第3单元 12 第21讲 双变量不等式的证明（PPT课件）-【满分思维】2027年高考一轮总复习·数学（人教B版）

该高中数学高考复习课件聚焦“双变量不等式的证明”核心考点，依据高考评价体系明确导数应用、函数单调性与极值的考查要求，通过梳理消参减元法、整体代换法等四大策略，结合安徽合肥一模等模拟题分析考点权重，归纳极值点相关证明等常考题型，体现备考针对性。 课件亮点在于“策略拆解+真题变式+思维建模”，如例1用消参减元法结合根与系数关系转化双变量，培养数学思维的推理能力，例2通过整体代换实现变量归一，发展数学语言的模型观念。提供课时作业分层训练，帮助学生掌握构造函数等得分技巧，教师可据此系统开展专题复习，提升备考效率。

第21讲 双变量不等式的证明 1 课堂考点探究 课时作业 2 双变量不等式的证明常用策略: （1）消参减元法：如果双变量与函数极值点相关，先求出函数 极值点满足的方程，再利用根与系数的关系对双变量进行消元或转 化，最后结合导数求解. （2）整体代换法：整体代换,变量归一,通过等价转化,将双变量 问题等价转化为一个新变量表示的不等式,再构造以新变量为主元的 函数,通过研究此函数的单调性及极值等,从而使问题巧妙地得到解决, 我们将这种解决问题的思想称为变量归一思想. 3 （3）构造差函数法：对于双变量不等式，可通过移项构造差函 数，将问题转化为证明差函数的单调性或最值问题.对差函数求导， 分析其单调性，从而证明不等式. （4）主元思想:对于多元不等式的证明,可以选择其中一个元为主 元,其他的元统统视为参数（常数）,构造主元函数,利用导数来证明.#1.4 探究点一 消参减元法 例1 [2025·安徽合肥一模] 已知函数 ，其中 . （1）讨论函数 的单调性； ［思路点拨］求导，分类讨论函数的单调性； 课 堂 考 点 探 究 5 解：由题意得，函数的定义域为，且 ， ， 令， ， 当，即时，恒成立，则 ，所 以在 上单调递减； 当，即时，函数 有两个零点： ， . 课 堂 考 点 探 究 6 当变化时，， 的变化情况如下表所示： - 0 0 - 单调递减 单调递增 单调递减 综上，当时，在 上单调递增，在 和上单调递减；当时， 在 上单调递减. 课 堂 考 点 探 究 7 （2）若函数有两个极值点， ，证明： . ［思路点拨］由函数有两个极值点，确定 的范围，代 入函数值，构造函数，利用根与系数的关系进行消元，构造函数， 借助导数判断函数单调性求解. 课 堂 考 点 探 究 8 证明：由（1）知，当时，有两个极值点 ， ， 则，是方程 的两个根，由根与系数的关系，得 ，，所以 . ， 课 堂 考 点 探 究 9 令，，则 ， 当时，，所以在 上单调递减，所以 ，所以 . 课 堂 考 点 探 究 总结反思 破解含双变量不等式的证明问题的关键: 一是转化,即由已知条件入手,寻找双变量所满足的关系式,并把含双变 量的不等式通过消去一个变量,转化为含单变量的不等式问题; 二是巧构造函数,再借助导数,判断函数的单调性,从而求其最值; 三是回归双变量的不等式的证明,把所求的最值应用到双变量不等式, 即可证得结果. 课 堂 考 点 探 究 11 变式题 [2025·河南安阳一模] 已知点为函数 与 的图象的公共点，且曲线与曲线 在点 处有相同的切线. （1）若函数与 的图象有两个交点，求实数 的取值范围； 课 堂 考 点 探 究 12 解：由题可得， ， 根据题意，得解得所以 . 设,，则 ， 当时，，当时， ，所以 ， 因为当时， ，当 时， ， 所以要使两个函数图象有两个交点，只需 ，解得 ，所以实数的取值范围为 . 课 堂 考 点 探 究 13 （2）若函数有两个极值点， ， 且，证明： . 证明：由题知，其定义域为 ，则 ， 令，得，其判别式 ，即 ， 函数有两个极值点，，等价于方程 在 内有两个不等实根，所以，故 ， 课 堂 考 点 探 究 14 又，所以，所以 ， . ， 令， ， 则 ， 因为，所以 ， 所以在 上单调递减， 所以 ， 所以 ， 所以 . 课 堂 考 点 探 究 探究点二 整体代换法 例2 已知，证明： . ［思路点拨］原不等式可化为 ，换元，令 ，原 不等式可化为，构造函数 ， 利用导数讨论其单调性，即可得证. 课 堂 考 点 探 究 16 证明：因为，所以 等价于 ，令 ，则不等式 等价于，故只需证 . 设，则 ， 所以在 上单调递增， 所以，故 . 课 堂 考 点 探 究 17 总结反思 证明双变量不等式时,可将要求证的不等式等价变形,然后利用整体思 想换元,再构造函数,结合函数的单调性即可证得. 课 堂 考 点 探 究 18 变式题 已知函数，且 ， 证明： ． 证明：， ， 令 ，得 ，为方程的两根， ，即 ， 课 堂 考 点 探 究 19 ， ， ,令 ， 则，令 ， 则，在 上单调递减， ， 即 . 课 堂 考 点 探 究 探究点三 构造法 例3 [2025·河南洛阳三模] 已知函数 ，其中 . （1）讨论函数 的单调性； ［思路点拨］求出函数的导数，通过讨论 的范围，求出函数的单调 区间即可； 课 堂 考 点 探 究 21 解：由题可得，若，则 ， 当时，， 单调递增， 当时，，单调递减.若，由得 或. 当时，，所以当时， ， 单调递增， 当时，，单调递减，当 时， ， 单调递增； 当时，， 单调递增； 课 堂 考 点 探 究 22 当时，，所以当时，， 单调递增， 当时，，单调递减，当 时， ， 单调递增. 综上，当时，在上单调递减，在 上单调递增； 当时，在，上单调递增，在 上单调递减；当时，在上单调递增；当 时，在，上单调递增，在 上单调递减. 课 堂 考 点 探 究 （2）当时，证明： 其中， . ［思路点拨］问题转化为证明 恒成立，设 ，则上式等价于 ，要证明 对任意， 恒成立，只需 证明在 上单调递增，根据函数的单调性 证明即可. 课 堂 考 点 探 究 24 证明：由 ，得 . 设，则上式等价于 ， 要证明对任意， 恒成立， 只需证明在 上单调递增， 又，所以只需证明 . 课 堂 考 点 探 究 25 令，则，当时， ， 当时， ， 所以，即， 则当 时， ， 所以； 当 时，， ， 所以 恒成立，所以原不等式成立. 课 堂 考 点 探 究 总结反思 双元变量分离，构造不等号两侧形式一样的新函数，从而将双变量 转化为单变量问题. 课 堂 考 点 探 究 27 变式题 已知函数 . （1）讨论 的单调性； 解：的定义域为，由 ，得 . 当时；当时，.故在 上单调递增，在 上单调递减. 课 堂 考 点 探 究 28 （2）设,为两个不相等的正数，且 ，证明： . 证明：方法一（等价转化） 由得，即 ， 由，得 . 由（1）不妨设,，则，所以 ， 所以. 课 堂 考 点 探 究 29 令 ， 则 ， 当时，，则在 上单调递减，则 ，所以 ，所以 ，由（1）得，即 . 令 ， 则 ， 当时，，则在 上单调递增，则 ，所以 ，所以 . 课 堂 考 点 探 究 由，可得 ，所以 . 由①②得 . 课 堂 考 点 探 究 方法二（最优解）可变形为 ， 所以 . 令,，则上式变为 ， 于是问题转换为证明 . 由上知，不妨设 . 由（1）知,，先证.要证 ， 即证，只需证，即证 ， 即证. 课 堂 考 点 探 究 32 令, ，则 ， 所以在上单调递增，所以 ，所以 . 再证.要证 ，因为 ，所以只需证 . 令, ，所以， 所以在 上单调递增，所以，所以， 所以 . 综上， . 课 堂 考 点 探 究 方法三（比值代换）令，，不妨设 ，由（1） 知， . 证明同方法二，再证明.设 ，则 ，由， 得 ，所以， 要证，只需证 ， 两边取自然对数得 ， 即，即证 . 课 堂 考 点 探 究 记,，则 . 记，则 ， 所以在上单调递减，所以 ，所以 ，所以在 上单调递减. 由得，所以 ，即 ，所以 成立. 综上， . 课 堂 考 点 探 究 方法四（构造函数法） 由已知得 ，令, ， 不妨设，所以 . 由（1）知，，只需证 . 证明 同方法二, 再证明 . 令 , 则 . 课 堂 考 点 探 究 令，则 ， 所以,即，所以在 上单调递增. 因为，所以，即 ， 又因为 ， 所以,所以 ， 整理得,即 . 因为，所以，即. 综上， . 课 堂 考 点 探 究 探究点四 主元法 例4 已知函数，当， 时，求证： ． ［思路点拨］可以把看成参数， 看作主元变量，构造函数证明即可. 课 堂 考 点 探 究 38 证明：设函数 ， 则 ， 令得，令，得，所以 在 上单调递减，在上单调递增，所以 ， 所以 ，即 . 课 堂 考 点 探 究 39 变式题 已知函数， ，若 ,，当时，证明： ． 证明：令 ， 则，所以当时，， 单 调递增;当时，， 单调递减. 故 课 堂 考 点 探 究 40 令 ， 则 ， 当时，，则在 上单调递增，所以 ，即 ，即 ，所以 ． 课 堂 考 点 探 究 课时作业 42 基础热身 1.已知函数， . （1）当时，求函数的图象在点 处的切线方程； 解：当时，，则，又因为 ， 所以切线的斜率 ， 故所求切线方程为，即 . 课 时 作 业 1 2 3 4 1 2 3 4 43 （2）若，正实数，满足 ，求 证： . 证明：当时， .由 ，得 ， 即， 令 ，，则，易知 在 上单调递减，在上单调递增，所以 ， 所以,又,,所以 . 课 时 作 业 1 2 3 4 1 2 3 4 44 2.已知函数 . （1）讨论函数 的单调性； 解：函数的定义域为， . ①当时，在上恒成立，所以在 上 单调递增. ②当时，令，得，所以 在 上单调递增； 令，得，所以在 上单调递减. 课 时 作 业 1 2 3 4 1 2 3 4 45 综上，当时，在上单调递增；当时， 在 上单调递增，在 上单调递减. 课 时 作 业 1 2 3 4 1 2 3 4 46 （2）若在上恒成立，求实数 的值； 解：易得，由（1）知，当 时，不满足题意， 故， 则在上单调递增，在 上单调递减， 所以，故只需 即可. 课 时 作 业 1 2 3 4 1 2 3 4 47 令，则 ，所以当 时，，当时，，所以 在上单调递减，在上单调递增， 所以 ，即. 又因为 ， 所以，解得 . 课 时 作 业 1 2 3 4 1 2 3 4 （3）在（2）的条件下（提示：可以用第（2）问的结论），对任意 的，证明： . 证明：,因为 ,所以. 由（2）得，当时，（当且仅当 时，等号成立）， 令，则 ，因为，所以，即. 因为 ，所以，即 . 课 时 作 业 1 2 3 4 1 2 3 4 49 综合提升 3.[2025·重庆期末] 已知函数 . （1）求 的最值； 解：由,得 ， 由得，由得，所以 在 上单调递增，在上单调递减，所以 的最大值 为 ，无最小值. 课 时 作 业 1 2 3 4 1 2 3 4 50 （2）若函数有两个不同的零点,，证明： . 证明：由题知 两式相减得，即 ， 故要证，只需证 ， 即证 ， 即证 ， 不妨设，令，则只需证 . 课 时 作 业 1 2 3 4 1 2 3 4 51 设， ， 则， ， 设， ， 则在 上恒成立， 所以在 上单调递减， 所以，所以在 上单调递减，所以 ，故原不等式得证. 课 时 作 业 1 2 3 4 1 2 3 4 4.[2026·武汉9月调考] 已知函数在区间 和内各恰有一个零点，分别记为和 . （1）求实数 的取值范围； 解：令，若，则 是一个零点，但不是题设区间 内的零点，所以的两个根分别在区间和 内，故只需，所以 . 课 时 作 业 1 2 3 4 1 2 3 4 53 （2）记曲线在点 处的切线与两坐标轴围成的三角形 面积为，求 的最大值； 解：由题可得 ，结合（1）知 ，所以曲线在点 处的切线方程 为， . 令，则 ，又 ，所以，所以 ， 易知，则，且 ， 课 时 作 业 1 2 3 4 1 2 3 4 54 所以 . 令，则 ，则 ， 当时，，当时，，所以 在 上单调递增，在上单调递减，所以 ， 所以的最大值为 . 课 时 作 业 1 2 3 4 1 2 3 4 （3）若函数有三个零点，， ，其中 ，证明： . 证明：方法一：记的导函数为 ，则 ，显然在 上单调递增， 又，当 时 ，所以存在 ，使得 ， 当时，，则在 上单调递减， 当时，，则在 上单调递增. 课 时 作 业 1 2 3 4 1 2 3 4 56 又，当或 时， ， 所以存在，，使得 ， 当或时,,则在, 上单调递增， 当时，，则在 上单调递减， 结合题设，可知,, 依次在区间，，上，如图. 设曲线在点 处的切线的 方程为 ,则 ， 设 ， ，则， 课 时 作 业 1 2 3 4 1 2 3 4 记的导函数为 ，则， 故在上单调递减， 又 ，所以当时， ， 当时， ， 所以在 上单调递增，在 上单调递减， 则 ，所以 . 若直线与直线 的交点横坐标为 ,则 ， 由, , ， 得的斜率 ，故. 课 时 作 业 1 2 3 4 1 2 3 4 58 设曲线 在点处的切线 的方程为 ， 则 ，设 ，且 ，则 ， 记的导函数为 ，则， 故 在 上单调递增， 又 ,所以当时, ,当时, ， 所以在 上单调递减，在 上单调递增， 则 ，所以 . 课 时 作 业 1 2 3 4 1 2 3 4 若直线与直线 的交点横坐标为 ,则 ， 由,,是关于 的方程 的根，满足和，则 的斜率 ，故 ， 综上， . 由上知， ， 又，所以 ，所以 ， 所以 ，则 ，故 ，得证. 课 时 作 业 1 2 3 4 1 2 3 4 方法二： , 设 ,则 , 因为,所以在 上单调递增， 注意到, ，所以存在唯一的 ，使 ， 所以当 时，，当 时， ，所以在 上单调递减，在 上单调递增， 课 时 作 业 1 2 3 4 1 2 3 4 61 所以至多有两个零点，且当 , 时， , , 当 时， ,在和 内各有一个零点,，且在上单调递增，在 上单 调递减，在上单调递增，, 作出 的大致图象如图，当且时， ， 由(2)知曲线在 处的切线为 ， 在 处的切线为 ， 课 时 作 业 1 2 3 4 1 2 3 4 62 设直线与直线, 分别交于点 ,，结合图象，得 .. 又, ，所以 ，故 . 课 时 作 业 1 2 3 4 1 2 3 4 $