25.2.2 公式法 课件-2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程的公式法，核心涵盖根的判别式、求根公式及解题步骤。通过回顾配方法步骤搭建知识支架，以“小强快速判断方程无实数解”的情境问题衔接，引导学生从已有知识自然过渡到新知探究。 其亮点在于以探究式推导为核心，通过配方法逐步导出判别式及求根公式，培养学生推理能力与运算能力。设置分层例题（含参数、几何应用等）和规范解题步骤，发展数学眼光与应用意识，系统小结助学生构建知识体系，教师可借此提升教学效率，学生能深化对知识的理解与应用。

第二十五章　一元二次方程 25.2.2　公式法 知识关联 探究与应用 课堂小结与检测 问题1: 用配方法解一元二次方程的步骤有哪些? 知识关联 (1)移项. (2)二次项系数化为1. (3)配方(方程两边都加上一次项系数一半的平方). (4)变形:原方程变形为(x+m)2=n的形式. (5)开方:如果n是非负数,那么可以直接开平方求出方程的解;如果n是负数, 那么一元二次方程无解. (6)定解. 问题2:当一元二次方程的二次项系数不为1时,应该如何应用配方法求解? 当一元二次方程的二次项系数不为1时,只要在方程两边同时除以二次项的系数,将方程转化为二次项系数为1的方程即可. 知识关联 【情境问题】 张老师要求同学们解一元二次方程2x2+x+1=0，大家才动笔，小强突然站起来说这个方程无实数解，同学们都带着愕然、怀疑的目光看向老师，只见张老师微笑地点了点头，你知道小强是如何快速作出判断的吗? 【探究1】 根据判别式判断方程根的情况 【操作尝试】 探究与应用 点拨:不妨把a、b、c也当成一个具体的数字，根据配方法的解题步骤 一步步推下去. 问题1: 利用配方法,你能解一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）吗？ 二次项系数化为1，得 解: 移项，得 配方，得 即 因为a ≠0,所以4a2>0． 当b2-4ac>0时,得 即 当b2-4ac=0时，得 当b2-4ac<0时，方程无实数根． 助力教学 (authorId_373264932) - 通过学生亲自解方程的感受与经验,体会数式通性,进而通过对b2-4ac的值的讨论感受数学的严谨性和数学结论的确定性. 探究与应用 　 发现式子b2-4ac可以判别一元二次方程的根的情况, 因此把它叫作一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式, 通常用希腊字母“Δ”表示它，即Δ=b2-4ac.　 【探究1】 根据判别式判断方程根的情况 归纳总结： 当∆ > 0时，方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个不相等的实数根； 当∆＝0时，方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个相等的实数根； 当∆ < 0时，方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)无实数根． 【概括新知】 通过上面的计算，你发现了什么？ 【理解应用】 探究与应用 例1 利用一元二次方程根的判别式判断下列方程的根的情况: (1)2x2-3x- =0; (2)16x2-24x+9=0; 解：(1)∵a＝2，b＝-3，c＝- ， ∴Δ＝b2－4ac ＝（-3）2－4×2×(- ) ＝9＋12＝21＞0， ∴方程有两个不相等的实数根． 解：(2)∵a＝16，b＝-24，c＝9 ， ∴Δ＝b2－4ac ＝(-24)2－4×16×9 ＝576 - 576＝0， ∴方程有两个相等的实数根． 【理解应用】 探究与应用 (3)x2- x+9=0; (4)3x2+10=2x2+8x. 解：(3)∵a＝1，b＝- ，c＝9 ， ∴Δ＝b2－4ac ＝(- )2－4×1×9 ＝32 - 36＝-4 < 0， ∴方程无实数根　． 解：原方程化成一般式为： x2 -8x+10=0. ∵a＝1，b＝-8 ，c＝10 ， ∴Δ＝b2－4ac ＝(- 8 )2－4×1×10 ＝64 - 40＝24 > 0， ∴原有两个不相等的实数根 【理解应用】 探究与应用 例2 k取何值时，关于x的一元二次方程kx2－12x＋9＝0有两个 不相等的实数根？ 分析：已知方程有两个不相等的实数根，则该方程的Δ>0，用含k的代数式表示出Δ，然后列出以k为未知数的不等式，求出k的取值范围． 解：∵方程kx2－12x＋9＝0是关于x的一元二次方程， ∴k≠0.方程根的判别式. Δ＝(－12)2－4k×9＝144－36k. 由144－36k>0，求得k<4，又 k≠0， ∴当k<4且k≠0时，方程有两个不相等的实数根． 【探究1】根据判别式判断方程根的情况 探究与应用 温馨提示： 利用根的判别式判别方程根的个数问题时应注意: ①考虑“二次项系数不为0”这一条件; ②“一元二次方程有根”与“一元二次方程有两个不相等的根”的区别. 【探究2】用公式法解一元二次方程 【概括新知】 探究与应用 利用求根公式解一元二次方程的方法叫作公式法. 当∆≥0时，方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的实数根可写为 这个式子叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的求根公式． 【探究2】用公式法解一元二次方程 探究与应用 用公式法解一元二次方程应注意:①化方程为一般形式;②方程有实根的前提条件是“Δ≥0”;③若方程有根,则它应该有两个根;④求解得出的根应适当化简. 方法点拨 公式法解一元二次方程的步骤: ①把方程化为一般形式，确定a、b、c的值. ②求出b2-4ac的值. ③若b2-4ac≥0，则代入求根公式计算；若b2-4ac<0,则原方程无实数根. ④写出方程的解. 【理解应用】 探究与应用 例1　用公式法解下列方程： 　 （1） x 2 - 4x - 7 = 0； 解：a＝1，b＝－4，c＝－7. 即 Δ＝b2－4ac＝(－4)2－4×1×(－7)＝44＞0. 方程有两个不等的实数根 【理解应用】 探究与应用 解：a＝2，b＝ ，c＝1. Δ＝b2－4ac＝ －4×2×1＝0. 方程有两个相等的实数根 （2）　　　　　　　； 【理解应用】 探究与应用 （3） 5x2－3x＝x+1 ； 解：方程化为5x2-4x-1=0,此时a=5,b=-4,c=-1, ∴Δ=b2-4ac=(-4)2-4×5×(-1)=36>0. 方程有两个不等的实数根 即 【理解应用】 探究与应用 （4） x2＋17＝8x. 解：方程化为x2－8x＋17＝0. a＝1，b＝－8，c＝17. Δ＝b2－4ac＝(－8)2－4×1×17＝－4<0. ∴方程无实数根． 【探究2】有理数的概念及分类 探究与应用 【拓展提升】 例4　已知关于x的方程(a-2)x2-2(a-1)x+(a+1)=0，当a为何非负整数时: (1)方程只有一个实数根? (2)方程有两个相等的实数根? (3)方程有两个不相等的实数根? (3)因为方程有两个不相等的实数根， 所以a-2≠0，4(a-1)2-4(a-2)(a+1)>0， 解得a<3且a≠2. 因为a为非负整数，所以a=0或1. 解：(1)因为方程只有一个实数根，所以a-2=0，-2(a-1)≠0，解得a=2. (2)因为方程有两个相等的实数根， 所以a-2≠0，4(a-1)2-4(a-2)(a+1)=0，解得a=3. 【小结】 课堂小结与检测 公式法解一元二次方程 根的判别式b2-4ac 判断一元二次方程根的情况 求根公式 一化（一般形式）； 二定（系数值）； 三求（Δ值）； 四判（方程根的情况）； 五代（求根公式计算）. 步骤 1.[2025扬州中考]关于一元二次方程 的根的情况，下列结 论正确的是( ) A A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.没有实数根 D.无法判断根的情况 【解析】 对于一元二次方程，，， （确定，， 的值时，要注意它们的符号）， ， 方程 有两个不相等 的实数根． 课堂练习 18 2．已知关于x的一元二次方程x2＋bx＋1＝0有两个不相等的实数根，则在下列选项中，b的值可以是 (　　) A．－1 B．－2 C．－3 D．0 C 3．用求根公式解方程2x2－3＝x时，a, b，c的值是 ( ) A．a＝2, b＝1，c＝－3 B．a＝2, b＝－1, c＝－3 C．a＝2, b＝－1, c＝3 D．a＝2, b＝1, c＝3 B 4.[2026福州屏东中学期中]下列一元二次方程中，根是 的方程是( ) A A. B. C. D. 21 5．已知关于x的方程x2－4x＋a＝0有两个相等的实数根，则a的值是 . 6．若关于x的方程x2－2x＋m＝0没有实数根，则m 的值可以是 11 (写出一个符合条件的值即可)． 4 2(答案不 唯一) 7．一元二次方程x2＋7x＝9中，b2－4ac的值为 . 85 8．若关于x的一元二次方程2x2－3x－k＝0的一个根为1，则另一个根为1 . 9．如图，数轴上点A代表的数字为3x＋1，点B代表的数字为x2＋2x，已知AB＝5，且点A在数轴的负半轴上，则x的值为 . 0.5 -2 11．【核心素养·创新意识】对于任意不相等的两个数a，b，定义一种运算※如下：a※b＝a2－2ab，若x※1＝1.那么x＝ . 1＋或1－ 10．定义新运算a b：对于任意实数a，b满足a b＝(a＋b)(a－b)＋2，其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例如3 2＝(3＋2)(3－2)＋2＝5＋2＝7.若x k＝3x＋1(k为实数)是关于x的方程，则它的根的情况是 1 1 ． 有两 个不等的实数根 12．不解方程，利用判别式判断下列方程根的情况： (1)x2－10x＋25＝0； (2)x2＝x－2； 解：∵Δ＝(－10)2－4×1×25＝0， ∴原方程有两个相等的实数根． 解：化为一般形式为x2－x＋2＝0， ∵Δ＝(－1)2－4×1×2＝－7<0， ∴原方程没有实数根． (3)x2－3x＋4＝0. 解：∵Δ＝(－3)2－4×1×4＝2＞0， ∴原方程有两个不相等的实数根． 13．用公式法解方程： (1)7x＝2x2－6； 解：方程移项，得2x2－7x－6＝0， ∴a＝2，b＝－7，c＝－6， ∴b2－4ac＝(－7)2－4×2×(－6)＝97＞0， ∴x＝＝， ∴x1＝，x2＝. (2)2x(x－3)＝x2－1； 解：整理，得x2－6x＋1＝0，∵a＝1，b＝－6，c＝1， ∴b2－4ac＝(－6)2－4×1×1＝32>0， ∴x＝＝3±2， ∴x1＝3＋2，x2＝3－2. (3)3x2＋5(2x＋1)＝0. 解：3x2＋10x＋5＝0， ∴Δ＝100－4×3×5＝40＞0， ∴x＝＝， ∴x1＝，x2＝. 14．关于x的方程：(x－1)(x－p)＝1.试说明：无论p取任何值时，方程总有两个不等的实数根． 解：原方程变形为一般形式为 x2－(1＋p)x＋p－1＝0， Δ＝[－(1＋p)]2－4×1×(p－1) ＝1＋2p＋p2－4p＋4 ＝1－2p＋p2＋4 ＝(1－p)2＋4， ∵(1－p)2≥0， ∴(1－p)2＋4>0，即Δ>0， ∴无论p取任何值时，方程总有两个不相等的实数根． 15．设a，b，c是△ABC的三边，关于x的方程x2＋2x＋2c－a＝0有两个相等的实数根，且方程3cx＋2b＝2a的根为0. (1)判断△ABC的形状，并说明理由； (2)若a，b为方程x2＋mx－3m＝0的两根，求m的值． 解：(1)△ABC是等边三角形．理由： ∵x2＋2x＋2c－a＝0有两个相等的实数根， ∴Δ＝(2)2－4(2c－a)＝0， 则b－2c＋a＝0. ∵方程3cx＋2b＝2a的根为0， ∴a＝b，∴a＝b＝c，∴△ABC是等边三角形． (2)∵a，b为方程x2＋mx－3m＝0的两根，且a＝b， ∴Δ＝m2－4(－3m)＝m2＋12m＝0， ∴m＝0或m＝－12， 当m＝0时，a＝b＝0，不符合题意，应舍去； 当m＝－12时，a＝b＝6，符合题意． 综上所述，m＝－12. 16．已知关于x的一元二次方程x2－(k＋1)x＋2k－2＝0. (1)求证：此方程总有两个实数根； (2)若此方程有一个根大于0且小于1，求k的取值范围． (1)证明：Δ＝b2－4ac＝[－(k＋1)]2－4×(2k－2)＝k2－6k＋9＝(k－3)2， ∵(k－3)2≥0，即Δ≥0， ∴此方程总有两个实数根． (2)解：x＝， 解得 x1＝k－1，x2＝2， ∵此方程有一个根大于0且小于1，而x2＞1， ∴0＜x1＜1，即0＜k－1＜1. ∴1＜k＜2. $