5.2简单的轴对称图形(第2课时)-【新课程能力培养】2025-2026学年新教材七年级下册数学同步练习（北师大版2024）

图形的轴对称 第五章 简单的轴对称图形（第2课时) 自主导学Q典例精析 例题如图，在△ABC中，AC=6,BC=4,AB边的垂直平分线交 AC于点D,交AB于点E,求△BDC的周长。 【分析】求△BDC的周长，即是求DB+BC+CD。因为BC已知，故只 需求BD+DC即可。由线段垂直平分线的性质，可得BD=AD,则△BDC 例题1图 的周长=AD+BC+CD=AC+BC。 【解答】因为ED是AB的垂直平分线，所以AD=BD。因为△BDC的周长=DB+BC+CD, 所以△BDC的周长=AD+BC+CD=AC+BC=6+4=10。 【点拨】本题考查了线段垂直平分线的性质、三角形周长的计算，将三边长的和转化为 已知三角形两边长的和是解题的关键。 例题2如图，已知△ABC(AC<BC),用尺规在BC上确定一点P,使PA+PC=BC, 则符合要求的作图痕迹是( D 【分析】要使PA+PC=BC,必有PA=PB,所以选项中只有作AB的中垂线才能满足这个 条件，故B正确。 【解答】B 【点拨】本题主要考查了线段垂直平分线的基本作图方法，解题的关键是根据中垂线的 性质得出PA=PB。 基础巩固达标闯关 1.如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，已知线段PA=5, 则线段PB的长度为 第1题图 第2题图 2.如图，在△ABC中，AB=AC=32,MN所在的直线是AB的垂直平分线，且BC=21, 0 口数学 七年级下册（北师大版） 则△BCV的周长为 3.如图，线段AB,BC的垂直平分线11，l2相交于点O,连接A0,C0,若∠1=43°，则 ∠AOC= 4.如图，在△ABC中，∠BAC=106°，EF,MN分别是AB,AC的中垂线，点E,M在 BC上，则∠EAM等于() A.32° B.34 C.36° D.58° 第3题图 第4题图 第5题图 5.如图，点P是∠AOB内一点，点P,P"分别是点P关于OA,OB的对称点，且PP= 8cm,则△PMW的周长为() A.5 cm B.6cm C.7cm D.8 cm 6.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠CAB的平分线AD交BC于点D,若DE垂直平分 AB,求∠B的度数。 第6题图 能力提升坤综合拓展 7.如图，已知线段a和h. 求作：△ABC,使AB=AC,BC=a,且BC边上的高AD=h。(要求：尺规作图，不写作 法，保留作图痕迹) 第7题图 0© 图形的轴对称 第五章 8.为进一步打造城市环境，某区拟在新竣工的长方形广场的内部修建一个音乐喷泉，要 求音乐喷泉M到广场的两个入口A,B的距离相等，且到广场管理处C的距离等于A和B 之间距离的一半，A,B,C的位置如图所示。请在原图上利用尺规作图作出音乐喷泉M的 位置。（要求：不写已知、求作、作法和结论，只保留作图痕迹） B 第8题图 9.如图，已知△ABC,P为边AB上一点，AC=6,AP-3,请用尺规作图方法在边AC上 求作一点E,使AE+EP=AC,并求△APE的周长。（不写作法，保留作图痕迹） 第9题图 中考链接©真题演练 10.(2024镇江)如图，△ABC的边AB的垂直平分线交AC于点D,连接BD。若AC= 8,CD=5,则BD= 11.(2024·凉山州)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，DE垂直平分AB交BC于点D, 连接AD,若△ACD的周长为50cm,则AC+BC=() A.25 cm B.45 cm C.50 cm D.55 cm D 第10题图 第11题图 第12题图 12.(2025·连云港)如图，在△ABC中，BC=7,AB的垂直平分线分别交AB,BC于点 D,E,AC的垂直平分线分别交AC,BC于点F,G,则△AEG的周长为() A.5 B.6 C.7 D.8 109数学 七年级下册（北师大版） 45°-45°=90°。所以∠BAC=∠DAE。所以∠BAC+ ∠CAD=∠DAE+∠CAD。所以∠BAD=∠CAE。又因为 AB=AC,AD=AE,所以△BAD≌△CAE(SAS)。所以 ∠ABD=∠ACE。由三角形内角和定理，得∠ABD+ ∠BAC=∠ACE+∠BPC,所以∠BPC=∠BAC=90°=a。 (3)由(1)(2)猜想∠BPC=a。因为∠ABC= ∠ACB=∠ADE=∠AED-90P-号a,∠ABC+∠ACB+ ∠BAC=180°，∠ADE+∠AED+∠DAE=18P,所以∠BAC= 180-290-3aa,∠D1B=180-290r-2a-e。 所以∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD。所以∠BAD= ∠CAE。因为AB=AC,AD=AE,所以△BAD≌△CAE (SAS)。所以∠ABD=∠ACE。由三角形内角和定理， 得∠ABD+∠BAC=∠ACE+∠BPC,所以∠BPC= ∠BAC=a。 第五章图形的轴对称 1轴对称及其性质 1.两一2.DDE∠E3.204.①②④5. ③④6.C7.C8.D9.C10.①③⑥是轴对称图 形，画对称轴略。11.解：因为△ABC与△AEC关 于直线AC对称，所以AB=AE,∠E=∠B=∠D=90°。 又因为AB=CD,所以AE=CD。又因为∠AFE=∠CFD, 所以△AFE≌△CFD(AAS)。所以DF=EF。12.解： 因为AD∥BC,所以∠DEF=∠EFG=55°。又由折叠知 ∠D'EF=∠FED=55°。在△EFG中，∠GEF+∠EFG+ ∠EGF=180°，所以∠EGF=180°-∠GEF-∠EFG=70°。 13.根据轴对称的性质作图，图形略。14.解：因 为点P关于OA的对称点Q恰好落在线段MN上，点 P关于OB的对称点R落在MN的延长线上，所以 MQ=PM,NR=PN。因为PM=2.5cm,PW=3cm, MN=4cm,所以NR=PW=3cm,MQ=PM=2.5cm。所以 NQ=MW-MQ=4-2.5=1.5(cm)。所以QR=RNW+NQ=3+ 1.5=4.5(cm)。15.解：因为∠A=70°，∠ADE+ ∠AED+∠A=180°，所以∠ADE+∠AED=180°-70°= 110°。因为△ABC沿着DE折叠，点A与点A'重合 所以△ADE与△A'DE关于直线DE成轴对称。由轴对 称性质，得∠A'DE=∠ADE,∠A'ED=∠AED。因为 ∠1+∠A'ED+∠AED=180°，∠2+∠A'DE+∠ADE= 180°，所以∠1+∠2=180°-（∠A'ED+∠AED)+180° (∠A'DE+∠ADE)=360°-2（∠AED+∠ADE)=140°。 16.解：如图，连接AA'交DE于D A 点0，由轴对称性质知A'0=A0。 G 因为AE∥A'D,所以∠DA'O= ∠EAO,∠A'DO=∠AE0。所以 △A'OD≌△AOE(AAS)。所以 A--- DO=E0。又因为∠A'OE=∠AOD, B A'0=A0,所以△A'0E兰△AOD第16题答图 (SAS)。所以A'E=AD。由轴对称性质知A'E=AE, EG=AE,BC=CH,所以AD=EG。因为AD=BC,所以 EG=CH。17.82.5°或52.5°或37.5°18.D19.D 2简单的轴对称图形（第1课时） 1.3或52.110°或140°3.204.B5.D6. 解：在△ADB和△ADC中，因为AB=AC,AD=AD, DB=DC,所以△ADB≌△ADC(SSS)。所以∠BAE= ∠CAE。所以AE是△ABC底边BC上的中线。所以 BE=CE。7.解：因为AB=AC,所以∠C=∠B=30°。因 为∠C+∠BAC+∠B=180°，所以∠BAC=180°-30°-30°= 120°。因为∠DAB=45°，所以∠DAC=∠BAC-∠DAB= 120°-45°=75°。8.解：因为AB=AC,所以∠B=∠C。 1 因为∠A+∠B+∠C=180°，∠A=80°，所以∠B=∠C= 5O°。因为BE=BP,CP=CF,所以∠BPE=∠BEP, ∠CPF∠CP,所以∠BPE=90-7LB,∠CPF-90P- ↓∠C。所以∠BPE=∠CPF=65°。所以LEPF=180°-2x 65°=50°。9.解：是。理由：因为D0=BD,所以 ∠DBO=∠DOB。又因为DE∥BC,所以∠CBO= ∠DOB。所以∠DBO=∠CBO。所以BO为∠ABC的平 分线。同理，CO是∠ACB的平分线。 10.解： (1)在△ABC和△ADE中，因为BC=DE,∠B=∠D. AB=AD,所以△ABC≌△ADE(SAS)。(2)由(1) 得△ABC≌△ADE,所以AC=AE,∠DAE=∠BAC= 6O°。所以∠AEC=∠ACE。因为∠DAE+∠AEC+ ∠ACE=180°，所以∠AEC+∠ACE=2∠ACE=180°- ∠DAE=120°，所以∠ACE=60°。11.解：(1)因为 AB=BC,∠A=15°，所以∠BCA=∠A=15°。所以 ∠ABC=180°-2∠A=150°。所以∠CBD=30°。因为BC= CD,所以∠CDB=∠CBD=30°，所以∠BCD=180°- 2∠CBD=120°。所以∠DCE=180°-∠BCD-∠BCA=180° -120°-15°=45°。因为CD=DE,所以∠CED=∠DCE= 45°，所以∠CDE=180°-2∠DCE=90°。所以∠EDF= 180°-∠CDB-∠CDE=180°-30°-90°=60°。因为DE=EF 所以∠DFE=∠EDF=60°。所以∠DEF=60°。所以 ∠FEN=180°-60°-45°=75°。 (2)除△ABC外共有4 个，还能以F为顶点、EF为腰作出一个顶角为30°、 底角为75°的等腰三角形。12.解：(1)20120 小(2)当DC=3时，△ABD≌△DCE。理由：因为 DC=3,AB=AC=3,所以AB=DC=AC。因为∠C=40°， 所以∠ADC=∠D1C=号10P-∠C=70.所以∠ADB= 180°-∠ADC=110°。因为∠B=40°，∠ADE=40°，所 以∠BAD=180°-∠ADB-∠B=180°-110°-40°=30° ∠CDE=∠ADC-∠ADE=70°-40°=30°。所以∠BAD= ∠CDE。在△ABD和△DCE中，∠B=∠C,AB=DC ∠BAD=∠CDE,所以△ABD≌△DCE(ASA)。综上所 述，当DC=3时，△ABD≌△DCE。(3)当DA= DE时，∠DAE=∠DEA。因为∠ADE=40°，所以 ∠DAE=LDEA=号(I80-LADE)=70P。所以LADC 180°-∠DAE-∠C=180°-70°-40°=70°。所以∠BDA= 180°-∠ADC=180°-70°=110°。13.100°14.615. 516.66°17.100°18.B19.B20.解：(1)因 为∠BAD=∠EAC,所以∠BAD-∠CAD=∠EAC- ∠CAD。所以∠BAC=∠EAD。在△ABC和△AED中， AB=AE,∠BAC=∠EAD,AC=AD,所以△ABC≌ △AED(SAS)。(2)因为AC=AD,所以∠ACD= ∠ADC。由(1)可知，△ABC≌△AED,所以 ∠ACB=∠ADE。所以∠ACB+∠ACD=∠ADE+∠ADC。 所以∠BCD=∠EDC。 2简单的轴对称图形（第2课时） 1.52.533.86°4.A5.D 6.解：因为AD平分∠CAB,所以 ∠CAD=∠DAE。又因为DE垂直平分 AB,所以DA=DB。所以∠B=∠DAE。 因为∠C=90°，所以∠CAB+∠B=90°， 则∠CAD+∠DAE+∠B=90°，故∠B= 30°。7.如图即为所求。8.如图所 示。9.解：①如图，连接PC,作线 B 段PC的垂直平分线MN,交AC于点 E,点E即为所求。②连接PE,因第7题答图 为MN垂直平分线段PC,所以EP-EC。所以△APE的 周长=AP+AE+EP=AP+AE+EC=AP+AC=3+6=9(cm)。 10.311.C12.C 第8题答图 第9题答图 2简单的轴对称图形（第3课时） 1.5cm2.相等3.44.D5.解：因为BD平 分∠ABC,所以∠EBD=∠CBD。因为DE⊥AB,所以 ∠BED=9O°。在△BDE和△BDC中，因为∠EBD三 ∠CBD,BD=BD,∠BED=∠C=90°，所以△BDE≌ △BDC(AAS)。所以DE=DC,BE=BC=8。所以AE= AB-BE=2。所以△AED的周长=AE+ED+AD=AE+CD+ AD=AE+AC=8.6.解：(1)因为OE是∠AOB的平 分线，EC⊥OA,ED⊥OB,所以EC=ED。所以 ∠ECD=∠EDC。(2)因为EC⊥OA,ED⊥OB,所 以∠EDO=∠ECO=90°，DE=CE。又因为∠AOE= ∠BOE,所以△ODE≌△OCE(AAS)。所以OC=OD 又因为∠AOE=∠BOE,OF=OF,所以△COF≌△DOF (SAS)。所以DF-=CF,∠CFO=∠DFO=90°。所以OE⊥ DC。所以直线OE是CD的垂直平分线。 7.作图略 提示：∠APB的平分线与线段PB的垂直平分线的交 点即为交通岗M。理由：由角平分线性质可知点M到 PA,PB的距离相等，由线段垂 直平分线性质可知MP=MB,所 以点M符合题中交通岗距公路 PB与PA的距离相等，并且距P, B两点的距离相等的条件。8. 解：已知：∠AOB。求作： ∠AOC,使∠A0C=1.5∠A0B。作 第8题答图 图如图所示(OC在OA下 方的情况略)。9.解： A (1)如图，点P到点M和 点N的距离相等，且到 ∠AOB两边的距离也相 等。 (2)理由：因为角 平分线上的点到角的两边 0<---- 的距离相等，垂直平分线 上的点到线段两端点的距 第9题答图 离相等，所以点P是∠AOB 的平分线与线段MN的垂直平分线的交点。10.解： 因为AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC,所以 ∠BED=∠CFD=90°，DE=DF。又因为∠ABD+∠ACD= 180°，∠DCF+∠ACD=180°，所以∠ABD=∠DCF。所 以△BED≌△CFD(AAS)。所以BD=DC。11.解： (1)AB=2BC。理由：由折叠可知，BD=BC。因为D 是AB的中点，所以BD=AD=号AB。所以BC=了AB, 即AB=2BC。(2)∠ABC=2∠A。理由：由折叠知」 ∠ABE=∠CBE,∠BDE=9O°。所以DE⊥AB。又因为 D是AB的中点，所以BD=AD。所以DE是AB的垂直 平分线。所以AE=BE。所以∠ABE=∠A。所以 ∠ABE=∠CBE=∠A。因为∠ABC=∠ABE+∠CBE,所 以∠ABC=2∠A。12.55°13.1214.C15.A 1 参考答案与提示 16.B ☆问题解决策略：转化 1.解：方法一：因为x2+x-1=0,所以x2=1-x,原 式=x(1-x)+2(1-x)+3=x-x2+2-2x+3=x-(1-x)+2-2x+3= x-1+x+2-2x+3=4。方法二：因为x2+x-1=0,所以x2+x= 1,原式=x3+x2+x2+3=x(x2+x)+x2+3=x+x2+3=1+3=4.2. 解：将长方形的三条小路分别平移到大长方形两边， 则院子里种上蔬菜的部分就转化为一个长方形。因为 院落是东西长为32m、南北宽为20m的长方形，道 路的宽为xm,所以种上蔬菜的长方形的长为(32- x)m,宽为(20-2x)m,所以S种上装来的长方形=(32-x)(20- 2x)=(2x2-84x+640)m2。答：小红爸爸用于种菜的面 积是（2x2-84x+640)m2.3.解：因为∠EFC+ ∠AFG=180°，∠EFC+∠C+∠E=180°，所以∠AFG= ∠C+∠E。因为∠AGF+∠BGD=180°，∠BGD+∠B+ ∠D=180°，所以∠AGF=∠B+∠D。因为在△AFG中， LA+∠AFG+∠AGF=180°，所以∠A+∠C+∠E+∠B+ ∠D=180.4.解：如图，将小 正方形①中的扇形部分转移到小 正方形③中，将小正方形②中的 扇形部分转移到小正方形④中 转化成两个半径为1、圆心角为 90°的扇形的面积，所以4个扇 形的面积和S=号×1×m=2。 第4题答图 5.解：如图，延长BA到点 E E,使AE=AB,连接DE。因 为AB=AC,所以AE=AC ∠ABC=∠ACB。因为AP∥ BC,所以∠DAC=∠ACB, D ∠EAD=∠ABC。所以∠DAC= ∠EAD。又因为AD=AD,所 以△ACD≌△AED(SAS)。 所以ED=CD。在△BED中， 由三角形三边的关系，得 BD+DE>BE,所以BD+CD> 第5题答图 BE。所以当点D与点A重合时BD+CD=BE=2AB=10, 此时BD+CD取最小值10。 6.解：方法一：如图1，过CD中点M,作AN交 BC的延长线于点N,再取BN的中点E,作直线AE, 则直线AE就将四边形ABCD的面积平均分成两份。 理由：因为AD∥BC,所以∠DAM=∠N,∠D= ∠DCN。因为M是CD的中点，所以DM=CM。在 △ADM和△NCM中，∠DAM=∠N,∠D=∠DCN, DMCM,所以△ADM≌ △NCM(AAS)。所 以S△HD=SANCMO所以 S四边形ABD=S四边形AN十 S△4=S回边形，ABC3r十S△yCF SABM因为E是△ABN B 的边BN的中点， 所以S△AE-SABv。所 图 以直线AE就将四边 形ABCD的面积平均 分成两份。方法二： 如图2，取CD的中 点M,过点M作 EF∥AB,交BC于点 B F,与AD的延长线 交于点E,连接AF, 图2 BE交于点O,则过 第6题答图