精品解析：山东省枣庄市薛城区2025-2026学年八年级下学期7月期末数学试题

学业综合素养监测 八年级数学试题 亲爱的同学： 这份试卷将记录你的自信、沉着、智慧和收获．请认真审题，看清要求，仔细答题，预祝你取得好成绩！ 请注意： 1．选择题答案用铅笔涂在答题卡上，如不用答题卡，请将答案填在表格里． 2．填空题、解答题不得用铅笔或红色笔填写． 3．考试时，不允许使用科学计算器． 4．试卷分值：120分． 一、选择题：下面每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项选出来．每小题3分，共30分． 1. 根据下列表格中的信息，代表的分式可能是（ ） … −2 −1 0 1 2 … … * 无意义 * 0 * … A. B. C. D. 2. 若多项式因式分解的结果为，则的值为（ ） A. B. 9 C. D. 6 3. 如图，在中，，，则的大小为（ ）． A. B. C. D. 4. 在借助某AI工具命制如下①~④四道试题时，小聪发现其中有一道不能按要求分解因式，则该题是（ ） 用平方差公式分解下列各式： ①；②；③；④． A. ①题 B. ②题 C. ③题 D. ④题 5. 化简的结果是（ ） A. B. C. D. 6. 老师设计了接力游戏，用合作的方式完成解一元一次不等式．规则如下：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成化简，过程如图所示． 接力中，自己负责的一步出现错误的是（ ） A. 只有甲 B. 甲和乙 C. 乙和丙 D. 丙和丁 7. 如图，古代建筑中，榫卯结构至关重要．工匠们制作了一种特定的榫卯组合，每个卯需要的木材是每个榫需要的木材的倍．已知用30千克木材制作卯的数量比用30千克木材制作榫的数量少10个，设制作1个榫需要的木材为千克，下列符合题意的方程是（ ） A. B. C. D. 8. 已知四边形的对角线，相交于点．下列条件：①，；②，；③，；④，；⑤，．其中，能判定四边形是平行四边形的是（ ） A. ①③④ B. ①③⑤ C. ①②③⑤ D. ①③④⑤ 9. 若关于的不等式组的解集是，则在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 10. 如图，平行四边形中，对角线、相交于点O，平分，分别交、于点E、P，连接，，，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的是（ ） A. ①②③④ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③ 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 写出一个使分式有意义的的值，可以是______． 12. 因式分解：ax2+2axy+ay2=________． 13. 小明在做数学作业时，不小心将式子中除号后边的代数式污染，即，通过查看答案，答案为，则被污染的代数式为_____． 14. 某种商品的进价为1000元，出售时的标价为1500元，后来由于该商品积压，商店准备打折出售，但要保持利润率不低于，则最多可打__折． 15. 若分式方程有增根，则的值为________________． 16. 如图，在四边形中，，分别是，的中点，连接．若，，，则的长为________． 三、解答题（本题共8道大题，满分72分） 17. 如图，这是一个正确的因式分解，其中部分式子被遮盖后看不清． （1）求被遮盖处的式子． （2）若被遮盖处的式子的值不小于3，求的取值范围． 18. 先化简：，再从，，，中选取一个合适的数代入求值． 19. 如图，等腰梯形中，，延长到，使，连接、． （1）求证：； （2）若，，求的大小． 20. 先阅读下列材料，再解答下列问题：材料：因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1． 解：将“x+y”看成整体，令x+y=A，则原式=A2+2A+1=（A+1）2． 再将“A”还原，得原式=（x+y+1）2．上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请解答下列问题： （1）因式分解：1+2（2x-3y）+（2x-3y）2． （2）因式分解：（a+b）（a+b-4）+4； 21. 阅读理解，解决问题： 背景：随着我国科技事业的不断发展，国产无人机越来越多应用于实际生产生活，为人们的工作生活带来了便利．某农业公司欲购进甲、乙两种型号的农用无人机用来喷洒农药，甲型机比乙型机平均每小时少喷洒公顷农田，甲型机喷洒公顷农田所用时间与乙型机喷洒公顷农田所用时间相等．该农业公司共购进甲、乙两种型号的无人机架，其中甲型无人机万元／架，乙型无人机万元／架． 问题解决： （1）甲、乙两种型号无人机平均每小时分别喷洒多少公顷地？ （2）若公司要求这批无人机每小时至少喷洒公顷农田，那么该公司如何购买甲型和乙型无人机，才能使总成本最低？并求出最低成本． 22. 如图，已知四边形ABCD是平行四边形，∠EDC＝∠CAB，∠DEC＝90°． （1）求证：ACDE； （2）过点B作BF⊥AC于点F，连接EF，试判断四边形ADEF的形状，并说明理由． 23. 数学兴趣小组在学习了《分式》知识后，探究了分式的一种特殊变形． 例如： 我们把这种将分式的分母不变，分子中构造含分母的结构，从而将原分式分离出一个常数和一个分子为常数的分式结构的变形方法叫做“分离常数法”．“分离常数法”是分式研究的重要数学思想方法． （1）请利用“分离常数法”将分式变形为（其中为常数），求的值； （2）若分式的值为整数，求满足条件的整数的值； （3）利用分离常数法，请直接写出分式的取值范围． 24. 阅读下面材料，并解决问题： （1）如图①，等边内有一点P，若点P到顶点A，B，C的距离分别为3，4，5，求的度数． 为了解决本题，我们可以将绕顶点A旋转到处，此时，这样就可以利用旋转变换，将三条线段，，转化到一个三角形中，从而求出 ． （2）基本运用 请你利用第(1)题的解答思想方法，解答下面问题： 如图②，在中，，，E，F为上的点且，求证： （3）能力提升 如图③，在中，，，，O为内一点，连接，，，且，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 学业综合素养监测 八年级数学试题 亲爱的同学： 这份试卷将记录你的自信、沉着、智慧和收获．请认真审题，看清要求，仔细答题，预祝你取得好成绩！ 请注意： 1．选择题答案用铅笔涂在答题卡上，如不用答题卡，请将答案填在表格里． 2．填空题、解答题不得用铅笔或红色笔填写． 3．考试时，不允许使用科学计算器． 4．试卷分值：120分． 一、选择题：下面每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项选出来．每小题3分，共30分． 1. 根据下列表格中的信息，代表的分式可能是（ ） … −2 −1 0 1 2 … … * 无意义 * 0 * … A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据分式无意义的条件（分母为0时分式无意义）和分式值为0的条件（分子为0且分母不为0时分式值为0），结合表格信息判断选项即可． 【详解】根据表格信息可得两个条件： ① 当时，无意义，可知时，分式分母为； ② 当时，，可知时，分式分子为且分母不为； A：， 时，分母， 无意义，符合条件①； 时，分子，分母 ， ，符合条件②，故该选项符合题意； B：， 时，分母， 有意义，不符合条件①，不符合题意； C：， 时，分母 ， 有意义，不符合条件①，不符合题意； D：， 时，分母， 有意义，不符合条件①，不符合题意． 2. 若多项式因式分解的结果为，则的值为（ ） A. B. 9 C. D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】利用因式分解与整式乘法互逆的关系，展开因式分解的结果，对比对应项系数求出和的值，再计算． 【详解】解：∵，又， ∴ 对比对应项系数得，， 解得， 将代入得， ∴． 3. 如图，在中，，，则的大小为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用三角形内角和定理求出的度数，再根据平行四边形对角相等的性质，得到，即可求出的大小。 【详解】解：在中，三角形内角和为， 已知， ， ∵四边形是平行四边形，平行四边形对角相等， ． 4. 在借助某AI工具命制如下①~④四道试题时，小聪发现其中有一道不能按要求分解因式，则该题是（ ） 用平方差公式分解下列各式： ①；②；③；④． A. ①题 B. ②题 C. ③题 D. ④题 【答案】A 【解析】 【分析】能够分解因式的关键是多项式可以化为两个平方项且符号相反的形式，据此逐一判断即可． 【详解】解：对于①，的两个平方项符号相同，无法写成平方差的形式，故①不能按要求分解； 对于②， 符合平方差形式，故②可以按要求分解； 对于③， ，符合平方差形式，故③可以按要求分解； 对于④， ，符合平方差形式，故③可以按要求分解． 综上可知，不能按要求分解因式的是①题． 5. 化简的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将分式通分为同分母分式后，按同分母分式减法法则计算，合并同类项后约分得到结果． 【详解】解： ． 6. 老师设计了接力游戏，用合作的方式完成解一元一次不等式．规则如下：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成化简，过程如图所示． 接力中，自己负责的一步出现错误的是（ ） A. 只有甲 B. 甲和乙 C. 乙和丙 D. 丙和丁 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，一元一次不等式的定义，解一元一次不等式基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：去分母；去括号；移项；合并同类项；化系数为．通过“去分母，移项、合并同类项，化系数为”解不等式即可． 【详解】解：， 去分母，得， 故步骤甲错误． 去括号，得 ； 故步骤乙错误． 移项，合并同类项，得． 化系数为，得． 而丙和丁自己负责的一步没有错误； 故选：B． 7. 如图，古代建筑中，榫卯结构至关重要．工匠们制作了一种特定的榫卯组合，每个卯需要的木材是每个榫需要的木材的倍．已知用30千克木材制作卯的数量比用30千克木材制作榫的数量少10个，设制作1个榫需要的木材为千克，下列符合题意的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设制作1个榫需要的木材为千克，则制作1个卯需要的木材为千克．根据“用30千克木材制作卯的数量比用30千克木材制作榫的数量少10个”这一等量关系列出方程即可． 【详解】解：设制作1个榫需要的木材为千克，则制作1个卯需要的木材为千克， ∴用30千克木材制作榫的数量为，用30千克木材制作卯的数量为， 又制作卯的数量比制作榫的数量少10个，即制作榫的数量比制作卯的数量多10个， 可列方程为：． 8. 已知四边形的对角线，相交于点．下列条件：①，；②，；③，；④，；⑤，．其中，能判定四边形是平行四边形的是（ ） A. ①③④ B. ①③⑤ C. ①②③⑤ D. ①③④⑤ 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行四边形的判定定理逐个分析判断即可求解． 【详解】解：①，，符合“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”的判定定理，故①可判定四边形是平行四边形； ②，，四边形可能为等腰梯形，无法判定是平行四边形，故②不能判定四边形是平行四边形； ③ ，， 符合“两组对角分别相等的四边形是平行四边形”的判定定理，故③可判定四边形是平行四边形； ④仅，，无法证明对边平行或相等，也无法证明对角线互相平分，故④不能判定四边形是平行四边形； ⑤因为，所以，又因为，，所以 ，得，符合“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”的判定定理，故 ⑤可判定四边形是平行四边形； 综上，可判定的条件是①③⑤． 9. 若关于的不等式组的解集是，则在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】根据不等式组的解集是，可知，进而可得，，然后根据平面直角坐标系中各象限内点的坐标特征，即可获得答案． 【详解】解：， 解不等式①，可得， 由不等式②，可知， ∵该不等式组的解集为， ∴， ∴，， ∴， ∴点在第二象限． 10. 如图，平行四边形中，对角线、相交于点O，平分，分别交、于点E、P，连接，，，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的是（ ） A. ①②③④ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③ 【答案】D 【解析】 【分析】①先根据角平分线和平行四边形的性质推出，则，由有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形得：是等边三角形，由外角的性质和等腰三角形的性质得：，最后由平行线的性质可作判断；②先根据三角形中位线定理得：，，根据勾股定理计算和的长，可得的长；③因为，根据平行四边形的面积公式可作判断；④根据三角形中位线定理可作判断． 【详解】解：①平分， ， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ，故①正确； ②，， ，， ， 中，， 四边形是平行四边形， ， ， ， 中，， ，故②正确； ③由②知：， ，故③正确； ④由②知：是的中位线， ， ， ，故④错误； 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 写出一个使分式有意义的的值，可以是______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，根据分式有意义分母的值不等于，求出的取值范围，进而写出符合条件的一个的值即可，掌握分式有意义的条件是解题的关键． 【详解】解：要使分式有意义，则， ∴， ∴的值可以是， 故答案为：． 12. 因式分解：ax2+2axy+ay2=________． 【答案】a(x+y)2 【解析】 【分析】观察此多项式的特点：有公因式a，因此先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式． 【详解】解：ax2+2axy+ay2=a(x2+2xy+y2)=a(x+y)2． 故答案为：a(x+y)2． 【点睛】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法. 因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止． 13. 小明在做数学作业时，不小心将式子中除号后边的代数式污染，即，通过查看答案，答案为，则被污染的代数式为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式除法运算．熟练掌握利用平方差公式，提公因式法进行因式分解，分式的化简是解题的关键．利用平方差公式、提公因式法进行因式分解，然后进行除法运算可得化简结果． 【详解】解：由题意知， ∴被污染的代数式为， 故答案为：． 14. 某种商品的进价为1000元，出售时的标价为1500元，后来由于该商品积压，商店准备打折出售，但要保持利润率不低于，则最多可打__折． 【答案】7 【解析】 【分析】设打x折，根据利润率不低于5%就可以列出不等式，求出x的范围．再求x的最小值. 【详解】设打x折销售，根据题意可得： 1500×≥1000（1+5%）， 解得：x≥7， x的最小值是7. 故要保持利润率不低于5%，则至少可打7折． 故答案为7 【点睛】本题考核知识点：一元一次不等式的应用. 解题关键点：设好未知数，根据题意找出涉及数量关系，列出不等式，根据不等式的解集求出答案. 15. 若分式方程有增根，则的值为________________． 【答案】 【解析】 【分析】分式方程的增根是使最简公分母为的未知数的取值，先将分式方程化为整式方程，再将增根代入整式方程即可求得的值． 【详解】解：， 方程两边同乘最简公分母，得 ， 整理得， 变形得． 原分式方程有增根， ，即， 将代入，得 ， 解得． 16. 如图，在四边形中，，分别是，的中点，连接．若，，，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，延长到点G；使，连接，证明，连接，再利用勾股定理，三角形中位线，求解即可； 【详解】解：连接，延长到点G；使，连接，， ∵是边的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 根据勾股定理，得， ∵，分别是，的中点， ∴； 三、解答题（本题共8道大题，满分72分） 17. 如图，这是一个正确的因式分解，其中部分式子被遮盖后看不清． （1）求被遮盖处的式子． （2）若被遮盖处的式子的值不小于3，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查整式的混合运算，解不等式，掌握相关的运算法则是解题的关键； （1）计算即可解答； （2）根据题意解即可解答． 【小问1详解】 解： ， ∴被遮盖处的式子为； 【小问2详解】 解：根据题意，得， 解得， 的取值范围是． 18. 先化简：，再从，，，中选取一个合适的数代入求值． 【答案】 ， 【解析】 【分析】本题考查了分式的混合运算，关键是熟练应用运算法则进行计算；先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选取合适的的值代入进行计算即可． 【详解】解： ， ∵， ∴当时，上式． 19. 如图，等腰梯形中，，延长到，使，连接、． （1）求证：； （2）若，，求的大小． 【答案】（1）证明：在梯形中，，， ，， ， ， ， ，， ； （2） 【解析】 【分析】（1）根据题目中的条件可以得到，，再根据题目中的条件可以得到和的关系，从而可以解答本题； （2）根据第一问中三角形全等，可以求出的度数． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，， ， ， ，， ， ， ． 20. 先阅读下列材料，再解答下列问题：材料：因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1． 解：将“x+y”看成整体，令x+y=A，则原式=A2+2A+1=（A+1）2． 再将“A”还原，得原式=（x+y+1）2．上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请解答下列问题： （1）因式分解：1+2（2x-3y）+（2x-3y）2． （2）因式分解：（a+b）（a+b-4）+4； 【答案】（1）（1+2x-3y）2；（2）（a+b-2）2． 【解析】 【分析】（1）将（2x-3y）看作一个整体，利用完全平方公式进行因式分解． （2）令A=a+b，代入后因式分解，再代入即可将原式因式分解． 【详解】解：（1）原式=（1+2x-3y）2． （2）令A=a+b，则原式变为A（A-4）+4=A2-4A+4=（A-2）2， 故：（a+b）（a+b-4）+4=（a+b-2）2． 故答案为（1）（1+2x-3y）2；（2）（a+b-2）2． 【点睛】本题考查因式分解的应用，解题的关键是仔细读题，理解题意，掌握整体思想解决问题的方法． 21. 阅读理解，解决问题： 背景：随着我国科技事业的不断发展，国产无人机越来越多应用于实际生产生活，为人们的工作生活带来了便利．某农业公司欲购进甲、乙两种型号的农用无人机用来喷洒农药，甲型机比乙型机平均每小时少喷洒公顷农田，甲型机喷洒公顷农田所用时间与乙型机喷洒公顷农田所用时间相等．该农业公司共购进甲、乙两种型号的无人机架，其中甲型无人机万元／架，乙型无人机万元／架． 问题解决： （1）甲、乙两种型号无人机平均每小时分别喷洒多少公顷地？ （2）若公司要求这批无人机每小时至少喷洒公顷农田，那么该公司如何购买甲型和乙型无人机，才能使总成本最低？并求出最低成本． 【答案】（1）甲型无人机每小时喷洒公顷，乙型无人机每小时喷洒公顷 （2）采购甲型无人机台，乙型机台时总费用最少，最少费用为万元 【解析】 【分析】（）设甲型无人机每小时喷洒公顷，则乙型每小时喷洒公顷，根据题意列出方程解答即可求解； （）设甲型无人机台，则乙型无人机台，总费用为万元，根据题意求出的取值范围和与的函数解析式，再根据一次函数的性质解答即可求解； 本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，理解题意是解题的关键． 【小问1详解】 解：设甲型无人机每小时喷洒公顷，则乙型每小时喷洒公顷， 由题意得， 解得 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ∴， 答：甲型无人机每小时喷洒公顷，乙型无人机每小时喷洒公顷； 【小问2详解】 解：设甲型无人机台，则乙型无人机台，总费用为万元， 由题意得，， 解得， 又由题意得，， ∵， 的值随的增大而减小， 当时，（万元）， 此时乙型无人机（台）， 答：采购甲型无人机台，乙型机台时总费用最少，最少费用为万元． 22. 如图，已知四边形ABCD是平行四边形，∠EDC＝∠CAB，∠DEC＝90°． （1）求证：ACDE； （2）过点B作BF⊥AC于点F，连接EF，试判断四边形ADEF的形状，并说明理由． 【答案】（1）证明见解析 （2）四边形ADEF是平行四边形，理由见解析 【解析】 【分析】（1）只要证明∠EDC＝∠DCA即可解决问题； （2）结论：四边形ADEF是平行四边形．只要证明CEBF，CE＝BF即可； 【小问1详解】 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴ABCD， ∴∠DCA＝∠CAB， ∵∠EDC＝∠CAB， ∴∠EDC＝∠DCA， ∴DEAC． 【小问2详解】 解：结论：四边形ADEF是平行四边形． 理由：∵ACDE， ∴∠EDC＝∠ACD， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴CDAB，CD＝AB， ∵BF⊥AC，∠DEC＝90°， ∴∠DEC＝∠AFB＝90°， 又∵∠EDC＝∠CAB， ∴△EDC≌△FAB（AAS）， ∴DE＝AF， ∵DEAF， ∴四边形ADEF是平行四边形． 【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质，平行线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质是解题的关键． 23. 数学兴趣小组在学习了《分式》知识后，探究了分式的一种特殊变形． 例如： 我们把这种将分式的分母不变，分子中构造含分母的结构，从而将原分式分离出一个常数和一个分子为常数的分式结构的变形方法叫做“分离常数法”．“分离常数法”是分式研究的重要数学思想方法． （1）请利用“分离常数法”将分式变形为（其中为常数），求的值； （2）若分式的值为整数，求满足条件的整数的值； （3）利用分离常数法，请直接写出分式的取值范围． 【答案】（1）， （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）利用分离常数法，即可得到结论； （2）利用分离常数法，可将原式变形为，即可得到结论； （3）利用分离常数法，可将原式变形为，由分母，即可得到结论． 【小问1详解】 解∶， ∴，； 【小问2详解】 解∶， ∵分式的值为整数，且x为整数， ∴， ∴或； 【小问3详解】 解∶， ∵， ∴， ∴， ∴． 24. 阅读下面材料，并解决问题： （1）如图①，等边内有一点P，若点P到顶点A，B，C的距离分别为3，4，5，求的度数． 为了解决本题，我们可以将绕顶点A旋转到处，此时，这样就可以利用旋转变换，将三条线段，，转化到一个三角形中，从而求出 ． （2）基本运用 请你利用第(1)题的解答思想方法，解答下面问题： 如图②，在中，，，E，F为上的点且，求证： （3）能力提升 如图③，在中，，，，O为内一点，连接，，，且，求的值． 【答案】（1） （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）连接，利用旋转的性质，易得为等边三角形，得到，勾股定理逆定理得到，进而推出的度数，即可得解； （2）把绕点A逆时针旋转得到，证明，可得，即可得证； （3）将绕点B顺时针旋转至处，连接，易得，然后可得，进而问题可求解． 【小问1详解】 解：如图，点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，将绕顶点A逆时针旋转到，连接， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：如图，把绕点A逆时针旋转得到， 由旋转的性质得，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴． ∴． 由勾股定理得，， 即． 【小问3详解】 解：如图，将绕点B顺时针旋转至处，连接，   ∵在中，，，， ∴， ∴， ∵绕点B顺时针旋转至， ∴，，，， ∴是等边三角形， ∴． ∵， ∴， ∴四点共线， 在中，由勾股定理得：． ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $