精品解析：安徽合肥市六校联盟2025-2026学年第二学期高一期末教学质量检测数学试题

合肥六中2025—2026学年第二学期高一期末教学质量检测 数学试题卷 时长：120分钟 满分：150分 一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分.每个选项中只有一个符合题目要求） 1. 复数，则的共轭复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先化简给定复数，再求出其共轭复数，最后根据复数虚部的定义求解即可. 【详解】由题意可知，，则的共轭复数，虚部为，故D正确. 2. 已知向量，若，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用平面向量共线的坐标表示列方程，求解得到实数的值. 【详解】因为，，且， 所以，化简得，解得. 因此实数的值为. 3. 在中，已知，，且的面积为，则的长为（ ） A. 4 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】先通过正弦定理，将角的正弦关系转化为边的关系，再代入三角形面积公式计算得到的长度. 【详解】在中，记角的对边分别为，其中为角的对边，即. 因为，根据正弦定理，得， 又，的面积为，所以， 解得，所以. 4. 在空间中，是不重合的直线，是不重合的平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间中线线、线面、面面的平行与垂直的判定定理和性质定理，逐项判断正误可得. 【详解】对于A选项：若，，则与的位置关系可能为平行、相交或异面，无法推出，故A错误； 对于B选项：若，，，则与的位置关系可能为平行或异面，无法推出，故B错误； 对于C选项：根据面面垂直的性质定理，仅当且垂直于与的交线时，才有， 仅满足（）无法推出，故C错误； 对于D选项：由且，根据线面垂直的性质可得， 又，根据面面平行的性质可得，故D正确. 5. 某校高一年级“物理方向”有“物化生、物化地、物化政”三种常见的选科组合，选物化生、物化地、物化政的学生期中考试数学成绩的平均数分别为84，81，78，按不同选科组合的人数比例采用分层随机抽样的方法抽取一个样本，抽到选物化生、物化地、物化政的学生人数分别为60，40，20，则估计该校高一年级“物理方向”的学生期中考试数学成绩的平均数为（ ） A. 83 B. 82 C. 81 D. 80 【答案】B 【解析】 【分析】利用分层抽样平均数公式计算可得结果. 【详解】依题意，样本平均数为， 所以估计该校高一年级“物理方向”的学生期中考试数学成绩的平均数为82. 6. 已知正方体的棱长为2，E，F分别是棱的中点，沿平面将正方体截成两块，则较小的一块体积为（ ） A. B. C. 3 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】先找到正方体的截面，确定沿平面将正方体截成的较小的一块为棱台，应用棱台的体积公式求棱台的体积即可. 【详解】连接，如图所示，则. 因为分别是棱的中点，所以,, 所以,，所以点平面， 则沿平面将正方体截成的较小的一块为棱台， 可知，， 则. 7. 甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球．甲先投，且先投中者获胜，约定有人获胜或每人都已投球2次时投篮结束．设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为，且各次投篮互不影响，则投篮结束时，乙至多投了1次球的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合对立事件和独立事件的概率公式求解. 【详解】设，分别表示甲、乙在第次投篮时投中,则，， 记“投篮结束时,乙投了2个球”为事件C, ， 则投篮结束时，乙至多投了1次球的概率. 8. 已知在中，，且的最小值为3，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，结合二次函数的值域，可求角. 【详解】由题意，，. 由 ， 因为的最小值为3， 所以的最小值为. 因为，则，所以， 故当时，. 所以，解得. 又，所以. 二、多选题（共3小题，每小题6分，共18分，全部选对6分，部分选对得部分分数，有选错的得0分） 9. 某学习小组共7人，他们各自统计了自己每天的数学作业所花费的平均时间（单位：min）分别为45，58，45，64，48，40，50，则下列说法正确的是（ ） A. 该组数据的众数是45，极差是24 B. 该组数据的平均数是50 C. 去掉64和40后，剩余数据的平均数会变大 D. 去掉50后，剩余数据的方差会变大 【答案】ABD 【解析】 【分析】由众数、极差、平均数、方差的概念依次判断各选项即可. 【详解】A选项，该组数据的众数是45，极差是，故A正确； B选项，该组数据的平均数是，故B正确； C选项，去掉64和40后，剩余数据的平均数是，故C错误； D选项，原始7个数据的方差 ， 去掉50后，剩余6数据的平均数依然是50， 而方差， 分子相同，分母大者小，所以， 即去掉50后，剩余数据的方差会变大，故D正确. 10. 已知复数和在复平面内对应的点分别为和，且满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】设，则，则，，然后根据复数的运算和向量的模长与坐标运算即可判断选项正误. 【详解】由题意可设，则，则，， 对于A，，当且仅当时成立，无满足条件的，故A错误； 对于B，故B正确； 对于C，， 所以，故C错误； 对于D，，所以，故D正确； 11. 直三棱柱中，，底面的直观图如图所示，为棱的中点，为内（含边界）的一动点，下列说法正确的是（ ） A. B. 若平面，则四棱锥的体积为定值 C. 若在线段上，直线与平面所成角的余弦最大值为 D. 若，则的轨迹长度一定大于 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据直观图还原图形判断A，根据面面平行、线面平行性质及棱锥体积公式判断B，根据线面角及正余弦函数的关系判断C，利用球的性质及弧长公式、不等式性质判断D. 【详解】由底面直观图可知，为直角三角形，， 所以，故A正确； 取的中点，连接，如图， 由可得，所以四边形为平面四边形， 又，平面，平面，所以平面， 同理可得平面，又平面， 所以平面平面，因为平面，所以点轨迹为线段， 设到平面的距离为，由可得， 所以点到平面的距离为，所以四棱锥的体积为，故B正确； 取中点，连接，如图， 在直三棱柱中，由，可知平面，所以平面， 所以即为直线与平面所成角，, 当最大，即与重合时，有最小值, 此时有最大值，故C错误； 若，则的轨迹为以为球心，为半径的球与所在平面截得圆的一部分， 设圆的半径为，因为平面，所以为圆的圆心， 所以，设圆弧与分别交于，如图， 设，则由余弦定理可得，解得或（舍去）， 所以，由正弦定理，，所以， 设，所以弧的长，故D正确. 三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若，则_____． 【答案】## 【解析】 【详解】， 解得： 13. 若一个圆锥的内切球与外接球的球心重合，且内切球的半径为1，则该圆锥的侧面积为_____． 【答案】 【解析】 【分析】作出截面图形，由圆锥的侧面积公式结合题意计算可得. 【详解】如图： 过圆锥的旋转轴作轴截面， 因为圆锥的内切球与外接球的球心重合，所以圆锥的轴截面为等边三角形，设为. 取中点，连接，则点在线段上，且. 由题意，，所以，所以， 所以，. 所以该圆锥的侧面积为. 14. 已知四边形中，，设与的面积分别为，则的最大值为__________. 【答案】14 【解析】 【分析】根据余弦定理可得，继而根据面积公式可得表达式，结合二次函数的性质即可求解最值. 【详解】四边形中，，， 则，． 在中，利用余弦定理：， 所以：． 在中，利用余弦定理：， 所以：． 所以：． 则 当时，最大值，最大值为14， 故答案为：14． 四、解答题 15. 合肥市第六中学工会为了迎接端午节，特举办一次端午趣味答题竞赛（满分100分），共有100名教职工参加，其成绩均落在区间内，将竞赛成绩数据分成五组，制成如图所示的频率分布直方图． （1）求的值，并估计竞赛成绩的第80百分位数； （2）若用按比例分配的分层随机抽样的方法从样本中成绩在，内的两组教职工中抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求至少有1人的竞赛成绩在内的概率． 【答案】（1） 第80百分位数为88 （2） 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图中各小矩形的面积和为1列方程求解；根据频率分布直方图中中位数左右两侧的矩形面积相等，均为0.5，列方程求解； （2）根据频率之比，确定各组内应抽取的人数，然后根据古典概型的概率计算公式求解. 【小问1详解】 频率分布直方图中，所有组的频率之和为1，组距为10， 因此， 所以，解得. 前3组频率之和为， 前4组频率之和为， 所以第80百分位数在区间内， 设第80百分位数为，则，解得. 【小问2详解】 成绩在内的频率为0.1，成绩在内的频率为0.2，频率之比为. 所以成绩在内应抽取的人数为人， 成绩在内应抽取的人数为人. 记成绩在内的2人为，成绩在内的4人为， 从6人中抽取2人，基本事件有， 共15个，其中至少有1人的竞赛成绩在内的基本事件有，共9个， 所以，从这6人中随机抽取2人，至少有1人的竞赛成绩在内的概率为. 16. 如图，在正三棱柱中，，点为的中点． （1）证明：平面； （2）求点到平面的距离． 【答案】（1）证明：连接，交于点，连接，如图所示.则点为的中点. 因为点为的中点，所以. 又因为平面，平面，所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）先证线线平行，再由线面平行的判定定理即可得证； （2）利用等体积法求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为三棱柱是正三棱柱，点为的中点， 所以平面平面，. 又因为平面平面，平面， 所以平面. 因为平面，所以. 在中，， 在中，， 则. 设点到平面的距离为，则， 又，则， 解得，即点到平面的距离为. 17. 已知向量，记函数．在中，若． （1）求角的大小； （2）若为锐角三角形，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先通过向量数量积的坐标运算，结合二倍角公式，将化简为正弦型函数的形式.代入，结合为三角形内角的范围，解三角方程求. （2）利用正弦定理将边比转化为对角正弦比，再根据锐角三角形的条件，解出角的精确范围，最后利用三角函数单调性求出值域. 【小问1详解】 由题意，数量积为： ，化简得： ， 利用辅助角公式合并：. 因为，所以：，在中，，故. 在此范围内满足正弦值为的解为：（另一解得舍去，得舍去），解得. 【小问2详解】 由（1）知，则,即. 因为为锐角三角形，所以且. 代入得：,解得：. 由正弦定理得：，展开分子：，因为，单调递减，取值范围为. 所以：，故. 18. 如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，为等边三角形，，平面平面． （1）求证：平面； （2）若是线段上任一点且，求二面角余弦值的取值范围． 【答案】（1）证明：取棱的中点，连接， 因为为等边三角形，所以， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又平面，所以， 又，，，平面， 所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）根据面面垂直的性质定理及线面垂直的判定定理求证即可； （2）作出二面角的平面角并证明，利用余弦定理及换元法，结合二次函数的单调性求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取的中点，连接，如图。 由（1）平面，平面， 所以，又为等边三角形， 所以,平面， 所以平面，平面， 所以， 即二面角的平面角为， 因为，所以， ， 由可知，， 又， 由余弦定理可得， 令，则， 所以， 令， 则， 因为的对称轴方程为， 所以在上单调递增， 所以，即， 所以，. 故二面角余弦值的取值范围为. 19. 给定两组数据与，称为这两组数据之间的“差异量”.在一次比赛中，n位选手的实际排名为.同学们在不知道选手实际排名的前提下，根据自己的经验预测选手们的排名为，其中集合.记，用A与I的差异量来反映预测的准确程度. （1）当时，写出满足的A的所有可能情况； （2）甲、乙两位同学同时预测，甲的预测结果为A，乙的预测结果为B，已知，，则是否可能大于?若可能，请给出一个例子，若不可能，请说明理由： （3）证明：对于任意，的值一定为偶数. 【答案】（1）、、； （2）不可能，理由见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用列举的方法，一一验证，即可确定答案； （2）利用三角绝对值的不等式性质，即可判断出结论； （3）定义，根据“差异量”的含义，结合讨论知与具有相同的奇偶性，可得和除以2的余数相同，结合，即可证明结论. 【小问1详解】 当时，； 当时，，不合题意； 当时，，不合题意； 当时，，不合题意； 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 故满足的A的所有可能情况为、、； 【小问2详解】 由题意知，， ， 由于， 故，即， 即，即不可能大于； 【小问3详解】 由题意知为的一个排列， 均为正整数，定义， 则；(因为皆为的和) 考虑的奇偶性， 当时，；当时，； 故与具有相同的奇偶性， 故和除以2的余数相同，而， 故必为偶数，即对于任意，的值一定为偶数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 合肥六中2025—2026学年第二学期高一期末教学质量检测 数学试题卷 时长：120分钟 满分：150分 一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分.每个选项中只有一个符合题目要求） 1. 复数，则的共轭复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，若，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 3. 在中，已知，，且的面积为，则的长为（ ） A. 4 B. C. 2 D. 4. 在空间中，是不重合的直线，是不重合的平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 5. 某校高一年级“物理方向”有“物化生、物化地、物化政”三种常见的选科组合，选物化生、物化地、物化政的学生期中考试数学成绩的平均数分别为84，81，78，按不同选科组合的人数比例采用分层随机抽样的方法抽取一个样本，抽到选物化生、物化地、物化政的学生人数分别为60，40，20，则估计该校高一年级“物理方向”的学生期中考试数学成绩的平均数为（ ） A. 83 B. 82 C. 81 D. 80 6. 已知正方体的棱长为2，E，F分别是棱的中点，沿平面将正方体截成两块，则较小的一块体积为（ ） A. B. C. 3 D. 2 7. 甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球．甲先投，且先投中者获胜，约定有人获胜或每人都已投球2次时投篮结束．设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为，且各次投篮互不影响，则投篮结束时，乙至多投了1次球的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知在中，，且的最小值为3，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题（共3小题，每小题6分，共18分，全部选对6分，部分选对得部分分数，有选错的得0分） 9. 某学习小组共7人，他们各自统计了自己每天的数学作业所花费的平均时间（单位：min）分别为45，58，45，64，48，40，50，则下列说法正确的是（ ） A. 该组数据的众数是45，极差是24 B. 该组数据的平均数是50 C. 去掉64和40后，剩余数据的平均数会变大 D. 去掉50后，剩余数据的方差会变大 10. 已知复数和在复平面内对应的点分别为和，且满足，则（ ） A. B. C. D. 11. 直三棱柱中，，底面的直观图如图所示，为棱的中点，为内（含边界）的一动点，下列说法正确的是（ ） A. B. 若平面，则四棱锥的体积为定值 C. 若在线段上，直线与平面所成角的余弦最大值为 D. 若，则的轨迹长度一定大于 三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若，则_____． 13. 若一个圆锥的内切球与外接球的球心重合，且内切球的半径为1，则该圆锥的侧面积为_____． 14. 已知四边形中，，设与的面积分别为，则的最大值为__________. 四、解答题 15. 合肥市第六中学工会为了迎接端午节，特举办一次端午趣味答题竞赛（满分100分），共有100名教职工参加，其成绩均落在区间内，将竞赛成绩数据分成五组，制成如图所示的频率分布直方图． （1）求的值，并估计竞赛成绩的第80百分位数； （2）若用按比例分配的分层随机抽样的方法从样本中成绩在，内的两组教职工中抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求至少有1人的竞赛成绩在内的概率． 16. 如图，在正三棱柱中，，点为的中点． （1）证明：平面； （2）求点到平面的距离． 17. 已知向量，记函数．在中，若． （1）求角的大小； （2）若为锐角三角形，求的取值范围． 18. 如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，为等边三角形，，平面平面． （1）求证：平面； （2）若是线段上任一点且，求二面角余弦值的取值范围． 19. 给定两组数据与，称为这两组数据之间的“差异量”.在一次比赛中，n位选手的实际排名为.同学们在不知道选手实际排名的前提下，根据自己的经验预测选手们的排名为，其中集合.记，用A与I的差异量来反映预测的准确程度. （1）当时，写出满足的A的所有可能情况； （2）甲、乙两位同学同时预测，甲的预测结果为A，乙的预测结果为B，已知，，则是否可能大于?若可能，请给出一个例子，若不可能，请说明理由： （3）证明：对于任意，的值一定为偶数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $