2.2简单的轴对称图形（分层作业练题型）数学新教材鲁教版五四制七年级上册

**基本信息** 练习围绕“简单的轴对称图形”，分层设计从基础性质应用到综合问题解决，覆盖等腰三角形、垂直平分线、角平分线等知识点，通过证明、计算、作图及实际情境题，培养几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|等腰三角形性质（等边对等角、三线合一）、垂直平分线与角平分线性质基础应用|选择、填空、基础证明，如三线合一的面积计算、性质直接应用| |进阶层|性质灵活应用、尺规作图（作垂直平分线、角平分线）|作图题、性质多步应用，如最短路径作图、垂直平分线周长问题| |综合层|轴对称与线段、面积、角度综合，全等三角形结合|综合解答、探究题，如轴对称面积最小值、将军饮马问题建模|

2.2简单的轴对称图形 题型一 等腰三角形的性质：等边对等角 1． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．先根据垂直的定义得到直角，再由等腰三角形的性质得出角相等，最后利用全等三角形的判定定理（）证明两个三角形全等，从而得出对应角相等． 【详解】证明：∵，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴（）． ∴． 2． 【答案】证明过程见解析 【分析】本题考查等边对等角，三角形全等的判定． 由，可得，利用“”即可证得结论． 【详解】解：∵， ∴， 在和中， ， ∴ 3． 【答案】见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握证明三角形全等的方法是解决本题的关键． 先由，且，可得与是等腰三角形，结合等腰三角形的性质由角角边的证明方法证明即可． 【详解】证明：∵，且， ∴与是等腰三角形， ∴，， ∴， 在与中， ， ∴≌， ∴． 4． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质： （1）根据等腰三角形的性质可得，即可证明； （2）根据全等三角形的性质可得，再由等腰三角形的性质可得，即可解答． 【详解】（1）证明：∵， ∴，   在和中， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，   ∴． 题型二 等腰三角形的性质：三线合一 1．【答案】D 2．【答案】D 3．【答案】底边上的中线 4．【答案】/度 5．【答案】20 6．【答案】 7．【答案】 8． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定及性质，解题的关键是熟练掌握相关判定及性质．由已知证明，得到，又因为，即为的角平分线，利用等腰三角形的三线合一即可得证． 【详解】证明：在与中， ， ， ， 是等腰三角形， ，即为的角平分线， ． 题型三 线段垂直平分线的性质 1．【答案】A 2．【答案】A 3．【答案】A 4．【答案】或 5．【答案】12 6．【答案】20 7．【答案】 题型四 角平分线的性质 1．【答案】B 2．【答案】D 3．【答案】（答案不唯一） 4．【答案】27 5． 【答案】(1)见解析 (2)8 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，证明出是解题的关键． （1）先利用证明，再根据全等三角形的对应角相等即可得出； （2）根据全等三角形的对应角相等得出，再根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等即可得出，即可得出答案． 【详解】（1）证明：在与中， ， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵，垂足为E，，垂足为F， ∴， ∵， ∴． 6． 【答案】，理由见解析． 【分析】本题考查了角平分线的性质、全等三角形的性质及判定，关键是根据论证三角形全等解答． 根据证明与全等，进而利用角平分线的性质解答即可． 【详解】解：，理由如下： 是的平分线， ， 在与中， ， ， ， 即平分， ，， ． 题型一 作线段的垂直平分线 1． 【答案】点A，点B，线段，M，N，M，N，直线 【分析】本题需根据线段垂直平分线的尺规作图痕迹，补全作图步骤，解题思路是回忆并套用尺规作线段垂直平分线的标准流程，结合图中交点标识完成填空． 【详解】解：第一步：分别以点、点为圆心，以大于线段一半的长度为半径画弧，两弧在的两侧分别相交于点和点； 第二步：经过点和点画直线；直线就是线段的垂直平分线． 2． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了尺规作图，用尺规作图作的垂直平分线，根据垂直平分线的性质可知直线上的点到点、的距离相等；用尺规作图作的平分线，根据角平分线的性质可知上的任意一点到和的距离相等，与的交点即为点． 【详解】解：如下图所示， 分别以点、为圆心，大于为半径画弧， 两弧分别交于点、，连接， 则直线上的点到点、的距离相等， 以点为圆心，任意长度为半径画弧，交、于点、， 分别以点、为圆心，大于的长度为半径画弧，两弧交于点， 作射线， 则射线是的平分线， 射线上的任意一点到和的距离相等， 射线交直线于点， 点即为所求． 3． 【答案】见解析 【分析】先根据折叠的性质可得折痕是的线段垂直平分线，再利用尺规作图作的线段垂直平分线，分别交于点D，交于点E，则即为所求。 【详解】解：如图，折痕即为所求. 4． 【答案】见解析 【分析】连接，作的垂直平分线，作，交于点，则点即为所作． 【详解】解：如图，点即为超市的位置． 题型二 作角平分线 1．【答案】A 2． 【答案】见解析 【分析】用尺规作图作，根据同位角相等，两直线平行，可得：，用尺规作图作平分交于点，根据角平分线的定义可得：，根据两直线平行，内错角相等可得：． 【详解】解：如下图所示， 用尺规作图作， 则有， 用尺规作图作平分交于点， 则有， ， ． 则点即为所求． 3． 【答案】见解析 【分析】作的角平分线，结合，可得，，进一步可得，可得作图正确． 【详解】解：如图，即为所求． 4． 【答案】见解析 【分析】根据题意，用尺规作图的方法作的角平分线和的垂直平分线，交点即为点． 【详解】解：如图所示，点即为所求． 理由：由图可知是的平分线，是的垂直平分线， 是的平分线， 到两条公路，的距离相等， 是的垂直平分线， ，即到两个村庄，的距离相等， 的角平分线和的垂直平分线的交点即为点． 5． 【答案】见解析 【分析】根据“作垂直平分线”的尺规作图方法，作的垂直平分线，再以点O为圆心为半径作圆弧交于一点D，连接，则为等边三角形，则，再根据角平分线的尺规作图方法，作的角平分线，交于一点，即为点P． 【详解】解：如图，点P即为所求． 理由如下：如图， 由图可知，是的垂直平分线，，是的角平分线， 是的垂直平分线， ，即为等边三角形， ， 是的角平分线， ， 是的垂直平分线， ， 点P即为所求． 6． 【答案】(1)见解析 (2) (3)和 【分析】（1）根据角平分线的作法画图； （2）根据角平分线的性质求出角之间的关系； （3）根据余角定义进行求解． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：∵平分，平分， ∴， ∴； （3）解：∵，且， ∴的余角为和． 【点睛】重点掌握角平分线的作法和性质，余角的定义． 7． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了角平分线，垂直平分线，线段的作图．解题的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图分解成基本作图；作出的角平分线；再作出的垂直平分线，交于点，则，最后以点为圆心，的长为半径画弧交的角平分线于点，连接，可得． 【详解】解：如图所示为所求： 题型三 最短路径问题 1．【答案】B 2．【答案】B 3． 【答案】见解析 【分析】利用轴对称求最短路线的方法得出点关于直线的对称点，对于直线上任一点，有，则，当、、共线时取最小值，则连接交CD于点即可得出答案． 【详解】解：如图所示，作点关于直线的对称点，再连接交于点，点即为所求． 4． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）根据直线的定义画出图形； （2）根据射线的定义画出图形； （3）连接，交于点E，点E即为所求． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求； （2）解：如图，射线即为所求； （3）解：如图，点E即为所求． 5． 【答案】(1) 即为所求； (2)见解析 【分析】（1）根据要求作图即可； （2）连接交于即可． 【详解】（1）解：如图， 即为所求； （2）解：如图，点即为所求； 6． 【答案】(1) (2)见解析 (3)见解析 【详解】（1）解：； （2）解：即为所求作； （3）解：如图，点即为所求作， 关于直线对称， , 当点三点共线时，的值最小，即． 题型四 轴对称综合：线段问题 1．【答案】2000 2．【答案】 3． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了轴对称的性质，作线段的垂直平分线，线段的垂直平分线的性质． （1）根据题意作关于的对称点，连接交于点，连接，则即为所求 （2）根据题意连接，作的垂直平分线，即可求解． 【详解】（1）解：如图点，即为所求； （2）解：如图，点即为所求． 4． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了轴对称的性质以及三角形三边关系．通过作对称点，将同侧点转化为异侧，利用两点之间线段最短和三角形三边关系是解题的关键． （1）利用轴对称性质，得到对称点到对称轴上点的距离相等，将转化为，再结合三角形三边关系，证明该线段长度为最小值； （2）通过作两点关于两直线的对称点，将折线转化为连接两对对称点的线段，利用“两点之间线段最短”确定最短路径即可； （3）过点作的垂线，垂足为点，交于点，此时的最小值为的长． 【详解】（1）证明：直线是点，的对称轴，点，在上， ，， ． 在中，， ，即最小． 故答案为：，，，； （2）解：如图，即为最短路径； （3）解：过点作的垂线，垂足为点，交于点，此时的最小值为的长． 5． 【答案】(1)证明见解析 (2)11 (3)110 【分析】（1）由轴对称的性质可知，，，则，，可得，进而结论得证； （2）连接，则B是C关于m的对称点，当B、P、A三点共线时，即当P是与的交点时，的周长最小； （3）分别作关于、的对称点、，连接、，当、、四点共线时，的周长取最小值，根据轴对称的性质解题即可． 本题考查“将军饮马”问题的探究、轴对称性的应用． 【详解】（1）证明：由轴对称的性质可知，，， ∴，， ∴，， ∴当三点共线时，值最小， ∴点的位置即为所求； （2）解：如图，连接， ∵m是边的垂直平分线， ∴， ∴的周长为， 当且仅当B、P、A三点共线时，等号成立， 即当P是与的交点时，的周长最小，最小为11， 故答案为：11； （3）解：如图，分别作关于、的对称点、，连接、，当、、四点共线时，的周长取最小值， 根据对称性可知，， ∴， ， ， ， ， 故答案为：110． 题型五 轴对称综合：面积问题 1．【答案】 2．【答案】 3．【答案】8 4． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题考查作图轴对称变换、三角形的面积，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． （1）根据轴对称的性质作点A关于的对称点为，即过点A向引垂线并倍长得到对称点，其他点同理作图即可． （2）设交于点，延长交于点，根据轴对称的性质可得，，，，则与关于点成中心对称，可得，，，，进而可得．根据三角形的面积公式可得，则可得的面积． 【详解】（1）解：如图，作点A关于的对称点为，即过点A向引垂线并倍长得到对称点，其他同理， 即为所求． （2）设交于点，延长交于点， 点关于的对称点为， ，． 点关于的对称点为， ， 点关于的对称点为， ， 与关于点成中心对称， ，， ，， ． 的面积为， ， 的面积是． 故答案为：． 题型六 轴对称综合：角度问题 1．【答案】B 2．【答案】B 3．【答案】/60度 4．【答案】/12度 5． 【答案】(1) (2) (3)的度数为或． 【分析】（1）由题意可得，，根据角的和差得出，计算即可求解； （2）根据和关于对称，得到，根据和关于对称，求得，根据角的和差即可得到结论； （3）①在内部，②当在外部，根据轴对称的性质即可得到结论． 【详解】（1）解：∵射线，关于射线对称．射线，关于射线对称， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：； （2）如图，    ∵射线，关于射线对称， ∴． 又∵射线，关于射线对称， ∴． ∵， ∴； （3）的度数为或． ①如图，当射线在的内部时，    ∵射线，关于射线对称， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ②当射线在的外部时， ∵射线，关于射线对称， ∴． 当射线在的下方时，． ∵， ∴射线不在射线的下方． 当射线在射线的上方时， 如图，，    ∴， ∴， ∴． 综上所述，的度数为或． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，角的和差，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． 题型一 轴对称与全等三角形综合问题 1． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，熟知全等三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）如图所示，取格点E、F，连接交于C，可证明，则，故点C即为所求； （2）如图所示，取格点F，连接并延长交于E，可证明，则，则可证明，故点E即为所求； （3）取格点E、F，延长交于点C，可证明，则，故点C即为所求； （4）设分别与格线交于G、H，连接，并延长分别交格线于D、E，根据网格的特点可知G、H分别为的中点，则可证明，则可证明，进而可证明，同理可证明；取格点M、N，连接并延长，交于R，连接交于K，连接并延长交于T，连接，由网格的特点可知点M为的中点，则可证明得到，由网格的特点可得点K为的中点，则可证明得到，则可证明，同理可证明，故． 【详解】（1）解：如图所示，点C即为所求； （2）解：如图所示，点E即为所求； （3）解：如图所示，点C即为所求； （4）解：如图所示，即为所求； 2． 【答案】（1）见解析；（2）AD﹣AB＝2BE，理由见解析；（3）3． 【分析】（1）过点C作CF⊥AD，根据角平分线的性质得到CE＝CF，证明△BCE≌△DCF，根据全等三角形的性质证明结论； （2）过点C作CF⊥AD，根据角平分线的性质得到CE＝CF，AE＝AF，证明△BCE≌△DCF，得到DF＝BE，结合图形解答即可； （3）在BD上截取BH＝BG，连接OH，证明△OBH≌△OBG，根据全等三角形的性质得到∠OHB＝∠OGB，根据角平分线的判定定理得到∠ODH＝∠ODF，证明△ODH≌△ODF，得到DH＝DF，计算即可． 【详解】（1）证明：如图1，过点C作CF⊥AD，垂足为F，    ∵AC平分∠MAN，CE⊥AB，CF⊥AD， ∴CE＝CF， ∵∠CBE+∠ADC＝180°，∠CDF+∠ADC＝180°， ∴∠CBE＝∠CDF， 在△BCE和△DCF中， ， ∴△BCE≌△DCF（AAS） ∴BC＝DC； （2）解：AD﹣AB＝2BE， 理由如下：如图2，过点C作CF⊥AD，垂足为F，    ∵AC平分∠MAN，CE⊥AB，CF⊥AD， ∴CE＝CF，AE＝AF， ∵∠ABC+∠ADC＝180°，∠ABC+∠CBE＝180°， ∴∠CDF＝∠CBE， 在△BCE和△DCF中， ， ∴△BCE≌△DCF（AAS）， ∴DF＝BE， ∴AD＝AF+DF＝AE+DF＝AB+BE+DF＝AB+2BE， ∴AD﹣AB＝2BE； （3）解：如图3，在BD上截取BH＝BG，连接OH，    ∵BH＝BG，∠OBH＝∠OBG，OB＝OB 在△OBH和△OBG中， ， ∴△OBH≌△OBG（SAS） ∴∠OHB＝∠OGB， ∵AO是∠MAN的平分线，BO是∠ABD的平分线， ∴点O到AD，AB，BD的距离相等， ∴∠ODH＝∠ODF， ∵∠OHB＝∠ODH+∠DOH，∠OGB＝∠ODF+∠DAB， ∴∠DOH＝∠DAB＝60°， ∴∠GOH＝120°， ∴∠BOG＝∠BOH＝60°， ∴∠DOF＝∠BOG＝60°， ∴∠DOH＝∠DOF， 在△ODH和△ODF中， ， ∴△ODH≌△ODF（ASA）， ∴DH＝DF， ∴DB＝DH+BH＝DF+BG＝2+1＝3． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，三角形全等的判定和性质，关键是依照基础示例引出正确辅助线． 3． 【答案】（1）∠BPC=90°+n，推理过程见解析；（2）70°；（3）5. 【分析】（1）根据角平分线的性质得∠ABC=2∠PBC，∠ACB=2∠PCB，再根据三角形内角和定理求得∠A=-180°+2∠BPC，即可求证∠BPC=90°+n； （2）根据（1）可知∠BPC=90°+n，把∠BPC=125°代入原式求出n即为∠A的度数； （3）当n=60°时，即可求出∠BPC=120°，作辅助线在CB上截取CG=CD，可证出△CPG≌△PCD（SAS），即可得出∠DPO=∠GPC，PD=PG，再可证出△BEP≌△BGP，即可得出BE=BG，即可求出DC． 【详解】解：（1）∵DB、CE分别为∠ABC，∠ACB的平分线， ∴∠ABC=2∠PBC，∠ACB=2∠PCB. ∵∠A=180°-(∠ABC+∠ACB)， ∴∠A=180°-2(∠PBC+∠PCB)， ∴∠A=180°-2(180°-∠BPC)， ∴∠A=-180°+2∠BPC， ∴2∠BPC=180°+∠A， ∴∠BPC=90°+ ∠A, ∴∠BPC=90°+n （2）由（1）知∠BPC=90°+ ∠A ∴当∠BPC=125°时，∠A =2×（125°-90°）= 70°； （3）在CB上截取CG=CD，连接GP， CE平分 ∴∠GCP=∠PCD， 在△PCD和△PCG中， ∴△PCD≌△CGP（SAS）， ∴∠GPC=∠CPD，PG=PD， 由∠BPG+∠GPC=120°， 又∵∠BPG+2∠GPC=180°， 解得：∠BPG=∠GPC=∠FPC=60° 在△BEP和△BGP中， ∴△BEP≌△BGP（ASA）， ∴BE=BG， ∴CG=BC-BG=BC-BE=12-7=5 ∴CD=CG=5． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义以及三角形全等的判定与性质，难度较大． 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.2简单的轴对称图形 题型一 等腰三角形的性质：等边对等角 1．（18-19八年级下·江苏南通·期末）如图，在中，，，，，垂足分别为点、．求证： 2．（20-21八年级上·辽宁盘锦·月考）已知：如图，，，求证：． 3．（11-12八年级上·北京·期中）如图，中，，D、E在上，且，求证：． 4．（20-21八年级上·湖南郴州·期末）如图，在中，，点E、F在边上． (1)求证：； (2)若，求的度数． 题型二 等腰三角形的性质：三线合一 1．（23-24八年级上·云南昭通·期末）如图，在中，，是边上的高，点E、F在上相异两点，若的面积为，则图中阴影部分的面积为（   ）． A．12 B．10 C．8 D．6 2．（25-26八年级上·江苏连云港·期中）如图，为了让电线杆垂直于地面，工程人员的操作方法是：从电线杆上一点往地面拉两条长度相等的固定绳和，当点、、在同一直线上，且固定点、到杆脚的距离相等时，电线杆就垂直于，工程人员这种操作方法的依据是（    ） A．等边对等角 B．垂线段最短 C．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等 D．等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合 3．（12-13八年级上·河北·期末）等腰三角形的“三线合一”性质中的三线指顶角的平分线、底边上的高和_____； 4．（25-26八年级上·陕西西安·期末）如图，在中，，是边上的中线，且，若，则的度数为________． 5．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，在中，，为中线，，则______． 6．（25-26八年级上·天津南开·期中）如图，中，，是边上的中线，点为边上一点，连接，，若，则的大小为______度． 7．（25-26八年级上·浙江宁波·月考）如图，在中，，是上的高，，，则的度数为______． 8．（20-21八年级上·湖北武汉·期中）已知，如图，，，，．求证：． 题型三 线段垂直平分线的性质 1．（14-15九年级上·广东深圳·期末）A、B、C三名同学玩“抢凳子”游戏．他们所站的位置围成一个，在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为保证游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在的（　　） A．三边垂直平分线的交点 B．三边中线的交点 C．三个内角角平分线的交点 D．三边高的交点 2．（25-26八年级上·江苏南京·月考）如图，在中，的垂直平分线交于点D，交于点E，连接．若的周长是，，则的周长是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，的垂直平分线分别交于点，连接，若的周长为，则等于（   ） A．8 B． C．6 D．4 4．（25-26八年级上·江苏连云港·期末）已知等腰三角形一腰的垂直平分线与另一腰所在直线的夹角为，则此等腰三角形的顶角为________． 5．（22-23七年级下·陕西榆林·期末）如图，，的垂直平分线交于点D，连接，若，则的度数为__________°． 6．（25-26七年级上·山东淄博·期中）如图，在中，分别是边的垂直平分线，连接，若，则______ 7．（25-26七年级上·山东烟台·期中）如图是一风筝的骨架图，是的垂直平分线，为垂足．若，四边形的周长为，则的长度为________． 题型四 角平分线的性质 1．（25-26八年级上·云南昆明·期末）如图，平分，于点C，于点D，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）如图，点是的平分线上一点，于点．点是射线上任意一点，则下列关系成立的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·湖北襄阳·期末）点在的平分线上，点到边的距离为6，点是边上的任意一点，请写出一个符合条件的线段的长是_____． 4．（25-26七年级上·山东泰安·期末）如图，已知的周长是，和的角平分线交于点，于点，若，则的面积是_____． 5．（25-26八年级上·江苏无锡·月考）如图，已知：，，，垂足为E，，垂足为F． (1)求证：； (2)已知，求的长． 6．（25-26七年级上·山东烟台·期中）如图，是的平分线，，点在上，，，垂足分别是、，与相等吗？为什么？ 题型一 作线段的垂直平分线 1．（22-23九年级上·内蒙古锡林郭勒·单元测试）请你根据图所示的作图痕迹，填写画线段的垂直平分线的步骤． 第一步：分别以______、_______为圆心,以大于______一半的长度为半径画弧，两弧在的两侧分别相交于点______和点______； 第二步：经过点_____和点_______画______；直线就是线段的垂直平分线． 2．（25-26九年级下·陕西西安·期中）如图，已知，请用尺规作图法，在内求作一点，使，且点到和的距离相等．（保留作图痕迹，不写作法） 3．（25-26八年级上·陕西延安·期末）如图，在数学活动课中，嘉嘉剪了一张的纸片，他将折叠压平使点落在点处，折痕分别交、于点、．请用尺规作图法，求作折痕．（保留作图痕迹，不写作法） 4．（25-26九年级下·陕西西安·开学考试）如图，、表示两条相交的公路，A、B为公路边上的两个村庄，现要在区域内建一个超市P，要求超市到A、B两个村庄的距离相等，且．请利用尺规作图确定超市的位置．（保留作图痕迹，不写作法） 题型二 作角平分线 1．（25-26八年级下·湖南长沙·开学考试）如图，用直尺和圆规作已知角的平分线，则说明为的平分线的依据是（   ） A． B． C． D． 2．（2026·陕西西安·三模）如图，点在的边上．请用尺规作图法，在平面内找一点，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 3．（2026·陕西榆林·二模）如图，直线与射线交于点，，请利用尺规作图法在内部作一条射线．使得．（不写作法，保留作图痕迹） 4．（21-22八年级上·广西河池·期末）如图，某通信公司计划在虚线范围内建造一个“5G”基站，使得到两条公路，的距离相等且到两个村庄，的距离也相等，请在图中标出点（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． 5．（2026·陕西西安·二模）如图，已知，点C为边上一点，用尺规在内部求作一点P，使得，且．（保留作图痕迹，不写作法） 6．（25-26七年级上·河南新乡·期末）如图，点E是直线上一点，是的平分线． (1)作的平分线； (2)求的度数； (3)直接写出的余角． 7．（25-26八年级上·上海·期末）尺规作图：如图，已知，点在上，在的内部求作点，使点到直线的距离相等，且．（保留作图痕迹） 题型三 最短路径问题 1．（2026七年级下·全国·专题练习）某区计划在公路旁修建一个核酸采集点，现有如下四种方案，则核酸采集点到两个小区之间的距离之和最短的是（ ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·辽宁沈阳·期末）某大学的四幢学生公寓恰好在同一条直线上，依次记为A，B，C，D，现要在这四幢学生公寓之间建立一个便民服务站，使得四幢学生公寓到这个便民服务站的距离之和最短，则便民服务站应建在（   ） A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 3．（25-26八年级上·浙江杭州·月考）如图，小河边有两个村庄，，现要在河边建一个自来水厂为村与村供水，自来水厂建在什么地方到村、村的距离和最小？请在下图中找出点的位置，并标出点．（保留作图痕迹，不写作法） 4．（24-25七年级上·浙江宁波·期末）如图，在平面上有四个点A，B，C，D，根据下列要求画图： (1)画直线； (2)画射线； (3)在平面内找一点E，使点E到A，B，C，D四点距离之和最短． 5．（24-25八年级上·甘肃临夏·期末）如图是由边长为的小正方形组成的网格，直线是一条网格线，点、在格点上，的三个顶点都在格点（网格线的交点）上． (1)作出关于直线对称的； (2)在直线上画出点，使四边形的周长最小． 6．（25-26八年级下·广东江门·开学考试）如图，在每个小正方形的边长均为1个单位长度的网格中，的三个顶点都在其格点上． (1)的面积为      ； (2)画出关于直线l的轴对称图形； (3)在直线l上求作一点P，使值最小．（保留作图痕迹，不写作法） 题型四 轴对称综合：线段问题 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）小刚准备去河里打一桶水送去王奶奶家．如图，小刚的家在A处，王奶奶的家在B处，A，B两点到河岸的距离分别为AC和BD，且．若点A到河岸CD的中点的距离为1000 m，则小刚从A处到河里打水再送去王奶奶家的最短距离是________m． 2．（25-26八年级上·福建厦门·期末）如图为某工厂厂区示意图，办公大楼在工厂主干道上，车间，与办公大楼的距离皆为，且，．在主干道上选址仓库，从仓库到车间，修建厂区支路，，使得支路总长最短，测得仓库与办公大楼距离为．已修建的支路长为，还需修建的支路的长度用代数式可以表示为__________． 3．（25-26八年级上·河北邢台·期末）如图是某果树树苗基地的平面示意图，，分别是桃树苗、杏树苗，中间为笔直的小路，为工具室，为笔直的水渠，灌溉沟． (1)在水渠上找一点，使从杏树苗到水渠，然后从水渠到工具室行走的总路程最短，在图中找出点 ，并画出行走路线（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法）； (2)现要在小路上修建一处诱虫处（点），要求诱虫处点到，的距离都相等，请确定点 的位置（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法）． 4．（25-26八年级上·山西忻州·期中）综合与实践 问题情境 如图1，在太空探索中，宇航员需要从空间站A出发，先到陨石带边缘收集样本，再到能源站补充燃料，最后返回空间站B．为了提高效率，宇航员需要设计一条最短路径． 问题解决 数学建模：如图2，若只需在能源站补充燃料，可作B关于能源站直线l的对称点，连接，与直线的交点即为最优燃料点，此时路径最短． 推理论证：如图3，在直线上另取任意一点，连接，，，只要说明即可． 证明：直线是点，的对称轴，点，在上， ， ， ． 在中，， ，即最小． (1)本问题实际上是利用转化的思想，把在直线同侧的A，B转化为在直线的两侧，从而利用“两点之间线段最短”及“三角形两边之和大于第三边”加以解决．请补全上述推理论证； (2)请你根据以上材料内容，帮助宇航员在图1中画出最短路径； (3)如图4，在中，，．若点在上移动，点在上移动，如何确定的最小值？ 5．（25-26八年级上·辽宁大连·期中）综合与实践：如图1，数学活动课上，李老师带领学生在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：直线l同侧有两个定点A，B，在直线l上存在点C，使得的值最小． 小明的作法是：如图2，作点B关于直线l的对称点，连接，则与直线l的交点即为点C，且的最小值为的长． 如图3，为了证明点C的位置即为所求，小明经探究发现，在直线上另外取点，连接，，，证明即可． (1)请完成图3中小明的证明； (2)如图4，在中，直线m是边的垂直平分线，点P是直线m上的动点．若，，，则周长的最小值为________； (3)如图5，已知，P为内一定点，上有一点A，上有一点B，当的周长取最小值时，的大小为________度． 题型五 轴对称综合：面积问题 1．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）如图，已知，点P在内部，点与点P关于对称，点与点P关于对称，连接，分别交，于点E，F，连接，．若，，则的面积为________．(用含a，b的代数式表示) 2．（20-21八年级上·黑龙江哈尔滨·月考）如图，点P为内部任意一点，点P、关于对称，点P、关于对称,，则的面积为__________． 3．（22-23七年级下·福建泉州·期末）如图，，点、分别在射线、上，，的面积为，是直线上的动点，点关于对称的点为，点关于对称点为，当点在直线上运动时，的面积最小值为______ ． 4．（23-24七年级上·上海·期末）如图，在中，，，点A关于的对称点为，点B关于的对称点为，点C关于的对称点为． (1)在图中画出； (2)若的面积为，则的面积是______． 题型六 轴对称综合：角度问题 1．（2025·河北石家庄·三模）如图，在菱形中，，P为AD边上一点，连接，作关于对称的，点F与点E关于对称．设，若点F在内（不包括边界），则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（22-23九年级上·湖北武汉·期中）如图，在中，，为边上一动点，于点，于点，则关于与之间的大小关系的描述，正确的为（    ） A．恒成立 B．当时， C．恒成立 D．当时， 3．（22-23八年级上·江苏徐州·月考）如图，点P为内一点，分别作出点P关于、的对称点、，连接交于M，交于N．若，则______． 4．（24-25七年级下·江苏扬州·月考）矩形，若按如图（1）翻折，点的对应点恰好落在上，折痕分别为，，则的度数为；若按如图（2）翻折，点的对应点落在的内部（不含角的两边），已知，，则的度数为______． 5．（22-23七年级下·江西吉安·月考）已知． (1)如图1，若射线在的内部，且射线，关于射线对称．射线，关于射线对称，则 ．    (2)如图2，若射线在的外部，且，射线，关于射线对称，射线，关于射线对称，求的度数．    (3)若射线，关于射线对称，，请直接写的度数．    题型一 轴对称与全等三角形综合问题 1．（25-26八年级上·湖北武汉·期中）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图． (1)在图1中，画线段的中点C； (2)在图2中，作，交于点E； (3)在图3中，O为角平分线的交点，作出点C； (4)在图4中，作三角形，使得它与全等且与共一边． 2．（20-21八年级上·广西南宁·期末）已知点C是∠MAN平分线上一点，∠BCD的两边CB、CD分别与射线AM、AN相交于B，D两点，且∠ABC+∠ADC＝180°．过点C作CE⊥AB，垂足为E． （1）如图1，当点E在线段AB上时，求证：BC＝DC； （2）如图2，当点E在线段AB的延长线上时，探究线段AB、AD与BE之间的等量关系； （3）如图3，在（2）的条件下，若∠MAN＝60°，连接BD，作∠ABD的平分线BF交AD于点F，交AC于点O，连接DO并延长交AB于点G．若BG＝1，DF＝2，求线段DB的长．    3．（19-20八年级上·浙江嘉兴·月考）如图，在△ABC中，如果BD,CE分别是∠ABC,∠ACB的平分线且他们相交于点P，设∠A=n°. （1）求∠BPC的度数（用含n的代数式表示），写出推理过程. （2）当∠BPC=125°时，∠A= . （3）当n=60°时，EB=7，BC=12，DC的长为 . 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.2简单的轴对称图形 题型一 等腰三角形的性质：等边对等角 1．（18-19八年级下·江苏南通·期末）如图，在中，，，，，垂足分别为点、．求证： 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．先根据垂直的定义得到直角，再由等腰三角形的性质得出角相等，最后利用全等三角形的判定定理（）证明两个三角形全等，从而得出对应角相等． 【详解】证明：∵，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴（）． ∴． 2．（20-21八年级上·辽宁盘锦·月考）已知：如图，，，求证：． 【答案】证明过程见解析 【分析】本题考查等边对等角，三角形全等的判定． 由，可得，利用“”即可证得结论． 【详解】解：∵， ∴， 在和中， ， ∴ 3．（11-12八年级上·北京·期中）如图，中，，D、E在上，且，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握证明三角形全等的方法是解决本题的关键． 先由，且，可得与是等腰三角形，结合等腰三角形的性质由角角边的证明方法证明即可． 【详解】证明：∵，且， ∴与是等腰三角形， ∴，， ∴， 在与中， ， ∴≌， ∴． 4．（20-21八年级上·湖南郴州·期末）如图，在中，，点E、F在边上． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质： （1）根据等腰三角形的性质可得，即可证明； （2）根据全等三角形的性质可得，再由等腰三角形的性质可得，即可解答． 【详解】（1）证明：∵， ∴，   在和中， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，   ∴． 题型二 等腰三角形的性质：三线合一 1．（23-24八年级上·云南昭通·期末）如图，在中，，是边上的高，点E、F在上相异两点，若的面积为，则图中阴影部分的面积为（   ）． A．12 B．10 C．8 D．6 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的性质与轴对称性质．先证明，得到是等腰三角形的对称轴，即可得到图中阴影部分的面积为． 【详解】解：∵，是边上的高， ∴， ∴是等腰三角形的对称轴， ∴图中阴影部分的面积为． 故选：D． 2．（25-26八年级上·江苏连云港·期中）如图，为了让电线杆垂直于地面，工程人员的操作方法是：从电线杆上一点往地面拉两条长度相等的固定绳和，当点、、在同一直线上，且固定点、到杆脚的距离相等时，电线杆就垂直于，工程人员这种操作方法的依据是（    ） A．等边对等角 B．垂线段最短 C．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等 D．等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合 【答案】D 【分析】本题考查了三线合一，解题关键是掌握三线合一． 根据三线合一求解． 【详解】解：∵从电线杆上一点往地面拉两条长度相等的固定绳和， ∴， 当点、、在同一直线上，且固定点、到杆脚的距离相等时， ∴为边上的中线， ∴（三线合一）， 三线合一即等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合， 故选：D． 3．（12-13八年级上·河北·期末）等腰三角形的“三线合一”性质中的三线指顶角的平分线、底边上的高和_____； 【答案】底边上的中线 【分析】本题主要考查的是等腰三角形的性质，根据等腰三角形的“三线合一”是指顶角平分线，底边上的高，底边上的中线互相重合，据此进行分析即可得出结果． 【详解】解：等腰三角形的“三线合一”性质中的三线是指顶角平分线，底边上的高，底边上的中线， 故答案为：底边上的中线． 4．（25-26八年级上·陕西西安·期末）如图，在中，，是边上的中线，且，若，则的度数为________． 【答案】/度 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理的应用，根据等腰三角形的性质可得，进而求得，根据等边对等角以及三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵，是边上的中线， ∴ ∵， ∴ ∵， ∴ ∴ 故答案为：． 5．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，在中，，为中线，，则______． 【答案】20 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的两个锐角互余．先根据等腰三角形的性质可得，再由等腰三角形“三线合一”可得，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵为中线， ∴，即， ∴． 故答案为：20 6．（25-26八年级上·天津南开·期中）如图，中，，是边上的中线，点为边上一点，连接，，若，则的大小为______度． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的性质． 先根据等腰三角形的性质得到，，再由直角三角形锐角互余求出，再根据等边对等角即可求解． 【详解】解：∵，是边上的中线， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 7．（25-26八年级上·浙江宁波·月考）如图，在中，，是上的高，，，则的度数为______． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，由三线合一可得，进而由等边对等角得到，再根据角的和差即可求解，掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵，是上的高， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 8．（20-21八年级上·湖北武汉·期中）已知，如图，，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定及性质，解题的关键是熟练掌握相关判定及性质．由已知证明，得到，又因为，即为的角平分线，利用等腰三角形的三线合一即可得证． 【详解】证明：在与中， ， ， ， 是等腰三角形， ，即为的角平分线， ． 题型三 线段垂直平分线的性质 1．（14-15九年级上·广东深圳·期末）A、B、C三名同学玩“抢凳子”游戏．他们所站的位置围成一个，在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为保证游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在的（　　） A．三边垂直平分线的交点 B．三边中线的交点 C．三个内角角平分线的交点 D．三边高的交点 【答案】A 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质的应用； 游戏公平需要凳子到三顶点距离相等，此点为三角形外心，即三边垂直平分线的交点． 【详解】解：∵凳子到A、B、C距离相等， ∴凳子应放于的三边垂直平分线的交点， 故选：A． 2．（25-26八年级上·江苏南京·月考）如图，在中，的垂直平分线交于点D，交于点E，连接．若的周长是，，则的周长是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握垂直平分线上的点到两端的距离相等． 先根据垂直平分线的性质得出，再根据的周长是，即可求解． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∵的周长是， ∴， ∴的周长=． 故选：A． 3．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，的垂直平分线分别交于点，连接，若的周长为，则等于（   ） A．8 B． C．6 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据垂直平分线的性质可得，再根据题意可得，即可求解． 【详解】解：∵的垂直平分线分别交于点， ∴， ∵的周长为， ∴， 故选：A． 4．（25-26八年级上·江苏连云港·期末）已知等腰三角形一腰的垂直平分线与另一腰所在直线的夹角为，则此等腰三角形的顶角为________． 【答案】或 【分析】本题考查的是等腰三角形，解题的关键是画出图形，注意数形结合，容易忽略该等腰三角形为钝角三角形的情况． 分情况进行讨论：①等腰三角形为锐角三角形；②等腰三角形为钝角三角形，即可得出答案． 【详解】解：①当等腰三角形为锐角三角形时，如图所示：    ∵垂直平分，， ∴， ∴； ②当等腰三角形为钝角三角形时，如图所示：    ∵垂直平分，， ∴， ∴， ∴； 综上分析可知：等腰三角形的顶角的度数为或． 故答案为：或 5．（22-23七年级下·陕西榆林·期末）如图，，的垂直平分线交于点D，连接，若，则的度数为__________°． 【答案】12 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理及线段垂直平分线的性质．先根据等腰三角形的性质求得的度数，再利用三角形内角和定理求出的度数，紧接着利用线段垂直平分线定理得到，从而得出的度数，最后利用角度和差关系求得结果． 【详解】解：∵，， ∴，则， 又∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴． 故答案为：12． 6．（25-26七年级上·山东淄博·期中）如图，在中，分别是边的垂直平分线，连接，若，则______ 【答案】20 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，关键是掌握线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． 由线段垂直平分线的性质推出，，由等腰三角形的性质得到，，，求出，由三角形内角和定理求出，得到． 【详解】解：，分别是边的垂直平分线， ，， ， ，，， ， ， ． 故答案为： 7．（25-26七年级上·山东烟台·期中）如图是一风筝的骨架图，是的垂直平分线，为垂足．若，四边形的周长为，则的长度为________． 【答案】 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，关键是掌握线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等； 由线段垂直平分线的性质推出，，由四边形的周长，即可求出的长． 【详解】解：是的垂直平分线， ，， 四边形的周长， ． 故答案为：． 题型四 角平分线的性质 1．（25-26八年级上·云南昆明·期末）如图，平分，于点C，于点D，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查角平分线的性质，即角平分线上的点到两边的距离相等，据此判断各选项即可． 【详解】解：∵平分，，， ∴， 故选：B． 2．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）如图，点是的平分线上一点，于点．点是射线上任意一点，则下列关系成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，作于点，由角平分线的性质定理可得，再结合，即可得出结果，熟练掌握角平分线的性质定理是解此题的关键． 【详解】解：如图，作于点， ， ∵点是的平分线上一点，于点， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 3．（25-26八年级上·湖北襄阳·期末）点在的平分线上，点到边的距离为6，点是边上的任意一点，请写出一个符合条件的线段的长是_____． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了角平分线的性质．点在角平分线上，故到两边和的距离相等，均为．点在上，当为垂足时最小为，因此可写出． 【详解】解：因为点在的平分线上，所以点到角的两边和的距离相等． 已知点到边的距离为，所以点到边的距离也为．点是边上的任意一点，当点为点到边的垂足时，线段的长度最小，为． 因此，符合条件的线段的长可以是． 故答案为：（答案不唯一）． 4．（25-26七年级上·山东泰安·期末）如图，已知的周长是，和的角平分线交于点，于点，若，则的面积是_____． 【答案】27 【分析】本题考查了角平分线的性质，解题关键是将三角形分成三个等高的三角形，利用周长来求面积．先利用角平分线的性质得到O点到各边的距离相等，再将三角形分成3个三角形，将它们的面积相加即可． 【详解】解：过点O作于点E，过点O作于点F，连接，如图所示： ∵点O为与的平分线的交点，且， ∴， ∵，的周长是， ∴ ； 故答案为：． 5．（25-26八年级上·江苏无锡·月考）如图，已知：，，，垂足为E，，垂足为F． (1)求证：； (2)已知，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)8 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，证明出是解题的关键． （1）先利用证明，再根据全等三角形的对应角相等即可得出； （2）根据全等三角形的对应角相等得出，再根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等即可得出，即可得出答案． 【详解】（1）证明：在与中， ， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵，垂足为E，，垂足为F， ∴， ∵， ∴． 6．（25-26七年级上·山东烟台·期中）如图，是的平分线，，点在上，，，垂足分别是、，与相等吗？为什么？ 【答案】，理由见解析． 【分析】本题考查了角平分线的性质、全等三角形的性质及判定，关键是根据论证三角形全等解答． 根据证明与全等，进而利用角平分线的性质解答即可． 【详解】解：，理由如下： 是的平分线， ， 在与中， ， ， ， 即平分， ，， ． 题型一 作线段的垂直平分线 1．（22-23九年级上·内蒙古锡林郭勒·单元测试）请你根据图所示的作图痕迹，填写画线段的垂直平分线的步骤． 第一步：分别以______、_______为圆心,以大于______一半的长度为半径画弧，两弧在的两侧分别相交于点______和点______； 第二步：经过点_____和点_______画______；直线就是线段的垂直平分线． 【答案】点A，点B，线段，M，N，M，N，直线 【分析】本题需根据线段垂直平分线的尺规作图痕迹，补全作图步骤，解题思路是回忆并套用尺规作线段垂直平分线的标准流程，结合图中交点标识完成填空． 【详解】解：第一步：分别以点、点为圆心，以大于线段一半的长度为半径画弧，两弧在的两侧分别相交于点和点； 第二步：经过点和点画直线；直线就是线段的垂直平分线． 2．（25-26九年级下·陕西西安·期中）如图，已知，请用尺规作图法，在内求作一点，使，且点到和的距离相等．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了尺规作图，用尺规作图作的垂直平分线，根据垂直平分线的性质可知直线上的点到点、的距离相等；用尺规作图作的平分线，根据角平分线的性质可知上的任意一点到和的距离相等，与的交点即为点． 【详解】解：如下图所示， 分别以点、为圆心，大于为半径画弧， 两弧分别交于点、，连接， 则直线上的点到点、的距离相等， 以点为圆心，任意长度为半径画弧，交、于点、， 分别以点、为圆心，大于的长度为半径画弧，两弧交于点， 作射线， 则射线是的平分线， 射线上的任意一点到和的距离相等， 射线交直线于点， 点即为所求． 3．（25-26八年级上·陕西延安·期末）如图，在数学活动课中，嘉嘉剪了一张的纸片，他将折叠压平使点落在点处，折痕分别交、于点、．请用尺规作图法，求作折痕．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】先根据折叠的性质可得折痕是的线段垂直平分线，再利用尺规作图作的线段垂直平分线，分别交于点D，交于点E，则即为所求。 【详解】解：如图，折痕即为所求. 4．（25-26九年级下·陕西西安·开学考试）如图，、表示两条相交的公路，A、B为公路边上的两个村庄，现要在区域内建一个超市P，要求超市到A、B两个村庄的距离相等，且．请利用尺规作图确定超市的位置．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】连接，作的垂直平分线，作，交于点，则点即为所作． 【详解】解：如图，点即为超市的位置． 题型二 作角平分线 1．（25-26八年级下·湖南长沙·开学考试）如图，用直尺和圆规作已知角的平分线，则说明为的平分线的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据作图得到，，以及为公共边，则可利用证明，即可求解． 【详解】解:由作法得，，而为公共边， 所以． 所以． 2．（2026·陕西西安·三模）如图，点在的边上．请用尺规作图法，在平面内找一点，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【分析】用尺规作图作，根据同位角相等，两直线平行，可得：，用尺规作图作平分交于点，根据角平分线的定义可得：，根据两直线平行，内错角相等可得：． 【详解】解：如下图所示， 用尺规作图作， 则有， 用尺规作图作平分交于点， 则有， ， ． 则点即为所求． 3．（2026·陕西榆林·二模）如图，直线与射线交于点，，请利用尺规作图法在内部作一条射线．使得．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【分析】作的角平分线，结合，可得，，进一步可得，可得作图正确． 【详解】解：如图，即为所求． 4．（21-22八年级上·广西河池·期末）如图，某通信公司计划在虚线范围内建造一个“5G”基站，使得到两条公路，的距离相等且到两个村庄，的距离也相等，请在图中标出点（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． 【答案】见解析 【分析】根据题意，用尺规作图的方法作的角平分线和的垂直平分线，交点即为点． 【详解】解：如图所示，点即为所求． 理由：由图可知是的平分线，是的垂直平分线， 是的平分线， 到两条公路，的距离相等， 是的垂直平分线， ，即到两个村庄，的距离相等， 的角平分线和的垂直平分线的交点即为点． 5．（2026·陕西西安·二模）如图，已知，点C为边上一点，用尺规在内部求作一点P，使得，且．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】根据“作垂直平分线”的尺规作图方法，作的垂直平分线，再以点O为圆心为半径作圆弧交于一点D，连接，则为等边三角形，则，再根据角平分线的尺规作图方法，作的角平分线，交于一点，即为点P． 【详解】解：如图，点P即为所求． 理由如下：如图， 由图可知，是的垂直平分线，，是的角平分线， 是的垂直平分线， ，即为等边三角形， ， 是的角平分线， ， 是的垂直平分线， ， 点P即为所求． 6．（25-26七年级上·河南新乡·期末）如图，点E是直线上一点，是的平分线． (1)作的平分线； (2)求的度数； (3)直接写出的余角． 【答案】(1)见解析 (2) (3)和 【分析】（1）根据角平分线的作法画图； （2）根据角平分线的性质求出角之间的关系； （3）根据余角定义进行求解． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：∵平分，平分， ∴， ∴； （3）解：∵，且， ∴的余角为和． 【点睛】重点掌握角平分线的作法和性质，余角的定义． 7．（25-26八年级上·上海·期末）尺规作图：如图，已知，点在上，在的内部求作点，使点到直线的距离相等，且．（保留作图痕迹） 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了角平分线，垂直平分线，线段的作图．解题的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图分解成基本作图；作出的角平分线；再作出的垂直平分线，交于点，则，最后以点为圆心，的长为半径画弧交的角平分线于点，连接，可得． 【详解】解：如图所示为所求： 题型三 最短路径问题 1．（2026七年级下·全国·专题练习）某区计划在公路旁修建一个核酸采集点，现有如下四种方案，则核酸采集点到两个小区之间的距离之和最短的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了最短路径的数学问题，熟练掌握两点之间，线段最短是解题的关键． 用对称的性质，通过等线段代换，将所求路线转化为两点之间的距离． 【详解】解：作点关于直线的对称点，连接交直线于，根据两点之间线段最短，可知选项B中的核酸采集点到两个小区之间的距离之和最短， 故选：B． 2．（25-26七年级上·辽宁沈阳·期末）某大学的四幢学生公寓恰好在同一条直线上，依次记为A，B，C，D，现要在这四幢学生公寓之间建立一个便民服务站，使得四幢学生公寓到这个便民服务站的距离之和最短，则便民服务站应建在（   ） A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 【答案】B 【分析】本题主要考查了两点之间线段最短的实际应用，解题的关键是掌握该定理． 利用两点之间线段最短进行求解即可． 【详解】解：设服务站的位置为点P，四幢公寓的位置分别为点A，B，C，D，所求为的最小值，可将距离之和分组为，根据“线段上任意一点到两端点的距离之和等于线段长度，线段外任意一点到两端点的距离之和大于线段长度”可知：当点P在线段上时，最小，最小值为；同理，当点P在线段上时，最小，最小值为； 为了使总距离之和最小，点P必须同时在线段和线段上，因为A，B，C，D，在同一直线上依次排列，线段在线段内，所以点P的位置应在线段上，即B和C之间（可包含端点）， 故选：B． 3．（25-26八年级上·浙江杭州·月考）如图，小河边有两个村庄，，现要在河边建一个自来水厂为村与村供水，自来水厂建在什么地方到村、村的距离和最小？请在下图中找出点的位置，并标出点．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】利用轴对称求最短路线的方法得出点关于直线的对称点，对于直线上任一点，有，则，当、、共线时取最小值，则连接交CD于点即可得出答案． 【详解】解：如图所示，作点关于直线的对称点，再连接交于点，点即为所求． 4．（24-25七年级上·浙江宁波·期末）如图，在平面上有四个点A，B，C，D，根据下列要求画图： (1)画直线； (2)画射线； (3)在平面内找一点E，使点E到A，B，C，D四点距离之和最短． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）根据直线的定义画出图形； （2）根据射线的定义画出图形； （3）连接，交于点E，点E即为所求． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求； （2）解：如图，射线即为所求； （3）解：如图，点E即为所求． 5．（24-25八年级上·甘肃临夏·期末）如图是由边长为的小正方形组成的网格，直线是一条网格线，点、在格点上，的三个顶点都在格点（网格线的交点）上． (1)作出关于直线对称的； (2)在直线上画出点，使四边形的周长最小． 【答案】(1) 即为所求； (2)见解析 【分析】（1）根据要求作图即可； （2）连接交于即可． 【详解】（1）解：如图， 即为所求； （2）解：如图，点即为所求； 6．（25-26八年级下·广东江门·开学考试）如图，在每个小正方形的边长均为1个单位长度的网格中，的三个顶点都在其格点上． (1)的面积为      ； (2)画出关于直线l的轴对称图形； (3)在直线l上求作一点P，使值最小．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】(1) (2)见解析 (3)见解析 【详解】（1）解：； （2）解：即为所求作； （3）解：如图，点即为所求作， 关于直线对称， , 当点三点共线时，的值最小，即． 题型四 轴对称综合：线段问题 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）小刚准备去河里打一桶水送去王奶奶家．如图，小刚的家在A处，王奶奶的家在B处，A，B两点到河岸的距离分别为AC和BD，且．若点A到河岸CD的中点的距离为1000 m，则小刚从A处到河里打水再送去王奶奶家的最短距离是________m． 【答案】2000 【分析】本题考查作图-应用与设计，轴对称最短问题等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 如图，作点关于的对称点，连接与相交于点，连接，因此小刚从处到河里打水再送去王奶奶家的最短距离为的长度，通过可证明，由此可求出，即可解决问题． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接与相交于点，连接． 根据轴对称可知， ， ∵两点之间线段最短， ∴的值最小，即的值最小， ∴小刚从处到河里处打水，再送去王奶奶家，所走的路程最小． 根据作图并结合题意可知，，， 在和中， ， ，， 为的中点． ∵点到河岸的中点的距离为， ， ， ． 故小刚从处到河里打水再送去王奶奶家的最短距离是． 故答案为：． 2．（25-26八年级上·福建厦门·期末）如图为某工厂厂区示意图，办公大楼在工厂主干道上，车间，与办公大楼的距离皆为，且，．在主干道上选址仓库，从仓库到车间，修建厂区支路，，使得支路总长最短，测得仓库与办公大楼距离为．已修建的支路长为，还需修建的支路的长度用代数式可以表示为__________． 【答案】 【分析】本题考查轴对称的性质与最短路径问题，解题关键是利用轴对称将线段和转化为两点之间线段，结合等边三角形判定求总长，再作差得长度． 作点关于的对称点，连接，则（最短路径），由角度计算得，结合，判定为等边三角形，得．由，得． 【详解】解：作点C关于直线的对称点连接，交于点D， 此时，，根据两点之间线段最短，即为所求的仓库位置． 由对称性，， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴． ∵，且， ∴， 故答案为：． 3．（25-26八年级上·河北邢台·期末）如图是某果树树苗基地的平面示意图，，分别是桃树苗、杏树苗，中间为笔直的小路，为工具室，为笔直的水渠，灌溉沟． (1)在水渠上找一点，使从杏树苗到水渠，然后从水渠到工具室行走的总路程最短，在图中找出点 ，并画出行走路线（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法）； (2)现要在小路上修建一处诱虫处（点），要求诱虫处点到，的距离都相等，请确定点 的位置（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了轴对称的性质，作线段的垂直平分线，线段的垂直平分线的性质． （1）根据题意作关于的对称点，连接交于点，连接，则即为所求 （2）根据题意连接，作的垂直平分线，即可求解． 【详解】（1）解：如图点，即为所求； （2）解：如图，点即为所求． 4．（25-26八年级上·山西忻州·期中）综合与实践 问题情境 如图1，在太空探索中，宇航员需要从空间站A出发，先到陨石带边缘收集样本，再到能源站补充燃料，最后返回空间站B．为了提高效率，宇航员需要设计一条最短路径． 问题解决 数学建模：如图2，若只需在能源站补充燃料，可作B关于能源站直线l的对称点，连接，与直线的交点即为最优燃料点，此时路径最短． 推理论证：如图3，在直线上另取任意一点，连接，，，只要说明即可． 证明：直线是点，的对称轴，点，在上， ， ， ． 在中，， ，即最小． (1)本问题实际上是利用转化的思想，把在直线同侧的A，B转化为在直线的两侧，从而利用“两点之间线段最短”及“三角形两边之和大于第三边”加以解决．请补全上述推理论证； (2)请你根据以上材料内容，帮助宇航员在图1中画出最短路径； (3)如图4，在中，，．若点在上移动，点在上移动，如何确定的最小值？ 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了轴对称的性质以及三角形三边关系．通过作对称点，将同侧点转化为异侧，利用两点之间线段最短和三角形三边关系是解题的关键． （1）利用轴对称性质，得到对称点到对称轴上点的距离相等，将转化为，再结合三角形三边关系，证明该线段长度为最小值； （2）通过作两点关于两直线的对称点，将折线转化为连接两对对称点的线段，利用“两点之间线段最短”确定最短路径即可； （3）过点作的垂线，垂足为点，交于点，此时的最小值为的长． 【详解】（1）证明：直线是点，的对称轴，点，在上， ，， ． 在中，， ，即最小． 故答案为：，，，； （2）解：如图，即为最短路径； （3）解：过点作的垂线，垂足为点，交于点，此时的最小值为的长． 5．（25-26八年级上·辽宁大连·期中）综合与实践：如图1，数学活动课上，李老师带领学生在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：直线l同侧有两个定点A，B，在直线l上存在点C，使得的值最小． 小明的作法是：如图2，作点B关于直线l的对称点，连接，则与直线l的交点即为点C，且的最小值为的长． 如图3，为了证明点C的位置即为所求，小明经探究发现，在直线上另外取点，连接，，，证明即可． (1)请完成图3中小明的证明； (2)如图4，在中，直线m是边的垂直平分线，点P是直线m上的动点．若，，，则周长的最小值为________； (3)如图5，已知，P为内一定点，上有一点A，上有一点B，当的周长取最小值时，的大小为________度． 【答案】(1)证明见解析 (2)11 (3)110 【分析】（1）由轴对称的性质可知，，，则，，可得，进而结论得证； （2）连接，则B是C关于m的对称点，当B、P、A三点共线时，即当P是与的交点时，的周长最小； （3）分别作关于、的对称点、，连接、，当、、四点共线时，的周长取最小值，根据轴对称的性质解题即可． 本题考查“将军饮马”问题的探究、轴对称性的应用． 【详解】（1）证明：由轴对称的性质可知，，， ∴，， ∴，， ∴当三点共线时，值最小， ∴点的位置即为所求； （2）解：如图，连接， ∵m是边的垂直平分线， ∴， ∴的周长为， 当且仅当B、P、A三点共线时，等号成立， 即当P是与的交点时，的周长最小，最小为11， 故答案为：11； （3）解：如图，分别作关于、的对称点、，连接、，当、、四点共线时，的周长取最小值， 根据对称性可知，， ∴， ， ， ， ， 故答案为：110． 题型五 轴对称综合：面积问题 1．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）如图，已知，点P在内部，点与点P关于对称，点与点P关于对称，连接，分别交，于点E，F，连接，．若，，则的面积为________．(用含a，b的代数式表示) 【答案】 【分析】本题考查了轴对称图象的性质，全等三角形的性质，解题的关键是证明出为直角三角形，利用轴对称的性质得到三角形全等，证明出为等腰直角三角形，进一步证明出为直角三角形即可求解． 【详解】解：连接， 根据轴对称的性质可知：， ，，， ， ， ， ， ， 为直角三角形， ， 故答案为：． 2．（20-21八年级上·黑龙江哈尔滨·月考）如图，点P为内部任意一点，点P、关于对称，点P、关于对称,，则的面积为__________． 【答案】 【分析】本题考查轴对称的性质，难度一般，要求学生熟练掌握轴对称的性质特点，并能灵活运用，便能简单做出此题． 连接，，根据轴对称的性质得到，，，求出，根据面积公式计算即可． 【详解】解：连接，， 点P、关于对称，点P、关于对称，， ，，， ， 的面积， 故答案为：． 3．（22-23七年级下·福建泉州·期末）如图，，点、分别在射线、上，，的面积为，是直线上的动点，点关于对称的点为，点关于对称点为，当点在直线上运动时，的面积最小值为______ ． 【答案】8 【分析】连接，过点作交的延长线于，先利用三角形的面积公式求出，再根据轴对称的性质可得，，，从而可得，然后利用三角形的面积公式可得的面积为，根据垂线段最短可得当点与点重合时，取得最小值，的面积最小，由此即可得． 【详解】解：如图，连接，过点作交的延长线于，    ，且， ， 点关于对称的点为，点关于对称的点为， ，，， ， ， 的面积为， 由垂线段最短可知，当点与点重合时，取得最小值，最小值为， 的面积的最小值为， 故答案为：8． 【点睛】本题考查了轴对称、垂线段最短等知识点，掌握轴对称的性质是关键． 4．（23-24七年级上·上海·期末）如图，在中，，，点A关于的对称点为，点B关于的对称点为，点C关于的对称点为． (1)在图中画出； (2)若的面积为，则的面积是______． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题考查作图轴对称变换、三角形的面积，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． （1）根据轴对称的性质作点A关于的对称点为，即过点A向引垂线并倍长得到对称点，其他点同理作图即可． （2）设交于点，延长交于点，根据轴对称的性质可得，，，，则与关于点成中心对称，可得，，，，进而可得．根据三角形的面积公式可得，则可得的面积． 【详解】（1）解：如图，作点A关于的对称点为，即过点A向引垂线并倍长得到对称点，其他同理， 即为所求． （2）设交于点，延长交于点， 点关于的对称点为， ，． 点关于的对称点为， ， 点关于的对称点为， ， 与关于点成中心对称， ，， ，， ． 的面积为， ， 的面积是． 故答案为：． 题型六 轴对称综合：角度问题 1．（2025·河北石家庄·三模）如图，在菱形中，，P为AD边上一点，连接，作关于对称的，点F与点E关于对称．设，若点F在内（不包括边界），则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了折叠的性质，轴对称的性质. 分别求出两极值点即可. 【详解】由题意可知 当点F在上时，点E，F重合， 此时 即； 当点F在上时， ∴ ∵， ∴， 解得． 所以x的取值范围是． 故选B． 2．（22-23九年级上·湖北武汉·期中）如图，在中，，为边上一动点，于点，于点，则关于与之间的大小关系的描述，正确的为（    ） A．恒成立 B．当时， C．恒成立 D．当时， 【答案】B 【分析】此题考查了对称的性质，找点关于的对称点，连接，延长交于点，则有，，解题的关键是熟练掌握对称的性质及其应用． 【详解】如图，找点关于的对称点，连接，延长交于点， ∴，， 当在在内部时，即， ∴， 故选：． 3．（22-23八年级上·江苏徐州·月考）如图，点P为内一点，分别作出点P关于、的对称点、，连接交于M，交于N．若，则______． 【答案】/60度 【分析】连接，，，根据对称的性质证明，，即可作答． 【详解】解：连接，，，如图， ∵点P关于的对称点， ∴，， ∴平分， ∴， 同理可证明：， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了对称的性质，掌握对称的性质是解答本题的关键． 4．（24-25七年级下·江苏扬州·月考）矩形，若按如图（1）翻折，点的对应点恰好落在上，折痕分别为，，则的度数为；若按如图（2）翻折，点的对应点落在的内部（不含角的两边），已知，，则的度数为______． 【答案】/12度 【分析】本题主要考查了折叠的性质，平角定义，角的和差，解题关键是根据折叠梳理相等关系． 根据折叠的性质得，，结合进而得出，再求出即可求解． 【详解】解：根据折叠性质得，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 5．（22-23七年级下·江西吉安·月考）已知． (1)如图1，若射线在的内部，且射线，关于射线对称．射线，关于射线对称，则 ．    (2)如图2，若射线在的外部，且，射线，关于射线对称，射线，关于射线对称，求的度数．    (3)若射线，关于射线对称，，请直接写的度数．    【答案】(1) (2) (3)的度数为或． 【分析】（1）由题意可得，，根据角的和差得出，计算即可求解； （2）根据和关于对称，得到，根据和关于对称，求得，根据角的和差即可得到结论； （3）①在内部，②当在外部，根据轴对称的性质即可得到结论． 【详解】（1）解：∵射线，关于射线对称．射线，关于射线对称， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：； （2）如图，    ∵射线，关于射线对称， ∴． 又∵射线，关于射线对称， ∴． ∵， ∴； （3）的度数为或． ①如图，当射线在的内部时，    ∵射线，关于射线对称， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ②当射线在的外部时， ∵射线，关于射线对称， ∴． 当射线在的下方时，． ∵， ∴射线不在射线的下方． 当射线在射线的上方时， 如图，，    ∴， ∴， ∴． 综上所述，的度数为或． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，角的和差，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． 题型一 轴对称与全等三角形综合问题 1．（25-26八年级上·湖北武汉·期中）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图． (1)在图1中，画线段的中点C； (2)在图2中，作，交于点E； (3)在图3中，O为角平分线的交点，作出点C； (4)在图4中，作三角形，使得它与全等且与共一边． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，熟知全等三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）如图所示，取格点E、F，连接交于C，可证明，则，故点C即为所求； （2）如图所示，取格点F，连接并延长交于E，可证明，则，则可证明，故点E即为所求； （3）取格点E、F，延长交于点C，可证明，则，故点C即为所求； （4）设分别与格线交于G、H，连接，并延长分别交格线于D、E，根据网格的特点可知G、H分别为的中点，则可证明，则可证明，进而可证明，同理可证明；取格点M、N，连接并延长，交于R，连接交于K，连接并延长交于T，连接，由网格的特点可知点M为的中点，则可证明得到，由网格的特点可得点K为的中点，则可证明得到，则可证明，同理可证明，故． 【详解】（1）解：如图所示，点C即为所求； （2）解：如图所示，点E即为所求； （3）解：如图所示，点C即为所求； （4）解：如图所示，即为所求； 2．（20-21八年级上·广西南宁·期末）已知点C是∠MAN平分线上一点，∠BCD的两边CB、CD分别与射线AM、AN相交于B，D两点，且∠ABC+∠ADC＝180°．过点C作CE⊥AB，垂足为E． （1）如图1，当点E在线段AB上时，求证：BC＝DC； （2）如图2，当点E在线段AB的延长线上时，探究线段AB、AD与BE之间的等量关系； （3）如图3，在（2）的条件下，若∠MAN＝60°，连接BD，作∠ABD的平分线BF交AD于点F，交AC于点O，连接DO并延长交AB于点G．若BG＝1，DF＝2，求线段DB的长．    【答案】（1）见解析；（2）AD﹣AB＝2BE，理由见解析；（3）3． 【分析】（1）过点C作CF⊥AD，根据角平分线的性质得到CE＝CF，证明△BCE≌△DCF，根据全等三角形的性质证明结论； （2）过点C作CF⊥AD，根据角平分线的性质得到CE＝CF，AE＝AF，证明△BCE≌△DCF，得到DF＝BE，结合图形解答即可； （3）在BD上截取BH＝BG，连接OH，证明△OBH≌△OBG，根据全等三角形的性质得到∠OHB＝∠OGB，根据角平分线的判定定理得到∠ODH＝∠ODF，证明△ODH≌△ODF，得到DH＝DF，计算即可． 【详解】（1）证明：如图1，过点C作CF⊥AD，垂足为F，    ∵AC平分∠MAN，CE⊥AB，CF⊥AD， ∴CE＝CF， ∵∠CBE+∠ADC＝180°，∠CDF+∠ADC＝180°， ∴∠CBE＝∠CDF， 在△BCE和△DCF中， ， ∴△BCE≌△DCF（AAS） ∴BC＝DC； （2）解：AD﹣AB＝2BE， 理由如下：如图2，过点C作CF⊥AD，垂足为F，    ∵AC平分∠MAN，CE⊥AB，CF⊥AD， ∴CE＝CF，AE＝AF， ∵∠ABC+∠ADC＝180°，∠ABC+∠CBE＝180°， ∴∠CDF＝∠CBE， 在△BCE和△DCF中， ， ∴△BCE≌△DCF（AAS）， ∴DF＝BE， ∴AD＝AF+DF＝AE+DF＝AB+BE+DF＝AB+2BE， ∴AD﹣AB＝2BE； （3）解：如图3，在BD上截取BH＝BG，连接OH，    ∵BH＝BG，∠OBH＝∠OBG，OB＝OB 在△OBH和△OBG中， ， ∴△OBH≌△OBG（SAS） ∴∠OHB＝∠OGB， ∵AO是∠MAN的平分线，BO是∠ABD的平分线， ∴点O到AD，AB，BD的距离相等， ∴∠ODH＝∠ODF， ∵∠OHB＝∠ODH+∠DOH，∠OGB＝∠ODF+∠DAB， ∴∠DOH＝∠DAB＝60°， ∴∠GOH＝120°， ∴∠BOG＝∠BOH＝60°， ∴∠DOF＝∠BOG＝60°， ∴∠DOH＝∠DOF， 在△ODH和△ODF中， ， ∴△ODH≌△ODF（ASA）， ∴DH＝DF， ∴DB＝DH+BH＝DF+BG＝2+1＝3． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，三角形全等的判定和性质，关键是依照基础示例引出正确辅助线． 3．（19-20八年级上·浙江嘉兴·月考）如图，在△ABC中，如果BD,CE分别是∠ABC,∠ACB的平分线且他们相交于点P，设∠A=n°. （1）求∠BPC的度数（用含n的代数式表示），写出推理过程. （2）当∠BPC=125°时，∠A= . （3）当n=60°时，EB=7，BC=12，DC的长为 . 【答案】（1）∠BPC=90°+n，推理过程见解析；（2）70°；（3）5. 【分析】（1）根据角平分线的性质得∠ABC=2∠PBC，∠ACB=2∠PCB，再根据三角形内角和定理求得∠A=-180°+2∠BPC，即可求证∠BPC=90°+n； （2）根据（1）可知∠BPC=90°+n，把∠BPC=125°代入原式求出n即为∠A的度数； （3）当n=60°时，即可求出∠BPC=120°，作辅助线在CB上截取CG=CD，可证出△CPG≌△PCD（SAS），即可得出∠DPO=∠GPC，PD=PG，再可证出△BEP≌△BGP，即可得出BE=BG，即可求出DC． 【详解】解：（1）∵DB、CE分别为∠ABC，∠ACB的平分线， ∴∠ABC=2∠PBC，∠ACB=2∠PCB. ∵∠A=180°-(∠ABC+∠ACB)， ∴∠A=180°-2(∠PBC+∠PCB)， ∴∠A=180°-2(180°-∠BPC)， ∴∠A=-180°+2∠BPC， ∴2∠BPC=180°+∠A， ∴∠BPC=90°+ ∠A, ∴∠BPC=90°+n （2）由（1）知∠BPC=90°+ ∠A ∴当∠BPC=125°时，∠A =2×（125°-90°）= 70°； （3）在CB上截取CG=CD，连接GP， CE平分 ∴∠GCP=∠PCD， 在△PCD和△PCG中， ∴△PCD≌△CGP（SAS）， ∴∠GPC=∠CPD，PG=PD， 由∠BPG+∠GPC=120°， 又∵∠BPG+2∠GPC=180°， 解得：∠BPG=∠GPC=∠FPC=60° 在△BEP和△BGP中， ∴△BEP≌△BGP（ASA）， ∴BE=BG， ∴CG=BC-BG=BC-BE=12-7=5 ∴CD=CG=5． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义以及三角形全等的判定与性质，难度较大． 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $