1.1认识三角形（分层作业练题型）数学新教材鲁教版五四制七年级上册

**基本信息** 聚焦三角形概念与性质，通过基础认知、技能应用、综合拓展三层设计，实现从概念理解到实际应用的递进，培养几何直观与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知|三角形定义、分类、构成条件|以选择填空为主，如三角形识别、边与角关系判断，强化概念辨析| |技能应用|高、角平分线、重心性质|结合作图与计算，如网格画高、利用面积求高，提升操作与运算能力| |综合拓展|三边关系应用、平行线综合|设置实际情境题（如池塘距离估计）与探究题（面积法证明），发展模型意识与创新思维|

1.1认识三角形 题型一 三角形的识别与有关概念 1．【答案】C 2．【答案】D 3．【答案】D 4．【答案】B 5．【答案】A 6．【答案】 7．【答案】/ 8． 【答案】 三脚架、自行车车架、晾衣架等 【分析】本题考查了三角形的认识，根据由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所构成的图形叫做三角形，据此举出在现实生活中的实例即可． 【详解】解：现实生活中三角形的实例包括：三脚架、自行车车架、晾衣架等． 题型二 三角形的个数问题 1．【答案】B 2．【答案】D 3．【答案】D 4．【答案】B 5．【答案】 8 ，，， 和 6．【答案】 ． 7． 【答案】、、、、、、、 【分析】本题考查了三角形的认识，根据由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所构成的图形叫做三角形，据此在图中找出所有的三角形即可． 【详解】解：图中的三角形有：、、、、、、、． 题型三 三角形的分类 1．【答案】D 2．【答案】B 3．【答案】B 4．【答案】D 5．【答案】C 6．【答案】B 7．【答案】D 8．【答案】锐角 9．【答案】直角 10．【答案】直角三角形 11．【答案】 钝角 直角 锐角 题型四 构成三角形的条件 1．【答案】A 2．【答案】A 3．【答案】B 4．【答案】A 5．【答案】D 6．【答案】B 7．【答案】 8．【答案】13或14 题型五 三角形三边关系的应用 1．【答案】B 2．【答案】D 3．【答案】D 4．【答案】B 5．【答案】D 6．【答案】C 7． 【答案】(1)不能，理由见解析； (2)不能，理由见解析； (3)大于且小于． 【分析】本题考查了三角形的三边关系．三角形三边关系定理，第三边的长度必须大于已知两边之差且小于两边之和．据此求解即可． 【详解】（1）解：用长度为的木棒与它们不能摆成三角形． 因为，，不满足三角形三边之间的关系； （2）解：用长度为的木棒与它们不能摆成三角形． 因为，，不满足三角形三边之间的关系； （3）解：，， 所以要能摆成三角形，第三边能用的木棒的长度范围是大于且小于． 题型六 等腰三角形的定义 1．【答案】C 2．【答案】D 3．【答案】A 4．【答案】B 5．【答案】20或22 6．【答案】等腰 7．【答案】 8． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了三角形的三边关系、等腰三角形，关键是熟练应用知识点解题； （1）根据三角形的三边关系即可求得； （2）由等腰三角形判断的值，即可求得周长． 【详解】（1）解：∵三角形的三边长分别为，和， ∴， ； （2）解：∵， ∴当时，该三角形为等腰三角形， ∴该三角形的周长为， 答：该三角形的周长为． 题型一 画三角形的高 1．【答案】A 2．【答案】B 3．【答案】B 4．【答案】C 5．【答案】B 6． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)，垂线段最短 【分析】本题主要考查相交线与平行线： （1）将直线沿着平移，当点到达点时，直线即为所求； （2）根据和，可求得； （3）根据“垂线段最短”，即可求得答案． 【详解】（1）如图所示，直线即为所求． （2）如图所示，线段即为所求． 如图所示，可知． 因为， 所以． 所以． 所以． （3）根据图形可知，，理由是垂线段最短． 故答案为：，垂线段最短 题型二 与三角形的高有关的计算问题 1．【答案】B 2．【答案】B 3．【答案】B 4．【答案】C 5．【答案】 6．【答案】6 7． 【答案】(1)见解析 (2)点C到边的距离为4． 【分析】（1）过C点作交延长线于F点，然后根据点到直线的距离的定义求解； （2）过A点作于E点，如图，则，然后利用面积法求出的长即可． 【详解】（1）解：如图，点C到边的距离为线段的长； ； （2）解：过A点作于E点，如图，则， ∵， ∴， 即点C到边的距离为4． 8． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：的面积为：； （2）解：， ． 9． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形的面积计算，根据三角形中线求三角形的面积．根据，得出，从而求出，根据三角形中线求出，即可得出阴影部分的面积． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 答：阴影部分的面积为． 题型三 三角形角平分线的定义 1．【答案】C 2．【答案】D 3．【答案】C 4．【答案】36 5． 【答案】(1)图见解析 (2)平分，理由见解析 【分析】本题考查了作图—作一个角等于已知角，角平分线的判定和与余角、补角的有关计算，作出正确的图象是解决本题的关键． （1）以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交、于两点；再以这两点间的距离为半径，在的另一侧画弧，与之前的弧交于点E，连接，则； （2）根据可得，再通过角的转换可得，进而即可得到平分． 【详解】（1）解：如图，即为所求， （2）解：平分，理由如下： ∵， ∴， 由图可得，， ∴， ∵，且， ∴， ∴平分． 6． 【答案】见解析，2；2； 【分析】根据角平分线的定义画出图形，结合图形即可得出，，解答即可． 本题考查了角的平分线基本作图，角的平分线的定义，熟练掌握作图和定义是解题的关键． 【详解】解：根据题意，作图如下： ∵是的平分线， ∴，， 故答案为：2；2；． 7． 【答案】(1)2 (2) 【分析】本题主要考查了三角形中线，高，角平分线的定义，直角三角形两锐角互余： （1）根据三角形中线的定义可得，即可求解； （2）根据角平分线的定义可得，再由三角形高的定义可得，从而得到，即可求解． 【详解】（1）解：∵是的中线， ∴， ∵， ∴与的周长差为； （2）解：∵是角平分线，， ∴， ∵是的高， ∴， ∴， ∴． 8． 【答案】(1)图中共有个三角形，分别是，， (2)角平分线 (3) 【分析】（）根据三角形的定义解答 即可； （）根据角平分线的定义即可求解； （）由可得，再根据三角形内角和定理即可求解； 本题考查了三角形的定义，角平分线的定义，三角形内角和定理，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：图中共有个三角形，分别是，，； （2）解：∵， ∴是的角平分线， 故答案为：角平分线； （3）解：∵，， ∴， ∵， ∴． 题型四 重心的概念及其性质 1．【答案】B 2．【答案】B 3．【答案】B 4．【答案】A 5．【答案】6 6．【答案】 7．【答案】3 8．【答案】 题型五 利用网格求三角形面积 1． 【答案】(1)4 (2)见解析 (3)见解析 (4)见解析 【分析】此题考查了求三角形面积，作平行线和垂线，两点之间线段最短，解题的关键是掌握以上知识点． （1）利用割补法求解即可； （2）根据网格的特点和平行线的判定求解即可； （3）取格点F连接交于点M即为所求； （4）利用两点之间线段最短求解即可． 【详解】（1）解：的面积等于； （2）解：如图所示，线段即为所求； （3）解：如图所示，线段即为所求； （4）解：如图所示，点E即为所求． 2． 【答案】(1)见解析 (2)15 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，掌握三角形的面积的求法是解题的关键． （1）直接利用网格结合垂线与平行线的判定方法作图即可； （2）利用割补法求出四边形的面积即可． 【详解】（1）解：观察线段在正方形的对角线上，故过点P朝直线的一侧作正方形的对角线，与直线交于点E，则满足．线段在正方形的对角线上，故自点P同样作相同方向的正方形的对角线，与直线交于点F，则满足． （2）解：， 即，四边形的面积是15． 3． 【答案】(1)见解析 (2) (3) (4)，垂线段最短 【分析】本题考查作图—应用与设计作图，垂线段最短，点到直线的距离，三角形的面积，平行线的判定和性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题． （1）根据垂线，平行线的定义画出图形； （2）根据点到直线的距离的定义判断即可； （3）利用三角形面积公式求解； （4）利用垂线段最短解决问题． 【详解】（1）解：如图，直线，直线即为所求； （2）解：线段的长表示点到直线的距离； 故答案为：； （3）解：的面积， 故答案为：； （4）解：(垂线段最短)， 故答案为：，垂线段最短． 4． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了画垂线、平行线、三角形面积等知识点． （1）根据题意结合网格特征即可作出垂线； （2）根据题意结合网格特征即可作出平行线； （3）根据是直角三角形，且，直角边分别是和找到符合条件的点． 【详解】（1）解：如图，即为所求垂线； （2）解：如图，即为所求平行线； （3）解：如图，，即为所求点； 5． 【答案】(1)图见解析 (2) 【分析】本题考查画平行线和垂线，利用网格求三角形的面积： （1）利用平移思想，画出即可，借助三角板画出垂线确定点即可； （2）借助网格求三角形的面积即可． 【详解】（1）解：由题意，画图如下： （2）解：三角形的面积为， 故答案为：． 6． 【答案】(1)见详解 (2)6.5 【分析】（1）根据垂线的定义画出图形； （2）根据正方形的面积减去周围三个三角形的面积，即可得到的面积． 本题考查了画垂线，网格中求三角形的面积，熟练掌握画垂线的方法是解题的关键． 【详解】（1）解：如图，垂线即为所求，A点为格点； （2）解：． 故答案为：6.5． 7． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) (4) 【分析】此题考查了网格的作图和网格中求三角形的面积，熟练掌握网格的特点是关键． （1）利用网格的特点作平行线即可； （2）利用网格的特点作垂线即可； （3）根据点到直线的距离的定义进行解答即可； （4）利用包含三角形的长方形的面积减去周围三个三角形的面积即可求出答案． 【详解】（1）解：如图，即为所求， （2）如图，即为所求， （3）点到直线的距离是线段的长度； 故答案为： （4）的面积为 故答案为： 题型六 平行线与三角形综合问题 1．【答案】B 2．【答案】58° 3．【答案】 4． 【答案】 【分析】本题考查求角度，涉及平行线性质、邻补角定义、三角形内角和定理等知识，先由平行性质得到，再由邻补角定义及三角形内角和得到即可确定答案，数形结合，准确表示出各个角度是解决问题的关键． 【详解】解：如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，则． 5． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质及三角形内角和定理． 先根据可知，再由三角形外角的性质求出的度数，根据平行线的性质即可得出结论． 【详解】解：， ，                   ， ， ，     ， ． 题型一 三角形的综合运用 1． 【答案】问题1：见解析；问题2：见解析 【分析】本题考查了三角形中线的性质，平行线的性质及三角形的面积，添加平行线，构造等积变形的图形是关键． （1）根据资料2可知，所以，再根据三角形中线的性质，即可证明结论； （2）连接，过点B作交的延长线于点E，取中点F，作直线，根据资料2可知，所以，再根据三角形中线的性质，即可得到结论． 【详解】（1）证明：， ， ， 即， 为的中点， ， 平分的面积． （2）如图2，连接，过点B作交的延长线于点E，取中点F，作直线，则即为所求直线． 证明：， ， ， 即， 为的中点， ， 平分四边形的面积． 2． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】本题考查了整式乘法的几何背景、图形的拆分前后的面积相等、类比法等，解答的关键是根据已知条件和图形特点，利用拆分前后的面积相等分析、推理和计算． （1）大正方形的面积为一个正方形的面积与三个小长方形面积之和，即，同时大正方形的面积也可以为，列出等量关系即可； （2）根据，代入数值解之即可； （3）由和三角形面积公式即可得证． 【详解】（1）解：如图2，大正方形的面积为一个正方形的面积与三个小长方形面积之和， 即， 同时大长方形的面积也可以为， 所以． （2）解：如图，在中， ∵，， ， ． （3）证明：如图，，，，， ． ， ． 3． 【答案】(1)；； (2)，见解析 (3)存在，当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，． 【分析】该题考查的是三角形内角和定理，平行线的判定与性质等知识．  （1）先根据直角三角板的性质求出及的度数，进而可得出的度数；由，，可得出的度数，进而得出的度数；  （2）根据（1）中的结论可提出猜想，再由，可得出结论；  （3）分，，，及进行解答． 【详解】（1）解：，，  ，  ，  ．  故答案为；  ，，  ，  ．  故答案为； （2）猜想：．  理由如下：，  又，  ，  即； （3），，，，．  理由：当时，如图1所示：  ∴， ∴； 当时，如图2所示： ∴； 当时，如图3所示： ∴ ∴；  当时，如图4所示： ∴， ∴；  当时，延长交于F，如图5所示： ∴， ∵，， ∴， ∴． 1 / 62 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.1认识三角形 题型一 三角形的识别与有关概念 1．（2026七年级下·全国·专题练习）下列由三条线段组成的图形是三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的定义，掌握“在同一平面内，由三条线段首尾顺次连接形成的封闭图形叫做三角形”是解题关键．据此解答即可． 【详解】解：由三角形的定义可知，只有C选项的图形是三角形， 故选：C． 2．（25-26八年级上·河北邯郸·期末）在中，边的对角是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形定义，熟记三角形对边对角定义是解决问题的关键． 根据三角形中边的对角定义，一条边的对角是与该边不相邻的角． 【详解】解：如图所示： ∴边的对角是， 故选：D． 3．（25-26八年级上·四川凉山·期末）观察下列图形，其中符合三角形概念的图形是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形的定义，由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做三角形．据此即可解答． 【详解】解：A、三条线段没有首尾顺次相接，不符合三角形概念； B、三条线段没有首尾顺次相接，不符合三角形概念； C、三条线段没有首尾顺次相接，不符合三角形概念； D、符合三角形的概念． 故选：D． 4．（25-26八年级上·广西崇左·月考）在中，边所对的角是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查“三角形的基本概念”，了解三角形中的相关概念是解题关键． 根据图形和三角形的边所对角的概念进行判断即可． 【详解】解：根据三角形的边所对角的概念， 在中，边所对的角是， 故选：B． 5．（25-26八年级上·陕西榆林·期中）如图，下列四个三角形中，以为角的三角形是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角形的内角的定义判断解得即可． 本题考查了三角形的内角，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：根据定义，得以为角的三角形是，， 故选：A． 6．（2026七年级下·全国·专题练习）如图，中，与的夹角是____________，，的公共边是____________． 【答案】 【分析】本题主要考查三角形的基本构成，掌握角、边的表示是关键，根据图示，写出角、边即可． 【详解】解：与的夹角是， ，的公共边是， 故答案为：①，②． 7．（25-26八年级上·河北衡水·期中）如图，在中，顶点F的对边是______． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了三角形的相关概念，掌握三角形的相关定义是解题的关键． 由的三边分别为，其中与顶点F相邻，与顶点F相对，据此即可解答． 【详解】解：由题意得，在中，顶点F的对边是． 故答案为：． 8．（25-26七年级下·全国·课后作业）请举出现实生活中有关三角形的实例． 【答案】 三脚架、自行车车架、晾衣架等 【分析】本题考查了三角形的认识，根据由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所构成的图形叫做三角形，据此举出在现实生活中的实例即可． 【详解】解：现实生活中三角形的实例包括：三脚架、自行车车架、晾衣架等． 题型二 三角形的个数问题 1．（25-26八年级上·河南安阳·期末）图中共有（   ）个三角形． A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】本题考查三角形的定义，熟练掌握相关知识是关键． 不在同一直线上的三个点可以确定一个三角形，使用列举法即可． 【详解】解：如图， 图中三角形为、、、、、共个． 故选：B． 2．（21-22七年级下·江苏南京·期中）已知，如图，以为边的三角形的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的认识，不重不漏的写出所有的三角形是解题的关键． 根据三角形的概念、结合图形写出以为边的三角形． 【详解】解：由图可得，以为边的三角形有，，，，一共有4个． 故选：D． 3．（25-26八年级上·四川绵阳·期末）如图中三角形的个数是（　　） A．4 B．6 C．9 D．5 【答案】D 【分析】本题考查三角形的概念．三角形是由三条线段顺次首尾相连，组成的一个闭合的平面图形；观察所给图形，先数出单个的三角形，再数出组成的三角形，然后求和可得答案． 【详解】解：图中的单个三角形有，，，共3个， 由2个三角形组成的三角形有，共1个， 由3个三角形组成的三角形有，共1个， 所以共有（个）三角形． 故选：D． 4．（25-26八年级上·云南昭通·期末）如图，以为公共角的三角形有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的概念，根据三角形的概念即可求解，正确理解三角形的概念是解题的关键． 【详解】解：以为公共角的三角形有，，共个， 故选：． 5．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图所示，图中共有________个三角形，其中以为边的三角形有_______________，是________的内角． 【答案】 8 ，，， 和 【分析】本题主要考查三角形的定义，熟练掌握三角形的角，边是解题的关键．根据三角形的角，边定义进行求解即可． 【详解】解：图中共有，，，，，，，，个三角形； 以为边的三角形是，，，； 是和； 故答案为：8；，，，；和； 6．（2026七年级下·全国·专题练习）如图，图中三角形的个数为________；以为边的三角形是_________________，以为一个内角的三角形是____________________． 【答案】 ． 【分析】本题考查了三角形的定义，根据三角形的定义数出三角形的个数，找出以为边的三角形以及以为一个内角的三角形，即可求解． 【详解】解：图中的三角形有、、、、、，共个； 以为边的三角形有、、， 以为一个内角的三角形是、、． 故答案为：；；． 7．（25-26七年级下·全国·课后作业）请找出图中所有的三角形，并把它们写出来． 【答案】、、、、、、、 【分析】本题考查了三角形的认识，根据由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所构成的图形叫做三角形，据此在图中找出所有的三角形即可． 【详解】解：图中的三角形有：、、、、、、、． 题型三 三角形的分类 1．（25-26八年级上·江苏盐城·月考）如图是三角形按边分类的关系图，则图中的A表示（　　） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】D 【分析】根据三角形的分类可直接得到答案． 【详解】解：三角形按边分类应分为等腰三角形和不等边三角形，等腰三角形又分为腰与底不相等的等腰三角形和等边三角形， 则图中的A表示等腰三角形． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列说法：（1）三角形按边分类可分为不等边三角形、等腰三角形和等边三角形；（2）三角形两边之和不一定大于第三边；（3）等边三角形一定是等腰三角形；（4）有两边相等的三角形一定是等腰三角形．其中说法正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查三角形的分类及三角形的三边关系，熟练掌握相关知识点是解题关键． 根据三角形的分类和三角形的三边关系逐个判断每个说法的正确性． 【详解】解：三角形按边分类可分为不等边三角形和等腰三角形， 说法（1）错误的将等边三角形与等腰三角形并列作为分类，表述不够严谨，通常按边分类为不等边三角形和等腰三角形（等边三角形是等腰三角形的特殊形式）．故说法错误； ∵三角形三边关系为两边之和一定大于第三边， ∴说法（2）错误． ∵等边三角形的三边都相等，满足等腰三角形“至少有两边相等”的定义， ∴说法（3）正确． ∵等腰三角形的定义就是有两边相等的三角形， ∴说法（4）正确． 综上，正确的说法有2个． 故选：B． 3．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）在中，，，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．锐角三角形 【答案】B 【分析】本题考查三角形的内角和定理及三角形的分类．根据三角形内角和为，求出的度数，再根据角的大小判断三角形形状． 【详解】解：在中，三角形内角和为，已知，， 则， 所以是钝角三角形． 故选：B． 4．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，某一个三角形被长方形纸板遮住一部分，只露出一个角，你能判断它是什么三角形吗？你的判断是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上都有可能 【答案】D 【分析】本题考查了三角形内角和定理的运用以及图形的识别能力和推理能力，三角形按角分类，可以分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形．有一个角是直角的三角形是直角三角形；有一个角是钝角的三角形是钝角三角形；三个角都是锐角的三角形是锐角三角形． 【详解】解：从图中，只能看到一个角是锐角，其它的两个角中，可以都是锐角或有一个钝角或有一个锐角． 故选：D． 5．（25-26八年级上·贵州黔西南·月考）若一个三角形三条边的长度比是，则这个三角形是（   ） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【分析】本题考查的是三角形形状判定，由于三角形三边长度比为，即三边相等，因此该三角形是等边三角形． 【详解】解：∵一个三角形三条边的长度比是，即三边长度相等， ∴此三角形为等边三角形． 故选：C． 6．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）一个三角形的两个锐角互余，则这个三角形是（   ）． A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定 【答案】B 【分析】本题考查了三角形内角和定理，互余的定义，利用三角形内角和定理，结合两个锐角互余的条件，求出第三个角的度数，进而即可判断求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵两个锐角互余，即它们的和为， 又∵三角形内角和为， ∴第三个角的度数为， ∴该三角形是直角三角形， 故选：． 7．（24-25七年级下·全国·课后作业）在课堂上，老师在黑板上画出了如图所示的三个三角形，让同学们根据它们的边长进行分类．其中，分类错误的是（    ） A．①是不等边三角形 B．②是等腰三角形 C．③是等边三角形 D．②③是等边三角形 【答案】D 【分析】本题主要考查等腰三角形，等边三角形的定义，解题的关键是掌握相关概念． 根据等边三角形，等腰三角形的定义可逐项判定求解． 【详解】解：A、①，故①是不等边三角形，分类正确，不符合题意； B、②，故②是等腰三角形，分类正确，不符合题意； C、③，故③是等边三角形，分类正确，不符合题意； D、②是等腰三角形，③是等边三角形，分类错误，符合题意； 故选：D． 8．（25-26八年级上·浙江金华·期末）已知中，，则按角分类是________三角形． 【答案】锐角 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，根据三角形内角和定理得到，结合已知条件得到，据此求出的三个内角的度数即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴按角分类是锐角三角形， 故答案为：锐角． 9．（25-26八年级上·河南开封·期末）已知一个三角形的三个内角的度数之比为，那么这个三角形是_______（填“锐角”“直角”或“钝角”）三角形． 【答案】直角 【分析】本题主要考查三角形的内角和定理，掌握此知识点是做题的关键．根据三角形的内角和定理，结合角度比例计算各角的度数，即可得出答案． 【详解】解：设这个三角形的三个内角的度数分别为，，， 则根据三角形内角和定理，得， 解得， ，． 有一个角为， 这个三角形是直角三角形． 故答案为：直角． 10．（25-26八年级上·浙江舟山·期末）三角形可以按内角的大小如下分类：图中“？”处是_______． 【答案】直角三角形 【分析】本题考查的知识点是三角形的分类，解题关键是熟练掌握三角形的分类． 根据三角形的分类进行解答即可． 【详解】解：按三角形内角的大小把三角形分为三类：锐角三角形、钝角三角形和直角三角形， 则图中“？”处是：直角三角形． 故答案为：直角三角形． 11．（24-25七年级下·全国·课后作业）（1）在中，若，则____________．这个三角形是____________三角形． （2）若一个三角形三个内角的比为，则这个三角形是____________三角形． （3）在中，若，比小，则____________．这个三角形是____________三角形． 【答案】 钝角 直角 锐角 【分析】本题考查三角形内角和定理、三角形的分类等知识，正确地求出的最大内角的度数是解题的关键． （1）（2）（3）利用三角形内角和定理计算未知角，根据角度大小判断三角形类型。 【详解】解：（1）在中，， 根据三角形内角和定理，． 由于，因此该三角形是钝角三角形． 故答案为：；钝角． （2）设三角形三个内角分别为，，， 根据三角形内角和定理，， 即， 解得． 因此角度分别为，，． 由于有一个角为，因此该三角形是直角三角形． 故答案为：直角． （3）在中，，比小， 因此． 根据三角形内角和定理，． 所有角均小于，因此该三角形是锐角三角形． 故答案为：；锐角． 题型四 构成三角形的条件 1．（21-22七年级下·辽宁辽阳·期中）有下列长度的三条线段，能组成三角形的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【分析】验证两条较短边的长度和大于最长边的长度即可． 【详解】解：根据三角形三边关系，只需比较两条较短边的和与最长边的大小关系， 、∵较短边为，，最长边为，， ∴能组成三角形，符合题意； 、∵较短边为，，最长边为，， ∴不能组成三角形，不符合题意； 、∵较短边为，，最长边为，， ∴不能组成三角形，不符合题意； 、∵较短边为，，最长边为，， ∴不能组成三角形，不符合题意． 2．（25-26八年级下·四川泸州·开学考试）下列长度的三条线段中，不能组成三角形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题根据三角形三边关系定理，三角形任意两边之和大于第三边，逐个判断选项即可得到结果． 【详解】解：选项A中，∵ ，不满足两边之和大于第三边， ∴ 不能组成三角形，符合题意； 选项B中，∵ ，满足三角形三边关系， ∴ 能组成三角形，不符合题意； 选项C中，∵ ，满足三角形三边关系， ∴ 能组成三角形，不符合题意； 选项D中，∵ ，满足三角形三边关系， ∴ 能组成三角形，不符合题意． 3．（25-26八年级上·广西来宾·期末）下列各组线段首尾相接，不能组成三角形的是（　　）． A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【分析】在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形，由此即可判断． 【详解】解：对选项A，两短边为，，最长边为，，故能组成三角形，不符合题意； 对选项B，两短边为，，最长边为，，故不能组成三角形，符合题意； 对选项C，两短边为，，最长边为，，故能组成三角形，不符合题意； 对选项D，两短边为，，最长边为，，故能组成三角形，不符合题意． 4．（24-25八年级下·北京·开学考试）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（   ） A．2，5，5 B．3，5，9 C．2，3，5 D．5，12，7 【答案】A 【分析】根据三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边，只需验证较短两条线段的和是否大于最长线段即可快速判断． 【详解】解：A、较短两边为2和5，∵， ∴能组成三角形，符合题意 B、较短两边为3和5，∵， ∴不能组成三角形，不符合题意 C、较短两边为2和3，∵，不满足大于第三边， ∴不能组成三角形，不符合题意 D、较短两边为5和7，∵，不满足大于第三边， ∴不能组成三角形，不符合题意 5．（25-26八年级上·内蒙古赤峰·期末）下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能组成三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将每组中较短的两边长度相加，和大于最长边即可组成三角形． 【详解】解：A. ∵， ∴ 长度为的三根小木棒不能组成三角形，A不符合题意； B. ∵， ∴ 长度为的三根小木棒不能组成三角形，B不符合题意； C. ∵， ∴ 长度为的三根小木棒不能组成三角形，C不符合题意； D. ∵， ∴ 长度为的三根小木棒能组成三角形，D符合题意． 6．（25-26八年级下·湖北武汉·开学考试）从四根长度分别为，，，的木棒中任取三根摆成三角形，那么所摆成的三角形的周长不可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形中“任意两边之和大于第三边”，枚举所有取三根木棒的组合，判断能否构成三角形即可得到答案． 【详解】解：从四根长度分别为，，，的木棒中任取三根摆成三角形， 根据三角形三边关系逐一判断如下： ①取，，，此时周长为，，能构成三角形； ②取，，，此时周长为，但，此时不满足三边关系，不能构成三角形； ③取，，，此时周长为，，能构成三角形； ④ 取，，，此时周长为，，能构成三角形； 综上，所摆成的三角形的周长不可能是． 7．（21-22七年级下·江苏连云港·月考）已知是等腰三角形，如果它的两条边的长分别为和，那么它的周长是_______． 【答案】 【分析】分两种情况讨论等腰三角形的腰长与底边长，结合三角形三边关系判断能否构成三角形，再计算周长即可得到结果． 【详解】解：分两种情况讨论： ①当等腰三角形的腰长为，底边长为时， ， 不能构成三角形； ②当等腰三角形的腰长为，底边长为时， ， 能构成三角形， 周长为， 故答案为． 8．（21-22八年级上·重庆璧山·期中）等腰三角形的两边长分别是4和5，则这个等腰三角形的周长为_________． 【答案】13或14 【分析】分类讨论确定腰长，验证三边能否构成三角形，再计算周长． 【详解】解：①若4为腰，则三角形三边长为4，4，5， ∵，满足三角形三边关系，能构成三角形， ∴周长为； ②若5为腰，则三角形三边长为5，5，4， ∵，满足三角形三边关系，能构成三角形， ∴周长为； 综上，这个等腰三角形的周长为或． 题型五 三角形三边关系的应用 1．（25-26八年级上·湖南常德·期末）如图，常德市屈原公园内有两处标志性观景台．测量小组在景区内选取一点，测得，，据此估计观景台之间的距离可能为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由三角形三边之间的关系可得，， 即， ∴， ∴估计观景台之间的距离可能为． 2．（25-26八年级上·安徽六安·期末）如图所示，为估计池塘两岸A，B间的距离，小明在池塘一侧选取一点P，测得，，那么A，B之间的距离不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形三边关系，根据三角形的三边关系求出的范围，判断即可． 【详解】解：∵，， ∴，即， 观察各选项，只有选项D符合题意， 故选：D． 3．（25-26七年级下·浙江宁波·月考）点A，B，C，D在同一平面，若，，，长的取值不可能的是（  ） A．1 B．5 C．8 D．12 【答案】D 【详解】解：根据三角形三边关系，可得， ∵，， ∴， 根据三角形三边关系，可得， ∵， ∴． ∵，不在该取值范围内， ∴长度的取值不可能是12． 4．（25-26八年级上·内蒙古赤峰·期末）已知等腰三角形的一边长为4，周长为13，则它的底边长为（    ） A．4 B．4或5 C．或 D．5 【答案】B 【分析】题目未说明已知边长是腰还是底边，需分类讨论，再验证三边关系得到结果． 【详解】解：分两种情况讨论：①当为底边长时，腰长， ∵，满足三角形三边关系，此种情况成立，此时底边长为； ②当为腰长时，底边长， ∵，满足三角形三边关系，此种情况成立，此时底边长为． ∴底边长为或． 5．（25-26八年级上·四川广安·期末）如图，为估计池塘两岸，两点间的距离，小明在池塘一侧选取了一点，测得，，则，两点间的距离不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形的三边关系的应用，根据三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边得到的取值范围，进而根据各选项数值即可求解． 【详解】解：由题意，，， ∴，即， 只有选项D中不可能是，两点间的距离，此选项符合题意， 故选：D． 6．（25-26七年级上·河南郑州·期末）如图，观察图形，下列结论中不正确的是（    ） A．直线与直线是同一条直线 B．线段与线段是同一条线段 C．射线与射线是同一条射线 D． 【答案】C 【分析】此题考查了三角形的三边关系，直线、射线、线段的定义，掌握三角形的三边关系及直线、射线、线段的定义是解题的关键． 根据三角形的三边关系及直线、射线、线段的定义依次判断即可求解． 【详解】解：、直线和直线是同一条直线，该选项说法正确，不符合题意； 、线段和线段是同一条线段，该选项说法正确，不符合题意； 、射线和射线，端点不同，不是同一条射线，该选项说法不正确，符合题意； 、，该选项说法正确，不符合题意； 故选：． 7．（24-25七年级下·全国·课后作业）有两根长度分别为和的木棒． (1)用长度为的木棒与它们能摆成三角形吗？为什么？ (2)用长度为的木棒与它们能摆成三角形吗？为什么？ (3)要能摆成三角形，第三边能用的木棒的长度范围是多少？ 【答案】(1)不能，理由见解析； (2)不能，理由见解析； (3)大于且小于． 【分析】本题考查了三角形的三边关系．三角形三边关系定理，第三边的长度必须大于已知两边之差且小于两边之和．据此求解即可． 【详解】（1）解：用长度为的木棒与它们不能摆成三角形． 因为，，不满足三角形三边之间的关系； （2）解：用长度为的木棒与它们不能摆成三角形． 因为，，不满足三角形三边之间的关系； （3）解：，， 所以要能摆成三角形，第三边能用的木棒的长度范围是大于且小于． 题型六 等腰三角形的定义 1．（25-26八年级上·浙江丽水·期末）以下列各组数据为边长，可以构成等腰三角形的是（　　） A．1，2，3 B．1，2，1 C．2，2，3 D．2，5，2 【答案】C 【分析】本题考查三角形三边关系．结合等腰三角形的定义与三角形三边关系，逐一判断各选项是否能构成等腰三角形． 【详解】解：A、，不满足三边关系， ∴无法构成三角形，该选项不符合题意； B、，不满足三边关系， ∴无法构成三角形，该选项不符合题意； C、有两边长为2，符合等腰三角形定义，且，满足三边关系， ∴可构成等腰三角形，该选项符合题意； D、，不满足三边关系， ∴无法构成三角形，该选项不符合题意； 故选：C． 2．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）以下列各组数据为边长，可以构成等腰三角形的是（    ） A．1，1，2 B．1，1，3 C．2，2，6 D．1，2，2 【答案】D 【分析】本题考查三角形三边关系．结合等腰三角形的定义与三角形三边关系，逐一判断各选项是否能构成等腰三角形． 【详解】解：A、，不满足三边关系，∴无法构成三角形，该选项不符合题意； B、，不满足三边关系，∴无法构成三角形，该选项不符合题意； C、，不满足三边关系，∴无法构成三角形，该选项不符合题意； D、有两边长为2，符合等腰三角形定义，且，满足三边关系，∴可构成等腰三角形，该选项符合题意； 故选：D． 3．（25-26八年级上·广东肇庆·期末）等腰三角形的底边长是8，周长是18，则它的腰长是（    ） A．5 B．8 C．10 D．18 【答案】A 【分析】本题考查等腰三角形的性质与三角形三边关系，先利用等腰三角形两腰相等的性质结合周长公式计算腰长，再验证是否满足三角形三边关系即可． 【详解】解：∵等腰三角形的周长为18，底边长为8，且等腰三角形两腰长度相等 ∴腰长， 又∵，满足三角形三边关系． ∴该等腰三角形的腰长为5． 故选：A． 4．（25-26八年级上·江苏镇江·期末）等腰三角形的两边长分别是4、8，则第三边长为（   ） A．4 B．8 C．4或8 D．4或12 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形三边关系．本题需结合等腰三角形两腰相等的性质，分情况讨论第三边的长度，再根据三角形三边关系（两边之和大于第三边）排除不符合的情况． 【详解】解：等腰三角形两边长为、 分两种情况讨论 ①若第三边长为，则三边为、、 ，不满足三角形两边之和大于第三边的关系 此情况不成立 ②若第三边长为，则三边为、、 ，，满足三角形三边关系 此情况成立 第三边长为 故选：B． 5．（25-26八年级上·河南商丘·期末）若实数满足，则以的值为两边长的等腰三角形的周长为___________． 【答案】20或22 【分析】本题考查了非负数之和为零，三角形三边关系，根据绝对值与偶次幂的非负性求出x、y的值，再分两种情况讨论等腰三角形的腰长与底边长，结合三角形三边关系判断能否构成三角形，进而计算周长． 【详解】解：， ，， ， 解得，， 当6为腰长，8为底边长时，三角形的三边分别为6、6、8，满足三角形三边关系， 周长， 当8为腰长，6为底边长时，三角形的三边分别为8、8、6，满足三角形三边关系， 周长， 该等腰三角形的周长为20或22． 故答案为：20或22． 6．（25-26八年级上·河南信阳·期末）若的边长分别为，且，则一定是___________三角形． 【答案】等腰 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，三角形三边关系的应用，由等式可得或，结合三角形三边关系，排除，故，即，因此三角形为等腰三角形． 【详解】解：∵， ∴或， 又∵的三边长分别为a，b，c， ∴，即， ∴不成立， 因此，即， ∴为等腰三角形． 故答案为：等腰． 7．（25-26八年级上·山东枣庄·期末）已知4，9为等腰的边长，则的周长是_____． 【答案】 【分析】本题考查等腰三角形的定义与三角形三边关系，关键是分情况讨论等腰三角形的腰长，并根据“三角形任意两边之和大于第三边”验证能否构成三角形．首先分两种情况：①腰长为4，底边长为9；②腰长为9，底边长为4；然后分别验证这两种情况是否满足三边关系，再计算符合条件的三角形周长． 【详解】解：分两种情况进行讨论： ①当等腰的腰长为，底边长为时， ，不满足三角形三边关系， 该情况无法构成三角形，舍去； ②当等腰的腰长为，底边长为时， ，，满足三角形三边关系， 此时的周长为； 故答案为：． 8．（25-26八年级上·广东云浮·期末）已知三角形的三边长分别为，和． (1)求的取值范围． (2)若这个三角形为等腰三角形，求该三角形的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了三角形的三边关系、等腰三角形，关键是熟练应用知识点解题； （1）根据三角形的三边关系即可求得； （2）由等腰三角形判断的值，即可求得周长． 【详解】（1）解：∵三角形的三边长分别为，和， ∴， ； （2）解：∵， ∴当时，该三角形为等腰三角形， ∴该三角形的周长为， 答：该三角形的周长为． 题型一 画三角形的高 1．（25-26八年级上·北京朝阳·期末）下面四个图中，线段是的高线的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】三角形高的定义：过三角形的顶点向对边作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高线． 【详解】解：根据三角形高的定义可知，选项A中线段是的高线． 2．（25-26八年级上·湖北武汉·期末）如图，在中交于点，交的延长线于点，交的延长线于点．下列线段中，边上的高是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的高．在三角形中，从一个顶点向它的对边所在的直线画垂线，顶点到垂足之间的线段叫做三角形的高，简称为高．直接利用三角形高的定义分析得出答案． 【详解】解：在中，边上的高是， 故选：B． 3．（2026七年级下·全国·专题练习）下列能表示的边上的高的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是三角形的高，从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．根据三角形的高的定义判断即可． 【详解】解：A．不是任何边上的高，故不符合题意； B．是边上的高，故符合题意； C．是边上的高，故不符合题意； D．不是任何边上的高，故不符合题意； 故选：B． 4．（25-26八年级上·浙江台州·期末）作的边上的高，其中直角三角板摆放正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形高的定义，从三角形的一个顶点出发向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高，根据高的定义即可得出结论，熟知三角形高的定义是解题的关键． 【详解】解：、作出的是中边上的高，故本选项错误，不符合题意； 、不能作出中边上的高，故本选项错误，不符合题意； 、作出的是中边上的高，故本选项正确，符合题意； 、不能作出中边上的高，故本选项错误，不符合题意； 故选：． 5．（25-26七年级上·江苏镇江·期末）如图，，点A在线段上，边上的高是（   ） A．线段 B．线段 C．线段 D．线段 【答案】B 【分析】本题考查了三角形高的定义，掌握三角形高的定义是解题的关键； 根据从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高，即可解决． 【详解】解：∵，点A在线段上， ∴， ∴边上的高是线段， 故选：B． 6．（25-26七年级上·江苏泰州·期末）如图，正方形网格中所有小正方形的边长都为1，规定每个小正方形的顶点为格点，点、、都是格点． (1)仅用直尺过点画，使； (2)仅用直尺画出的高； (3)比较大小：_____（填“>”、“=”或“<”），理由是__________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)，垂线段最短 【分析】本题主要考查相交线与平行线： （1）将直线沿着平移，当点到达点时，直线即为所求； （2）根据和，可求得； （3）根据“垂线段最短”，即可求得答案． 【详解】（1）如图所示，直线即为所求． （2）如图所示，线段即为所求． 如图所示，可知． 因为， 所以． 所以． 所以． （3）根据图形可知，，理由是垂线段最短． 故答案为：，垂线段最短 题型二 与三角形的高有关的计算问题 1．（2026七年级下·广东广州·专题练习）如图，点在直线上，点，在直线上，，，，，则下列说法错误的个数有（　　） ①点到的距离等于． ②点到直线的距离等于．③点到直线的距离等于． ④点到的距离等于 A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这个点到这条直线的距离． 【详解】解：因为， 所以点到的距离等于线段的长度，即点到的距离等于． ①错误． 因为， 所以点到直线的距离等于线段的长度，即点到直线的距离等于． ②正确． 因为， 所以点到直线距离等于线段的长度，即点到直线距离等于． ③正确． 如图所示，过点作的垂线，交于点． 点到的距离等于线段的长度． 因为， 所以． ④错误． 综上所述，说法错误的为①④，共个． 故选：B 2．（25-26八年级上·河南濮阳·期末）如图，在中，，，，点D是边上一动点(不与点A，C重合)，过点D作，分别交于点E，F．则的值为（   ） A．2.4 B．4.8 C．6 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形的面积等知识．根据，，，列出等式，由此即可解决问题． 【详解】解：连接， ，，， ，则， 则， 故选：B． 3．（25-26七年级上·山东淄博·期末）如图，，分别是的高线和中线，已知，，则的长为（    ） A．4 B．5 C．2.5 D．6 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形的中线和高线，熟练掌握三角形的中线平分三角形的面积，是解题的关键．根据是的中线，得出，再根据是的高线，以及三角形的面积公式即可得出的长． 【详解】解：是的中线，且， ． 是的高线，， ， 即， 解得． 故选：B． 4．（25-26八年级上·重庆铜梁·期末）如图，，是的高，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的高； 利用等面积法列式求解即可． 【详解】解：∵，且， ∴，即， ∴， 故选：C． 5．（2026七年级下·广东广州·专题练习）如图，中，，，，，P为线段上一动点（可以与重合），连接，令长为x，则x的取值范围是________． 【答案】 【分析】当P在B处时，最长为4；当时，最短，利用列方程计算即可． 【详解】解：∵，， ∴当P在B处时，最长， 此时； 当时，最短，如图： ∵， ∴ ； ∴． 6．（25-26八年级上·湖北武汉·期末）如图，是等腰三角形，O是底边上任意一点，过O作于E，作于F，若，的面积为12，则_____． 【答案】6 【分析】本题考查等腰三角形的定义，与三角形的高有关的计算，连接，根据，进行求解即可． 【详解】解：连接， ∵是等腰三角形，O是底边上任意一点，，， ∴，， ∵，的面积为12， ∴， ∴； 故答案为：6． 7．（21-22七年级下·四川自贡·月考）如图，三角形中，，，点A到边的距离为3． (1)点C到边的距离应该是哪条线段的长？请作出这条线段； (2)求点C到边的距离． 【答案】(1)见解析 (2)点C到边的距离为4． 【分析】（1）过C点作交延长线于F点，然后根据点到直线的距离的定义求解； （2）过A点作于E点，如图，则，然后利用面积法求出的长即可． 【详解】（1）解：如图，点C到边的距离为线段的长； ； （2）解：过A点作于E点，如图，则， ∵， ∴， 即点C到边的距离为4． 8．（24-25八年级上·新疆阿克苏·月考）如图，中，、边上的高分别是、．已知，，． (1)的面积； (2)的长度． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：的面积为：； （2）解：， ． 9．（25-26八年级上·湖南娄底·期末）如图，的面积为14，，．求阴影部分的面积． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形的面积计算，根据三角形中线求三角形的面积．根据，得出，从而求出，根据三角形中线求出，即可得出阴影部分的面积． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 答：阴影部分的面积为． 题型三 三角形角平分线的定义 1．（25-26八年级上·江西南昌·月考）如图，在中，，G为的中点，延长交于点E，F为上的一点，于点H．下列判断错误的有（　　） A．是的角平分线 B．为边上的高 C．是边上的中线 D．为的高线 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的角平分线、三角形的高线、以及三角形的中线，根据三角形的角平分线、三角形的高线、以及三角形的中线的定义逐项分析即可． 【详解】解：A．∵，是的角平分线，正确； B．∵，为边上的高，正确； C．∵G为的中点，是边上的中线，故原说法不正确； D．∵，为的高线，正确； 故选C． 2．（25-26八年级上·浙江嘉兴·期末）如图，在中，为的平分线，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，把一个角分成两个相等的角的线叫做角平分线． 根据角平分线的定义求解即可． 【详解】解：∵为的平分线， ∴，故D选项符合题意． 故选D． 3．（25-26八年级上·河南信阳·期中）如图，在中是的平分线，，，那么（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了三角形角平分线的定义，三角形外角的性质． 首先由角平分线得到，然后根据三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：是的平分线，， ， 又， ． 故选：C． 4．（25-26八年级上·山西太原·月考）如图，在中，是角平分线，是中线，若，则，若，则_____度． 【答案】36 【分析】本题考查了三角形的角平分线和中线，掌握相关定义是解题关键． 根据角平分线将角分成相等的两个角，可求出的度数． 【详解】解：∵是角平分线，， ∴， ∴， 故答案为：36． 5．（25-26七年级上·江苏无锡·月考）如图，是直线上一点，． (1)尺规作图：作；（不写画法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，是否平分？为什么？ 【答案】(1)图见解析 (2)平分，理由见解析 【分析】本题考查了作图—作一个角等于已知角，角平分线的判定和与余角、补角的有关计算，作出正确的图象是解决本题的关键． （1）以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交、于两点；再以这两点间的距离为半径，在的另一侧画弧，与之前的弧交于点E，连接，则； （2）根据可得，再通过角的转换可得，进而即可得到平分． 【详解】（1）解：如图，即为所求， （2）解：平分，理由如下： ∵， ∴， 由图可得，， ∴， ∵，且， ∴， ∴平分． 6．（25-26七年级上·全国·期末）请你在图中画出的角平分线，并填空：． 【答案】见解析，2；2； 【分析】根据角平分线的定义画出图形，结合图形即可得出，，解答即可． 本题考查了角的平分线基本作图，角的平分线的定义，熟练掌握作图和定义是解题的关键． 【详解】解：根据题意，作图如下： ∵是的平分线， ∴，， 故答案为：2；2；． 7．（25-26八年级上·河南信阳·期中）如图，在中，是角平分线，点D在边上（不与点A，B重合），与交于点O． (1)若是中线，，则与的周长差为______． (2)若，是的高，求的度数． 【答案】(1)2 (2) 【分析】本题主要考查了三角形中线，高，角平分线的定义，直角三角形两锐角互余： （1）根据三角形中线的定义可得，即可求解； （2）根据角平分线的定义可得，再由三角形高的定义可得，从而得到，即可求解． 【详解】（1）解：∵是的中线， ∴， ∵， ∴与的周长差为； （2）解：∵是角平分线，， ∴， ∵是的高， ∴， ∴， ∴． 8．（25-26八年级上·新疆吐鲁番·期中）如图，是中 边上一点，连接，且． (1)图中共有几个三角形，分别是哪些? (2)是的 ．（填“高线”“中线”或“角平分线”） (3)若，，求 的度数． 【答案】(1)图中共有个三角形，分别是，， (2)角平分线 (3) 【分析】（）根据三角形的定义解答 即可； （）根据角平分线的定义即可求解； （）由可得，再根据三角形内角和定理即可求解； 本题考查了三角形的定义，角平分线的定义，三角形内角和定理，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：图中共有个三角形，分别是，，； （2）解：∵， ∴是的角平分线， 故答案为：角平分线； （3）解：∵，， ∴， ∵， ∴． 题型四 重心的概念及其性质 1．（25-26八年级上·安徽芜湖·期末）如图，用铅笔支起一块质地均匀的三角形薄板，使薄板保持平衡，关于这个平衡点位置的确定，下列说法正确的是（    ） A．画出三角形薄板的三条高，取其交点 B．画出三角形薄板的三条中线，取其交点 C．画出三角形薄板的三条角平分线，取其交点 D．过不同顶点画出三角形薄板的一条高，中线和角平分线，取其交点． 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形的重心的概念，掌握三角形的重心为三角形三边中线的交点是解题的关键． 根据题意得：支撑点应是三角形的重心，据此即可解答． 【详解】解：∵支撑点应是三角形的重心， ∴支撑点是三角形三边中线的交点． 故选：B． 2．（25-26八年级上·福建厦门·期末）平面图形的重心是指这个平面图形形状的匀质薄板的重心．下列图形中重心不一定在直线上的是（    ） A．B． C．D． 【答案】B 【分析】本题考查重心． 根据重心的概念，对各选项进行分析判断即可． 【详解】解：A．由作图可知，为三角形的一条中线所在的直线，重心一定在直线上，不符合题意； B．为三角形的一条高所在的直线，重心不一定在直线上，符合题意； C．组合图形关于直线对称，重心一定在直线上，不符合题意； D．点为正方形的重心，点为长方形的重心，重心一定在直线上，不符合题意． 故选：B． 3．（25-26八年级上·河北邯郸·期末）如图，在正方形网格图中，均为格点，则的重心在（   ） A．线段上 B．线段上 C．线段上 D．线段上 【答案】B 【分析】本题主要考查了重心的概念．根据三角形的重心是三角形中线的交点即可判断重心的位置． 【详解】解：∵， ∴是的中线， ∵三角形的重心是三角形中线的交点， ∴它的重心在线段上． 故选：B． 4．（25-26八年级上·云南昆明·期末）如图，用一个支点顶住一个三角形匀质薄板，慢慢调整薄板，使其能够在支点上保持平衡，此时，薄板与支点接触的点就是三角形匀质薄板的（    ） A．重心，即三边中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三边上高所在直线的交点 D．内部任意一点 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的重心的概念和性质，熟练掌握数学知识在实际生活中的应用是解题的关键．支点应是三角形的重心，三条中线的交点就是三角形的重心，据此即可作答． 【详解】解：能使三角形保持平衡的支点是重心，而三角形的重心是三边中线的交点． 故选：A． 5．（25-26八年级上·广西崇左·期末）在中，是的重心，连接并延长交于点，若，则______． 【答案】6 【分析】本题主要考查了三角形重心的性质，熟练掌握三角形的重心是三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点距离的倍，以及中线将对边平分的性质是解题的关键．根据三角形重心的性质，重心是三条中线的交点，因此点是边的中点，再利用中点的定义即可求出的长度． 【详解】解：∵是的重心， ∴是的中线， ∴是的中点， ∵， ∴， 故答案为：． 6．（23-24九年级上·上海·月考）如图，已知：G是的重心，，那么______． 【答案】 【分析】本题考查了三角形重心的性质，三角形的中线的性质，根据G是的重心，得出是的中线，可得，根据重心的性质可得，即可得出． 【详解】解：∵G是的重心， ∴是的中线，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 7．（25-26九年级上·河南驻马店·期末）如图，点D，E分别是，中点，与交于点G．若，则_____． 【答案】3 【分析】本题考查了三角形重心的性质. 根据题意得到G点为的重心，再结合计算即可． 【详解】解：∵点D，E分别是，中点，与交于点G， ∴G点为的重心， ∴. 故答案为：3． 8．（25-26九年级上·上海奉贤·期中）如果点是的重心，是边的中点，那么的值为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了重心的性质“重心将每条中线分成两部分，其中从顶点到重心的部分与从重心到中点的部分之比为”．根据重心的性质进行求解即可． 【详解】解：∵点是的重心，是边的中点， ∴， 故答案为：． 题型五 利用网格求三角形面积 1．（25-26七年级上·江苏无锡·期末）如图是一个的正方形网格，点、、都在正方形网格的格点上． (1)的面积等于___________； (2)过点作线段（点为格点），使得； (3)在上取一点，画线段，使其长度表示点到的距离； (4)作点，使得点到、、、四点的距离之和最小． 【答案】(1)4 (2)见解析 (3)见解析 (4)见解析 【分析】此题考查了求三角形面积，作平行线和垂线，两点之间线段最短，解题的关键是掌握以上知识点． （1）利用割补法求解即可； （2）根据网格的特点和平行线的判定求解即可； （3）取格点F连接交于点M即为所求； （4）利用两点之间线段最短求解即可． 【详解】（1）解：的面积等于； （2）解：如图所示，线段即为所求； （3）解：如图所示，线段即为所求； （4）解：如图所示，点E即为所求． 2．（25-26七年级上·江苏苏州·期末）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1． (1)过点画直线，垂足为点；画直线，与相交于点； (2)求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)15 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，掌握三角形的面积的求法是解题的关键． （1）直接利用网格结合垂线与平行线的判定方法作图即可； （2）利用割补法求出四边形的面积即可． 【详解】（1）解：观察线段在正方形的对角线上，故过点P朝直线的一侧作正方形的对角线，与直线交于点E，则满足．线段在正方形的对角线上，故自点P同样作相同方向的正方形的对角线，与直线交于点F，则满足． （2）解：， 即，四边形的面积是15． 3．（25-26七年级上·江苏盐城·期末）如图，所有小正方形的边长都为都在格点上． (1)过点画直线的垂线段，垂足为；过点画直线的平行线，标出格点（不写画法，保留画图痕迹）； (2)线段______的长度是点到直线的距离； (3)连接，计算的面积为_______； (4)线段的大小关系为______（填“”“”或“=”），理由是_____． 【答案】(1)见解析 (2) (3) (4)，垂线段最短 【分析】本题考查作图—应用与设计作图，垂线段最短，点到直线的距离，三角形的面积，平行线的判定和性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题． （1）根据垂线，平行线的定义画出图形； （2）根据点到直线的距离的定义判断即可； （3）利用三角形面积公式求解； （4）利用垂线段最短解决问题． 【详解】（1）解：如图，直线，直线即为所求； （2）解：线段的长表示点到直线的距离； 故答案为：； （3）解：的面积， 故答案为：； （4）解：(垂线段最短)， 故答案为：，垂线段最短． 4．（25-26七年级上·江苏南京·期末）如图，点在格点上． (1)过点画的垂线； (2)过点画的平行线； (3)此方格纸中，有不同于点的格点，使的面积与的面积相等，标出满足条件的格点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了画垂线、平行线、三角形面积等知识点． （1）根据题意结合网格特征即可作出垂线； （2）根据题意结合网格特征即可作出平行线； （3）根据是直角三角形，且，直角边分别是和找到符合条件的点． 【详解】（1）解：如图，即为所求垂线； （2）解：如图，即为所求平行线； （3）解：如图，，即为所求点； 5．（25-26七年级上·江苏无锡·期末）在如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点都叫做格点． (1)按下列要求画图：过点和一格点画的平行线；过点和一格点画的垂线，并在图中标出格点和． (2)三角形的面积为__________． 【答案】(1)图见解析 (2) 【分析】本题考查画平行线和垂线，利用网格求三角形的面积： （1）利用平移思想，画出即可，借助三角板画出垂线确定点即可； （2）借助网格求三角形的面积即可． 【详解】（1）解：由题意，画图如下： （2）解：三角形的面积为， 故答案为：． 6．（25-26七年级上·江苏宿迁·期末）在如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点都叫格点，请利用网格特征，解答下列问题． (1)过点B画线段的垂线，并在网格中标出格点A； (2)连接，则的面积为________． 【答案】(1)见详解 (2)6.5 【分析】（1）根据垂线的定义画出图形； （2）根据正方形的面积减去周围三个三角形的面积，即可得到的面积． 本题考查了画垂线，网格中求三角形的面积，熟练掌握画垂线的方法是解题的关键． 【详解】（1）解：如图，垂线即为所求，A点为格点； （2）解：． 故答案为：6.5． 7．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）如图，在的正方形网格中，已知的顶点都在格点上，请根据下列要求利用网格作图并回答问题： (1)过点作直线的平行线； (2)过点作直线的垂线，垂足为点； (3)点到直线的距离是线段_________的长度； (4)的面积为____________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) (4) 【分析】此题考查了网格的作图和网格中求三角形的面积，熟练掌握网格的特点是关键． （1）利用网格的特点作平行线即可； （2）利用网格的特点作垂线即可； （3）根据点到直线的距离的定义进行解答即可； （4）利用包含三角形的长方形的面积减去周围三个三角形的面积即可求出答案． 【详解】（1）解：如图，即为所求， （2）如图，即为所求， （3）点到直线的距离是线段的长度； 故答案为： （4）的面积为 故答案为： 题型六 平行线与三角形综合问题 1．（2011·河北邯郸·中考模拟）如图，已知直线AB∥CD，∠C=125°，∠A=45°，那么∠E的大小为（ ） A．70° B．80° C．90° D．100° 【答案】B 【分析】根据两直线平行，同位角相等，及邻补角的定义求得∠EFA=55°，再利用三角形内角和定理即可求得∠E的度数． 【详解】解：如图所示， ∵AB∥CD，∠C=125°， ∴∠C=∠EFB=125°， ∴∠EFA=180-125=55°， ∵∠A=45°， ∴∠E=180°-∠A-∠EFA=180°-45°-55°=80°． 故选：B． 【点睛】本题应用的知识点为：根据两直线平行，同位角相等，邻补角的定义，三角形内角和定理． 2．（16-17八年级上·全国·课后作业）如图，已知，，直线分别交于，点G在直线上，，若，则的度数为____________. 【答案】58° 【分析】本题主要考查对垂线，三角形的内角和定理，平行线的性质等知识点的理解和掌握，能求出的度数是解此题的关键． 【详解】解：， ， ，， ， ， ． 故答案为：58°． 3．（12-13七年级下·江西景德镇·期末）如图，已知D、E在的边上，，，，则的度数为___． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角形的内角和定理，是中考中比较常见的知识点，一般难度不大，需熟练掌握． 先根据平行线的性质求得的度数，再根据三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：，， ， ， ． 故答案为：． 4．（23-24七年级下·河北保定·期末）如图是某款婴儿手推车的平面示意图，若，，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查求角度，涉及平行线性质、邻补角定义、三角形内角和定理等知识，先由平行性质得到，再由邻补角定义及三角形内角和得到即可确定答案，数形结合，准确表示出各个角度是解决问题的关键． 【详解】解：如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，则． 5．（16-17七年级下·江苏镇江·月考）如图，，，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质及三角形内角和定理． 先根据可知，再由三角形外角的性质求出的度数，根据平行线的性质即可得出结论． 【详解】解：， ，                   ， ， ，     ， ． 题型一 三角形的综合运用 1．（25-26八年级上·广东佛山·期末）在学习完三角形的中线相关性质后，某数学兴趣小组进行了进一步的探究学习． 资料1 三角形的中线可以将三角形的面积分成相等的两部分． 资料2 如下图，在四边形中，对角线与交于点O，若，则． 探究1 如图1，过边上任意一点D作一条直线，使其平分的面积． 思路：如图2，连接，过点A作交的延长线于点E，连接交于点G，取中点F，连接，则即为所求直线． 探究2 如下图，过四边形的顶点A作一条直线，使其平分四边形的面积． 问题1 根据探究1中给的思路证明平分的面积． 问题2 请完成探究2，并说明理由． 【答案】问题1：见解析；问题2：见解析 【分析】本题考查了三角形中线的性质，平行线的性质及三角形的面积，添加平行线，构造等积变形的图形是关键． （1）根据资料2可知，所以，再根据三角形中线的性质，即可证明结论； （2）连接，过点B作交的延长线于点E，取中点F，作直线，根据资料2可知，所以，再根据三角形中线的性质，即可得到结论． 【详解】（1）证明：， ， ， 即， 为的中点， ， 平分的面积． （2）如图2，连接，过点B作交的延长线于点E，取中点F，作直线，则即为所求直线． 证明：， ， ， 即， 为的中点， ， 平分四边形的面积． 2．（25-26八年级上·河南周口·期末）如图1，大正方形的面积可以表示为，同时大正方形的面积也可以表示为，从而验证了完全平方公式：．把这种“同一图形的面积，用两种不同的方法表示从而构建等式，根据等式解决相关问题”的方法称为“面积法”． (1)用上述“面积法”，根据图2中图形的面积关系，写出一个等式：________． (2)如图3，中，，，，，是斜边上的高，求的长． (3)如图4，等腰中，，为底边上任意一点，，，垂足分别为，，，连接，求证：． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】本题考查了整式乘法的几何背景、图形的拆分前后的面积相等、类比法等，解答的关键是根据已知条件和图形特点，利用拆分前后的面积相等分析、推理和计算． （1）大正方形的面积为一个正方形的面积与三个小长方形面积之和，即，同时大正方形的面积也可以为，列出等量关系即可； （2）根据，代入数值解之即可； （3）由和三角形面积公式即可得证． 【详解】（1）解：如图2，大正方形的面积为一个正方形的面积与三个小长方形面积之和， 即， 同时大长方形的面积也可以为， 所以． （2）解：如图，在中， ∵，， ， ． （3）证明：如图，，，，， ． ， ． 3．（25-26七年级上·山东聊城·期末）将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点按如图方式叠放在一起其中，，；：     (1)若，则的度数为_______________．若，则的度数为_____________． (2)由（1）猜想与的数量关系，并说明理由． (3)当，且点在直线的上方时，这两块三角尺是否存在一组边互相平行 若存在，请直接写出角度所有可能的值并写明此时哪两条边平行，但不必说明理由；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；； (2)，见解析 (3)存在，当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，． 【分析】该题考查的是三角形内角和定理，平行线的判定与性质等知识．  （1）先根据直角三角板的性质求出及的度数，进而可得出的度数；由，，可得出的度数，进而得出的度数；  （2）根据（1）中的结论可提出猜想，再由，可得出结论；  （3）分，，，及进行解答． 【详解】（1）解：，，  ，  ，  ．  故答案为；  ，，  ，  ．  故答案为； （2）猜想：．  理由如下：，  又，  ，  即； （3），，，，．  理由：当时，如图1所示：  ∴， ∴； 当时，如图2所示： ∴； 当时，如图3所示： ∴ ∴；  当时，如图4所示： ∴， ∴；  当时，延长交于F，如图5所示： ∴， ∵，， ∴， ∴． 1 / 62 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.1认识三角形 题型一 三角形的识别与有关概念 1．（2026七年级下·全国·专题练习）下列由三条线段组成的图形是三角形的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·河北邯郸·期末）在中，边的对角是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·四川凉山·期末）观察下列图形，其中符合三角形概念的图形是（） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·广西崇左·月考）在中，边所对的角是（ ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级上·陕西榆林·期中）如图，下列四个三角形中，以为角的三角形是（   ） A． B． C． D． 6．（2026七年级下·全国·专题练习）如图，中，与的夹角是____________，，的公共边是____________． 7．（25-26八年级上·河北衡水·期中）如图，在中，顶点F的对边是______． 8．（25-26七年级下·全国·课后作业）请举出现实生活中有关三角形的实例． 题型二 三角形的个数问题 1．（25-26八年级上·河南安阳·期末）图中共有（   ）个三角形． A．5 B．6 C．7 D．8 2．（21-22七年级下·江苏南京·期中）已知，如图，以为边的三角形的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（25-26八年级上·四川绵阳·期末）如图中三角形的个数是（　　） A．4 B．6 C．9 D．5 4．（25-26八年级上·云南昭通·期末）如图，以为公共角的三角形有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 5．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图所示，图中共有________个三角形，其中以为边的三角形有_______________，是________的内角． 6．（2026七年级下·全国·专题练习）如图，图中三角形的个数为________；以为边的三角形是_________________，以为一个内角的三角形是____________________． 7．（25-26七年级下·全国·课后作业）请找出图中所有的三角形，并把它们写出来． 题型三 三角形的分类 1．（25-26八年级上·江苏盐城·月考）如图是三角形按边分类的关系图，则图中的A表示（　　） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列说法：（1）三角形按边分类可分为不等边三角形、等腰三角形和等边三角形；（2）三角形两边之和不一定大于第三边；（3）等边三角形一定是等腰三角形；（4）有两边相等的三角形一定是等腰三角形．其中说法正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）在中，，，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．锐角三角形 4．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，某一个三角形被长方形纸板遮住一部分，只露出一个角，你能判断它是什么三角形吗？你的判断是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上都有可能 5．（25-26八年级上·贵州黔西南·月考）若一个三角形三条边的长度比是，则这个三角形是（   ） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 6．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）一个三角形的两个锐角互余，则这个三角形是（   ）． A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定 7．（24-25七年级下·全国·课后作业）在课堂上，老师在黑板上画出了如图所示的三个三角形，让同学们根据它们的边长进行分类．其中，分类错误的是（    ） A．①是不等边三角形 B．②是等腰三角形 C．③是等边三角形 D．②③是等边三角形 8．（25-26八年级上·浙江金华·期末）已知中，，则按角分类是________三角形． 9．（25-26八年级上·河南开封·期末）已知一个三角形的三个内角的度数之比为，那么这个三角形是_______（填“锐角”“直角”或“钝角”）三角形． 10．（25-26八年级上·浙江舟山·期末）三角形可以按内角的大小如下分类：图中“？”处是_______． 11．（24-25七年级下·全国·课后作业）（1）在中，若，则____________．这个三角形是____________三角形． （2）若一个三角形三个内角的比为，则这个三角形是____________三角形． （3）在中，若，比小，则____________．这个三角形是____________三角形． 题型四 构成三角形的条件 1．（21-22七年级下·辽宁辽阳·期中）有下列长度的三条线段，能组成三角形的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．（25-26八年级下·四川泸州·开学考试）下列长度的三条线段中，不能组成三角形的是（　　） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·广西来宾·期末）下列各组线段首尾相接，不能组成三角形的是（　　）． A．，， B．，， C．，， D．，， 4．（24-25八年级下·北京·开学考试）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（   ） A．2，5，5 B．3，5，9 C．2，3，5 D．5，12，7 5．（25-26八年级上·内蒙古赤峰·期末）下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能组成三角形的是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级下·湖北武汉·开学考试）从四根长度分别为，，，的木棒中任取三根摆成三角形，那么所摆成的三角形的周长不可能是（　　） A． B． C． D． 7．（21-22七年级下·江苏连云港·月考）已知是等腰三角形，如果它的两条边的长分别为和，那么它的周长是_______． 8．（21-22八年级上·重庆璧山·期中）等腰三角形的两边长分别是4和5，则这个等腰三角形的周长为_________． 题型五 三角形三边关系的应用 1．（25-26八年级上·湖南常德·期末）如图，常德市屈原公园内有两处标志性观景台．测量小组在景区内选取一点，测得，，据此估计观景台之间的距离可能为（　　） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·安徽六安·期末）如图所示，为估计池塘两岸A，B间的距离，小明在池塘一侧选取一点P，测得，，那么A，B之间的距离不可能是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·浙江宁波·月考）点A，B，C，D在同一平面，若，，，长的取值不可能的是（  ） A．1 B．5 C．8 D．12 4．（25-26八年级上·内蒙古赤峰·期末）已知等腰三角形的一边长为4，周长为13，则它的底边长为（    ） A．4 B．4或5 C．或 D．5 5．（25-26八年级上·四川广安·期末）如图，为估计池塘两岸，两点间的距离，小明在池塘一侧选取了一点，测得，，则，两点间的距离不可能是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26七年级上·河南郑州·期末）如图，观察图形，下列结论中不正确的是（    ） A．直线与直线是同一条直线 B．线段与线段是同一条线段 C．射线与射线是同一条射线 D． 7．（24-25七年级下·全国·课后作业）有两根长度分别为和的木棒． (1)用长度为的木棒与它们能摆成三角形吗？为什么？ (2)用长度为的木棒与它们能摆成三角形吗？为什么？ (3)要能摆成三角形，第三边能用的木棒的长度范围是多少？ 题型六 等腰三角形的定义 1．（25-26八年级上·浙江丽水·期末）以下列各组数据为边长，可以构成等腰三角形的是（　　） A．1，2，3 B．1，2，1 C．2，2，3 D．2，5，2 2．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）以下列各组数据为边长，可以构成等腰三角形的是（    ） A．1，1，2 B．1，1，3 C．2，2，6 D．1，2，2 3．（25-26八年级上·广东肇庆·期末）等腰三角形的底边长是8，周长是18，则它的腰长是（    ） A．5 B．8 C．10 D．18 4．（25-26八年级上·江苏镇江·期末）等腰三角形的两边长分别是4、8，则第三边长为（   ） A．4 B．8 C．4或8 D．4或12 5．（25-26八年级上·河南商丘·期末）若实数满足，则以的值为两边长的等腰三角形的周长为___________． 6．（25-26八年级上·河南信阳·期末）若的边长分别为，且，则一定是___________三角形． 7．（25-26八年级上·山东枣庄·期末）已知4，9为等腰的边长，则的周长是_____． 8．（25-26八年级上·广东云浮·期末）已知三角形的三边长分别为，和． (1)求的取值范围． (2)若这个三角形为等腰三角形，求该三角形的周长． 题型一 画三角形的高 1．（25-26八年级上·北京朝阳·期末）下面四个图中，线段是的高线的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·湖北武汉·期末）如图，在中交于点，交的延长线于点，交的延长线于点．下列线段中，边上的高是（   ） A． B． C． D． 3．（2026七年级下·全国·专题练习）下列能表示的边上的高的是（ ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·浙江台州·期末）作的边上的高，其中直角三角板摆放正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26七年级上·江苏镇江·期末）如图，，点A在线段上，边上的高是（   ） A．线段 B．线段 C．线段 D．线段 6．（25-26七年级上·江苏泰州·期末）如图，正方形网格中所有小正方形的边长都为1，规定每个小正方形的顶点为格点，点、、都是格点． (1)仅用直尺过点画，使； (2)仅用直尺画出的高； (3)比较大小：_____（填“>”、“=”或“<”），理由是__________． 题型二 与三角形的高有关的计算问题 1．（2026七年级下·广东广州·专题练习）如图，点在直线上，点，在直线上，，，，，则下列说法错误的个数有（　　） ①点到的距离等于． ②点到直线的距离等于．③点到直线的距离等于． ④点到的距离等于 A．个 B．个 C．个 D．个 2．（25-26八年级上·河南濮阳·期末）如图，在中，，，，点D是边上一动点(不与点A，C重合)，过点D作，分别交于点E，F．则的值为（   ） A．2.4 B．4.8 C．6 D．无法确定 3．（25-26七年级上·山东淄博·期末）如图，，分别是的高线和中线，已知，，则的长为（    ） A．4 B．5 C．2.5 D．6 4．（25-26八年级上·重庆铜梁·期末）如图，，是的高，，则（   ） A． B． C． D． 5．（2026七年级下·广东广州·专题练习）如图，中，，，，，P为线段上一动点（可以与重合），连接，令长为x，则x的取值范围是________． 6．（25-26八年级上·湖北武汉·期末）如图，是等腰三角形，O是底边上任意一点，过O作于E，作于F，若，的面积为12，则_____． 7．（21-22七年级下·四川自贡·月考）如图，三角形中，，，点A到边的距离为3． (1)点C到边的距离应该是哪条线段的长？请作出这条线段； (2)求点C到边的距离． 8．（24-25八年级上·新疆阿克苏·月考）如图，中，、边上的高分别是、．已知，，． (1)的面积； (2)的长度． 9．（25-26八年级上·湖南娄底·期末）如图，的面积为14，，．求阴影部分的面积． 题型三 三角形角平分线的定义 1．（25-26八年级上·江西南昌·月考）如图，在中，，G为的中点，延长交于点E，F为上的一点，于点H．下列判断错误的有（　　） A．是的角平分线 B．为边上的高 C．是边上的中线 D．为的高线 2．（25-26八年级上·浙江嘉兴·期末）如图，在中，为的平分线，则（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·河南信阳·期中）如图，在中是的平分线，，，那么（   ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·山西太原·月考）如图，在中，是角平分线，是中线，若，则，若，则_____度． 5．（25-26七年级上·江苏无锡·月考）如图，是直线上一点，． (1)尺规作图：作；（不写画法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，是否平分？为什么？ 6．（25-26七年级上·全国·期末）请你在图中画出的角平分线，并填空：． 7．（25-26八年级上·河南信阳·期中）如图，在中，是角平分线，点D在边上（不与点A，B重合），与交于点O． (1)若是中线，，则与的周长差为______． (2)若，是的高，求的度数． 8．（25-26八年级上·新疆吐鲁番·期中）如图，是中 边上一点，连接，且． (1)图中共有几个三角形，分别是哪些? (2)是的 ．（填“高线”“中线”或“角平分线”） (3)若，，求 的度数． 题型四 重心的概念及其性质 1．（25-26八年级上·安徽芜湖·期末）如图，用铅笔支起一块质地均匀的三角形薄板，使薄板保持平衡，关于这个平衡点位置的确定，下列说法正确的是（    ） A．画出三角形薄板的三条高，取其交点 B．画出三角形薄板的三条中线，取其交点 C．画出三角形薄板的三条角平分线，取其交点 D．过不同顶点画出三角形薄板的一条高，中线和角平分线，取其交点． 2．（25-26八年级上·福建厦门·期末）平面图形的重心是指这个平面图形形状的匀质薄板的重心．下列图形中重心不一定在直线上的是（    ） A．B． C．D． 3．（25-26八年级上·河北邯郸·期末）如图，在正方形网格图中，均为格点，则的重心在（   ） A．线段上 B．线段上 C．线段上 D．线段上 4．（25-26八年级上·云南昆明·期末）如图，用一个支点顶住一个三角形匀质薄板，慢慢调整薄板，使其能够在支点上保持平衡，此时，薄板与支点接触的点就是三角形匀质薄板的（    ） A．重心，即三边中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三边上高所在直线的交点 D．内部任意一点 5．（25-26八年级上·广西崇左·期末）在中，是的重心，连接并延长交于点，若，则______． 6．（23-24九年级上·上海·月考）如图，已知：G是的重心，，那么______． 7．（25-26九年级上·河南驻马店·期末）如图，点D，E分别是，中点，与交于点G．若，则_____． 8．（25-26九年级上·上海奉贤·期中）如果点是的重心，是边的中点，那么的值为______． 题型五 利用网格求三角形面积 1．（25-26七年级上·江苏无锡·期末）如图是一个的正方形网格，点、、都在正方形网格的格点上． (1)的面积等于___________； (2)过点作线段（点为格点），使得； (3)在上取一点，画线段，使其长度表示点到的距离； (4)作点，使得点到、、、四点的距离之和最小． 2．（25-26七年级上·江苏苏州·期末）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1． (1)过点画直线，垂足为点；画直线，与相交于点； (2)求四边形的面积． 3．（25-26七年级上·江苏盐城·期末）如图，所有小正方形的边长都为都在格点上． (1)过点画直线的垂线段，垂足为；过点画直线的平行线，标出格点（不写画法，保留画图痕迹）； (2)线段______的长度是点到直线的距离； (3)连接，计算的面积为_______； (4)线段的大小关系为______（填“”“”或“=”），理由是_____． 4．（25-26七年级上·江苏南京·期末）如图，点在格点上． (1)过点画的垂线； (2)过点画的平行线； (3)此方格纸中，有不同于点的格点，使的面积与的面积相等，标出满足条件的格点． 5．（25-26七年级上·江苏无锡·期末）在如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点都叫做格点． (1)按下列要求画图：过点和一格点画的平行线；过点和一格点画的垂线，并在图中标出格点和． (2)三角形的面积为__________． 6．（25-26七年级上·江苏宿迁·期末）在如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点都叫格点，请利用网格特征，解答下列问题． (1)过点B画线段的垂线，并在网格中标出格点A； (2)连接，则的面积为________． 7．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）如图，在的正方形网格中，已知的顶点都在格点上，请根据下列要求利用网格作图并回答问题： (1)过点作直线的平行线； (2)过点作直线的垂线，垂足为点； (3)点到直线的距离是线段_________的长度； (4)的面积为____________． 题型六 平行线与三角形综合问题 1．（2011·河北邯郸·中考模拟）如图，已知直线AB∥CD，∠C=125°，∠A=45°，那么∠E的大小为（ ） A．70° B．80° C．90° D．100° 2．（16-17八年级上·全国·课后作业）如图，已知，，直线分别交于，点G在直线上，，若，则的度数为____________. 3．（12-13七年级下·江西景德镇·期末）如图，已知D、E在的边上，，，，则的度数为___． 4．（23-24七年级下·河北保定·期末）如图是某款婴儿手推车的平面示意图，若，，，求的度数． 5．（16-17七年级下·江苏镇江·月考）如图，，，，求的度数． 题型一 三角形的综合运用 1．（25-26八年级上·广东佛山·期末）在学习完三角形的中线相关性质后，某数学兴趣小组进行了进一步的探究学习． 资料1 三角形的中线可以将三角形的面积分成相等的两部分． 资料2 如下图，在四边形中，对角线与交于点O，若，则． 探究1 如图1，过边上任意一点D作一条直线，使其平分的面积． 思路：如图2，连接，过点A作交的延长线于点E，连接交于点G，取中点F，连接，则即为所求直线． 探究2 如下图，过四边形的顶点A作一条直线，使其平分四边形的面积． 问题1 根据探究1中给的思路证明平分的面积． 问题2 请完成探究2，并说明理由． 2．（25-26八年级上·河南周口·期末）如图1，大正方形的面积可以表示为，同时大正方形的面积也可以表示为，从而验证了完全平方公式：．把这种“同一图形的面积，用两种不同的方法表示从而构建等式，根据等式解决相关问题”的方法称为“面积法”． (1)用上述“面积法”，根据图2中图形的面积关系，写出一个等式：________． (2)如图3，中，，，，，是斜边上的高，求的长． (3)如图4，等腰中，，为底边上任意一点，，，垂足分别为，，，连接，求证：． 3．（25-26七年级上·山东聊城·期末）将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点按如图方式叠放在一起其中，，；：     (1)若，则的度数为_______________．若，则的度数为_____________． (2)由（1）猜想与的数量关系，并说明理由． (3)当，且点在直线的上方时，这两块三角尺是否存在一组边互相平行 若存在，请直接写出角度所有可能的值并写明此时哪两条边平行，但不必说明理由；若不存在，请说明理由． 1 / 62 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $