第3单元 09 第19讲 第3课时 放缩法证明不等式（PPT课件）-【满分思维】2027年高考一轮总复习·数学（人教B版）

该高中数学高考复习课件聚焦“放缩法证明不等式”核心考点，依据高考评价体系梳理了指对放缩、数列放缩、三角放缩三类考查方向，通过近五年真题分析明确“指对不等式证明”占比45%、“数列求和不等式”占30%的高频考点，构建了“基础放缩公式+题型适配策略”的完整备考体系。 课件亮点在于“考点分层突破+高考真题实战”的设计，如以例1“e^x>ln(x+2)”为例，示范“e^x≥x+1”“lnx≤x-1”的指对放缩技巧，培养学生的数学思维与推理能力。特设“易错点警示”和“答题模板”，助力学生掌握放缩尺度，教师可依托此课件精准定位学生薄弱环节，实现高效复习冲刺。

第19讲 导数与不等式 / 第3课时 放缩法证明不等式 / 1 课堂考点探究 课时作业 2 放缩法证明不等式，即把要证的不等式一边适当地放大 （或缩小），使之得出明显的不等量关系后，再应用不等量大、小 的传递性，从而使不等式得到证明的方法. 常用的放缩方式有三类：一是利用不等式放缩.根据函数结构， 选择不同的不等式，如指数不等式、对数不等式、三角不等式、均 值不等式等进行放缩，使函数简单化，从而降低难度.从图象角度看， 是以直代曲的思路.二是利用已证结论放缩.解答题的上一问中证明的 不等式，或者推导过程中证明出的结论，为后续的证明提供放缩依 据，即利用已证结论进行放缩，化繁为简.三是利用参数范围放缩.函 3 数解析式中含有参数，且已知参数范围，证明不等式成立，可以从 参数的范围入手，在参数给定的范围内，结合不等式的结构进行第 一步放缩，达到减少变量，使函数结构简单的目的. 提示:在构造函数证明不等式时,常会用到一些放缩技巧:（1）舍 去一些正项（或负项）;（2）在和或积中换大（或换小）某些项;（3） 扩大（或缩小）分式的分子（或分母）;（4）构造均值不等式 （通常结合代换法,注意对指数的变换）.#1.2 探究点一 指对放缩证明一元不等式 例1 已知函数，当时，求证： . ［思路点拨］先证明不等式 ，再证明不等式 ，进而可证 . 证明：设 ，则 ， 当时，，当时，，所 在 上单调递减，在 上单调递增，所以 ，所以（当且仅当 时取等号）. 课 堂 考 点 探 究 5 设，则 ， 当时，，当时，， 故 在上单调递减，在 上单调递增，所以 ， 所以（当且仅当 时取等号）. 因为与 的等号不能同时取到，所以当 时， . 课 堂 考 点 探 究 总结反思 利用导数证明不等式时，经常会遇到和 与其他代数式结合的问 题，对于这类问题，可以考虑先对和 进行放缩，使问题简化， 简化后再构造函数进行证明.常见的放缩公式如下： （1），当且仅当 时取等号； （2），当且仅当 时取等号. 课 堂 考 点 探 究 7 变式题 已知函数，证明：当 时， ． 证明：构造函数，则，令 ， 得，令，得 ， 所以在上单调递增，在 上单调递减，所以 ，所以（当且仅当 时取等号）. 构造函数，，则， ， 课 堂 考 点 探 究 8 令，得，令，得 ， 所以在上单调递增，在 上单调递减，所以 ，所以（当且仅当 时取等号）. 因为，所以 ， 又，所以，当且仅当 ， 时等号成立，所以当时， . 课 堂 考 点 探 究 9 探究点二 指对放缩证明数列不等式 例2 已知函数 . （1）求 的最大值； ［思路点拨］利用导数研究函数 的单调性，进而可求得最大值； 课 堂 考 点 探 究 10 解：的定义域为， . 令， ， 则，在 上单调递减， ， 当时，，， 单调递增， 当时，，， 单调递减， . 课 堂 考 点 探 究 11 （2）求证：， . ［思路点拨］由（1）得到，令 ,得到 ，进而证明. 课 堂 考 点 探 究 12 证明：由（1）知，即 ，当且仅 当时等号成立，即，当且仅当 时等 号成立. 令，， ，即 ， ，即 ， . 课 堂 考 点 探 究 13 总结反思 用导数方法来证明形如 （或 的数列型不等式,对于多数同学来说构造是 难点,即构造一个不等式,它的一般解题思路为:①令 （注:有时需要简单放缩或变形,若证 ，则令,其中 ）; ②证明,而这一步基本上用导数法来完成（即把 作为自变量 ,构造函数,然后用导数法证明）;③自累加 （若 ,则采用累乘法）,得证. 课 堂 考 点 探 究 14 变式题 已知为自然对数的底数，函数满足 ， ，函数 ， （1）求函数 的极值点和极值； 解：因为，所以 ， 当时，，当时， ， 所以函数在上单调递减，在 上单调递增，所以函 数有一个极小值点0，极小值为 ，无极大值点和极大值. 课 堂 考 点 探 究 15 （2）若在上单调递增，求实数 的最大值； 解：设,则 ， 因为在上单调递增，所以 ，即 对 恒成立， 所以，所以实数的最大值为 . 课 堂 考 点 探 究 16 （3）求证：， . 证明：当时， ，则 ， 又 ，所以，故 . 由（2）知，当，时， ， 课 堂 考 点 探 究 17 所以在上单调递增，所以 ，即 ，所以 ， 即 . 在①式中分别令,, , ，累加得 ,所以 ， . 课 堂 考 点 探 究 探究点三 三角放缩证明不等式 例3 已知函数， .求证： （1）直线是曲线 的一条切线； ［思路点拨］对函数 求导，根据切线斜率为2，求出切点坐标， 进而得到切线方程，即可证明； 课 堂 考 点 探 究 19 证明：由，得 . 设切点坐标为，由，得 ，所以 ， 则切点坐标为，则曲线在点 处的切线方程为 ，即，所以直线 是曲线 的一条切线. 课 堂 考 点 探 究 20 （2）当时， . ［思路点拨］先证明 ，再利用放缩法证明 ,然后再利用 放缩证明 即可. 课 堂 考 点 探 究 21 解：令 ， 则，当时，， 单调递增， 当时，， 单调递减， 所以，即 . 当时， 要证，只需证 ， 即证 . 课 堂 考 点 探 究 22 令，则在 上恒成立，所 以在上单调递增，所以当 时， ，即，所以当 时， ，故只需证当时， . 令 ，则 ，所以在 上单调 递减，所以当 时，， 即 . 综上，当时， . 课 堂 考 点 探 究 总结反思 对于含有三角函数的不等式的证明，其三角函数部分可以采用有界 性或常见的三角不等式进行放缩处理，为整个不等式的证明创造条 件.常见的三角放缩不等式有: （1），；（2）, ； （3）,；（4）, ；（5） , . 课 堂 考 点 探 究 24 变式题 已知函数 . （1）证明：当时， ； 证明：令，则 ，令 ，则对任意 恒成立， 故在 上单调递增， 所以当时，，故在 上单调递增， 所以当时，，即当时， . 课 堂 考 点 探 究 25 （2）当时，证明：不等式 对任意 恒成立. 解：当时，由（1）得，且 . 当,且时，要证 ， 只需证 ，即证 . 当时，显然成立；当时，即证 . 课 堂 考 点 探 究 26 令，，则 . 令，，则，当时， ， 所以在上单调递增，所以当时， ， 所以在上单调递增，所以 ，即 . 综上，当时，不等式对任意 恒 成立. 课 堂 考 点 探 究 课时作业 28 基础热身 1.[2025·河南南阳模拟] 已知函数 . （1）求曲线在点 处的切线方程； 解：由，得，则 ， 又，所以曲线在点处的切线方程为 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 29 （2）证明：， 恒成立. 证明：设,，则 ，所 以函数在上单调递减，所以 ，即 ，所以当时， . 设,，则，所以函数 在 上单调递增， 所以，即 ，即 ，所以 ，即 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 30 2.已知函数,其中 为正实数. 证明:当时, . 证明：令,其定义域为 , 则 . 当时,,当时,,在 上 单调递增,在 上单调递减, , , 即,当且仅当时取等号.当时, , 课 时 作 业 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 31 又, . 要证 ,即证 ,只需证 ,即证 . 令, , 则 . , 恒成立, 在 上单调递增, , 当时, . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 3.证明：当时， . 证明：当时，由,得,当且仅当 时取 到等号.,,当且仅当 时取到等号. 所以直线为曲线和曲线 的公切线， 但切点不同，所以 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 33 综合提升 4.[2025·锦州二模] 已知 . （1）若在上单调递增，求 的取值范围； 解：若在 上单调递增， 则对 恒成立， 设， ， 则，所以在 上单调递减， 所以只需，即，所以的取值范围是 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 34 （2）若的图象在点处的切线方程为，求与 的 值，并证明当时， . 解：因为， ， 所以的图象在点处的切线方程为 ， 根据题意，该切线方程为，所以解得 所以，因为，所以 ， 下面证明： . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 35 方法一：先证，即 ，令 ，则，所以 在 上单调递增，所以，即 . 再证，即 ，令 ，则 ， 当时，，当时，，所以 在 上单调递减，在 上单调递增， 所以，即，所以 . 由①②得 ，所以当时， . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 36 方法二：设，则 ，因为 与在 上均单调递增， 所以在 上单调递增. 因为，，所以存在 ， 使得，所以，即 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 当时，，当时， ， 所以在上单调递减，在 上单调递增， 所以，当且仅当 时等号成立， 因为，所以，即，所以当 时， . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 5.已知函数， . （1）当时，恒成立，求实数 的取值范围； 解：令，则 . 当时，，则函数在 上单调递增； 当时，，则函数在 上单调递减. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 39 所以，所以，当且仅当 时等号成 立，所以当时，，即 ； 当时，取，因为 ，且 ，所以 ，故 ，不符合题意. 综上所述，实数的取值范围为 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 40 （2）若，证明： . 证明：由（1）可得，当时，，当且仅当 时等号成立，则当时，，可得 ，即 ，即，当且仅当 时等号成立，故当 时， . 令，,则，所以 ， 即，所以 ， ,,2, ,. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 41 令 ，则 ，且不恒为零，所以函数在 上单调递增，所以 ， 则 ，所以 ，,,2, , ， 所以当 时， 课 时 作 业 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 $