安徽合肥市第一中学2025-2026学年第二学期期末教学质量监测高一数学试题

合肥一中2025-2026学年度第二学期期末教学质量监测 高一数学试题 (考试时长：120分钟满分：150分) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的。 1.已知平面向量a=(3,-2),b=1,q+1),若āLb,则q=（) B吉 c D.-2 5 2.设3=1+i,z2=1-i,则i=（) A.31+3 B.31-2 C.222 D. 3.已知圆锥的底面直径和母线均为8，则该圆锥的侧面积为() A.8π B.16元 C.32π D.64π 4.已知α，B为两个不同的平面，m,n为两条不同的直线，下列结论不正确的是（) A.若//n,⊥，则n⊥a B.若a⊥B,⊥a,则m/B C.若m⊥o,m⊥B,则a/1B D.若⊥a,mcB,则a⊥B 5.有4个分别标有数字1,2,3,4的相同小球，从中不放回地随机取两次，每次取1个球.甲 表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是3”，丙表示 事件“两次取出的球的数字之和是4”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是5”，则下列 选项正确的是() A.甲与乙互斥 B.丙与丁对立 C.甲与丙相互独立 D.乙与丁相互独立 6.在△ABC中，sinA=sin BsinC,BC=3,则△ABC的面积为() A.2 B.3 9 c. D.6 第1页共4页 7.己知样本数据x1,x2,,x,的平均数为9，方差为12，现这组样本数据增加一个数据xo, 此时新样本数据的平均数为10，则新样本数据的方差为（) A.17.8 B.18.8 C.19.8 D.20.8 8.已知平面内三个不同的单位向量a,b,c,满足a.b>0,ac=0,b.c<0,则a+b+c 可能的取值为() A.1 B.2 C.3 D.4 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.某城市连续7天的最低温度（单位：C为3,5,2,0,5,7,6，则这组数据的（） A.众数为5 B.极差为7 C.中位数为6 D.40%分位数为3 10.设有下面四个命题，其中的真命题为（) A.若复数二∈R,则z∈R B.若复数z满足上∈R,则z∈R C.若复数z=a+bi(a,b∈R),则z为纯虚数的充要条件是a=0 D.若(91-2)}+(52-3)}=0，则31=22=3 11.如图，正方体ABCD-AB,C,D中，顶点A在平面a内，其余顶点在a的同侧，顶点A,B, C到a的距离分别为√6,1,2，则() A.BD/平面 D B.平面AAC⊥平面u B C.直线AB与a所成角比直线AA与a所成角大 D.正方体的棱长为2√2 第2页共4页 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分。 12.事件A、B相互独立，P(A)=0.6,P(B)=0.7,则P(AUB)= 13.如图，为了测量两山顶M,N间的距离，飞机沿水平方向在A,B两点进行测量，A,B, M,N在同一铅垂平面内，飞机在A点到M,N点的俯角分别为75°，30°，飞行3后， 在B点到M,N点的俯角分别为45°，60°，则测得两山顶M,N间距离为a. A B 14.已知三棱锥P-ABC满足PA⊥AB,BC⊥PC,AB⊥BC,且AB=1,BC=V2,PA=V5, 则异面直线AC与PB所成夹角的余弦值为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 学校正在研究基于“合一小虎”的人工智能答疑系统， 频率组距 更方便地帮助学生解决学习中碰到的问题.为了测试答疑 0.06 系统的准确性，现利用“合一小虎”解答了50份不同的模 0.04 拟试卷，收集其准确率，整理得到其频率分布直方图. 0.02 (1)求图中a的值及这组数据的中位数； 80859095100准确率% (2)若采用样本量比例分配的分层随机抽样从[85,90)，[95,100)两组中抽取5份，再 从这5份中随机抽取2份，求这2份中至少有1份的准确率在[85,90)的概率. 16.(15分) 如图，在平行四边形ABCM中，AB=AC=3,∠ACM=90°，以AC为折痕将△ACM折起， 使点M到达点D的位置，且AB⊥DA. (1)证明：平面ACD⊥平面ABC: (2)Q为线段AD上一点，P为线段BC上一点， 且BP=DO=2DA,求三棱锥Q-ABP的体积. 3 M- P 第3页共4页 17.(15分) 同学甲参加一项招聘考试，分为笔试和面试两个环节，笔试成绩合格后才能进入面试.笔试 共有2道专业理论题与2道岗位实践题，每道专业理论题的难度系数（考生能够正确作答的概率） 均为p(0<p<1),每道岗位实践题的难度系数均为q(0<q<1),考生至少答对3道题才能进入 面试，否侧被淘汰出局：已知甲笔试得满分的概率为6：笔试各题是否答对相互独立 (1)当p时，求g: 3 (2)求甲能够进入面试的概率f(p)的最小值及相应的卫值， 18.(17分) 在AMBC中，已知tanA=simB+sinC cosB+cosC (1)求角A: (2)若AB=2,BC=V6,D为BC上一点，AD为∠BAC的平分线，求AD. (3)若sinB=psin C,试确定p的取值范围，使△ABC为锐角三角形， 19.(17分) 如图是一个正三棱柱（以ABC为底面）被一平面所截得到的几何体，截面为DEF.已知 AB=2,AD=3,BE=2,CF=1.M是DF的中点. (1)证明：EM/平面ABC; (2)求平面ABC与平面DEF所成角的正弦值； E (3)若点P在线段AD上，求三棱锥P-DEF的外接球半径的最小值 及此时P的位置， 第4页共4页合肥一中2025-2026学年度第二学期期末教学质量检测 高一数学试题 (参芳答案与评分标准) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的。 1.已知平面向量a=(3,-2),b=1,q+1),若ā1b,则q= B C.-5 3 【答案】A 2.设z=1+i,z2=1-i,则i= A.31+ B.3-3 C.3 D. 【答案】D 3.己知圆锥的底面直径和母线均为8，则该圆锥的侧面积为 A.8π B.16元 C.32π D.64π 【答案】C 4.己知α，B为两个不同的平面，m,n为两条不同的直线，下列结论不正确的是 A.若m/n,m⊥，则n⊥ B.若⊥B,m⊥a,则m//B C.若⊥，m⊥B,则a/1B D.若⊥a,cB,则a⊥B 【答案】B 5.有4个分别标有数字1,2,3,4的相同小球，从中不放回地随机取两次，每次取1个球.甲 表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是3”，丙表示 事件“两次取出的球的数字之和是4”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是5”，则下列 选项正确的是 A.甲与乙互斥 B,丙与丁对立 C.甲与丙相互独立 D.乙与丁相互独立 【答案】D 第1页共11页 6.在△ABC中，sinA=sin Bsin C,BC=3,则△ABC的面积为 L B.3 D.6 【答案】C 【解析】根据sinA=sin BsinC,结合正弦定理得a=csinB, 结合BC=a=3,可得△ABC的面积S= 2 7.已知样本数据，x,,,的平均数为9，方差为12，现这组样本数据增加一个数据o, 此时新样本数据的平均数为10，则新样本数据的方差为 A.17.8 B.18.8 C.19.8 D.20.8 【答案】c 【解析】设增加的数为k,则x+x2+.+x。=81,x+x3+.+x,+k=100, 所以k=19,又因为2K-9y=12,所以了x-9y=108, 9i 所以新样本数据的方差=1 区年-10+&-10]024-9-22年-勇+9+8r 1 ×108-2×81+2×9×9+9+81)=19.8. 10 8.已知平面内三个不同的单位向量a,b,c,满足a.b>0,a.c=0,b.c<0,则a+b+c引 可能的取值为 A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】B 【解析】如图，设A1,0),C(0,1),因为OA曰OB=OC=1,a.b>0 a.c=0,b.c<0,所以可取a=OA,b=OB,c=OC, 由恩京B点在第四象限，故设B(cos8血)，0e(号0， 则a+b+c=1+cos0,1+simn日)， B 所以ā+b+c=V+cos+1+sin6=3+2W2sin(8+), 因为0c(号0，所以0+子（孕，所以a0(9,号 4 4 所以3+22sim(8+)e0,5),所以a+i+clea,5). 第2页共11页 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.某城市连续7天的最低温度（单位：°C为3,5,2,0,5,7,6，则这组数据的 A.众数为5 B.极差为7 C.中位数为6 D.40%分位数为3 【答案】ABD 10.设有下面四个命题，其中的真命题为 A.若复数=∈R,则z∈R B.若复数z满足1∈R,则z∈R C.若复数z=a+bi(a,b∈R),则z为纯虚数的充要条件是a=0 D.若(5-52)}+(52-3)2=0，则3=22=3 【答案】AB 11.如图，正方体ABCD-AB,C,D中，顶点A在平面&内，其余项点在a的同侧，顶点A,B, C到u的距离分别为√6,1,2，则 A.BD/1平面 B D B.平面AAC⊥平面u B C.直线AB与α所成角比直线A4与a所成角大 D.正方体的棱长为2√2 【答案】ABD 【解析】因为正方体ABCD-AB,CD,中，顶点A在平面a内，其余顶点在a的同侧， 顶点A,B,C到a的距离分别为√6,1,2， 设AC∩BD=O,显然O是AC、BD的中点，又平面ABCD∩a=A, C到平面u的距离为2，所以O到平面α的距离为1， 又B到平面u的距离为1，且点B,O在u的同侧，则BO/1a,即BD11a,即A正确： 设平面ABCD∩a=I,则BD/I,因为ABCD是正方形，所以AC⊥BD, 第3页共11页 又因为AA⊥平面ABCD,BDC平面ABCD,所以AA⊥BD, 因为A4∩4C=A,A4,ACc平面AAC,所以BD⊥平面4AC,则11平面AAC, 而lca,所以平面AAC⊥平面a,即B正确： 设B,到平面u的距离为d, 因为平面A4B,B∩a=A,A4B,B是正方形，点4，B到a的距离分别为V6,1, 所以有6+L,得d=6+1, 2 2 设正方体ABCD-AB,CD的棱长为a, 设直线AB,与平面a所成角为B,所以sinB= 6+1√6+1 AB 2a 设直线A4与平面a所成角为y,所以siny= √6√6 AA a 因为6+<6，则得sinB<simy,因0<B,7<7,则得B<y,故C错误； √2 2 因为平面AAC⊥平面&，平面AAC⌒平面u=A, 所以C,A在平面w的射影E,F与A共线， 显然CE=2,AF=√6，AC=√2a,A4=a,A41AC,如图所示： C A B D /a 由∠ECA+∠CAE=∠CAE+∠AAF→∠ECA=∠AAF, ACin∠4，Ar=4r cos∠ECA=CE A41 由aw2BC4A=1户音是-1=a=25(负催奋去.放DE确 第4页共11页 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分。 12.事件A、B相互独立，P(A)=0.6,P(B)=0.7,则P(AUB)= 【答案】0.88. 13.如图，为了测量两山顶M,N间的距离，飞机沿水平方向在A,B两点进行测量，A,B, M,N在同一铅垂平面内，飞机在A点到M,N点的俯角分别为75°，30°，飞行3后， 在B点到M,N点的俯角分别为45°，60°，则测得两山顶M,N间距离为 kn. y B M 【答案】5 【解析】由题意可得∠MAB=75°，∠NVAB=30°，∠MBA=45°，∠NBA=180°-60°=120°， 在△ABM中，己知∠MAB=75°， B ∠ABM=45°，∠AMB=60°，AB=3IL, 由正弦定理得、，AM AB sin∠ABM sin∠AMB 即AM=3 ,可得AM=V6, V2√5 22 因为∠NAB=30°，∠ABN=120°，则∠ANB=30°，所以AB=BN=3, 在△ABN中，由余弦定理得AN2=AB2+BN2-2AB.BNc0s120°=9+9-2×3×3×(-)=27， 所以AN=33, 因为∠MAB=75°，∠NAB=30°，故∠MAN=45°， 在△AMN中，由余弦定理得： N=AM+AN-24M,AN.co45=6+27-2x6x35x515,所以N=5. 2 14.已知三棱锥P-ABC满足PA⊥AB,BC⊥PC,AB⊥BC,且AB=1,BC=√2，PA=√5， 则异面直线AC与PB所成夹角的余弦值为 【答米】号 【解析】因为三棱锥P-ABC满足PALAB,BC⊥PC,AB⊥BC,且AB=1,BC=√2，PA=√5， 所以可补形为长方体如下图所示： 第5页共11页 D 2-- A B 作AC/BD,则AC与PB所成夹角即为∠PBD或∠PBD的补角， 在△PBD中，易求PB=V6,BD=√3，PD=√7， 则coS∠PBD=PB+BD2-PDV2 2PB.BD 6 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 学校正在研究基于“合一小虎”的人工智能答疑系统，更方便地帮助学生解决学习中碰到的 问题.为了测试答疑系统的准确性，现利用“合一小虎”解答了50份不同的模拟试卷，收集其 准确率，整理得到其频率分布直方图， 个频率组距 (1)求图中a的值及这组数据的中位数： 0.06 (2)若采用样本量比例分配的分层随机抽样从[85,90)0.04 [95,100)两组中抽取5份，再从这5份中随机抽取2份， 0.02 求这2份中至少有1份的准确率在[85,90)的概率. 080859095100准确率% 【答案】(1)a=0.08:中位数为925；(2)7 10 【解析】(1)5×(0.02+0.04+0.06+)=1，解得a=0.08;…3分 设中位数为%，前两个矩形的面积之和为5×0.02+5×0.04=0.3， 前三个矩形的面积之和为0.3+5×0.08=0.7， 所以m∈(90,95)，则0.3+(-90)×0.08=0.5，解得m=92.5, 所以估计准确率的中位数为92.5(%)；…6分 (2)由(1)知，准确率在[85,90)，[95,100)两组频率比为2：3， 由比例分配的分层随机抽样方法， 分别从[85,90)，[95,100)两组的学生中抽取2人，3人，…8分 记[85,90)中抽取的2人为a,b,[95,100)中抽取的3人为c,d,e, 第6页共11页 设“这2份中至少有1份的准确率在[85,90)”为事件A, 则2={(a,b),(a,c),(a,d),(b,c),(b,d),(b,e),(c,d),(c,e),(d,e)}, A={(ab),(a,c),(a,d),(a,e),(b,c),(b,d),b,e)}, :事件A发生的概率为P(A)=10' 7 因这2份中至少有1份的准确率在85,90)的概率为乙 ……13分 10 16.(15分) 如图，在平行四边形ABCM中，AB=AC=3,∠ACM=90°，以AC为折痕将△ACM折起， 使点M到达点D的位置，且AB⊥DA. D (1)证明：平面ACD⊥平面ABC: (2)Q为线段AD上一点，P为线段BC上一点， 且BP=DQ=号nA,求三棱锥Q-MBP的体积. 【答案】(1)证明见解析；（2)1. B 【解析】(1)证明：：在平行四边形ABCM中，∠ACM=90°，.AB⊥AC, 又AB⊥DA.且AD∩AC=A, .AB⊥面ADC,ABC面ABC, .平面ACDL平面ABC;。 …6分 （2)AB=AC=3,∠ACM=90°，AD=AM=3V2, :.BP=D0=2DA=22, 3 由(1)得DC⊥AB,又DC⊥CA,.DC⊥面ABC, :三楼锥Q-MBP的体积V-S8,×DC 3 3 DC= 121 1 ×3×3 ×3=1.…………15分 3 332 3 17.(15分) 同学甲参加一项招聘考试，分为笔试和面试两个环节，笔试成绩合格后才能进入面试.笔试 共有2道专业理论题与2道岗位实践题，每道专业理论题的难度系数（考生能够正确作答的概率） 均为p(0<p<1),每道岗位实践题的难度系数均为q(0<q<1),考生至少答对3道题才能进入 第7页共11页 面试，否则被淘汰出局；已知甲笔试得满分的概率为，】，笔试各题是否答对相互独立. 16 1)当p=号时，求q: (2)求甲能够进入面试的概率f(p)的最小值及相应的p值. 【答案】1)g令：(2))的最小值为G,相应的p值为号 【解析】(1)由题意，笔试和面试各题是否答对相互独立， :甲笔试满分的概车为p了G,则网=号 .1 133 叉p=名，g …5分 428 (2)由题意，甲至少答对3道题才能够进入面试， ·甲能够进入面试的概率为：f(p)=2p(-p)q+2q1-q)p2+pq, 9=,则g=1,则/D)2p0-6210与p±p 4p 16D2 整理得f(p)= 1+2-3, ·10分 8p216 0<p<1,0<q<1, 1.p3 fD)=8元+ ”313当仅当0子即2时，等号成粒 8p+2i622p×2i621616 :.甲能够进入面试的概率fp)的最小值为3，相应的p值为 .…………15分 16 18.(17分) 在AABC中，己知tanA=simB+sinC cosB+cosC (1)求角A: (2)若AB=2,BC=V6,D为BC上一点，AD为∠BAC的平分线，求AD. (3)若sinB=psinC,试确定p的取值范围，使△ABC为锐角三角形. 【答案】1)A=号：(2)4D=2:(3)分2). 【解析】(1)因为tanA-simC+sinB 所以sin AcosC+sinAcosB=cos AsinC+cos Asin B, cos C+cosB 即sin(A-C)=sin(B-A),所以A-C=B-A或(A-C)+(B-A)=π（舍去）， 所以A-C=B-A,结合A+B+C=元，得A=T.…5分 3 第8页共11页 (2)如图，在△4BC中，AB=2,∠BAC=60°，BC=√6， :由正弦定理可得，BC AB sin∠BAC sin∠ACB sin∠ACB=AB×simn∠BAC 2x3 2,又∠B4AC=60°， BC √6 .∠ACB=45°，∠ABC=180°-45°-60°=75°， 又AD为∠BAC的平分线，且∠BAC=60°， B .∠BAD=30°，又∠ABC=75°，.∠ADB=75°， AD=AB=2.……11分 (3)simB=psinc,∴p=sinB-sin120°-9-V5 1 sinC sinC 2tanC 2 :△4BC为锐角三角形，A=花， 3 :<c< 6 ’anc3 3 2.即p的范用为》…17分 1 (此题也可转化为边长之比，用余弦定理限定锐角三角形，求其范围) 19.(17分) 如图是一个正三棱柱（以ABC为底面）被一平面所截得到的几何体，截面为DEF,己知 AB=2,AD=3,BE=2,CF=1.M是DF的中点. 0 (1)证明：EM/平面ABC: E (2)求平面ABC与平面DEF所成角的正弦值； (3)若点P在线段AD上，求三棱锥P-DEF的外接球半径的最小值 及此时P的位置 B 【谷案①)证明见解析，2》：3)A此时P为线段AD靠沉 6 A的三等分点： 【解析】解：(1)证明：延长AB,DE交于点H,延长AC,DF交于点G连接GH, 因为ADL平面ABC,BE⊥平面ABC, D 所以AD1IBE,△HBE~△AD,所以孤=BE=2 E HD AD 3 即E是线段HD上靠近D的三等分点，又因为CF⊥平面ABC, H 所以AD/ICF,△GCF~△GAD, G 第9页共11页 可得GP-CR-,即F是线段GD上靠近G的三等分点， GD AD 3 因为M为DF中点，可得M是线段GD上靠近D的三等分点，所以DM=DE=I DG DH31 所以△DEM~△DHG,即EM/HG, 又因为EM丈平面ABC,HGC平面ABC, 所以EM//平面ABC;……5分 (2)在直角梯形FCBE中，CR=1,BC=2,BE=2,∠FCB=∠EBC= 2 可得EF=√BC°+(BE-CF)-√2+(2-1)2=V5, H 同理可得ED=√，即△DEF为等腰三角形， 又因为M为DF中点，所以EM⊥DF,即HG⊥DG, 在平面ABC中，AB=AC=BC=2,CG=1,HB=4, 可得4H=6=2MG,A号，所以GL4G, 又因为平面ABC与平面DEF=HG, 所以∠DGA是平面ABC与平面DEF的夹角的平面角， 因为AG=AD=3,AD⊥AG,所以∠DGA= 4 即平面A8C与平面DBF的夹角的正弦值为 ;…11分 2 (3)'HG⊥AG,HG⊥DG,AG∩DG=G,AG,DGC平面ACFD, 所以HGL平面ACFD, 因为EM//HG,所以EM⊥平面ACFD, 因为EMc平面DEF,所以平面DEF⊥平面ACFD, 在三棱锥P-DEF中，设△DEF的外心为O, D △PDF的外心为O2, 过点O作直线I⊥平面DEF, 过点O,作直线l,⊥平面ACFD,4,1交于点O, 此时，OE=OD=OF=OP, 即三棱锥P-DEF的外接球球心为O, 第10页共11页 在△DEF中，ED=EF=√5，EM=√5，DF=2N2, 设△DEF外接圆半径为r,则(5-)2+（√2）2=r2, 解得r=53 6 所以M0=5 6 在平面0M0中，四边形M0,o0,为矩形，即w0=00,=5 在△PDF中，∠FDP-年，设△PDF外接圆半径为R, 由正弦定理得，2R=P,即R=5即， 、x 2 sin 4 因为0P=00+R+p 所以要让三棱锥P-DEF的外接球半径OP最小，即只要让FP最小， 因为P在AD上动，FPn=FD·sin∠FDP=2, 所以ODn= 5v5 6 即三棱锥P-DBF的外接球半径的最小值为5V 6 因为FP=AC=2,CF/1AP,所以四边形ACFP是平行四边形， 所以AP=CF=1,此时P为线段AD上靠近A的三等分点.·17分 第11页共11页