2.2 第4课时 等腰(边)三角形的判定及含30°角的直角三角形的性质&培优专题4 等腰三角形中的分类讨论-【练测考】2025-2026学年七年级上册数学（鲁教版五四制·新教材）

第4课时 等腰（边）三角形的判宏 基础夯实 》知识点一等腰三角形的判定 1.[教材P61T5变式]如图，在 △ABC中，∠A=36°，AB= AC,BD是△ABC的角平分 线.若在边AB上截取BE= BC,连接DE,则图中等腰三角形 共有 () A.2个B.3个 C.4个 D.5个 2.满足下列条件的三角形：①内角比为1：2：1； ②内角比为2：2：5；③内角比为1：1：1； ④内角比为1：2：3.其中是等腰三角形的 有 .(填写序号) 3.(2024·潍坊期中)如图，在长方形纸片 MNEF的一组对边上分别取点A和点B,将 该纸片沿AB折叠，点E,F的对应点分别为 点E1,F1,AF1与NE的交点为C,请判断 △ABC的形状，并说明理由. 》知识点二等边三角形的判定 4.在△ABC中，①若AB=BC=CA,则△ABC 是等边三角形；②若∠A=∠B=∠C,则 △ABC为等边三角形；③有两个角都是60 的三角形是等边三角形；④一个角为60°的等 腰三角形是等边三角形.上述结论中正确的 有 (） A.1个B.2个C.3个D.4个 5.已知△ABC的三边长分别为a,b,c,若满足 (a-b)2+|b-c|+(c-a)2=0,则△ABC 的形状为 () A.等边三角形 B.等腰直角三角形 C.有30°角的直角三角形 D.钝角三角形 第二章轴对称 及含30°角的直角三角形的性质 6.如图，在△ABC中，∠ACB=120°，CD平分 ∠ACB,AE∥DC,交BC的延长线于点E. 试说明：△ACE是等边三角形. 》知识点三含30°角的直角三角形的性质 7.如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC= 120°，P是BC上一点，且∠BAP=90°， PC=4cm,则PB的长为 () A.1 cm B.2 cm C.4cm D.8 cm Bna 759λ30° D C C D b 第7题图 第8题图 8.如图，河流两岸a,b互相平行，点A,B是河 岸a上的两座建筑物，点C,D是河岸b上的 两点，A,B的距离约为200m.某人在河岸b 上的点P处测得∠APC=75°，∠BPD=30°， 则河流的宽度约为 m. 能力提升 9.如图，在△ABC中，∠C=60°，AD是BC边 上的高，点E为AD的中点，连接BE并延长 交AC于点F.若∠AFB=90°，EF=2,则BF 的长为 () A.4 B.6 C.8 D.10 D 第9题图 第10题图 10.(2024·烟台期末)如图，已知∠A= ∠EGF,F为BE,CG的中点，DB=4, DE=8,则AD的长为 41 练测考七年级数学上册L小 11.如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC= 素养培优 120°，AB的垂直平分线交BC于点D,垂足 12.如图1，在四边形ABCD中，DC∥AB,AD= 为点E BC,BD平分∠ABC. (1)求∠BAD的度数. (1)试说明：AD=DC (2)若BD=2cm,求DC的长度. (2)如图2，在上述条件下，若∠A= ∠ABC=60°，过点D作DE⊥AB,过点C 作CF⊥BD,垂足分别为E,F,连接EF.判 断△DEF的形状并说明理由. 微专题7几何直观 直角三角形的存在性问题 【模型解读】 已知△ABC是直角三角形，需分三种情况进行讨论： (1)∠BAC=90°；(2)∠ABC=90°；(3)∠ACB=90°. 【模型应用】 1.如图，已知∠P=60°，在∠P的一边上取一点M,且PM=8,动点N从点P出发，以每秒2个 单位长度的速度沿另一条边运动，设点N的运动时间为ts,则当△PMN是直角三角形时，t 的值为 M 第1题图 第2题图 2.如图，在△ABC中，∠ABC=60°，AB=12,D是边AB上的动点，过点D作DE∥BC交AC 于点E,将△ADE沿DE折叠，点A的对应点为点F,当△BDF是直角三角形时，AD的长 为 42 培优专题四 等腰 类型一腰长与底边不确定时需分类讨论 1.已知等腰三角形三边的长分别为4，x,10,则 x的值是 () A.4 B.10 C.4或10D.6或10 2.已知等腰三角形的两边长分别是6cm和 10cm,则这个等腰三角形的周长为 3.若等腰三角形的两边长分别是α和b,且满足 |a一1|十(2a十3b一11)2=0，则这个等腰三 角形的周长为 4.已知一个三角形的三条边的长分别为n十6， 3n,n十2(n为正整数).若这个三角形是等腰 三角形，求它的三边的长. 5.如图，直线a,b相交于点0，∠1=50°，点A 是直线a上的一个定点，点B在直线b上运 动.若以点O,A,B为顶点的三角形是等腰 三角形，求∠OAB的度数. 第二章轴对称 三角形中的分类讨论 类型二顶角与底角不确定时需分类讨论 6.若等腰三角形中有一个角等于40°，则这个等 腰三角形顶角的度数为 () A.40° B.100° C.40°或100° D.40°或70 7.定义：在一个三角形中，如果一个内角度数是 另一内角度数的二倍，我们称这样的三角形 为“倍角三角形”.若等腰三角形ABC为“倍 角三角形”，则△ABC的顶角度数为 类型三腰上的高或垂线的位置不确定时需分 类讨论 8.若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 48°，则它的顶角的度数为 () A.42° B.42°或138° C.48°或96 D.48 9.在△ABC中，AB=AC,AB的垂直平分线与 AC所在直线相交所得的锐角为40°，则底角 ∠B的大小为 10.若等腰三角形ABC两腰上的高所在直线的 夹角（锐角）为45°，则顶角∠BAC的度数为 类型四腰上的中线分周长两部分不确定时需 分类讨论 11.在等腰三角形ABC中，AB=AC,一腰上的 中线BD将这个三角形的周长分为15和12 两部分，则这个等腰三角形的底边长为 ( ) A.7 B.7或11 C.11 D.7或10 12.已知一个等腰三角形底边的长为5cm,一 腰上的中线把其周长分成的两部分的差为 3cm,则腰长为 ( ) A.2 cm B.8 cm C.2cm或8cm D.10 cm 43又因为∠DBE=60°-10°-10°=40°， 所以∠BDE=218-∠DBE)=70, 所以∠CDE=∠BDC-∠BDE=80° 70°=10°. B 图2 微专题6等腰三角形的存在性问题 1.40°或70°或100°2.180°-2a或150°-a 第4课时等腰（边）三角形的判定及 含30°角的直角三角形的性质 1.D2.①②③ 3.解：△ABC是等腰三角形.理由如下： 因为将该纸片沿AB折叠，点E,F的对应点分别为点 E1,F1, 所以∠FAB=∠CAB. 根据题意，得MFEN, 所以∠FAB=∠ABC,所以∠ABC=∠BAC, 所以AC=BC,所以△ABC是等腰三角形. 4.D5.A 6.解：如图，因为CD平分∠ACB, ∠ACB=120°， 所以∠1=∠2=号∠ACB=2× 1 120°=60°，∠4=60°， 因为AEDC, 所以∠3=∠2=60°，∠E=∠1=60°， 所以∠4=∠3=∠E=60°， 所以△ACE是等边三角形. 7.D8.1009.D10.2 11.解：(1)因为AB=AC,∠BAC=120°， 所以∠B=∠C=(180°-120°)÷2=30°」 因为DE垂直平分线段AB, 所以DB=DA,所以∠BAD=∠B=30°， (2)因为∠BAC=120°，∠BAD=30°， 所以∠DAC=∠BAC-∠BAD=120°-30°=90°， 又因为DB=DA=2cm,∠C=∠B=30°， 所以DC=2DA=4cm. 12.解：(1)因为DC∥AB,所以∠CDB=∠ABD. 又因为BD平分∠ABC, 所以∠CBD=∠ABD, 所以∠CDB=∠CBD,所以BC=DC. 又因为AD=BC,所以AD=DC. (2)△DEF为等边三角形.理由如下： 因为BC=DC,CF⊥BD, 所以点F是BD的中点，所以FD=号DB。 因为BD平分∠ABC,∠ABC=60°， 所以∠DBE=号∠ABC=2X60=30 因为DE⊥AB,所以∠DEB=90°， 所以∠BDE=60,DE=合DB=DF, 所以△DEF为等边三角形. 微专题7直角三角形的存在性问题 1.2或82.4或8 培优专题四等腰三角形中的分类讨论 1.B2.22cm或26cm3.7 4.解：①如果n+2=3m, 解得n=1, 此时三角形三边的长为3,3,7. 因为3十3<7，所以不满足三角形三边关系。 ②如果n+6=3n,解得n=3, 此时三角形三边的长为5,9,9，满足三角形三边关系 综上所述，它的三边的长为5,9,9. 5.解：如图，要使△OAB为等腰三角形分四种情况讨论： B/月 B A B42 ①当OB1=AB1时，∠OAB=∠1=50°. ②当OA=AB2时，∠OAB=180°-2×50°=80° ③当OA=OB3时， ∠0AB=∠0BA=2180-50')=65 1 ④当OA=OB4时， ∠0AB=∠0BA=2(180°-∠A0B)=2∠1=25 综上所述，∠OAB的度数是50或80或65°或25°. 6.C7.36或90°8.B9.65°或25°10.135或45°11.B 12.B 3利用轴对称进行设计 1.C2.D3.B4.B 5.解：此题答案不唯一，按照要求设计即可.如图 6.D 7.解：如图.（答案不唯一） 8.解：如图所示.（答案不唯一） 图1 图2 图3 图4 培优专题五应用轴对称图形的性质解决问题 1.D 2.解：如图，连接AB,AC,分别作线段AB,AC的垂直平分 线，两条垂直平分线相交于点P,则点P就是售票中心的位 置（方法不唯一）.