6 函数的奇偶性、对称性 讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦函数奇偶性与对称性核心考点，按定义本质、图像特征、抽象关系的逻辑层次展开，通过考点梳理、方法归纳、真题训练的教学环节，帮助学生构建知识网络，突破判断与应用难点，体现复习的系统性与针对性。 讲义突出数学思维与数学语言的培养，如通过二次函数推导轴对称表达式、分式函数分析中心对称特征，设计单选多选分层练习。结合核心素养训练，助力学生高效掌握对称问题解题策略，为教师把控复习节奏提供实用指导，提升应考能力。

6函数的奇偶性、对称性 (一)一些极其重要函数的奇偶性 ① 为偶函数； 为奇函数 ② 且 为奇函数 ③ 且 为奇函数 ④ 函数 且 是奇函数. 奇偶性 若对任意 , 均有 , 则称 为偶函数. 如果函数 的定义域 关于原点对称, 那么若对任意 , 均有 , 则称 为奇函数； 函数图象的对称性 轴对称 中心对称 图形特征 满足的关系式 本质 当自变量互为相反数时, 函数值相等 当自变量互为相反数时, 函数值也为相反数 判断 ①根据定义判断； ②对于函数的四则运算, 奇函数与奇函数的和为奇函数； 偶函数与偶函数的和为偶函数； 奇函数与奇函数的积为偶函数； 偶函数与偶函数的积为偶函数； 偶函数与奇函数的积为奇函数. 代数特征 ①具有奇偶性的前提： 函数的定义域关于原点对称 ②不能用特殊值判断奇偶性.如： , 但 不一定是偶函数 ③函数的奇偶性是函数的整体性质； 而函数的单调性是函数的局部性质. ④若 为奇函数且在 有定义, 则必有 ； 证： (1)判断下列函数的奇偶性： ① ② ③ (2)判断下列函数的奇偶性： ① ③ (二)对称性 通过我们对偶函数的学习, 我们知道偶函数的图象是关于 轴对称的, 这是一种特殊的轴对称.我们用符号语言精确地描述了这种对称的性质.下面我们将继续研究函数的对称性, 并用符号语言进行刻画. 1. 轴对称与中心对称性的深入理解 (1) 轴对称 如果一个函数的图象沿一条直线对折, 直线两侧的图象能够完全重合, 则称该函数具备对称性中的轴对称, 该直线称为该函数图象的对称轴.下面我来研究： 若 是偶函数, 求证： 的对称轴. 设 是偶函数, 可看作： 由 向右平移 个单位, 向上平移 个单位得到, 由于 的对称轴为 , 由平移变换知识我们可知： 的对称轴为： 下面我们来推导 关于 呈轴对称的抽象表达： 设 的定义域为 是偶函数, 通过上面的变换推导, 我们可知： 函数 的图象关于 呈轴对称的充要条件是： 下面我们借助已经学习过的二次函数来说明恒等式 的特点： 由左侧图象知： 恒等式 特征如下： ① 由折叠重合可知： 恒等式是两函数值相等的特点； ② 两函数值相等时, 对称轴为两自变量的中点, 所以对称轴可以用中点坐标公式计算： (变量 抵消) 引论 由恒等式特点出发, 我们可以拓展轴对称的抽象关系： ① 图象关于 对称 ② 图象关于 对称 再如： 若 为偶函数, 则 ； 若 为偶函数, 则 , 注意区别! (2) 中心对称 函数 的图象关于 呈中心对称的充要条件是： , 恒有： 理解： 中心对称图形是指平面内把一个图形绕着某个点旋转 , 如果旋转后的图形与原图形重合那么这个图形叫做中心对称图形, 该点叫做对称中心、这一定义直观易操作和理解, 但不便于量化, 我们知道图形是由点组成的, 对于中心对称图形上的任意一点绕着某点旋转 还应该在该图形上这里绕某点旋转 本质是关于某个点对称之意.这样从点对称角度来理解并量化中心对称就方便不少.在高中我们通过建立直角坐标系来确定点的位置, 中心对称就可以数量化了. 必要性： 如果函数 的图象关于 对称, 那么图象上任意一点 (用坐标 表示) 关于点 的对称点 (由中点坐标公式可得) 且 在 的图象上, 于是 ( 作为 的输入值, 输出值应是 的纵坐标) 其变形得 充分性： 设 是函数 图象上的任意一点且满足 , 点 是关于 的对称点 的坐标为 , 由 知 , 故 坐标 即 也在 的图象上故 的图象关于点 成中心对称! 通过上面的推导, 我们可知： 下面我们借助已经学习过的一次分式函数来说明恒等式 的特点： 由左侧图象出发 特征如下：① 由图可知： 恒等式是两函数值和为常数的特点；② 对称中心为两对称点的中点, 所以对称中心可以用中点坐标公式计算： (变量 抵消) 定理1： 由恒等式特点出发, 我们可以拓展轴对称的抽象关系 ① 函数 图象关于点 成中心对称 ② 函数 图象关于点 成中心对称 定理2： 若一个函数 具备对称中心 , 结合图象和对称性的特点我们可以得到如下几个结论： ① ； ② ③ 定理3： 若函数 定义域为 , 则根据函数对称性, 可以求解函数在定义域 的对称区间上函数的解析式. (关于 轴对称) (关于 轴对称) (关于原点对称) (关于 轴对称) 2. 抽象函数的对称轴与对称中心 函数满足的条件 对称轴(中心) 轴对称 满足 的函数 的图象 , 偶函数 满足 的函数 的图象 (或 , 或 ) 满足 的函数 的图象 满足 的函数 的图象 中心对称 满足 的函数 的图象 , 奇函数 满足 的函数 的图象 (或 , 或 ) 满足 的函数 的图象 满足 的函数 的图象 3. 其他常考的函数中心对称性 一、抽象函数对称中心： 上述表格就有介绍 二、指数型函数对称中心： ① 型如： 的对称中心为 ② 型如： , 则对称中心为 三、对数型函数对称中心： 的对称中心为 四、三次函数对称中心： 可令二阶导数等于 0, 求出 , 即为三次函数对称中心横坐标, 反代函数求 即为纵坐标 五、考试常考的奇函数变形： ① , 常见的是 , 以及下述变形： ② , 常见的变形有： ③ , 常见的变形有 4. 含绝对值的函数对称性 1. 的图像关于直线 对称, 且函数的最小值为 0； 1. 的图像关于直线 对称, 且函数的最小值为 1. 的图像关于点 对称, 且函数的值域为 （此处为四个含有绝对值的函数图象示意图，依次为 , , , 以及最后一个） 一个常见性质 若有函数 则有 , 即 , 即 5. 一个有用的偶函数模型 函数 且 , 关于直线 对称! 6. 关于函数对称性的三个重要性质 性质1. 设函数 的定义域为 , 若 是以直线 为对称轴的轴对称函数, 且函数 在对称轴右侧定义域内单调递增(递减), 则 性质2. 设函数 为偶函数, 则 是以直线 为对称轴的轴对称函数. 证明： 为偶函数, 故 故： 则 以直线 为对称轴的轴对称函数. 性质3. 两个对称轴相同的函数相加, 原对称轴也为新函数的对称轴, 但是新函数也可能还会出现别的对称轴. 巩固训练 一、单选题 1．已知是定义在上的连续奇函数，是其导函数，当时，，则不等式的解集为（   ） A． B． C．[0，2] D． 2．若偶函数在上单调递减，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 3．若函数是偶函数，则（   ） A．1 B． C． D． 4．已知函数定义域为，且，，若与的图象交点为，，则（   ） A．20 B．35 C．40 D．70 5．已知函数的定义域为为奇函数，，则（   ） A．为奇函数且对称中心为 B．为奇函数且对称中心为 C．为偶函数且对称中心为 D．为偶函数且对称中心为 6．已知函数为偶函数，且满足，且当时，，则（     ） A． B． C． D． 7．定义在上的函数满足：对，且，有，且时有，若的最大值、最小值分别为M、N，则的值为（     ） A． B． C． D． 8．已知，设函数的最大值是，最小值是，则（    ） A． B． C． D． 9．设定义在上的奇函数的导函数为，且对任意的，，，则的值为（    ） A． B．0 C．2 D．2026 10．已知函数，项数为31的等差数列满足，且公差，若，则当（    ）时，． A．13 B．14 C．16 D．18 11．若对，有，若有最大值和最小值，则的最大值与最小值之和是（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 12．已知函数及其导函数的定义域均为，若为奇函数，为偶函数，，则（    ） A． B． C． D． 13．已知函数及其导函数的定义域均为 ，记，若，为偶函数，则下列说法不正确的是（     ） A． B． C． D． 14．已知函数，，，和有相同的对称中心.若直线与的图象交于两点，则（   ） A． B． C． D． 二、多选题 15．定义在 上的函数满足为偶函数，且，则（     ） A．函数为偶函数 B．函数为周期函数 C．函数的图象关于直线对称 D．函数在内至少有个零点 16．已知函数是定义域为的奇函数，为奇函数，当时，，则（    ） A． B． C．当时，函数共有9个零点 D．不等式的解集为 17．已知函数关于点对称，对任意，都有成立，且当时，都有，则下列结论正确的有（    ） A．函数为偶函数 B． C．函数在上有1014个零点 D．函数在上为减函数 18．已知函数满足对任意的，都有，且，当时，，则（   ） A． B． C．是增函数 D．不等式的解集为 19．已知是定义在R上的奇函数，，，若为偶函数，则（   ） A． B． C． D． 20．已知函数是定义域为R的偶函数，且满足，，，则（     ） A．的周期为 B．点是的一个对称中心 C． D． 21．已知是定义在上的奇函数，且对任意，有，当时，，则（    ） A．是以为周期的周期函数 B．点是函数的一个对称中心 C． D．函数有个零点 22．已知定义在R上的函数及其导数，若为偶函数，为奇函数，则（    ） A． B． C． D． 23．已知函数，则下列选项正确的有（    ） A．的极大值点是 B．在上单调递增 C．当时， D．是的一个对称中心 学科网（北京）股份有限公司 $ 6函数的奇偶性、对称性 (一)一些极其重要函数的奇偶性 ① 为偶函数； 为奇函数 ② 且 为奇函数 ③ 且 为奇函数 ④ 函数 且 是奇函数. 奇偶性 若对任意 , 均有 , 则称 为偶函数. 如果函数 的定义域 关于原点对称, 那么若对任意 , 均有 , 则称 为奇函数； 函数图象的对称性 轴对称 中心对称 图形特征 满足的关系式 本质 当自变量互为相反数时, 函数值相等 当自变量互为相反数时, 函数值也为相反数 判断 ①根据定义判断； ②对于函数的四则运算, 奇函数与奇函数的和为奇函数； 偶函数与偶函数的和为偶函数； 奇函数与奇函数的积为偶函数； 偶函数与偶函数的积为偶函数； 偶函数与奇函数的积为奇函数. 代数特征 ①具有奇偶性的前提： 函数的定义域关于原点对称 ②不能用特殊值判断奇偶性.如： , 但 不一定是偶函数 ③函数的奇偶性是函数的整体性质； 而函数的单调性是函数的局部性质. ④若 为奇函数且在 有定义, 则必有 ； 证： (1)判断下列函数的奇偶性： ① ② ③ 答案： ① 偶函数； ② 奇函数； ③ 既是奇函数又是偶函数 ④ 奇函数； (2)判断下列函数的奇偶性： ① ③ 答案： ① 非奇非偶函数； ② 奇函数； ③ 偶函数； ④ 奇函数. (二)对称性 通过我们对偶函数的学习, 我们知道偶函数的图象是关于 轴对称的, 这是一种特殊的轴对称.我们用符号语言精确地描述了这种对称的性质.下面我们将继续研究函数的对称性, 并用符号语言进行刻画. 1. 轴对称与中心对称性的深入理解 (1) 轴对称 如果一个函数的图象沿一条直线对折, 直线两侧的图象能够完全重合, 则称该函数具备对称性中的轴对称, 该直线称为该函数图象的对称轴.下面我来研究： 若 是偶函数, 求证： 的对称轴. 设 是偶函数, 可看作： 由 向右平移 个单位, 向上平移 个单位得到, 由于 的对称轴为 , 由平移变换知识我们可知： 的对称轴为： 下面我们来推导 关于 呈轴对称的抽象表达： 设 的定义域为 是偶函数, 通过上面的变换推导, 我们可知： 函数 的图象关于 呈轴对称的充要条件是： 下面我们借助已经学习过的二次函数来说明恒等式 的特点： 由左侧图象知： 恒等式 特征如下： ① 由折叠重合可知： 恒等式是两函数值相等的特点； ② 两函数值相等时, 对称轴为两自变量的中点, 所以对称轴可以用中点坐标公式计算： (变量 抵消) 引论 由恒等式特点出发, 我们可以拓展轴对称的抽象关系： ① 图象关于 对称 ② 图象关于 对称 再如： 若 为偶函数, 则 ； 若 为偶函数, 则 , 注意区别! (2) 中心对称 函数 的图象关于 呈中心对称的充要条件是： , 恒有： 理解： 中心对称图形是指平面内把一个图形绕着某个点旋转 , 如果旋转后的图形与原图形重合那么这个图形叫做中心对称图形, 该点叫做对称中心、这一定义直观易操作和理解, 但不便于量化, 我们知道图形是由点组成的, 对于中心对称图形上的任意一点绕着某点旋转 还应该在该图形上这里绕某点旋转 本质是关于某个点对称之意.这样从点对称角度来理解并量化中心对称就方便不少.在高中我们通过建立直角坐标系来确定点的位置, 中心对称就可以数量化了. 必要性： 如果函数 的图象关于 对称, 那么图象上任意一点 (用坐标 表示) 关于点 的对称点 (由中点坐标公式可得) 且 在 的图象上, 于是 ( 作为 的输入值, 输出值应是 的纵坐标) 其变形得 充分性： 设 是函数 图象上的任意一点且满足 , 点 是关于 的对称点 的坐标为 , 由 知 , 故 坐标 即 也在 的图象上故 的图象关于点 成中心对称! 通过上面的推导, 我们可知： 下面我们借助已经学习过的一次分式函数来说明恒等式 的特点： 由左侧图象出发 特征如下：① 由图可知： 恒等式是两函数值和为常数的特点；② 对称中心为两对称点的中点, 所以对称中心可以用中点坐标公式计算： (变量 抵消) 定理1： 由恒等式特点出发, 我们可以拓展轴对称的抽象关系 ① 函数 图象关于点 成中心对称 ② 函数 图象关于点 成中心对称 定理2： 若一个函数 具备对称中心 , 结合图象和对称性的特点我们可以得到如下几个结论： ① ； ② ③ 定理3： 若函数 定义域为 , 则根据函数对称性, 可以求解函数在定义域 的对称区间上函数的解析式. (关于 轴对称) (关于 轴对称) (关于原点对称) (关于 轴对称) 2. 抽象函数的对称轴与对称中心 函数满足的条件 对称轴(中心) 轴对称 满足 的函数 的图象 , 偶函数 满足 的函数 的图象 (或 , 或 ) 满足 的函数 的图象 满足 的函数 的图象 中心对称 满足 的函数 的图象 , 奇函数 满足 的函数 的图象 (或 , 或 ) 满足 的函数 的图象 满足 的函数 的图象 3. 其他常考的函数中心对称性 一、抽象函数对称中心： 上述表格就有介绍 二、指数型函数对称中心： ① 型如： 的对称中心为 ② 型如： , 则对称中心为 三、对数型函数对称中心： 的对称中心为 四、三次函数对称中心： 可令二阶导数等于 0, 求出 , 即为三次函数对称中心横坐标, 反代函数求 即为纵坐标 五、考试常考的奇函数变形： ① , 常见的是 , 以及下述变形： ② , 常见的变形有： ③ , 常见的变形有 4. 含绝对值的函数对称性 1. 的图像关于直线 对称, 且函数的最小值为 0； 1. 的图像关于直线 对称, 且函数的最小值为 1. 的图像关于点 对称, 且函数的值域为 （此处为四个含有绝对值的函数图象示意图，依次为 , , , 以及最后一个） 一个常见性质 若有函数 则有 , 即 , 即 5. 一个有用的偶函数模型 函数 且 , 关于直线 对称! 6. 关于函数对称性的三个重要性质 性质1. 设函数 的定义域为 , 若 是以直线 为对称轴的轴对称函数, 且函数 在对称轴右侧定义域内单调递增(递减), 则 性质2. 设函数 为偶函数, 则 是以直线 为对称轴的轴对称函数. 证明： 为偶函数, 故 故： 则 以直线 为对称轴的轴对称函数. 性质3. 两个对称轴相同的函数相加, 原对称轴也为新函数的对称轴, 但是新函数也可能还会出现别的对称轴. 巩固练习 一、单选题 1．已知是定义在上的连续奇函数，是其导函数，当时，，则不等式的解集为（   ） A． B． C．[0，2] D． 【答案】C 【分析】利用导数研究函数的单调性和根据函数性质求解不等式. 【详解】已知 时，，整理得， 设 ， ， 由条件得，当 时，，即 在 单调递减。 时， ， 当时，，因为，所以 当<0，因为，所以 在中，令得 所以时, 因为 是上的连续奇函数，则，且 所以时, 解不等式 ,得 情况 1： 时，，无交集，无解； 情况 2： 当，，所以 综上所述，不等式的解集为. 2．若偶函数在上单调递减，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】整理可得且，根据题意结合偶函数对称性分析函数的符号，进而解不等式即可. 【详解】因为为偶函数，则， 可得，可得且， 因为在上单调递减，且， 可知在上单调递增，且， 当时，则，故； 当时，则，故； 综上：的解集为. 3．若函数是偶函数，则（   ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据偶函数的定义对定义域内任意恒成立，通过代数化简、系数对应相等即可求解. 【详解】已知函数为偶函数，因此对定义域内任意，均满足，即： ， 移项合并含指数的项： ， 左边化简得： ， 因此等式转化为： ， 当时，两边同除以，将右侧通分： ， 去分母展开整理得： ， 该式对任意恒成立，故各项系数均为0， 由项系数得，代入验证其余项系数均为0，符合要求， 经验证时，是定义在上的偶函数. 4．已知函数定义域为，且，，若与的图象交点为，，则（   ） A．20 B．35 C．40 D．70 【答案】B 【分析】易得函数与的图象都关于点对称，从而可得函数与的图象的交点关于点对称，即可得解. 【详解】因为， 所以， 所以函数的图象关于点对称， 又因， 所以函数的图象关于点对称， 所以函数与的图象的交点关于点对称， 因为交点为， ， 所以. 5．已知函数的定义域为为奇函数，，则（   ） A．为奇函数且对称中心为 B．为奇函数且对称中心为 C．为偶函数且对称中心为 D．为偶函数且对称中心为 【答案】C 【分析】根据函数的奇偶性，对称性定义逐一判断即可. 【详解】因为为奇函数，所以， 则，即， 则的图象关于点对称，的图象关于点对称， 由，令，得，即， 则， 所以，故为偶函数． 6．已知函数为偶函数，且满足，且当时，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先研究函数的周期性，再根据函数的周期性和奇偶性求的值，进而可得的值. 【详解】因为，所以， 用代替可得：， 所以，所以函数是以4为周期的周期函数. 所以. 令，由得，； 又因为函数为偶函数，所以， 所以. 因为，所以，解得. 所以. 所以. 7．定义在上的函数满足：对，且，有，且时有，若的最大值、最小值分别为M、N，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令，利用赋值法，分别令与可得函数为奇函数，再令，结合函数单调性定义可得函数单调递增，即可得单调性，从而可得的最大值、最小值，即可得解. 【详解】令， 则， 令，则，即有， 令，则，即有， 又，故为奇函数， 由时有，故时有， 令，则， 故， 故，故在上单调递增， 则在上单调递增， 故 . 8．已知，设函数的最大值是，最小值是，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先得到函数的对称中心，从而得到为奇函数，利用奇函数性质得到结果. 【详解】， 故函数水平渐近线为，当时，趋向于， 故对称中心的纵坐标为， 联立与得， 由上述分析知的图像关于点对称， 变形函数，令， 则 ， 则在上是奇函数， 故有，即，． 9．设定义在上的奇函数的导函数为，且对任意的，，，则的值为（    ） A． B．0 C．2 D．2026 【答案】C 【分析】令，得到，所以，当时，求得，进而推得的周期为的周期函数，得到，再由为奇函数，求得，得到，即可求解． 【详解】令，可得， 因为，所以，所以， 当时，可得，因此， 故，所以，即的一个周期为， 因此， 又因为为奇函数，可得， 所以的图象关于直线轴对称，所以． 故选：C． 10．已知函数，项数为31的等差数列满足，且公差，若，则当（    ）时，． A．13 B．14 C．16 D．18 【答案】C 【分析】先判断为奇函数，由和差化积公式和两角和与差、二倍角的正弦公式化简，可得，即可得出答案. 【详解】， ． 所以为奇函数，关于原点对称，且图象过原点． 由等差数列的性质可得， ， 因为 ， ， 所以原式 同理 ， 因为，所以 所以，即. 故选：C． 11．若对，有，若有最大值和最小值，则的最大值与最小值之和是（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【分析】令，由可得为奇函数，再给赋值可得，从而可得，设在上的最大值为，最小值为，进而分别证得和，从而，所以得到的最大值与最小值之和为6. 【详解】函数的定义域由决定，为. 令，则，，即为奇函数， 令，可得，令，则，可得， 因此，. 设在上的最大值为，最小值为，则存在使得. 由，及，可得，即. 又存在使得，由，及，可得，即. 综上，函数的最大值与最小值之和为6. 故选：B． 12．已知函数及其导函数的定义域均为，若为奇函数，为偶函数，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用函数的奇偶性，推出函数的图象关于点对称以及关于轴对称，即可依次求得的值，根据周期性即可求得答案. 【详解】因为为奇函数，所以． 对上述等式两边求导得， 即，所以的图象关于轴对称． 因为为偶函数，所以． 对上述等式两边求导得，即， 所以的图象关于点中心对称， 所以为周期为4的函数，且． 由，，以及对称性可得，， 则， 则． 13．已知函数及其导函数的定义域均为 ，记，若，为偶函数，则下列说法不正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据奇函数和偶函数的定义，结合函数的周期性和对称性，即可判断. 【详解】对于A选项：令，则； 令，则，所以，故A正确； 对于B选项：因为， 两边求导，得，即，即； 因为为偶函数，所以， 所以，故成立，故B正确； 对于C选项：因为， 所以，（为常数） 未必为0，故C错误； 对于D选项：因为， 令，则，故D正确. 14．已知函数，，，和有相同的对称中心.若直线与的图象交于两点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过函数图像平移的性质得到和的对称中心，从而得到，再令，解得两点的横坐标，再求出的值. 【详解】可看成是平移得到，所以对称中心为. ， 令，则， 所以为奇函数，对称中心为. ，的对称中心为. 和有相同的对称中心,，即. 则直线为， 令，解得， 由题意知两点在直线上， 所以. 二、多选题 15．定义在 上的函数满足为偶函数，且，则（     ） A．函数为偶函数 B．函数为周期函数 C．函数的图象关于直线对称 D．函数在内至少有个零点 【答案】ABD 【分析】根据已知及奇偶性的定义判断A，再由已知及偶函数性质判断B，最后利用奇偶性、周期性研究函数的对称性和零点判断C、D. 【详解】因为是偶函数，所以， 因为，所以， 将 替换为，得， 结合，可得，即， A：由上推导可知，所以函数为偶函数，正确， B：由，可得， 所以函数是周期为的周期函数，正确， C：由（关于 轴对称）和周期为， 因为，所以，而， 因此， 则函数图象关于点对称，不是关于直线 对称，错误； D：在中，令，得， 因为是偶函数，所以，代入得，解得， 结合周期为，可知均为， 同理，由，可知也为， 在区间内，所有奇数点都是函数的零点，共有个， 因此至少有个零点，正确. 16．已知函数是定义域为的奇函数，为奇函数，当时，，则（    ） A． B． C．当时，函数共有9个零点 D．不等式的解集为 【答案】AC 【分析】根据题意得，，进而得，即是以为周期的周期函数，利用周期即可判断AB，根据函数零点的定义即可判断C，由，先求一个周期的解集，利用周期即可判断D. 【详解】由题意得：，又为奇函数，所以， 所以，所以，所以是以为周期的周期函数， 所以，故A正确； 又，， 所以，故B错误； 由是定义域为的奇函数，所以，所以，所以是的零点， 又为奇函数，所以， 所以，所以是的零点， 又当时，，所以， 所以，所以是的零点， 又， 所以是的零点， 所以的零点为：共有9个，故C正确； 又，所以，当时，， 解得，又是以为周期的周期函数， 当时，， 所以，不满足题意， 当时，，所以，不满足题意， 所以不等式的解集为，故D错误. 17．已知函数关于点对称，对任意，都有成立，且当时，都有，则下列结论正确的有（    ） A．函数为偶函数 B． C．函数在上有1014个零点 D．函数在上为减函数 【答案】ACD 【分析】根据题意可判断关于对称且关于对称，可知在单调递增，可得出函数是周期为4的函数，即可依次判断每个选项正误. 【详解】 函数关于点对称，关于对称，， ，关于对称， 当，时，都有， 在单调递增， 综上，可画草图， 选项A，可看作向左平移5个单位得到，平移后关于轴对称，是偶函数，A正确； 选项B，可知，是以4为周期的函数，则， ，B错误； 选项C，在的零点个数有个，C正确； 选项D，在的图象和在的图象一致，应为减函数，正确. 18．已知函数满足对任意的，都有，且，当时，，则（   ） A． B． C．是增函数 D．不等式的解集为 【答案】BD 【分析】利用赋值法判断A；令，可得，即可判断B；根据题意结合函数单调性的定义判断C；分析可得，结合单调性运算求解即可. 【详解】因为，， 对于选项A：令，得，解得，故A错误 对于选项B：令，得，即， 可知为奇函数，所以，故B正确； 对于选项C：任取，则，可得， 则， 即，可知在定义域上单调递减，故C错误； 对于选项D：因为， 令，得，即，可得， 因为， 因为在定义域上单调递减， 则，即，即， 所以不等式的解集为，故D正确. 19．已知是定义在R上的奇函数，，，若为偶函数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】先由为偶函数、为奇函数推得的对称轴与对称中心，进而确定周期为4，再赋值求、、，最后利用周期化简求和、判断选项正误. 【详解】因为为偶函数，所以， 所以，所以，所以. 又为奇函数，所以，所以， 将替换为， 得，所以， 所以的周期为4，且. 对于选项A：在中，令，得. 又，所以，A错误； 对于选项B：，B正确； 对于选项C：，C正确； 对于D：当时，， ， ， ， 所以， 所以，D正确. 20．已知函数是定义域为R的偶函数，且满足，，，则（     ） A．的周期为 B．点是的一个对称中心 C． D． 【答案】AD 【分析】A选项，推出，A正确；B选项，根据函数为偶函数，推出为的对称轴；C选项，计算出；D选项，计算出的值，由周期性求和，得到答案 【详解】A选项，，则，故， 所以的一个周期为4，A正确； B选项，函数是定义域为R的偶函数，故， 因为，所以，故为的对称轴，B错误； C选项，中，令得， 中，令得， 故，又因为，解得，故，C错误； D选项，中，令得， 又，所以， ，D正确. 21．已知是定义在上的奇函数，且对任意，有，当时，，则（    ） A．是以为周期的周期函数 B．点是函数的一个对称中心 C． D．函数有个零点 【答案】BCD 【分析】A：根据奇偶性和对称性可判断出周期性；B：根据关于点中心对称以及关于直线对称，可作出判断；C：利用周期性可得，由此可计算出结果；D：在同一坐标系中作出的图象，根据图象可判断出结果. 【详解】因为是定义在上的奇函数，所以， 又因为，所以函数关于直线对称； 所以， 所以， 所以函数是周期为的周期函数，所以A选项错误； 由于函数是奇函数，关于点中心对称，且函数关于直线对称， 因此点是函数的一个对称中心，所以B选项正确； 由于函数是周期为的周期函数，且时，， 那么，因此，所以C选项正确； 作出函数与函数的图象如图所示， 根据图象可知，两个图象有个交点，因此函数有个零点，所以D选项正确， 故选：BCD． 22．已知定义在R上的函数及其导数，若为偶函数，为奇函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】由为奇函数，结合奇函数的性质，判断A选项，代入判断C选项，由为偶函数得，两边求导，代入判断B选项，综合推导判断D选项. 【详解】由于为奇函数，所以，A错误； 所以，，C正确； 由于为偶函数，则， 则，两边求导得， 所以，，B正确； 由，得， 由，得 所以，即，D正确； 故选：BCD. 23．已知函数，则下列选项正确的有（    ） A．的极大值点是 B．在上单调递增 C．当时， D．是的一个对称中心 【答案】ABC 【分析】先对三次函数求导，得到单调区间与极值点，再结合三次函数对称中心需满足的条件、区间最小值判定，依次验证四个选项是否正确. 【详解】对函数求导，则， 当时，，当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 则的极大值点是，所以选项A，B正确； 当时，单调递减，当时，单调递增， 故是上的最小值，故选项C正确； 若是的一个对称中心，则需满足， 而 ， 知不是的对称中心，故D选项错误. 学科网（北京）股份有限公司 $