精品解析：湖北省武汉市江岸区2026年八年级下期末考试数学试题

八年级数学 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 下列各题中均有四个备选答案，其中有且只有一个是正确的，请在答题卡上将正确答案的代号涂黑． 1. 能使有意义的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件．根据二次根式有意义的条件，可得，即可求解． 【详解】解：根据题意得：， ∴． 故选：A 2. 下列式子中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查最简二次根式的概念，根据最简二次根式的两个判定条件：1．被开方数不含分母．2．被开方数不含能开得尽方的因数或因式，对各选项逐一判断即可． 【详解】解：选项A中，的被开方数10不含能开得尽方的因数，符合最简二次根式的定义． 选项B中，，被开方数含能开得尽方的因数4，不是最简二次根式． 选项C中，，被开方数含能开得尽方的因数9，不是最简二次根式． 选项D中，，被开方数含能开得尽方的因数4，不是最简二次根式． 3. 如图分别给出了变量x与y之间的对应关系，其中y不是x的函数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】函数的意义反映在图像上简单的判断方法是：做垂直x轴的直线在左右平移的过程中与函数图像只会有一个交点． 【详解】根据函数的意义可知：对于自变量x的任何值，y都有唯一的值与之相对应，所以B中y不是x的函数． 故选B． 【点睛】本题考查函数的识别，解题关键是识别自变量x的任何值，y都有唯一的值与之相对应． 4. 以下列长度的线段为边，不能构成直角三角形的是( ) A. 2，3，4 B. 1，1， C. ，， D. 3，4，5 【答案】A 【解析】 【分析】由勾股定理的逆定理逐一判断即可得到答案． 【详解】解： 以2，3，4为边不能构成直角三角形， 以1，1，为边能构成直角三角形， 以，，为边能构成直角三角形， 以3，4，5为边能构成直角三角形， 故选A． 【点睛】本题考查的是勾股定理的逆定理，掌握勾股定理的逆定理是解题关键． 5. 下列性质中，矩形和菱形都具有的性质是（ ） A. 对角线互相垂直 B. 对角线互相平分 C. 对角线长度相等 D. 每一条对角线平分一组对角 【答案】B 【解析】 【分析】矩形和菱形都是特殊的平行四边形，只需对比各选项，找出两者共有的性质即可得到答案． 【详解】解：矩形和菱形都是特殊的平行四边形，逐一分析各选项： A对角线互相垂直是菱形特有的性质，矩形对角线不互相垂直，故A不符合题意； B平行四边形对角线互相平分，矩形和菱形都属于平行四边形，因此都具有对角线互相平分的性质，故B符合题意； C对角线相等是矩形特有的性质，菱形对角线不相等，故C不符合题意； D每条对角线平分一组对角是菱形特有的性质，矩形不具备该性质，故D不符合题意． 6. 甲、乙、丙、丁四名射击运动员进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数（单位：环）及方差（单位：环2）如下表所示： 甲 乙 丙 丁 9 8 9 9 1.2 0.4 1.8 0.4 根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择( ) A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】D 【解析】 【分析】根据10次射击成绩的平均数可知淘汰乙；再由10次射击成绩的方差可知，也就是丁的射击成绩比较稳定，从而得到答案． 【详解】解：， 由四人的10次射击成绩的平均数可知淘汰乙； ， 由四人的10次射击成绩的方差可知丁的射击成绩比较稳定； 故选：D． 【点睛】本题考查通过统计数据做决策，熟记平均数与方差的定义与作用是解决问题的关键． 7. 关于一次函数，以下说法正确的是（ ） A. 随的增大而增大 B. 函数图象过第二，三，四象限 C. 点在图象上 D. 当时， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一次函数的基本性质，依次根据一次函数增减性、图象象限的判断方法，点与函数图象的关系，解不等式判断各选项正误即可． 【详解】解：对于一次函数， ∵一次项系数， ∴随的增大而减小，故A错误． ∵，， ∴函数图象经过第一、二、四象限，故B错误． 将代入解析式，得， ∴点不在函数图象上，故C错误． 当时，可得不等式， 移项得， 不等式两边同除以负数，不等号方向改变，得， 故D正确． 8. 如图，将两张宽为2的矩形交叉放置，交点分别为，，，，，则重叠部分四边形的周长是（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先根据矩形的性质判定四边形为平行四边形，再根据两张矩形宽度相等证明其为菱形；接着利用菱形的性质和勾股定理求出边长，最后计算周长． 【详解】解：两张纸条均为矩形， ，， 四边形是平行四边形． 如图，过点作于点，过点作于点． 矩形宽度为， ． ， ， 四边形是菱形． ，， ． 在中，，， ∴，， ∴由勾股定理得， ． 菱形的周长为． 9. 一个有进水管和出水管的容器，从某时刻开始内只进水不出水，在随后内既进水又出水，最后的只出水不进水，每分钟的进水量和出水量不变．容器内水量y（单位：）与时间x（单位：）之间的关系如图所示，则在整个过程中，容器内水量维持在以上的时间是（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用，根据图象求出进水速度和出水速度是解题的关键．先根据前的图象求出进水速度，再设出水速度为，利用最后排空水和中间的水量变化建立方程求出出水速度及最高点水量，分别求出水量为时对应的时间，作差即可求解． 【详解】解：由图象可知，前只进水，水量为， 进水速度为． 设出水速度为， 第时水量达到最大，第时水量为， 第时的水量为． 又既进水又出水， ， 解得． 第时的水量为． 当时， 设，将代入得，解得， ． 令，则，解得． 当时， 设，将，代入 得：， 解得， ． 令，则，解得． 容器内水量维持在以上的时间是． 10. 如图，在梯形中，，，，，，将绕顺时针旋转得到，将绕逆时针旋转得到，连接，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行四边形的判定推出平行四边形，结合性质推出的长度，以及，结合已知条件证明直角，推出三点共线，根据勾股定理求出长度，从而求出长度，再利用平行四边形的判定推出为平行四边形，从而求出长度，利用中位线逆定理求出长度，根据平行四边形和平行四边形的性质推出，，，通过等量代换推出，证明三点共线，最后根据勾股定理求出长度． 【详解】解：过点作交于点，过点作于点，过点作，如图所示， ，， 是平行四边形， ，，，，， ，， ，， ． 将绕顺时针旋转得到， ， ， 三点共线． ， 在中， ，， ， ． ，， ． ，， ， ， 为平行四边形， ，， ，， 分别是的中点， ，， ． ， ， ， ， ， ， 将绕逆时针旋转得到， ，， ， 三点共线． ，，，，， ，， 在中． 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 下列各题不需要写出解答过程，请将结果直接写在答题卡的指定位置． 11. 计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】利用二次根式的性质，即可计算出结果． 【详解】解：． 12. 一组数据：3，4，5，5，8，则该组数据的众数是____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据众数的定义，统计每个数出现的次数，找到出现次数最多的数，即可得到该组数据的众数． 【详解】解：根据众数的定义，众数是一组数据中出现次数最多的数． 在数据，，，，中， 出现次，出现次，出现次，出现次， 出现的次数最多，因此该组数据的众数为． 13. 将直线向上平移2个单位得到直线解析式是____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一次函数图象的平移，直线平移后保持不变，平移规律为向上平移时解析式的常数项加上平移的单位长度，据此可求出平移后的直线解析式． 【详解】解：平移后直线的值不变，将直线向上平移2个单位，可得新解析式为： 整理得 14. 以正方形的边作等边，连、，则____________． 【答案】##度 【解析】 【分析】根据正方形和等边三角形的性质求出，，再根据三角形内角和定理得出答案． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，． ∵是等边三角形， ∴，， ∴，， ∴， ∴． 同理可得， ∴ 15. 已知一次函数，且，则下列结论： ①当时，该函数为正比例函数； ②函数图象一定经过定点； ③不等式的解集为，则； ④若点到直线的距离不变，则． 其中正确的是____________．（填序号） 【答案】①②③④ 【解析】 【分析】已知一次函数满足，即，对四个结论逐一结合一次函数相关性质判断即可． 【详解】解：已知，且，可得， ①当时，代入得，此时函数为，符合正比例函数定义，故①正确； ②当时，，因此无论取何满足条件的值，函数图象恒过点，故②正确； ③将代入不等式得： ∵不等式解集为， ∴ ∴，即，故③正确； ④设， ∴ ∴， 即动点在直线上， ∴当直线与直线平行时，点到直线的距离不变， ∴ ∴，故④正确， ∴正确的有①②③④． 16. 如图，已知，，点是轴上的动点，作交轴于点，为的中点，连接，则的最小值是____________ 【答案】 【解析】 【分析】设点坐标为，点坐标为，利用及相似三角形性质得出与的数量关系；根据中点坐标公式表示出点的坐标，表示出的长度，配方后求解即可． 【详解】设，，   ， ∴， ， ， ∵， ∴  ， 整理得，即点坐标为， 为的中点 ,  设，则，，  ∴， ∴ ， ， ∴当时，有最小值，最小值为． 三、解答题（共8小题，共72分） 下列各题需要在答题卡指定的位置写出文字说明、证明过程、演算步骤或画出图形． 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）化简后合并同类二次根式即可得到结果； （2）将括号内各项分别除以除数，再化简得到结果．用到的是二次根式的化简法则与二次根式的除法运算法则． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 原式 ． 18. 如图，已知，的垂直平分线与相交于点，与相交于点，与相交于点． （1）求证：； （2）连接，，请添加一个条件____________，使四边形为正方形．（不需要说明理由） 【答案】（1）证明：四边形是平行四边形， ， ， 是的垂直平分线， ，， 在和中， ， ； （2） 【解析】 【分析】（1）由平行四边形性质得到，，根据垂直平分线的性质可得，，再由三角形全等的判定定理即可得证； （2）由（1）中全等三角形性质，结合平行四边形的判定与性质得到四边形为平行四边形，再由正方形的判定即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：添加条件为：；理由如下： 连接，如图所示： 由（1）得，， ， 又， 四边形是平行四边形， 是的垂直平分线， ， 平行四边形是菱形， 又， 菱形是正方形． 19. 体育课上，老师对某班50名同学进行1分钟单摇跳绳的个数测试；体育委员将统计结果绘制成了如下的频数分布表与频数分布直方图： 频数分布表 组别 次数x 频数（人数） A 3 B 10 C 15 D a E 2 试回答下列问题： （1）表中____________，跳绳个数统计结果的中位数出现在____________组； （2）补全频数分布直方图； （3）若B组10人的成绩从小到大依次为：110，112，113，114，115，115，116，117，118，119，那么这组数据的第三四分位数是____________； （4）若1分钟跳绳数低于120则视为不合格，由此估计八年级全体1500名学生中，不合格的同学有多少人？ 【答案】（1）20；C； （2）； （3）； （4）不合格的同学有390人 【解析】 【分析】（1）根据学生总数为50即可求出a，再根据中位数的定义求解即可； （2）根据（1）求出的数据补全统计图即可； （3）根据四分位数的求法求解即可； （4）利用样本估计总体即可． 【小问1详解】 解：由题意得，， ∵将50个数据从小到大排列，中位数是第25个和第26个数据的平均数， 又∵A组：累计3人；B组：累计（人）；C组：累计（人）， ∴第25、26个数据都落在范围内， ∴中位数出现在C组； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由题意得，B组10个成绩从小到大排列为， 解法一：∵， ∴第三四分位数为； 解法二：10个数据中的前半部分为：第个数据；后半部分为：第个数据， ∵第三四分位数是后半部分数据的中位数， ∴第三四分位数为； 【小问4详解】 解：由题意得，样本中不合格总人数为（人）， ∴八年级1500名学生中，不合格人数约为（人）， 答：不合格的同学有390人． 20. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过，两点，与x轴和y轴分别交于点A和点B． （1）求一次函数的解析式； （2）如图，若点在线段上，点在直线上，作于点，于点，四边形为正方形，求点坐标． 【答案】（1）； （2）点坐标为 【解析】 【分析】 （1）将点、代入，列方程组，进行求解即可； （2）设点横坐标为，则，竖直线段．由正方形得为水平线段，与纵坐标相等，代入得，故．由列方程解得，即可得． 【小问1详解】 解：将点和代入解析式， 得， 解得， ∴一次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：设点的横坐标为， 点在线段上， 点坐标为， 轴于点， ∴， 四边形是正方形， ，且， 又在轴上， 为水平线段，即点与点纵坐标相等， ∴， 点在直线上， 令， ∴， ∴． ∴， ∵， ∴， ， ， 解得， 将代入点坐标， ∴， ∴点的坐标为． 21. 如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，图中，，都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成以下两个问题（每个问题画线不超过5条）． （1）在图1中，画；连接，再作关于的对称点； （2）在图2中，点是竖格线上一点，先画出的中点；在上找一点，交于点，使得． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先画；连接，作网格的对角线，则，再作网格的对角线，则交于点； （2）取与竖格线的交点，连接并延长交竖格线于点，则，连接交于点，连接并延长交于点，则，则点即为所求． 【小问1详解】 解：如图，设交于点，交于点， ∵， ∴到的距离等于的长， ∵ ∴ ∴到的距离等于的长 ∵四边形是平行四边形， ∴ ∴到的距离相等 ∴ ∴点是关于的对称点； 【小问2详解】 解：如图，连接 由作图可得 ∴四边形是平行四边形 又∵为对角线中点，平行四边形是中心对称图形，且为对称中心， ∴ 22. 计划将甲、乙两厂的生产设备运往A、B两地，甲厂设备有60台，乙厂设备有40台，A地需70台，B地需30台，每台设备的运输费（单位：元）如表格所示，设从甲厂运往A地台设备（为整数）． A地 B地 甲厂 100 180 乙厂 150 200 （1）用含的式子直接填空：甲厂运往B地______台，乙厂运往A地_______台，乙厂运往B地_______台； （2）请你设计一种调运的运输方案，使总运费最低，并求出最低运费为多少？ （3）因客观原因，从甲到A的运输费用每台减少了元，从乙到B的运输费用每台增加了元，且从甲厂运到B和从乙厂运到A的台数之和至少为30台，若要使总运费最低，且最低运费为13350元，直接写出的值_________． 【答案】（1），， （2）甲厂运往A地台，甲厂运往B地0台，乙厂运往A地10台，乙厂运往B地30台，最低运费为13500元 （3）35 【解析】 【分析】（1）根据题意列出代数式即可； （2）设总费用为元，求出，，再结合一次函数的性质计算即可得出结果； （3）由题意可得，甲厂到A地运费变为元，乙厂到B地运费变为元，设新的总运费为，则，求出，再分两种情况，并结合一次函数的性质计算即可得出结果． 【小问1详解】 解：设从甲厂运往A地台设备，则甲厂运往B地台，乙厂运往A地台，乙厂运往B地台； 【小问2详解】 解：设总费用为元， 由题意可得 ， 即， 由题意可得， 解得， ∵， ∴随着的增大而减小， ∴当时，取得最小值，为（元）， 此时，甲厂运往A地台，甲厂运往B地0台，乙厂运往A地10台，乙厂运往B地30台，最低运费为13500元； 【小问3详解】 解：由题意可得，甲厂到A地运费变为元，乙厂到B地运费变为元， 设新的总运费为， 则 ， ∵从甲运到B和从乙运到A的台数之和至少为30台， ∴， 解得， 结合（2）中得， 当，即时，随着的增大而增大，当时，最低，为， 令， 解得，满足，符合题意； 当，即时，随着的增大而减小，当时，最低，为， 令， 解得，不满足，不符合题意； 综上所述，． 23. 已知正方形，点、分别在、上 （1）若． ①如图1，点是的中点，与的数量关系是____________； ②如图2，点在上，满足，求证：； （2）如图3，若，将向右平移到得到矩形．射线交于点，交于点O，当，且是中点时，直接写出的值是____________． 【答案】（1）①； ②证明：延长至M，使，连接，延长交于点N， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∵正方形， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）①根据正方形的性质得到，，延长至I，使，连接并延长至点K，使，可知是的中位线，即，，，得到，证明，即可求出与的数量关系； ②延长至M，使，连接，延长交于点N，则，证明，得到，证明，得到，进而得到，可知，进而证明四边形是平行四边形，得到，即可证明； （2）根据正方形的性质得到，，，证明，得到，进而可知，连接，根据等边对等角得到，则，根据矩形的性质证明，根据可知，取，连接，根据等边对等角可知，根据三角形外角的性质求出，可知，设，则，，可知，即可求出的值． 【小问1详解】 ①解：∵正方形， ∴，， 如图，延长至I，使，连接并延长至点K，使，连接， 可知是的中位线， 即，， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； ②略； 【小问2详解】 解：∵正方形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 如图，连接， ∵， ∴， ∴， ∵矩形， ∴，， ∵是中点， ∴， ∴， ∴， ， ∴， 取，连接， ∴， ∴， ∴， 设， ∴，， ∴， ∴． 24. 在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴负半轴交于点，过点的直线交轴于点． （1）如图1，当时． ①则点坐标为（____________），____________； ②点是线段上一点，满足，求点的坐标； （2）如图2，直线与、分别交于点、，当时，求的值． 【答案】（1）①，2；②点的坐标为； （2）的值为 【解析】 【分析】（1）①将代入，得，令得，故；将代入，解得．②由直角三角形两锐角互余推得，构造等腰直角，证得，联立直线与解析式，解得； （2）由得，故，代入求得其解析式．分别联立与、，解得、坐标，由距离公式表示、．结合与象限符号去掉绝对值，联立方程解得． 【小问1详解】 解：①当时，直线的解析式为，即， 令，得， ∴点的坐标为， 将代入， 得 解得， ②、、在轴上，， ， ∵， ∴，即， 过点作，交的延长线于点，如图， 则， ， 为等腰直角三角形， ∴， 过点作直线于点，过点作直线于点，如图， 则． ，， ， 在和中， ， ， ∴，， ∵、， ∴， ∴，， ，点坐标为，即， 设直线的解析式为， 将、代入解析式， 得， 解得， ∴直线为， 由①知直线的解析式为， ∴联立得， 解得， ∴点的坐标为； 【小问2详解】 解：在直线中，令得， ∴， ∴， 将代入，得 解得， ∴， 联立与得，， 解得， ∴， 联立与得，， 解得， ∴， ∴，， ∵， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 由题意可得，在第二象限，在第四象限， ∴， ∵， ∴，即； ∵，， ∴，即， ∴ 解得， 将代入式， 得 ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 下列各题中均有四个备选答案，其中有且只有一个是正确的，请在答题卡上将正确答案的代号涂黑． 1. 能使有意义的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 下列式子中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图分别给出了变量x与y之间的对应关系，其中y不是x的函数是（ ） A. B. C. D. 4. 以下列长度的线段为边，不能构成直角三角形的是( ) A. 2，3，4 B. 1，1， C. ，， D. 3，4，5 5. 下列性质中，矩形和菱形都具有的性质是（ ） A. 对角线互相垂直 B. 对角线互相平分 C. 对角线长度相等 D. 每一条对角线平分一组对角 6. 甲、乙、丙、丁四名射击运动员进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数（单位：环）及方差（单位：环2）如下表所示： 甲 乙 丙 丁 9 8 9 9 1.2 0.4 1.8 0.4 根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择( ) A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 7. 关于一次函数，以下说法正确的是（ ） A. 随的增大而增大 B. 函数图象过第二，三，四象限 C. 点在图象上 D. 当时， 8. 如图，将两张宽为2的矩形交叉放置，交点分别为，，，，，则重叠部分四边形的周长是（） A. B. C. D. 9. 一个有进水管和出水管的容器，从某时刻开始内只进水不出水，在随后内既进水又出水，最后的只出水不进水，每分钟的进水量和出水量不变．容器内水量y（单位：）与时间x（单位：）之间的关系如图所示，则在整个过程中，容器内水量维持在以上的时间是（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 10. 如图，在梯形中，，，，，，将绕顺时针旋转得到，将绕逆时针旋转得到，连接，则的长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 下列各题不需要写出解答过程，请将结果直接写在答题卡的指定位置． 11. 计算：______． 12. 一组数据：3，4，5，5，8，则该组数据的众数是____________． 13. 将直线向上平移2个单位得到直线解析式是____________． 14. 以正方形的边作等边，连、，则____________． 15. 已知一次函数，且，则下列结论： ①当时，该函数为正比例函数； ②函数图象一定经过定点； ③不等式的解集为，则； ④若点到直线的距离不变，则． 其中正确的是____________．（填序号） 16. 如图，已知，，点是轴上的动点，作交轴于点，为的中点，连接，则的最小值是____________ 三、解答题（共8小题，共72分） 下列各题需要在答题卡指定的位置写出文字说明、证明过程、演算步骤或画出图形． 17. 计算： （1）； （2）． 18. 如图，已知，的垂直平分线与相交于点，与相交于点，与相交于点． （1）求证：； （2）连接，，请添加一个条件____________，使四边形为正方形．（不需要说明理由） 19. 体育课上，老师对某班50名同学进行1分钟单摇跳绳的个数测试；体育委员将统计结果绘制成了如下的频数分布表与频数分布直方图： 频数分布表 组别 次数x 频数（人数） A 3 B 10 C 15 D a E 2 试回答下列问题： （1）表中____________，跳绳个数统计结果的中位数出现在____________组； （2）补全频数分布直方图； （3）若B组10人的成绩从小到大依次为：110，112，113，114，115，115，116，117，118，119，那么这组数据的第三四分位数是____________； （4）若1分钟跳绳数低于120则视为不合格，由此估计八年级全体1500名学生中，不合格的同学有多少人？ 20. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过，两点，与x轴和y轴分别交于点A和点B． （1）求一次函数的解析式； （2）如图，若点在线段上，点在直线上，作于点，于点，四边形为正方形，求点坐标． 21. 如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，图中，，都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成以下两个问题（每个问题画线不超过5条）． （1）在图1中，画；连接，再作关于的对称点； （2）在图2中，点是竖格线上一点，先画出的中点；在上找一点，交于点，使得． 22. 计划将甲、乙两厂的生产设备运往A、B两地，甲厂设备有60台，乙厂设备有40台，A地需70台，B地需30台，每台设备的运输费（单位：元）如表格所示，设从甲厂运往A地台设备（为整数）． A地 B地 甲厂 100 180 乙厂 150 200 （1）用含的式子直接填空：甲厂运往B地______台，乙厂运往A地_______台，乙厂运往B地_______台； （2）请你设计一种调运的运输方案，使总运费最低，并求出最低运费为多少？ （3）因客观原因，从甲到A的运输费用每台减少了元，从乙到B的运输费用每台增加了元，且从甲厂运到B和从乙厂运到A的台数之和至少为30台，若要使总运费最低，且最低运费为13350元，直接写出的值_________． 23. 已知正方形，点、分别在、上 （1）若． ①如图1，点是的中点，与的数量关系是____________； ②如图2，点在上，满足，求证：； （2）如图3，若，将向右平移到得到矩形．射线交于点，交于点O，当，且是中点时，直接写出的值是____________． 24. 在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴负半轴交于点，过点的直线交轴于点． （1）如图1，当时． ①则点坐标为（____________），____________； ②点是线段上一点，满足，求点的坐标； （2）如图2，直线与、分别交于点、，当时，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $