5.2简单的轴对称图形(第3课时)-【新课程能力培养】2025-2026学年新教材七年级下册数学同步练习（北师大版2024）

口数学 七年级下册（北师大版） 简单的轴对称图形（第3课时) 自主导学Q典例精析 例题如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点 E,S△4=7，DE=2,AB=4,求AC的长。 【分析】由图形可知，AD将△ABC分为△ABD和△ACD,易知 D SA4=S△Mm+SAAm。而SAAm由已知条件直接可求，从而求SAAm即可。 例题图 要求AC的长只需求出△ACD底边AC上的高，再由面积公式即可 求出AC。为此过点D作DF⊥AC于点F,根据角平分线上的点到角 的两边距离相等易得DF=DE=2。 D 【解答】如图，过点D作DF⊥AC于点F, 例题答图 因为AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB, 所以DF=DE=2。因为S AARC=SAAB+S△MCD, 所以2×4x2+×10x2=7,解得A0=3。 【点拨】本题主要考查角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，解这类与面积有关 的问题时，常用的解题策略是利用同一图形面积的不同表示方式建立方程。 基础巩固)达标闯关 1.如图，已知∠C=90°，∠1=∠2，BC=8cm,点D到AB的距离为3cm,则BD= 2.如图，在△ABC中，点P是△ABC三条角平分线的交点，则点P到AB,BC,AC的 距离 B 第1题图 第2题图 3.在△ABC中，∠C=90°，若BC=10,AD平分∠BAC交BC于点D,且BD:CD=3:2, 则点D到线段AB的距离为 4.如图，在△ABC中，AB=AC,AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB, DF⊥AC,垂足分别为点E,F,有下列四个结论：①AD上一点到点B,C 的距离相等；②AD上任意一点到AB,AC的距离相等；③BD=CD,ADL BD:④∠BDE=∠CDF。其中正确的有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 第4题图 110 图形的轴对称第五章 5.如图，在△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC,DE⊥AB于点E。已知AB=10,BC= 8,AC=6,求△AED的周长。 第5题图 能力提升鲫综合拓展 6.如图，E是∠AOB平分线上的一点，EC⊥OA,ED⊥OB,垂足分别为点C,D,连接 CD. B (1)试说明：∠ECD=∠EDC。 (2)试说明：OE是CD的垂直平分线。 第6题图 7.有一个交叉路口，要修一个交通岗M(点M在∠APB内部)，使交通岗到公路PB与 PA的距离相等，并且距P,B两点的距离也相等。问交通岗应修在什么位置，请你在图中作 出交通岗M,并说明理由。 .B 第7题图 8.尺规作图：请在原图上作一个∠AOC,使其是已知∠AOB的1.5倍。（要求：写出已 知、求作，保留作图痕迹，在所作图中标上必要的字母，不写作法和结论) 已知： 求作： 第8题图 口数学 七年级下册（北师大版） 9.如图，点M和点N在∠AOB内部。 (1)请你作出点P,使点P(在∠AOB内部)到点M和点N的距离相等，且到∠AOB 两边的距离也相等。（保留作图痕迹，不写作法） (2)请说明作图理由。 ·M 0 -B 第9题图 I0.如图，AB>AC,已知点D是∠BAC的平分线上的点，过D点作DE⊥AB于点E,作 DF⊥AC于点F,∠ABD+∠ACD=180°，试说明：BD=DC。 第10题图 *11.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，沿过点B的一条直线BE折叠这个三角形，使点 C落在AB边上的点D处。要使点D恰为AB的中点，还需要添加什么条件？ (1)写出两条边满足的条件并说明理由。 (2)写出两个角满足的条件并说明理由。 E 第11题图 企 图形的轴对称 第五章 中考链接©真题演练 12.(2023·吉林)如图，在△ABC中，AB=AC。分别以点B和点C为圆心，大于2BC 的长为半径作弧，两弧交于点D,作直线AD交BC于点E。若∠BAC=11IO°，则∠BAE的大 小为 XD 第12题图 第13题图 第14题图 13.(2023东营)如图，在△ABC中，以点C为圆心，任意长为半径作弧，分别交AC, BC于点D,E:分别以点D,E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧交于点户作射线 CF交AB于点G。若AC=9,BC=6,△BCG的面积为8，则△ACG的面积为 14.(2024青海)如图，OC平分∠AOB,点P在OC上，PD LOB,PD=2,则点P到OA的 距离是（) A.4 B.3 C.2 D.1 15.(2024·常州)如图，在纸上画有∠AOB,将两把直尺按 图示摆放，直尺边缘的交点P在∠AOB的平分线上，则() A.d,与d2一定相等 1 cm B.d与d一定不相等 di cm B C.l1与12一定相等 cms D.1与l2一定不相等 d cm 16.(2024·深圳)在如图所示的三个图形中，根据尺规作图 第15题图 的痕迹，能判断射线AD平分∠BAC的是() D ① ② 第16题图 A.①② B.①③ C.②③ D.只有①为MN垂直平分线段PC,所以EP-EC。所以△APE的 周长=AP+AE+EP=AP+AE+EC=AP+AC=3+6=9(cm)。 10.311.C12.C 第8题答图 第9题答图 2简单的轴对称图形（第3课时） 1.5cm2.相等3.44.D5.解：因为BD平 分∠ABC,所以∠EBD=∠CBD。因为DE⊥AB,所以 ∠BED=9O°。在△BDE和△BDC中，因为∠EBD三 ∠CBD,BD=BD,∠BED=∠C=90°，所以△BDE≌ △BDC(AAS)。所以DE=DC,BE=BC=8。所以AE= AB-BE=2。所以△AED的周长=AE+ED+AD=AE+CD+ AD=AE+AC=8.6.解：(1)因为OE是∠AOB的平 分线，EC⊥OA,ED⊥OB,所以EC=ED。所以 ∠ECD=∠EDC。(2)因为EC⊥OA,ED⊥OB,所 以∠EDO=∠ECO=90°，DE=CE。又因为∠AOE= ∠BOE,所以△ODE≌△OCE(AAS)。所以OC=OD 又因为∠AOE=∠BOE,OF=OF,所以△COF≌△DOF (SAS)。所以DF-=CF,∠CFO=∠DFO=90°。所以OE⊥ DC。所以直线OE是CD的垂直平分线。 7.作图略 提示：∠APB的平分线与线段PB的垂直平分线的交 点即为交通岗M。理由：由角平分线性质可知点M到 PA,PB的距离相等，由线段垂 直平分线性质可知MP=MB,所 以点M符合题中交通岗距公路 PB与PA的距离相等，并且距P, B两点的距离相等的条件。8. 解：已知：∠AOB。求作： ∠AOC,使∠A0C=1.5∠A0B。作 第8题答图 图如图所示(OC在OA下 方的情况略)。9.解： A (1)如图，点P到点M和 点N的距离相等，且到 ∠AOB两边的距离也相 等。 (2)理由：因为角 平分线上的点到角的两边 0<---- 的距离相等，垂直平分线 上的点到线段两端点的距 第9题答图 离相等，所以点P是∠AOB 的平分线与线段MN的垂直平分线的交点。10.解： 因为AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC,所以 ∠BED=∠CFD=90°，DE=DF。又因为∠ABD+∠ACD= 180°，∠DCF+∠ACD=180°，所以∠ABD=∠DCF。所 以△BED≌△CFD(AAS)。所以BD=DC。11.解： (1)AB=2BC。理由：由折叠可知，BD=BC。因为D 是AB的中点，所以BD=AD=号AB。所以BC=了AB, 即AB=2BC。(2)∠ABC=2∠A。理由：由折叠知」 ∠ABE=∠CBE,∠BDE=9O°。所以DE⊥AB。又因为 D是AB的中点，所以BD=AD。所以DE是AB的垂直 平分线。所以AE=BE。所以∠ABE=∠A。所以 ∠ABE=∠CBE=∠A。因为∠ABC=∠ABE+∠CBE,所 以∠ABC=2∠A。12.55°13.1214.C15.A 1 参考答案与提示 16.B ☆问题解决策略：转化 1.解：方法一：因为x2+x-1=0,所以x2=1-x,原 式=x(1-x)+2(1-x)+3=x-x2+2-2x+3=x-(1-x)+2-2x+3= x-1+x+2-2x+3=4。方法二：因为x2+x-1=0,所以x2+x= 1,原式=x3+x2+x2+3=x(x2+x)+x2+3=x+x2+3=1+3=4.2. 解：将长方形的三条小路分别平移到大长方形两边， 则院子里种上蔬菜的部分就转化为一个长方形。因为 院落是东西长为32m、南北宽为20m的长方形，道 路的宽为xm,所以种上蔬菜的长方形的长为(32- x)m,宽为(20-2x)m,所以S种上装来的长方形=(32-x)(20- 2x)=(2x2-84x+640)m2。答：小红爸爸用于种菜的面 积是（2x2-84x+640)m2.3.解：因为∠EFC+ ∠AFG=180°，∠EFC+∠C+∠E=180°，所以∠AFG= ∠C+∠E。因为∠AGF+∠BGD=180°，∠BGD+∠B+ ∠D=180°，所以∠AGF=∠B+∠D。因为在△AFG中， LA+∠AFG+∠AGF=180°，所以∠A+∠C+∠E+∠B+ ∠D=180.4.解：如图，将小 正方形①中的扇形部分转移到小 正方形③中，将小正方形②中的 扇形部分转移到小正方形④中 转化成两个半径为1、圆心角为 90°的扇形的面积，所以4个扇 形的面积和S=号×1×m=2。 第4题答图 5.解：如图，延长BA到点 E E,使AE=AB,连接DE。因 为AB=AC,所以AE=AC ∠ABC=∠ACB。因为AP∥ BC,所以∠DAC=∠ACB, D ∠EAD=∠ABC。所以∠DAC= ∠EAD。又因为AD=AD,所 以△ACD≌△AED(SAS)。 所以ED=CD。在△BED中， 由三角形三边的关系，得 BD+DE>BE,所以BD+CD> 第5题答图 BE。所以当点D与点A重合时BD+CD=BE=2AB=10, 此时BD+CD取最小值10。 6.解：方法一：如图1，过CD中点M,作AN交 BC的延长线于点N,再取BN的中点E,作直线AE, 则直线AE就将四边形ABCD的面积平均分成两份。 理由：因为AD∥BC,所以∠DAM=∠N,∠D= ∠DCN。因为M是CD的中点，所以DM=CM。在 △ADM和△NCM中，∠DAM=∠N,∠D=∠DCN, DMCM,所以△ADM≌ △NCM(AAS)。所 以S△HD=SANCMO所以 S四边形ABD=S四边形AN十 S△4=S回边形，ABC3r十S△yCF SABM因为E是△ABN B 的边BN的中点， 所以S△AE-SABv。所 图 以直线AE就将四边 形ABCD的面积平均 分成两份。方法二： 如图2，取CD的中 点M,过点M作 EF∥AB,交BC于点 B F,与AD的延长线 交于点E,连接AF, 图2 BE交于点O,则过 第6题答图