1.1认识三角形（题型专练）数学鲁教版五四制2024七年级上册

1.1认识三角形 题型一 三角形基本概念 1．（24-25七年级下·全国·随堂练习）下面是用火柴棒围成的图形，其中是三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形的定义，根据不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接得到的封闭图形是三角形解题即可． 【详解】解：首尾顺次相接得到三角形的是B选项， 故选：B． 2． （24-25七年级下·全国·课后作业）在△ABC中，BC边的对角是（　　） A．∠A B．∠B C．∠C D．∠D 【答案】A 【分析】由对角、对边的关系可求得答案． 【解答】解：在△ABC中，BC边的对角是∠A， 故选：A． 3．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在△ABC中，D，E分别为BC，AB上的点，则以D为顶点的三角形的个数为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了三角形，熟练掌握三角形的定义是解题的关键,根据三角形的定义即可得到结论． 【解答】解：以D为顶点的三角形有△ADE，△ADC，△BDE，△ADB共4个三角形， 故选：B． 4．（24-25八年级上·全国·随堂练习）如图，在中，D，E分别是边，上的点，连接，，相交于点F． (1)图中共有多少个三角形？用符号表示这些三角形． (2)请写出的三个顶点、三条边及三个内角． (3)以线段AB为边的三角形有哪些？ (4)以为内角的三角形有哪些？ 【答案】(1)8； (2)的三个顶点是点B，D，F，三条边是线段，，，三个内角是 (3)以线段为边的三角形有 (4)以为内角的三角形有 【知识点】三角形的识别与有关概念、三角形的个数问题 【分析】本题考查了三角形的基本特征，解答此题的关键是根据三角形的角和边的概念进行解答． （1）由题意观察图形，结合三角形的特征进行判断即可； （2）由题意依据三角形顶点、边以及角的表示方法进行表示即可； （3）由题意观察图形，结合三角形的特征寻找以为边的三角形即可； （4）由题意观察图形，结合三角形的特征寻找以为内角的三角形即可． 【详解】（1）解：图中共有8个三角形，分别是： ． （2）解：的三个顶点是点B，D，F，三条边是线段，，，三个内角是． （3）解：以线段为边的三角形有． （4）解：以为内角的三角形有． 题型二 三角形的内角和及直角三角形两个锐角互余 1．（24-25七年级下·安徽淮北·阶段练习）一个三角形的两个内角分别是50°和70°，则第三个内角的度数是（　　） A．40° B．50° C．60° D．70° 【答案】C 【分析】利用三角形内角和定理，即可求出第三个内角的度数． 【解答】解：∵一个三角形的两个内角分别是50°和70°， ∴第三个内角的度数是180°﹣50°﹣70°＝60°． 故选：C 2．（2025·浙江宁波·三模）一张三角形纸片如图所示，已知，若沿着虚线剪掉阴影部分纸片，记，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D．无法比较和的大小 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，根据三角形的内角和定理可得，即可求解，掌握三角形的内角和定理是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， 即， 故选：． 3．（24-25七年级下·上海·阶段练习）如图，△ABC和△DEF都是直角三角形，∠C＝∠F＝90°，∠B＝45°，∠D＝30°，点A在DE上．若DF∥AB，则∠CAD的度数为（　　） A．60° B．45° C．30° D．15° 【答案】D 【分析】在△ABC中，利用三角形内角和定理，可求出∠BAC的度数，由DF∥AB，利用“两直线平行，内错角相等”，可求出∠BAD的度数，再结合∠CAD＝∠BAC﹣∠BAD，即可求出∠CAD的度数． 【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝45°， ∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣45°﹣90°＝45°． ∵DF∥AB， ∴∠BAD＝∠D＝30°， ∴∠CAD＝∠BAC﹣∠BAD＝45°﹣30°＝15°． 故选：D． 4．（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）如图，在中，，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、直角三角形的两个锐角互余 【分析】本题考查含角的直角三角形的性质、直角三角形两锐角互余的性质及勾股定理，熟练掌握含角的直角三角形的性质是解题关键．根据直角三角形两锐角互余的性质可判定A、B选项错误，根据含角的直角三角形的性质及勾股定理可判定C选项错误，D选项正确，即可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， 解得：，，故A、B选项错误， ∴，，故C选项错误，D选项正确． 故选：D． 5．（24-25七年级下·北京·期中）利用平行线的知识证明“直角三角形中两锐角互余”的一种证法如下： 已知：中，． 求证：． 证明：如图，过点作，（ ① ） 则． ， ． ．（ ② ） ． ． 上述证法中，为说明辅助线的做法合理，①处应填写的依据是 ； 证明过程中，②处应填写的依据是 ． 【注】本题结论可以作为推理的依据，用于本试卷其它题目的推导过程． 【答案】 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 同旁内角互补，两直线平行 【知识点】根据平行线判定与性质证明、直角三角形的两个锐角互余 【分析】本题主要考查了平行线的性质和判定， 先根据“平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”可得，再根据“同旁内角互补，两直线平行”得，可得，则结论可证． 【详解】证明：如图，过点A作，（在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直） 则． ， ． ．（同旁内角互补，两直线平行） ． ． 故答案为：在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；同旁内角互补，两直线平行． 题型三 三角形分类（按角/边） 1．（24-25七年级下·上海·阶段练习）已知△ABC中，∠A：∠B：∠C＝1：3：5，则这个三角形是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】C 【分析】在△ABC中，根据各角度数间的关系，结合三角形内角和定理，可求出∠C的度数，由该值大于90°，即可得出△ABC是钝角三角形． 解：在△ABC中，∠A：∠B：∠C＝1：3：5，∠A+∠B+∠C＝180°， ∴∠C＝180°× ＝100°＞90°， ∴△ABC是钝角三角形． 故选：C． 2．（24-25七年级下·河北邢台·阶段练习）如图表示三角形的分类，关于P、Q区域有甲、乙两种说法：甲：P是锐角三角形；乙：Q是等边三角形，则对于这两种说法，正确的是（   ） A．甲对 B．乙对 C．甲、乙均对 D．甲、乙均不对 【答案】B 【知识点】三角形的分类 【分析】本题主要考查三角形的分类．根据三角形按边分类，即可求解． 【详解】解：三角形按边分为三边都不等的三角形，等腰三角形（两边相等的等腰三角形，三边相等的等边三角形）， ∴P是等腰三角形；Q是等边三角形， ∴只有乙说法正确， 故选：B． 3．（2024七年级下·全国·专题练习）有下列两种图示均表示三角形分类，则正确的是（    ）       A．①对，②不对 B．②对，①不对 C．①、②都不对 D．①、②都对 【答案】B 【知识点】三角形的分类 【分析】此题主要考查了三角形的分类，关键是掌握分类方法．按边的相等关系分类：不等边三角形和等腰三角形（底和腰不等的等腰三角形、底和腰相等的等腰三角形即等边三角形）．根据三角形的分类可直接选出答案． 【详解】解：按边的相等关系分类：不等边三角形和等腰三角形（底和腰不等的等腰三角形、底和腰相等的等腰三角形即等边三角形）． 按角分类：直角三角形，锐角三角形和钝角三角形． 故①的分类不正确；图②中的三角形的分类正确． 故选：B． 4．（24-25七年级下·安徽合肥·阶段练习）由下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是（　　） A．∠A＝37°，∠B＝53° B．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 C．∠A﹣∠C＝∠B D．∠A：∠B：∠C＝2：3：5 【分析】根据三角形的内角和为180°，通过计算得出三角形中是否有90°角作出判断即可． 【解答】解：由三角形内角和定理得：∠A+∠B+∠C＝180°， A、∵∠A＝37°，∠B＝53°， ∴∠C＝90°， 故A不符合题意； B、设∠A＝3x°，∠B＝4x°，∠C＝5x°， 则3x+4x+5x＝180°， 解得x＝15， ∴∠A＝45°，∠B＝60°，∠C＝75°， ∴△ABC不是直角三角形， 故B符合题意； C、∵∠A﹣∠C＝∠B， ∴∠A＝∠C+∠B， ∴∠A＝90°， 故C不符合题意； D、设∠A＝2x°，∠B＝3x°，∠C＝5x°， 则2x+3x+5x＝180°， 解得x＝18， ∴∠A＝36°，∠B＝54°，∠C＝90°， 故D不符合题意． 故选：B． 【点评】本题考查了三角形内角和定理，灵活运用三角形的内角和为180°进行计算或证明是解题的关键． 5．（24-25七年级下·安徽合肥·阶段练习）在下列条件：①∠A+∠B＝∠C；②∠A：∠B：∠C＝1：2：3；③∠A＝∠B＝2∠C；④∠A＝∠B＝∠C，⑤∠A＝2∠B＝3∠C中，能确定△ABC为直角三角形的条件有（　　） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【分析】由三角形内角和定理求出有关的角，由直角三角形的定义即可判断． 【解答】解：①由∠A+∠B＝∠C，得到180°﹣∠C＝∠C，求出∠C＝90°，判定△ABC是直角三角形，故①符合题意； ②令∠A＝x，则∠B＝2x，∠C＝3x，得到x+2x+3x＝180°，求出x＝30°，得到∠C＝90°，判定△ABC是直角三角形，故②符合题意； ③由∠A＝∠B＝2∠C，得到2∠C+2∠C+∠C＝180°，求出∠C＝36°，得到∠A＝∠B＝72°，△ABC是锐角三角形，故③不符合题意； ④由 ∠A＝∠B＝∠C ，得到∠B＝2∠A，∠C＝3∠A，由三角形内角和定理求出∠A＝30°，得到∠C＝90°，判定△ABC是直角三角形，故④符合题意； ⑤由∠A＝2∠B＝3∠C，得到∠B＝∠A，∠C＝∠A，由三角形内角和定理求出∠A＝（）°，△ABC是钝角三角形，故⑤不符合题意． ∴能确定△ABC为直角三角形的条件有3个． 故选：C． 【点评】本题考查直角三角形的性质，关键是由三角形内角和定理求出相关的角． 题型四 三角形的三边关系 1．（24-25七年级下·河南南阳·阶段练习）已知三角形的三边长分别为，，，则不可能是（    ） A．2 B．5 C．7 D．8 【答案】A 【知识点】确定第三边的取值范围 【分析】本题考查三角形三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理．三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边，由此求出第三边长的取值范围，即可得到答案． 【详解】∵三角形三边的长度分别为，，， ∴， ∴， ∴第三边长不可能是2． 故选：A． 2．（2025·江苏连云港·中考真题）下列长度（单位：）的3根小木棒能搭成三角形的是（   ） A．1，2，3 B．2，3，4 C．3，5，8 D．4，5，10 【答案】B 【分析】本题考查的是三角形的三边关系的应用，根据三角形三边关系定理，任意两边之和必须大于第三边．只需验证每组数中较小的两数之和是否大于最大数即可． 【详解】A． 1、2、3：，不满足两边之和大于第三边，不符合题意； B． 2、3、4：，满足条件，能构成三角形，符合题意； C． 3、5、8：，不满足两边之和大于第三边，不符合题意； D． 4、5、10：，不满足条件，不符合题意； 故选：B． 3．（2025·贵州贵阳·模拟预测）如图所示，小华测得一个圆规的一条支脚长为，另一只脚长为，则该圆规不可能画出圆的半径为（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的三边关系，熟练掌握两边之和大于第三边，两边之差小于第三边是解题的关键．根据三角形的三边关系求解即可． 【详解】解：由一个圆规的一条支脚长为，另一只脚长为，不妨设，，如图所示：    那么，即． 由题意可知，圆规两脚间的距离就是所画圆的半径． 故选：A． 4．（24-25七年级下·广东揭阳·阶段练习）已知：的三边长分别为a，b，c． (1)化简：； (2)若a，b，c满足，试判断的形状． 【答案】(1) (2)等边三角形 【知识点】整式的加减运算、三角形三边关系的应用、带有字母的绝对值化简问题、乘方的应用 【分析】本题考查的是化简绝对值，整式的加减运算，非负数的性质，三角形三边关系的应用； （1）结合三角形的三边关系化简绝对值，再合并同类项即可； （2）由非负数的性质证明，从而可得结论． 【详解】（1）解：∵ 三边长， ∴ ∴ ． ； （2）解：∵且，， ∴且 ∴且，即（三边相等） ∴等边三角形． 题型五 三角形的中线 1．（24-25七年级下·陕西渭南·期中）如图，在中，于点于点，则的边上的高是（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线画垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高，熟练掌握三角形的高的定义是解题关键．根据三角形的高的定义解答即可得． 【详解】解：∵在中，于点， ∴的边上的高是， 故选：C． 2．（2025七年级下·全国·专题练习）如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点在小正方形的顶点上，则的重心是（　　） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的重心，三角形三条中线的交点，叫做三角形的重心，据此判断即可，熟记三角形的重心是三角形中线的交点是解题的关键． 【详解】解：由图可知，直线经过的边上的中点，直线经过的边上的中点， ∴点是重心， 故选：． 3．（2025·甘肃平凉·二模）如图，的周长是，是边上的中线，，，则与的周长之差为（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】A 【知识点】根据三角形中线求长度 【分析】本题考查了三角形中线的有关计算，掌握三角形中线的定义是关键． 根据三角形的中线，周长的计算得到，，根据的周长为，的周长为，得到与的周长之差为，由此即可求解． 【详解】解：的周长为， ∴， ∵是边上的中线， ∴，则， ∴， ∵的周长为，的周长为， ∴， ∴与的周长之差为， 故选：A ． 4．（24-25七年级下·山东济南·期中）如图，在中，已知点D、E、F分别为、、的中点，若阴影部分的面积为3，则的面积为（    ） A．12 B．16 C．18 D．20 【答案】A 【分析】本题考查了求有关三角形中线的面积问题，由三角形的面积得，，，即可求解；掌握三角形中线将三角形面积平分是解题的关键． 【详解】解：点D、E、F分别为、、的中点， ， ， ， ， ， ， 故选：A． 题型六 三角形的角平分线 1．三角形的三条角平分线的交点一定在三角形的（　　） A．内部 B．外部 C．一边上 D．不确定 【答案】A 【知识点】三角形角平分线的定义 【分析】本题考查三角形角平分线，作出图形，根据三角形角平分线的性质即可解答． 【详解】解：如图， 三角形的三条角平分线的交点一定在三角形的内部． 故选：A 2．下列说法正确的是（   ） ①三角形的角平分线是射线； ②三角形的三条角平分线都在三角形内部，且相交于一点； ③三角形的三条高都在角形的内部； ④三角形的一条中线把该三角形分成面积相等的两部分 A．①②④ B．②③④ C．②④ D．①②③④ 【答案】C 【知识点】画三角形的高、根据三角形中线求面积、三角形角平分线的定义 【分析】题考查了三角形的角平分线、中线和高的定义及性质，根据三角形的角平分线的定义与性质判断①与②；根据三角形的高的定义及性质判断③；根据三角形的中线的定义及性质判断④即可． 【详解】①三角形的角平分线是线段，说法错误； ②三角形的三条角平分线都在三角形内部，且交于同一点，说法正确； ③锐角三角形的三条高都在三角形内部；直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部．说法错误； ④三角形的一条中线把该三角形分成面积相等的两部分，说法正确． 故选C． 3．（24-25七年级下·河北张家口·期中）如图，，则是的（   ） A．高线 B．角平分线 C．中线 D．以上都不是 【答案】B 【知识点】三角形角平分线的定义 【分析】该题考查了三角形的角平分线，根据题意得出，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴是的角平分线． 故选：B． 4．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，是的角平分线，是的角平分线，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】三角形角平分线的定义 【分析】本题主要考查了三角形的角平分线，根据，是的角平分线，得出，根据是的角平分线，即可得出． 【详解】解：是的角平分线，， ， 是的角平分线， ． 故选：A． 题型七 三角形的高线 1．（2025·河南平顶山·模拟预测）如图，在中，于点，点是边的中点，，，则的长为 ． 【答案】6 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、根据三角形中线求长度 【分析】本题考查三角形的面积、中线，根据三角形面积公式列关于的方程并求解，再由中点的定义计算的长即可．掌握三角形面积计算公式和中点的定义是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是中线， ∴ 故答案为：6． 2．（24-25七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）如图，在中，，，边上的高，点为上一点，且，．则的值为 ． 【答案】 【知识点】与三角形的高有关的计算问题 【分析】本题考查了三角形的高，三角形的面积，连接，利用即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：连接， 因为， 所以， 因为， 所以， 所以， 故答案为：． 3．（24-25七年级下·陕西西安·阶段练习）已知中，为边上的高，若，，，则的面积为 . 【答案】28或8 【分析】本题考查了与三角形高有关的计算，属于基础题；分两种情况考虑：分高在三角形内部与三角形外部，根据题意求得，则由三角形面积公式计算即可． 【详解】解：当高在三角形内时，如图， ∵，， ∴， ∴； 当高在三角形外部时，如图， 则， ∴； 综上，的面积为28或8． 故答案为：28或8． 4．（2023·安徽·中考真题）清初数学家梅文鼎在著作《平三角举要》中，对南宋数学家秦九韶提出的计算三角形面积的“三斜求积术”给出了一个完整的证明，证明过程中创造性地设计直角三角形，得出了一个结论：如图，是锐角的高，则．当，时， ．    【答案】 【知识点】与三角形的高有关的计算问题 【分析】根据公式求得，根据，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴ ∴, 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形的高的定义，正确的使用公式是解题 题型一 三角形特殊线段的综合 1．（24-25七年级下·山西太原·阶段练习）如图，在中，是高，是角平分线，是中线．则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、根据三角形中线求长度、根据三角形中线求面积、三角形角平分线的定义 【分析】根据三角形的角平分线、中线和高的概念判断． 本题考查的是三角形的角平分线、中线和高，掌握它们的概念是解题的关键． 【详解】∵是的中线， ∴，A说法正确，不符合题意； ∵是角平分线， ∴，B说法正确，不符合题意； ∵是高， ∴， ∴，C说法正确，不符合题意； ∵， ∴，D说法错误，符合题意． 故选：D． 2．（2025·江苏无锡·二模）如图，，，分别是的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、根据三角形中线求长度、三角形角平分线的定义 【分析】本题考查了三角形的高线、中线、角平分线，熟练掌握三角形的高线、中线、角平分线的定义是解题的关键．根据三角形的高线、中线、角平分线的定义，逐项分析即可即可判断． 【详解】解：∵，，分别是的高、角平分线、中线， ∴，，． 结合选项可知，A、B、D选项不符合题意，C选项符合题意； 故选：C． 3．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，，，分别是的高、角平分线、中线，则下列结论中正确的个数是（   ） ①；    ②； ③；    ④． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、根据三角形中线求长度、三角形角平分线的定义 【分析】本题主要考查了三角形的高，中线，角平分线，从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线．三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．依此即可求解 【详解】解：分别是的高，角平分线，中线， ，， 则①②④正确， 故选：C． 题型二 根据中线或网格求三角形面积和周长 1．（18-19八年级上·山西大同·阶段练习）如图所示，已知分别是的高和中线，，． 试求： (1)的长； (2)的面积； (3)和的周长的差． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、根据三角形中线求长度、根据三角形中线求面积 【分析】本题考查了中线的定义、三角形中线的性质、三角形周长的计算，解题的关键是掌握等面积法和三角形中线的性质． （1）利用“面积法”来求线段的长度； （2）根据与是等底同高的两个三角形，它们的面积相等求解即可； （3）由于是中线，那么，于是的周长的周长，化简可得的周长的周长，即可求其值． 【详解】（1）解：，是边上的高， ， ， 即的长度为； （2）解：如图，是直角三角形，，，， ． 又是边的中线， ． 的面积是． （3）解：为边上的中线， ， 的周长的周长， 即和的周长的差是． 2．（24-25七年级下·河北秦皇岛·阶段练习）如图方格纸中，每个小正方形边长均为1，点A，点B，点C在小正方形的顶点上． (1)画出中边上的高； (2)画出中边上的中线； (3)直接写出的面积为______． (4)，直接写出______． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) (4) 【知识点】画三角形的高、与三角形的高有关的计算问题、根据三角形中线求长度、利用网格求三角形面积 【分析】本题主要考查了三角形高，中线的作法，以及三角形面积求法，掌握概念是解本题的关键． （1）利用网格特征作，再利用平移的性质作交于点D，即可得到答案； （2）结合网格信息，根据中线的定义可得E点，连接即可得到答案； （3）根据三角形面积公式的求法，结合网格信息，即可得到答案； （4）利用三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，为所求； （2）解：如图所示，为所求； （3）解：； （4）解：∵，， ∴． 3．（24-25七年级下·全国·假期作业）如图，点E在上，点D在上，且，与交于点F，四边形的面积为22，则三角形的面积是多少？ 【答案】三角形的面积是45 ． 【知识点】根据三角形中线求面积 【分析】本题考查三角形的面积．熟知三角形的面积公式是解答此题的关键． 设面积为s（），由，，可得，， 继而推导出， ，由四边形的面积为22，即可解答． 【详解】连接，如图 设面积为s（）． ∵， ∴ ∵， ∴， ∵四边形的面积为22cm2， ∴， ， ∵+=， ∴， ∴s=45（） 答：三角形的面积是45． 4．（24-25七年级下·天津滨海新·阶段练习）如图，所有小正方形的边长都为1个单位，A、B、C、D均在格点上． (1)过点D画线段的平行线； (2)过点C画线段的垂线，垂足为F，试比较大小：________；其理由为：________； (3)在直线上找一点P，使得的值最小； (4)连接，则三角形的面积是________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析；；垂线段最短 (3)见解析 (4)5 【知识点】垂线段最短、利用网格求三角形面积、格点作图题 【分析】本题考查了利用格点作平行线、垂线、线段的性质、求三角形的面积等知识点，利用格点正确作图是解题的关键． （1）通过平移画出平行线即可解答； （2）根据网格的结构特点画出垂线，再结合垂线段最短的性质即可解答； （3）根据两点之间，线段最短作图即可； （4）利用割补法即可求解． 【详解】（1）解：如图，取格点，连接，则即为所求： （2）解：如图，取格点，连接交于点，则即为所求： 由作图可知：，其理由为：垂线段最短． 故答案为：；垂线段最短． （3）解：连接，交于点，则点即为所求： （4）解：如图， ． 故答案为：5． 三角形的几何变换 1．（24-25七年级下·上海·期中）如图，已知，，根据下列要求画图并回答问题： (1)画边上的高； (2)点到直线的距离是线段______的长度； (3)边上有一点，连接，如果，那么线段是的______；（填“高”、“中线”或“角平分线”），并在图中画出． (4)在（1）（3）的条件下，如果，，那么______． 【答案】(1)见解析 (2) (3)中线 (4)30 【知识点】点到直线的距离、画三角形的高、根据三角形中线求面积 【分析】本题考查作图-复杂作图、三角形的中线和高、三角形的面积，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据三角形的高的定义画图即可； （2）根据点到直线的距离的定义求解即可； （3）由题意可得，则线段是的中线； （4）由题意可得，则进而可得， ， 则 【详解】（1）解：如图，即为所求， （2）解：点到直线的距离是线段的长度， 故答案为：； （3）解：如图， ∴线段是的中线， 故答案为：中线； （4）解： ， ， 故答案为：． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.1认识三角形 题型一 三角形基本概念 1．（24-25七年级下·全国·随堂练习）下面是用火柴棒围成的图形，其中是三角形的是（   ） A． B． C． D． 2． （24-25七年级下·全国·课后作业）在△ABC中，BC边的对角是（　　） A．∠A B．∠B C．∠C D．∠D 3．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在△ABC中，D，E分别为BC，AB上的点，则以D为顶点的三角形的个数为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 4．（24-25八年级上·全国·随堂练习）如图，在中，D，E分别是边，上的点，连接，，相交于点F． (1)图中共有多少个三角形？用符号表示这些三角形． (2)请写出的三个顶点、三条边及三个内角． (3)以线段AB为边的三角形有哪些？ (4)以为内角的三角形有哪些？ 题型二 三角形的内角和及直角三角形两个锐角互余 1．（24-25七年级下·安徽淮北·阶段练习）一个三角形的两个内角分别是50°和70°，则第三个内角的度数是（　　） A．40° B．50° C．60° D．70° 2．（2025·浙江宁波·三模）一张三角形纸片如图所示，已知，若沿着虚线剪掉阴影部分纸片，记，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D．无法比较和的大小 3．（24-25七年级下·上海·阶段练习）如图，△ABC和△DEF都是直角三角形，∠C＝∠F＝90°，∠B＝45°，∠D＝30°，点A在DE上．若DF∥AB，则∠CAD的度数为（　　） A．60° B．45° C．30° D．15° 4．（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）如图，在中，，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级下·北京·期中）利用平行线的知识证明“直角三角形中两锐角互余”的一种证法如下： 已知：中，． 求证：． 证明：如图，过点作，（ ① ） 则． ， ． ．（ ② ） ． ． 上述证法中，为说明辅助线的做法合理，①处应填写的依据是 ； 证明过程中，②处应填写的依据是 ． 【注】本题结论可以作为推理的依据，用于本试卷其它题目的推导过程． 题型三 三角形分类（按角/边） 1．（24-25七年级下·上海·阶段练习）已知△ABC中，∠A：∠B：∠C＝1：3：5，则这个三角形是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 2．（24-25七年级下·河北邢台·阶段练习）如图表示三角形的分类，关于P、Q区域有甲、乙两种说法：甲：P是锐角三角形；乙：Q是等边三角形，则对于这两种说法，正确的是（   ） A．甲对 B．乙对 C．甲、乙均对 D．甲、乙均不对 3．（2024七年级下·全国·专题练习）有下列两种图示均表示三角形分类，则正确的是（    ）       A．①对，②不对 B．②对，①不对 C．①、②都不对 D．①、②都对 4．（24-25七年级下·安徽合肥·阶段练习）由下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是（　　） A．∠A＝37°，∠B＝53° B．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 C．∠A﹣∠C＝∠B D．∠A：∠B：∠C＝2：3：5 5．（24-25七年级下·安徽合肥·阶段练习）在下列条件：①∠A+∠B＝∠C；②∠A：∠B：∠C＝1：2：3；③∠A＝∠B＝2∠C；④∠A＝∠B＝∠C，⑤∠A＝2∠B＝3∠C中，能确定△ABC为直角三角形的条件有（　　） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 题型四 三角形的三边关系 1．（24-25七年级下·河南南阳·阶段练习）已知三角形的三边长分别为，，，则不可能是（    ） A．2 B．5 C．7 D．8 2．（2025·江苏连云港·中考真题）下列长度（单位：）的3根小木棒能搭成三角形的是（   ） A．1，2，3 B．2，3，4 C．3，5，8 D．4，5，10 3．（2025·贵州贵阳·模拟预测）如图所示，小华测得一个圆规的一条支脚长为，另一只脚长为，则该圆规不可能画出圆的半径为（   ）    A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·广东揭阳·阶段练习）已知：的三边长分别为a，b，c． (1)化简：； (2)若a，b，c满足，试判断的形状． 题型五 三角形的中线 1．（24-25七年级下·陕西渭南·期中）如图，在中，于点于点，则的边上的高是（　　）    A． B． C． D． 2．（2025七年级下·全国·专题练习）如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点在小正方形的顶点上，则的重心是（　　） A．点 B．点 C．点 D．点 3．（2025·甘肃平凉·二模）如图，的周长是，是边上的中线，，，则与的周长之差为（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 4．（24-25七年级下·山东济南·期中）如图，在中，已知点D、E、F分别为、、的中点，若阴影部分的面积为3，则的面积为（    ） A．12 B．16 C．18 D．20 题型六 三角形的角平分线 1．三角形的三条角平分线的交点一定在三角形的（　　） A．内部 B．外部 C．一边上 D．不确定 2．下列说法正确的是（   ） ①三角形的角平分线是射线； ②三角形的三条角平分线都在三角形内部，且相交于一点； ③三角形的三条高都在角形的内部； ④三角形的一条中线把该三角形分成面积相等的两部分 A．①②④ B．②③④ C．②④ D．①②③④ 3．（24-25七年级下·河北张家口·期中）如图，，则是的（   ） A．高线 B．角平分线 C．中线 D．以上都不是 4．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，是的角平分线，是的角平分线，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 题型七 三角形的高线 1．（2025·河南平顶山·模拟预测）如图，在中，于点，点是边的中点，，，则的长为 ． 2．（24-25七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）如图，在中，，，边上的高，点为上一点，且，．则的值为 ． 3．（24-25七年级下·陕西西安·阶段练习）已知中，为边上的高，若，，，则的面积为 . 4．（2023·安徽·中考真题）清初数学家梅文鼎在著作《平三角举要》中，对南宋数学家秦九韶提出的计算三角形面积的“三斜求积术”给出了一个完整的证明，证明过程中创造性地设计直角三角形，得出了一个结论：如图，是锐角的高，则．当，时， ．    题型一 三角形特殊线段的综合 1．（24-25七年级下·山西太原·阶段练习）如图，在中，是高，是角平分线，是中线．则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·江苏无锡·二模）如图，，，分别是的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是（   ） A． B． C． D． 3．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，，，分别是的高、角平分线、中线，则下列结论中正确的个数是（   ） ①；    ②； ③；    ④． A．1 B．2 C．3 D．4 题型二 根据中线或网格求三角形面积和周长 1．（18-19八年级上·山西大同·阶段练习）如图所示，已知分别是的高和中线，，． 试求： (1)的长； (2)的面积； (3)和的周长的差． 2．（24-25七年级下·河北秦皇岛·阶段练习）如图方格纸中，每个小正方形边长均为1，点A，点B，点C在小正方形的顶点上． (1)画出中边上的高； (2)画出中边上的中线； (3)直接写出的面积为______． (4)，直接写出______． 3．（24-25七年级下·全国·假期作业）如图，点E在上，点D在上，且，与交于点F，四边形的面积为22，则三角形的面积是多少？ 4．（24-25七年级下·天津滨海新·阶段练习）如图，所有小正方形的边长都为1个单位，A、B、C、D均在格点上． (1)过点D画线段的平行线； (2)过点C画线段的垂线，垂足为F，试比较大小：________；其理由为：________； (3)在直线上找一点P，使得的值最小； (4)连接，则三角形的面积是________． 三角形的几何变换 1．（24-25七年级下·上海·期中）如图，已知，，根据下列要求画图并回答问题： (1)画边上的高； (2)点到直线的距离是线段______的长度； (3)边上有一点，连接，如果，那么线段是的______；（填“高”、“中线”或“角平分线”），并在图中画出． (4)在（1）（3）的条件下，如果，，那么______． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$