第3单元 08 第19讲 第2课时 利用导数证明不等式（PPT课件）-【满分思维】2027年高考一轮总复习·数学（人教B版）

该高中数学高考复习课件聚焦“导数证明不等式”专题，依据高考评价体系梳理了求最值型、主元思想、构造双函数三大核心方法，通过2024全国甲卷等真题实例，明确构造辅助函数、主元转换等高频题型，构建系统解题思路。 课件亮点在于“真题解析+方法归纳+素养提升”，如例2用主元思想将a放缩简化证明，培养数学思维的推理能力，通过双函数最值比较法（例3）强化数学语言的模型表达。特设易错点分析和变式训练，助力学生掌握得分技巧，教师可据此高效指导复习。

第19讲 导数与不等式 / 第2课时 利用导数证明不等式 / 1 课堂考点探究 课时作业 2 构造函数证明不等式:构造法证明不等式是指在证明与函数有关 的不等式时,根据所要证明的不等式,构造与之相关的函数,利用函数的 单调性、极值、最值加以证明. （1）求最值型证明不等式：证明不等式 或 转化为证明或 ,进而 构造辅助函数 ，求其最值即可; 3 （2）主元思想证明不等式：对于多元不等式的证明，可以选择 其中一个元为主元，其他的元统统视为参数（常数），构造主元函 数，利用导数来证明； （3）构造双函数证明不等式：若直接构造函数求导,难以判断符 号,导函数的零点也不易求得,因此函数单调性与极值点都不易获得,则 可构造函数和 ,利用其最值求解. 4 探究点一 求最值型证明不等式 例1 [2025·山东烟台模拟] 已知函数 . （1）讨论 的单调性； ［思路点拨］对求导得，分和 两 种情况讨论 的单调性即可； 课 堂 考 点 探 究 5 解：，其定义域为 ，则 . ①当时，,在 上单调递增. ②当时，若，则，在 上单调递 增；若，则,在 上单调递减. 综上，当时，在上单调递增;当时， 在 上单调递增，在 上单调递减. 课 堂 考 点 探 究 6 （2）证明：当时， . ［思路点拨］要证 ，只需证 ，结合（1）的结论得，即证 恒成立，令 , ，利用导数求出 的最大值即可得证. 课 堂 考 点 探 究 7 证明：当时，要证 ，只需证 ，由（1）得， ， 即证恒成立. 令 , ，则, 当 时，, 单调递增， 当时，,单调递减， 的最大值为 ，即， 恒成立，原命题得证. 课 堂 考 点 探 究 8 总结反思 求最值型证明不等式一般分下面两种情况:（1）先构造再证明,即先 直接利用左减右构造函数,再证明 或在区间上恒成立;（2）利用端点效应构造证明,即先求出其中一个函数的最大值,再证明 ,证明时可 以构造函数 . 课 堂 考 点 探 究 9 变式题 已知函数， . （1）求 的单调区间和极小值； 解：函数， ，求导得 . 当时，,单调递增；当 时， ,单调递减；当时，, 单调递增； 当 时，,单调递减. 所以 的单调递增区间为,，单调递减区间为, . 的极小值为 . 课 堂 考 点 探 究 10 （2）证明：当时， . 证明：当时，令 ， 求导得 ， 令， ，求导得 ，当且仅当 时等号 成立， 所以函数在上单调递增，则 ，所以 ,所以在 上单调递增， 所以 ， 所以 . 课 堂 考 点 探 究 11 探究点二 主元思想证明不等式 例2 [2024· 全国甲卷] 已知函数 ． （1）求 的单调区间； ［思路点拨］求导，分类讨论 与0的关系，判断导函数的符号，从 而得出原函数的单调区间； 课 堂 考 点 探 究 12 解：由题可得，的定义域为， . 当时，恒成立，故在 上单调递减； 当时，若，则， 单调递增，若 ，则， 单调递减. 综上所述，当时，的单调递减区间为 ，无单调递 增区间； 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为 . 课 堂 考 点 探 究 13 （2）若，证明：当时， 恒成立． ［思路点拨］利用主元思想，根据题设条件 将问题转化成证明 当时， 恒成立即可. 证明：当，且 时， ， 令，要证 恒成立，只 需证 恒成立. 易知,令 , 则 . 课 堂 考 点 探 究 14 显然在上单调递增，则 ，即 在 上单调递增， 故，即在 上单调递增， 故 ，得证. 课 堂 考 点 探 究 15 总结反思 根据条件，巧妙地利用 的范围进行放缩，消去一个“元”，大大简化了 问题的难度.选取适当的字母作为主元，往往可以起到化难为易的作用. 课 堂 考 点 探 究 16 （1）求 的单调区间； 解：由题可得,当 时， 恒成立，则的单调递增区间为 . 当时，关于的方程 的判别式 , 当时，方程的两根， ， 可得当时，的单调递增区间为 , ,单调递减区间为 . 变式题 已知函数 . 课 堂 考 点 探 究 当时，的单调递增区间为 . 当时，的单调递增区间为 ,单调递 减区间为, . 课 堂 考 点 探 究 （2）若,求证：当时， . 证明： . 当时，令,,则 在 上单调递增，故 . 当时，要证,只需证 , 即证 . 课 堂 考 点 探 究 19 设, ,则 当 时，,故在 上单调递减； 当时，,故在 上单调递增. 所以当时，,即当时， . 故原不等式得证. 课 堂 考 点 探 究 探究点三 构造双函数证明不等式 例3 设函数,曲线在点 处的切 线方程为 . （1）求, 的值； ［思路点拨］根据导数的运算和导数的几何意义即可求得结果； 解：函数的定义域为 ， 由题意可得，，故， . 课 堂 考 点 探 究 21 （2）证明: . ［思路点拨］由（1）可得 的解析式，对要证的不等式进行变形， 构造两个函数，分别利用导函数求出两函数在定义域内的最值，进 而得证. 课 堂 考 点 探 究 22 证明：由（1）知，，又，故 等 价于 . 设函数 ， 则 . 当时，，当时， ， 故在上单调递减，在上单调递增，故 的最小值 为 . 课 堂 考 点 探 究 23 设函数，，则 . 当时，，当时，，故 在 上单调递增，在上单调递减，故 的最大值为 . 综上，当时，，即 . 课 堂 考 点 探 究 总结反思 当通过参变分离得到的函数直接求导比较复杂或无从下手时,可将待 证不等式进行变形,构造两个都便于求导的函数,即转变为两个函数之 间最值的比较,从而找到可以传递的中间量,达到证明的目的. 课 堂 考 点 探 究 25 变式题 [2025·苏州模拟] 已知函数 . （1）讨论 的单调性； 解：由函数，可得其定义域为 ， 且 . 当时，，此时在区间 上单调递增； 当时，由，可得，由 ，可得 ， 此时在区间上单调递增，在区间 上单调递减. 课 堂 考 点 探 究 26 （2）当时，证明：对任意的 ， 恒成立. 证明：当时，要证 ，只需证 ， 由（1）知，当时，在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，所以 ，故 . 课 堂 考 点 探 究 27 令 ， 则，当时，， 单调递减； 当时，， 单调递增. 所以，所以 . 综上，当时，对任意的， 恒成立. 课 堂 考 点 探 究 课时作业 29 基础热身 1.已知函数 . （1）求函数在区间 上的最值; 解： , 当时, , 单调递增; 当时,, 单调递减. 又,, , 函数在区间上的最大值为 ,最小值为0. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 30 （2）当时,证明: . 证明:记 , ,则 . 当时,,单调递增;当时,, 单 调递减. 则的最大值为,因为,所以 , 所以当时, . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 31 2.[2023·新课标Ⅰ卷] 已知函数 . （1）讨论 的单调性； 解：因为，所以定义域为， . 当时，，故 恒成立， 此时在 上单调递减； 当时，令，解得，当 时，，则在上单调递减，当 时， ，则在 上单调递增. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 32 综上，当时，在上单调递减；当时， 在 上单调递减，在 上单调递增. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 33 （2）证明：当时， . 证明：方法一：由（1）得， ，要证 ，即证 ，即证 . 令，则 . 令，可得 ； 课 时 作 业 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 34 令，可得 . 所以在上单调递减，在 上单调递增，所以 ，所以 ， 所以当时， . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 方法二：令，则，因为在 上 单调递增，所以在 上单调递增， 又，所以当时，，当 时， ， 所以在上单调递减，在 上单调递增， 所以，即，当且仅当 时，等号成立. 因为，当且仅当 ， 课 时 作 业 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 36 即 时，等号成立， 所以要证，即证 ， 即证 . 令 ， 则 . 令，可得 ； 令，可得 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 所以在上单调递减，在 上单调递增，所以 ，所以 ， 所以当时， . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 综合提升 3.已知函数的图象在 处的切线方程是 . （1）求, 的值; 解：函数的定义域为,由已知得 , 则解得 课 时 作 业 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 39 （2）若函数,求 的单调区间与极值; 解：由题意得,则 . 当时,,单调递减,当时, , 单调递增, 所以的单调递减区间为,单调递增区间为,所以 的极小值为 ,无极大值. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 40 （3）证明: . 证明:要证,即证,只需证 . 令,则,当时,, 单调 递增, 当时,,单调递减,所以 . 由（2）知,当时,,又 的最小值点与 的最大值点不同,所以,即 , 所以 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 41 4.[2025·日照一模] 已知函数 . （1）当时，讨论函数 的单调性. 解：函数的定义域为,，令 ， 得，令，得，所以函数在 上单 调递增，在 上单调递减. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 42 （2）当时，若曲线上的动点 到直线 距离的最小值为（ 为自然对数的底数）. ①求实数 的值； 课 时 作 业 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 43 解：由（1）知.设与直线 平行的 直线与曲线相切于点,由 ，得 ， 则，所以 ， 又 ，所以切点的坐 标为.由（1）可知，切点在直线 的上方， 课 时 作 业 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 44 所以，整理得 ， 设，则,所以，因为,所以 . 设,，则在 上恒成立.所以 在上单调递增. 又因为，所以 ,解得， 所以方程只有一个解.故 的值为1. （也可构造 ） 课 时 作 业 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 ②求证： . 证明：当时，，令 , ， 因为 , 所以在 上单调递增， 所以，所以 成立； 当时，要证 ，只需证 ， 课 时 作 业 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 46 设, ，则 ， 设,，则 ,当 时，,, ，所以 , 所以在 上单调递减， 所以，即,所以 在 上单调递减，所以 ，即当 时，成立. 综上，当 时， . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 5.已知函数, ． （1）讨论 的单调性； 解：函数（）的定义域为 ，且 ． 当时，对任意, 恒成立， 所以在区间 上单调递增； 课 时 作 业 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 48 当时，令，解得 ，当 时，,则在区间 上单调递增，当 时，,则在区间 上单调递减． 综上所述，当时，在区间上单调递增；当 时， 在区间上单调递增，在区间 上单调递减． 课 时 作 业 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 49 （2）当时，证明： . 证明：当时，因为，所以要证 ，只需证 ，只需证 ，只需证 ． 令，则，当 时， , 单调递减， 课 时 作 业 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 50 当时，, 单调递增，所以 ，所以（当且仅当 时 等号成立），所以式成立，当且仅当 时，等号成立． 令，则在 上单调递增，又 , ， 所以存在，使得,所以 ． 课 时 作 业 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 $