方式对折，然后沿图3中的虚线裁剪，则将图3的彩纸展开铺平后的图案是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】观察所剪的小圆和扇形与两条居中折线的位置关系，再根据对称性，即可得出正确答案． 【详解】解：剪去的小圆靠近图2的折线及正方形的上边缘，根据对称性，则展开后正方形的上下边缘居中处有四个小圆；剪去的扇形靠近图1的折线及正方形的右边缘，根据对称性，故正方形的左右边缘都有缺口，观察选项，只有D符合． 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）用方块布料缝制一块挂毯，方块形成的花纹如图所示．若要使花纹保持原来的样式，应在图中①处选择的布料图案是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了图案的对称与延续性，掌握观察图案局部特征并寻找匹配选项的方法是解题的关键． 观察挂毯的整体对称花纹，分析①位置上下区域的图案特征，再对比选项找到匹配的布料图案． 【详解】解：挂毯的花纹由多个小三角形组成，形成对称图案； ①位置上方和下方的图案由两个方向相反的小三角形组成； 选项D的布料由两个方向相反的小三角形组成，与①位置上方和下方的图案相匹配． 故选：D． 3．（25-26七年级上·上海普陀·期末）如图，在的正方形网格中，选择一个空白小正方形涂黑，所得黑色图案是轴对称图形的情况有（    ） A．2种 B．3种 C．4种 D．5种 【答案】C 【分析】本题主要考查了轴对称图形的设计，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，据此设计图形即可． 【详解】解：如图所示，将①②③④这四个位置的小正方形选择涂黑一个，所得黑色图案是轴对称图形， 故选：C． 4．（25-26七年级下·全国·周测）下列图案均可看作由一个大写英文字母经过适当变换得到的．通过找出这组图形符号中所蕴含的内在规律，在空白处的横线上填上恰当的图形． 【答案】 【分析】本题考查图形的规律探究，掌握通过观察图案特征，对应英文字母的轴对称变形规律是解题的关键． 观察这组图案，发现它们是按大写英文字母的顺序，对每个字母关于某条直线对称后所得的图形，据此找出规律并补全空白处的图案． 【详解】解：第一个图案：字母的上下轴对称变形； 第二个图案：字母的左右轴对称变形； 第四个图案：字母的左右轴对称变形； 第五个图案：字母的上下轴对称变形； 第六个图案：字母的左右轴对称变形； ∴横线上的图形应该是由字母经过上下对称得到， 故答案为： 5．（25-26七年级下·全国·课后作业）请你分别在下面四个图中的某个空白方格内补画1个小圆，使补画后的4个小圆组成的图形为轴对称图形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了利用轴对称设计图案，熟悉轴对称图形及基本作图是解题的关键． 补画出小圆，使画出的图形关于某条直线对称即可，该直线即为对称轴． 【详解】解：如图． 题型一 根据轴对称图形的特征进行求解 1．（25-26八年级上·福建南平·月考）如图，P是外一点，D，E分别是上的点，连接，点M，N在直线上，与关于对称，与关于对称．若，则线段的长为（　　） A．4 B．4.5 C．5.5 D．6 【答案】D 【分析】本题需利用轴对称的性质，将所求线段转化为已知线段的和差形式，通过已知的、、长度来计算的长．关键是理解“关于某直线对称的两条线段相等”这一性质，进而推导各线段间的数量关系． 【详解】解：与关于对称， ； 同理，与关于对称， ． ∵，， ，． 点在直线上，且，， ． 点在直线上，且， ． 2．（25-26八年级上·河北衡水·期末）木雕是中国传统民间工艺的重要分支，其历史可追溯至新石器时代．如图，这是工匠雕刻的木雕作品，蝴蝶的左右两侧关于直线对称，点在直线上，点和点为对称点，点和点为对称点，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了轴对称的性质、角的和与差，根据轴对称可知，，因为，，，即可求出的度数． 【详解】解：由轴对称可知，， ，，， ， ． 故选：D． 3．（25-26八年级上·内蒙古赤峰·期末）如图，四边形是轴对称图形，所在的直线是它的对称轴，，．则四边形的周长为___________． 【答案】18 【分析】根据轴对称图形的性质可得到的长度，即可计算四边形的周长． 【详解】解：∵四边形是轴对称图形，所在的直线是它的对称轴，，， ∴， ∴四边形的周长为． 4．（25-26八年级上·广西崇左·期末）如图，在中，平分交于点，点，分别是线段、上的动点，＞且，＝，则的最小值为 ______． 【答案】4 【分析】本题考查轴对称最短问题，垂线段最短，三角形的面积，作点关于的对称点，连接，过点作于点．证明，再根据，求出，可得结论．解题的关键是掌握利用轴对称解决最短问题． 【详解】解：作点关于的对称点，连接，过点作于点． 平分， 点关于的对称点在上， ， ， ，， ， ， ， 的最小值为4． 故答案为：4． 5．（25-26八年级上·河北邯郸·期末）如图，中，，点在边上．分别作点关于，的对称点，连接，则的度数等于___________． 【答案】/112度 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，解题的关键是熟练掌握轴对称的性质． 根据轴对称的性质得到，，再由角的和差计算求解即可． 【详解】解：∵点关于，的对称点， ∴，， ∵ ∴， 故答案为：． 6．（25-26七年级上·广东茂名·期末）如图，在长方形中，E为边上的一点，沿线段对折后，若比大，则的度数是______． 【答案】/24度 【分析】本题考查角的和差计算以及用一元一次方程解决几何问题，关键是利用折叠的性质得到相等的角，结合直角的度数建立方程求解． 【详解】解：设， ∵沿线段对折， ∴； 又∵比大， ∴； ∵四边形是长方形， ∴，即， ∴，解得； 故答案为： 7．（25-26七年级下·全国·周测）如图，是内的一定点．若，作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接，，则的度数为____________． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称的性质、角的和差计算等知识点，掌握轴对称的性质，以及将所求角转化为已知角的倍数关系的方法是解题的关键． 根据轴对称性质可知，平分，平分，因此，代入即可求出结果． 【详解】如图，连接． ∵点，关于对称，点，关于对称， ，， ． 故答案为：． 8．（25-26八年级上·江西赣州·期末）与关于直线对称，仅用无刻度直尺作图，保留作图痕迹，不写作法． (1)在图中，作出直线． (2)在图中，是中点，在对称轴上作出一点，使得周长最小． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】本题考查作图一复杂作图，轴对称的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． （）根据轴对称的性质即可求解； （）根据轴对称的性质即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，直线即为所求； （2）解：如图所示，点即为所求． 题型二 镜面对称 1．（25-26八年级上·江苏扬州·月考）小华在镜中看到身后墙上的钟，你认为实际时间最接近8点的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查镜面对称，根据镜面对称的性质，在平面镜中的钟面上的时针、分针的位置和实物应关于过12时、6时的直线成轴对称． 【详解】解：实际时间为8点的时针关于过12时、6时的直线的对称点是4点， 那么8点的时钟在镜子中看来应该是4点的样子， 所以应该是A或D答案之一，这两个答案中更接近八点的应该是第四个图形． 故选：D． 2．（2025八年级上·全国·专题练习）下列电子钟示数中，在平面镜中的像与原示数相同的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查电子钟示数的镜面对称． 根据平面镜中的像与原示数左右对称，对各选项进行分析判断即可． 【详解】解：A．在平面镜中的像为，与原示数相同，符合题意； B．在平面镜中的像为，与原示数不同，不符合题意； C．在平面镜中的像为，与原示数不同，不符合题意； D．在平面镜中的像为，与原示数不同，不符合题意． 故选：A． 3．（25-26七年级上·上海浦东新·期末）小明同学从镜子中看到的一组号码（如图），该号码表示的实际号码应该是___________． 【答案】3265 【分析】本题考查镜面反射的原理与性质．解决此类题应认真观察，注意技巧．利用镜面对称的性质求解．镜面对称的性质：在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称． 【详解】解：根据镜面对称的性质，题中所显示的号码与3265成轴对称，所以此时实际号码为3265， 故答案为：3265． 4．（25-26八年级上·全国·期中）一辆汽车的车牌号在水中的倒影是：，那么它的实际车牌号是_______． 【答案】 【分析】本题考查了镜面反射的性质；关于倒影，相应的数字应看成是关于倒影下边某条水平的线对称． 【详解】解：实际车牌号是． 故答案为：． 5．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·月考）从镜子里看到的时间如图所示，则实际时间是________． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称及性质，平面镜成像，关键在于利用“像与物体关于镜面对称（左右相反）”这一特性，通过将镜子中的像进行左右翻转来确定实际时间．平面镜成像时，像与物体关于镜面对称，即像和物体左右相反，要得到实际时间，需将镜子中看到的电子钟像进行左右翻转，从而确定实际显示的时间． 【详解】解：根据镜面对称的性质，题中所显示的时刻与成轴对称，所以此时实际时刻为． 故答案为：． 6．（2025八年级上·全国·专题练习）平面镜中电子钟示数为“12：11”，实际时间是__________． 【答案】 【分析】本题考查了镜面对称的性质．根据镜面对称的性质，像与物左右颠倒，将镜中示数“”整体左右翻转即可得到实际时间“”． 【详解】解：平面镜中电子钟示数为“”，实际时间是． 故答案为：． 7．（20-21八年级上·湖北黄冈·期中）从平面镜子中看到镜子对面电子钟示数的像如图所示，所以这时的时刻应是_______________． 【答案】 【分析】本题考查了镜面对称． 根据镜子的图像得到原图像，作答即可． 【详解】解：∵镜子对面电子钟示数为，镜面对称后为， ∴这时的时刻应是， 故答案为：． 题型三 折叠问题 1．（25-26七年级下·河北廊坊·月考）如图，为一长条形纸带，，将沿折叠，，两点分别与，对应，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，先根据平行线的性质可得，从而可得，，再根据折叠的性质可得，由此建立方程，解方程即可得． 【详解】解：设， ， ， ， ， ， 由折叠的性质得：， ， 解得， 即． 2．（21-22七年级下·浙江嘉兴·期中）将一张长方形纸片按如图所示折叠，如果，那么_________． 【答案】 【分析】根据平行线的性质和折叠的性质，可以得到∠2的度数，本题得以解决． 【详解】解：如图， 由折叠的性质可得，， ∵， ∴， ∵长方形纸片的两条长边平行， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（25-26七年级上·江苏南京·期末）如图，一个长方形纸片沿折叠后，点D、C分别落在的位置，若，则___________． 【答案】/度 【分析】先由折叠可知，，再根据平行线的性质进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴． 由折叠可知，． ∵， ∴． 4．（21-22七年级下·江苏无锡·期中）如图，，，点E是射线上一点，连接，将沿着翻折得到，点C的对应点为点F，若，那么的度数为________． 【答案】或 【分析】分点在之间和点在上方两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：，， ∴，， 当点在之间时，如图， ∵折叠， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ②当点在上方时， 则：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上：或． 5．（21-22七年级下·江苏盐城·开学考试）将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，、为折痕，则为_________． 【答案】 【分析】根据折叠得出，，根据平角的定义可得，进而可得，即可求解． 【详解】解：∵折叠 ∴， 又∵ ∴ 6．（21-22七年级下·云南西双版纳·月考）如图1，有一张长方形纸片，小明将纸片沿着折叠成如图所示的图形，经测量得，请求出的度数． 【答案】 【分析】本题可利用平行线的性质，先由 得到与 相等的内错角，再结合平角的定义求出 的度数，最后根据折叠的性质（折叠前后对应角相等），得出 是 的一半，进而计算出 的度数． 【详解】解：， ， ． 由题意可知， ． 题型四 轴对称实际问题 1．（25-26七年级上·山东威海·期末）如图，桌球的桌面上有两个球，若要将球射向桌面的一边，反弹一次后击中球，则四个点中，可以反弹击中球的是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称，掌握相关知识点是解题的关键． 过直线作点N的对称点，连接，根据图形，即可求解． 【详解】解：根据题意可知球的两段运动轨迹与直线的夹角相等， 如图，过直线作点N的对称点，连接， 根据图形可知经过点C，且，， 符合题目要求， 反弹击中球的是点C． 故选：C． 2．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）如图，弹性小球从点出发，沿所示方向运动，每当小球碰到长方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第次碰到长方形的边时，落脚点为；第次碰到长方形的边时落脚点为；第次落脚点为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了台球桌面上的轴对称问题，根据题意画出图形，可得弹性小球经过次碰到长方形的边后回到出发点，据此解答即可求解，找出弹性小球的反弹规律是解题的关键． 【详解】解：如图所示， 可知弹性小球经过次碰到长方形的边后回到出发点， ∵， ∴弹性小球第次落脚点为图中的点， 故选：． 3．（2025七年级下·全国·专题练习）下面四个图形是标出了长宽之比的台球桌的俯视图，一个球从一个角落以角击出，在桌子边沿回弹若干次后，最终必将落入角落的一个球囊．图1中回弹次数为1次，图2中回弹次数为2次，图3中回弹次数为3次，图4中回弹次数为5次．若某台球桌长宽之比为，按同样的方式击球，球在边沿回弹的次数为（    ）次． A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【详解】本题考查轴对称的知识，根据题意画出图形，然后即可作出判断．难度不大，注意画出图形会使问题比较简单直观． 【分析】解：根据图形可得总共反射了7次． 故选：B． 4．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图是台球桌面示意图，阴影部分表示四个入球孔，小明按图中方向击球，每当球碰到长方形桌的边时会反弹，反弹的方向与原来的方向关于垂直于长方形桌边的直线对称，则球最后落入的球袋是（    ） A．1号袋 B．2号袋 C．3号袋 D．4号袋 【答案】B 【分析】本题考查了生活中的轴对称现象，根据网格结构利用轴对称的性质作出球的运动路线，即可进行判断． 【详解】解：根据轴对称的性质可知，台球走过的路径为： 则球最后落入的球袋是2号袋． 故选：B． 5．（19-20九年级上·河北保定·月考）如图，设和是镜面平行相对且间距为的两面镜子，把一个小球A放在和之间，小球在镜中的像为，在镜是中的像为，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是镜面反射的性质即轴对称的性质；解决本题的关键，是理解实物与像关于镜面对称．那么到镜面的距离就相等．如图所示，经过反射后，，，则，即可求解． 【详解】解：如图所示， 经过反射后，，， ∴． 故选：D． 6．（25-26八年级上·江西景德镇·期末）如图所示，是光在进入单反相机中的五棱镜时两次全反射的光路图，已知，光从点平行于进入棱镜，在边上点处反射，到达边点处，经过再一次反射，然后沿垂直边方向，从点处离开棱镜，若，则的度数为________． 【答案】/64度 【分析】本题主要考查轴对称，平行线的性质的应用，灵活运用平行线的性质是解题的关键． 由平行线的性质推出，由光的反射定律得到，求出，由直角三角形的性质求出，即可求出的度数． 【详解】解：如图：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 由光的反射定律得到：， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 7．（25-26七年级上·湖北武汉·周测）如图，小华将小球放在两平行镜和之间，其球心为点A，点A在平面镜中的像为，在平面镜中的像为．已知点到的距离为，到的距离为，则________． 【答案】 【分析】本题考查的是镜面反射的性质．根据经过反射后，，得出，即可求解． 【详解】解：经过反射后，， 故， 根据题意可得，， 故，， ∴． 故答案为：． 8．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，古诗描述了一位将军在观望烽火之后，从山脚A处出发，到河边饮马，再回到宿营地B处的活动过程．那么怎样选择饮马地点，才能使路程最短？ 【答案】见解析 【分析】本题考查了轴对称的性质及两点之间线段最短，解题的关键是利用轴对称将折线路程转化为直线段路程． 作点关于河边的对称点，连接与河边所在直线l交于点；利用轴对称得，结合两点之间线段最短，知为最短路程． 【详解】解：作点关于河边所在直线l的对称点， 连接，与河边所在直线l交于点， 点与关于河边对称， ， ， 由两点之间线段最短，得为最短路径， 故点是使路程最短的饮马点． 9．（25-26八年级上·湖北武汉·期中）将两面镜子用胶带连在一起，并打开呈夹角时，在中间放置一个蜡烛，在镜中能看见5个完整的蜡烛（如图1）．你知道为什么吗？ 我们可以把两面镜子用直线、代替，设蜡烛放置于点，作出点关于、的对称点为，即为两个镜中的像（如图2）．继续作出关于的对称点为（如图3），最后作出关于的对称点，均为（如图4），这样，我们就作出了点在两面镜子中的5个像． (1)如图5，当两面镜子呈夹角时，镜中能看见_______个完整的蜡烛； (2)如图6，当两面镜子呈夹角时，镜中能看见_______个完整的蜡烛．请你借助网格完成作图，并标注相应的字母； (3)试猜想，若两面镜子呈夹角，且为整数时，理论上在镜中能看见_______个完整的蜡烛． 【答案】(1)3 (2)7，图见解析 (3) 【分析】本题考查了轴对称作图，规律总结，列代数式，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． （1）根据题中的作图方法，在图5中作图即可解答； （2）根据题中的作图方法，在图6中，利用网格作图即可解答； （3）根据题中呈、、时，能看到的蜡烛个数，总结出规律即可解答． 【详解】（1）解：如图，作出点关于、的对称点为，即为两个镜中的像，继续作出关于的对称点均为， ∴当两面镜子呈夹角时，镜中能看见3个完整的蜡烛； 故答案为：3； （2）解：如图，即为所求， ∴当两面镜子呈夹角时，镜中能看见7个完整的蜡烛； 故答案为：7； （3）解：∵当两面镜子呈夹角时，镜中能看见个完整的蜡烛； 当两面镜子呈夹角时，镜中能看见个完整的蜡烛； 当两面镜子呈夹角时，镜中能看见个完整的蜡烛； 当两面镜子呈夹角，且为整数时，镜中能看见个完整的蜡烛； 故答案为：． 10．（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，、是平面镜前同一发光点S发出的经平面镜反射后的反射光线，请通过画图确定发光点S的位置，并将光路图补充完整． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了轴对称作图，解题的关键是熟练掌握光在入射时，入射角等于反射角；两条入射光线的交点处是点光源所在处．作出和的入射光线，相交处即为点S所在位置． 【详解】解：如图所示： 题型一 轴对称综合问题 1．（25-26八年级上·黑龙江牡丹江·期中）如图a是长方形纸带，，将纸带沿折叠成图b，再沿折叠成图c，则图c中的的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了翻折变换，平行线的性质．根据长方形纸带的特征对边平行，利用平行线的性质和翻折不变性求出，继而求出的度数，再减去即可得的度数． 【详解】解：如图：延长到H，由于纸带是长方形， ∴， ∴， 根据翻折不变性得， ∴， 又∵， ∴，． 在梯形中，， 根据翻折不变性，． 故选：C． 2．（25-26七年级下·全国·期末）如图，已知长方形纸片，点，在边上，点，在边上，分别沿，折叠，使点和点都落在点处．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据长方形的性质可得，则，再根据折叠的性质可得，然后根据邻补角的定义和可得，最后根据三角形的内角和定理可得． 【详解】解：四边形是长方形， ， ，， ． 由折叠可知，，， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了折叠问题，三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握折叠的性质． 3．（25-26八年级上·安徽六安·期末）如图，，点、分别在射线上，，的面积为，点是直线上的动点，点关于对称的点为，点关于对称的点为，当点在直线上运动时，______，的面积最小值为______． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称、垂线段最短等知识点，熟练掌握轴对称的性质是解题关键．分点在线段上，点的左侧和点的右侧，三种情况进行讨论，连接，过点作交的延长线于，先利用三角形的面积公式求出，再根据轴对称的性质可得，，，从而可得，然后利用三角形的面积公式可得的面积为，根据垂线段最短可得当点与点重合时，取得最小值，的面积最小，由此即可得． 【详解】解：当点在线段上，如图，连接，过点作交的延长线于，    ∵，且， ∴， ∵点关于对称的点为，点关于对称的点为， ∴，，， ∵， ∴， ∴的面积为， 由垂线段最短可知，当点与点重合时，取得最小值，最小值为， ∴的面积的最小值为， 当点在点的左侧时，如图：连接，过点作交的延长线于，      同理可得：， ∵点关于对称的点为，点关于对称的点为， ∴，，， ∵， ∴， ∴的面积为， 由垂线段最短可知，当点与点重合时，取得最小值，最小值为， ∴的面积的最小值为， 当点在点的右侧时，如图：连接，过点作交的延长线于，      同理可得：， 的面积的最小值为， 综上：，的面积的最小值为； 故答案为：90，． 4．（25-26七年级上·上海虹口·期末）【提出问题】唐代诗人李颀的《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河，”中隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马，如图，将军牵马从营地A出发，先到河流l边上一点饮马，再去河岸同侧的营地开会，应该怎样走才能使路程最短？ 【分析问题】 （1）为了解决这个问题，数学小组的同学提出了如下四种确定河边饮马点的方案． 正确的方案是_____（填序号），此方案中用到的求最短路程的数学知识是_____． 【解决问题】 （2）如图，在中，点与点关于直线成轴对称，点是直线上的动点．若，则周长的最小值为_____． 【类比探究】 （3）如图，点是内一定点，将军牵马从军营出发，先到河流边上一点饮马，再到草地边上一点吃草，最后回到军营 ①在上图上画图：使将军走过的路程最短．（保留画图痕迹，辅助线用虚线，最短路程用实线） ②当将军走过的路程最短，且时，则_____°． 【答案】（1）④，两点之间线段最短；（2）11；（3）①见解析；②70 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，两点之间线段最短等知识点． （1）根据轴对称的性质以及两点之间线段最短即可求解； （2）过点A作直线m的对称点，连接与直线m的交点即为周长的最小值的点，由对称轴的性质可得，，则，则的周长最小值转化为的值； （3）①过点分别作的对称点，连接与交点即为点，则此时最短； ②由三角形内角和定理可得，由轴对称的性质可得，则，故，同理可得，再由三角形内角和定理求解． 【详解】解：（1）正确的方案是④， 因为由轴对称的性质可得， 所以当点三点共线时， 所以此方案中用到的求最短路程的数学知识是两点之间，线段最短； （2）过点A作直线m的对称点，连接与直线m的交点即为周长的最小值的点， 由对称轴的性质可得，， ∴， ∴， ∴的周长最小值为， 故答案为：11； （3）①如图，最短， 过点分别作的对称点，连接与交点即为点 则， ∴； ②如图： 因为， 所以， 由轴对称的性质可得， 因为， 所以， 所以， 同理可得， ∴ 故答案为：． 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.1轴对称及其性质 题型一 轴对称图形的识别 1．（2026·山西太原·一模）城市LOGO是一座城市的名片，它可以是山河图腾的浓缩，也可以是地标文化的符号．以下是我国四个城市的LOGO图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 2．（2026年云南省初中学业水平考试数学仿真卷（一））作为国家历史文化名城，昆明凭着气候宜人的特征，享有“春城”美誉．下列四个选项中，可以看作轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级下·江苏南京·月考）下列图形中，是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·安徽马鞍山·期末）下列图形是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 5．（广东佛山市2025-2026学年下学期九年级供题训练（一）数学（3月））第15届全运会于2025年11月9日-21日在广东、香港、澳门三地共同举办．体育蕴含着昂扬向上、追求卓越的精神力量．下列关于体育运动的图标中是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级上·云南德宏·期末）汉字是世界上最古老的文字之一，它是中华文明的符号与象征，许多中国汉字的形体和结构充满着“对称美”，下列四个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（　　） A．爱 B．我 C．中 D．华 7．（25-26八年级上·全国·期末）下列两个电子数字成轴对称的是（ ） A． B． C． D． 8．（25-26八年级上·福建福州·期末）如图，图中编号为②，③，④的三角形能与编号为①的三角形成轴对称图形的有（    ） A．②，④ B．②，③ C．③，④ D．②，③，④ 9．（25-26八年级上·山东德州·期末）下列两图形成轴对称的是（ ） A． B． C． D． 10．（23-24七年级下·全国·课后作业）视力表中的字母“E”有各种不同的摆放形式，下面每种组合的两个字母“E”不能关于某条直线成轴对称的是（   ） A． B． C． D． 题型二 根据轴对称图形的特征进行判断 1．（25-26八年级上·福建厦门·期末）如图，与关于直线对称，下列所连线段中，能被直线垂直平分的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·湖北宜昌·期末）下列说法正确的是（    ）． A．如果两个三角形全等，那么它们必是关于某条直线成轴对称的图形 B．如果两个三角形关于某条直线成轴对称，那么它们是全等三角形 C．等腰三角形是以一条边上的中线为对称轴的轴对称图形 D．一条线段是以经过该线段中点的直线为对称轴的轴对称图形 3．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，六边形ABCDEF关于直线l对称的图形是六边形．下列判断错误的是（   ） A． B． C．直线 D． 4．（25-26九年级上·广东惠州·月考）作出一个图形的轴对称图形后，若新图形与原图形不重合，则这两个图形的（    ） A．形状不同 B．大小不同 C．位置不同 D．以上都对 5．（25-26八年级上·安徽亳州·月考）如图，若与关于直线对称，交于点，则下列说法中，不一定正确的是（   ）    A． B． C． D． 6．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）已知，与关于直线对称，交于点，则下列结论中不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 题型三 画对称轴 1．如图是一个轴对称图形，对称轴是直线（　　） A． B． C． D． 2．如图，长方形是轴对称图形，对称轴可以是直线__________． 3．在的正方形格点图中，有格点和，且和关于某直线成轴对称，请在如图给出的图中画出符合条件的及对称轴．（每个正方形格点图中限画一种，若两个图形中的对称轴是平行的，则视为一种）． 4．判断下列图形是否是轴对称图形，如果是，请画出其中的一条对称轴． (1) (2) (3) (4) 5．分别画出下列各个图形的对称轴（不写画法）． 6．找出下面图形中的轴对称图形，并画出它们的对称轴． 题型四 画轴对称图形 1．（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）如图的正方形网格中，的顶点都在小正方形的格点上（网格线之间的交点称为格点），这样的三角形称为格点三角形，在网格中与成轴对称的格点三角形共有（   ）个（注：与重合的不计） A．7 B．9 C．11 D．13 2．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）如图为的正方形网格，每个小正方形的边长均为1．可以画出与成轴对称、每个顶点都在格点上，且位置不同的三角形有________个． 3．（21-22八年级上·吉林白城·期末）在平面直角坐标系中的位置如图所示，按照要求作图（不写作法，保留作图痕迹）： (1)作关于y轴对称的，其中，A、B、C三点的对应分别为D、E、F； (2)求的面积； (3)在y轴上找到一点P，使的周长最小． 4．（25-26八年级上·广东佛山·期末）如图，在平面直角坐标系中，各个顶点的坐标分别是，，． (1)画出关于轴对称的图形； (2)的面积为___________． 5．（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）图，图，图均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点都在格点上，只用无刻度的直尺，在下列个网格里分别画出一个三角形并涂上阴影，使其与关于某条直线成轴对称图形，要求画出图形的位置不同且顶点都在格点上． 6．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）如图，在的正方形网格中，的三个顶点都在格点上．用无刻度直尺按照下列要求作图． (1)在图1中作出关于直线对称的． (2)在图2中作出的高线． 题型五 设计轴对称图案 1．（25-26七年级下·江苏连云港·月考）将一个正方形彩纸依次按如图1，如图2所示的方式对折，然后沿图3中的虚线裁剪，则将图3的彩纸展开铺平后的图案是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）用方块布料缝制一块挂毯，方块形成的花纹如图所示．若要使花纹保持原来的样式，应在图中①处选择的布料图案是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·上海普陀·期末）如图，在的正方形网格中，选择一个空白小正方形涂黑，所得黑色图案是轴对称图形的情况有（    ） A．2种 B．3种 C．4种 D．5种 4．（25-26七年级下·全国·周测）下列图案均可看作由一个大写英文字母经过适当变换得到的．通过找出这组图形符号中所蕴含的内在规律，在空白处的横线上填上恰当的图形． 5．（25-26七年级下·全国·课后作业）请你分别在下面四个图中的某个空白方格内补画1个小圆，使补画后的4个小圆组成的图形为轴对称图形． 题型一 根据轴对称图形的特征进行求解 1．（25-26八年级上·福建南平·月考）如图，P是外一点，D，E分别是上的点，连接，点M，N在直线上，与关于对称，与关于对称．若，则线段的长为（　　） A．4 B．4.5 C．5.5 D．6 2．（25-26八年级上·河北衡水·期末）木雕是中国传统民间工艺的重要分支，其历史可追溯至新石器时代．如图，这是工匠雕刻的木雕作品，蝴蝶的左右两侧关于直线对称，点在直线上，点和点为对称点，点和点为对称点，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·内蒙古赤峰·期末）如图，四边形是轴对称图形，所在的直线是它的对称轴，，．则四边形的周长为___________． 4．（25-26八年级上·广西崇左·期末）如图，在中，平分交于点，点，分别是线段、上的动点，＞且，＝，则的最小值为 ______． 5．（25-26八年级上·河北邯郸·期末）如图，中，，点在边上．分别作点关于，的对称点，连接，则的度数等于___________． 6．（25-26七年级上·广东茂名·期末）如图，在长方形中，E为边上的一点，沿线段对折后，若比大，则的度数是______． 7．（25-26七年级下·全国·周测）如图，是内的一定点．若，作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接，，则的度数为____________． 8．（25-26八年级上·江西赣州·期末）与关于直线对称，仅用无刻度直尺作图，保留作图痕迹，不写作法． (1)在图中，作出直线． (2)在图中，是中点，在对称轴上作出一点，使得周长最小． 题型二 镜面对称 1．（25-26八年级上·江苏扬州·月考）小华在镜中看到身后墙上的钟，你认为实际时间最接近8点的是（　　） A． B． C． D． 2．（2025八年级上·全国·专题练习）下列电子钟示数中，在平面镜中的像与原示数相同的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·上海浦东新·期末）小明同学从镜子中看到的一组号码（如图），该号码表示的实际号码应该是___________． 4．（25-26八年级上·全国·期中）一辆汽车的车牌号在水中的倒影是：，那么它的实际车牌号是_______． 5．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·月考）从镜子里看到的时间如图所示，则实际时间是________． 6．（2025八年级上·全国·专题练习）平面镜中电子钟示数为“12：11”，实际时间是__________． 7．（20-21八年级上·湖北黄冈·期中）从平面镜子中看到镜子对面电子钟示数的像如图所示，所以这时的时刻应是_______________． 题型三 折叠问题 1．（25-26七年级下·河北廊坊·月考）如图，为一长条形纸带，，将沿折叠，，两点分别与，对应，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．（21-22七年级下·浙江嘉兴·期中）将一张长方形纸片按如图所示折叠，如果，那么_________． 3．（25-26七年级上·江苏南京·期末）如图，一个长方形纸片沿折叠后，点D、C分别落在的位置，若，则___________． 4．（21-22七年级下·江苏无锡·期中）如图，，，点E是射线上一点，连接，将沿着翻折得到，点C的对应点为点F，若，那么的度数为________． 5．（21-22七年级下·江苏盐城·开学考试）将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，、为折痕，则为_________． 6．（21-22七年级下·云南西双版纳·月考）如图1，有一张长方形纸片，小明将纸片沿着折叠成如图所示的图形，经测量得，请求出的度数． 题型四 轴对称实际问题 1．（25-26七年级上·山东威海·期末）如图，桌球的桌面上有两个球，若要将球射向桌面的一边，反弹一次后击中球，则四个点中，可以反弹击中球的是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 2．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）如图，弹性小球从点出发，沿所示方向运动，每当小球碰到长方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第次碰到长方形的边时，落脚点为；第次碰到长方形的边时落脚点为；第次落脚点为（    ） A． B． C． D． 3．（2025七年级下·全国·专题练习）下面四个图形是标出了长宽之比的台球桌的俯视图，一个球从一个角落以角击出，在桌子边沿回弹若干次后，最终必将落入角落的一个球囊．图1中回弹次数为1次，图2中回弹次数为2次，图3中回弹次数为3次，图4中回弹次数为5次．若某台球桌长宽之比为，按同样的方式击球，球在边沿回弹的次数为（    ）次． A．6 B．7 C．8 D．9 4．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图是台球桌面示意图，阴影部分表示四个入球孔，小明按图中方向击球，每当球碰到长方形桌的边时会反弹，反弹的方向与原来的方向关于垂直于长方形桌边的直线对称，则球最后落入的球袋是（    ） A．1号袋 B．2号袋 C．3号袋 D．4号袋 5．（19-20九年级上·河北保定·月考）如图，设和是镜面平行相对且间距为的两面镜子，把一个小球A放在和之间，小球在镜中的像为，在镜是中的像为，则等于（   ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级上·江西景德镇·期末）如图所示，是光在进入单反相机中的五棱镜时两次全反射的光路图，已知，光从点平行于进入棱镜，在边上点处反射，到达边点处，经过再一次反射，然后沿垂直边方向，从点处离开棱镜，若，则的度数为________． 7．（25-26七年级上·湖北武汉·周测）如图，小华将小球放在两平行镜和之间，其球心为点A，点A在平面镜中的像为，在平面镜中的像为．已知点到的距离为，到的距离为，则________． 8．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，古诗描述了一位将军在观望烽火之后，从山脚A处出发，到河边饮马，再回到宿营地B处的活动过程．那么怎样选择饮马地点，才能使路程最短？ 9．（25-26八年级上·湖北武汉·期中）将两面镜子用胶带连在一起，并打开呈夹角时，在中间放置一个蜡烛，在镜中能看见5个完整的蜡烛（如图1）．你知道为什么吗？ 我们可以把两面镜子用直线、代替，设蜡烛放置于点，作出点关于、的对称点为，即为两个镜中的像（如图2）．继续作出关于的对称点为（如图3），最后作出关于的对称点，均为（如图4），这样，我们就作出了点在两面镜子中的5个像． (1)如图5，当两面镜子呈夹角时，镜中能看见_______个完整的蜡烛； (2)如图6，当两面镜子呈夹角时，镜中能看见_______个完整的蜡烛．请你借助网格完成作图，并标注相应的字母； (3)试猜想，若两面镜子呈夹角，且为整数时，理论上在镜中能看见_______个完整的蜡烛． 10．（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，、是平面镜前同一发光点S发出的经平面镜反射后的反射光线，请通过画图确定发光点S的位置，并将光路图补充完整． 题型一 轴对称综合问题 1．（25-26八年级上·黑龙江牡丹江·期中）如图a是长方形纸带，，将纸带沿折叠成图b，再沿折叠成图c，则图c中的的度数是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·全国·期末）如图，已知长方形纸片，点，在边上，点，在边上，分别沿，折叠，使点和点都落在点处．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·安徽六安·期末）如图，，点、分别在射线上，，的面积为，点是直线上的动点，点关于对称的点为，点关于对称的点为，当点在直线上运动时，______，的面积最小值为______． 4．（25-26七年级上·上海虹口·期末）【提出问题】唐代诗人李颀的《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河，”中隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马，如图，将军牵马从营地A出发，先到河流l边上一点饮马，再去河岸同侧的营地开会，应该怎样走才能使路程最短？ 【分析问题】 （1）为了解决这个问题，数学小组的同学提出了如下四种确定河边饮马点的方案． 正确的方案是_____（填序号），此方案中用到的求最短路程的数学知识是_____． 【解决问题】 （2）如图，在中，点与点关于直线成轴对称，点是直线上的动点．若，则周长的最小值为_____． 【类比探究】 （3）如图，点是内一定点，将军牵马从军营出发，先到河流边上一点饮马，再到草地边上一点吃草，最后回到军营 ①在上图上画图：使将军走过的路程最短．（保留画图痕迹，辅助线用虚线，最短路程用实线） ②当将军走过的路程最短，且时，则_____°． 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $