第2单元 09 第12讲 对数与对数函数（PPT课件）-【满分思维】2027年高考一轮总复习·数学（人教B版）

该高中数学高考复习课件聚焦“对数与对数函数”专题，依据课标要求覆盖对数概念、运算性质、函数图象与性质及反函数等核心考点，通过梳理近五年高考真题明确比较大小、解对数不等式等高频题型，构建知识网络与题型体系，体现高考备考的针对性和实用性。 课件亮点在于“真题溯源+易错警示+思维建模”策略，如以2024北京卷生物丰富度指数题为例，用换底公式转化等式求解，培养数学思维与运算能力。针对忽略真数范围等易错点设计对点演练，教师可据此精准教学，帮助学生掌握得分技巧，提升高考冲刺效率。

第12讲 对数与对数函数 1 课前基础巩固 课堂考点探究 课时作业 2 1.理解对数的概念和运算性质,知道用换底公式能将一般对数转化成 自然对数或常用对数. 2.通过具体实例，了解对数函数的概念.能用描点法或借助计算工具 画出具体对数函数的图象,探索并了解对数函数的单调性与特殊点. 3.知道对数函数与指数函数互为反函数 ，且 . 课 标 要 求 3 ◆ 知识聚焦 ◆ 1.对数的概念 在表达式且,中，当与 确定之后， 只有唯一的能满足这个式子，此时，幂指数称为以为底 的对数， 记作_______,其中称为对数的______， 称为对数的______. 以10为底的对数称为常用对数，记作_____. 以 为底的对数称为自然对数，记作_____. 底数 真数 课 前 基 础 巩 固 4 2.对数的性质 （1） ___； 0 （2） ； （3）___且， . 课 前 基 础 巩 固 5 3.对数的运算法则与换底公式 （1）运算法则:如果且,, ，那么 _______________; _______________； ________ . 课 前 基 础 巩 固 6 （2）换底公式与推论 换底公式：且,,且 . 推论：________, . 课 前 基 础 巩 固 7 4.对数函数的概念、图象与性质 概念 函数且 叫作______函数 底数 图象 对数 课 前 基 础 巩 固 8 定义域 ________ 值域 ___ 性质 过定点______，即当时， 在区间 上是____函数 在区间 上是____函数 增 减 续表 课 前 基 础 巩 固 9 5.反函数 一般地，如果在函数中，给定值域中任意一个 的值，只有 唯一的与之对应，那么___是___的函数，这个函数称为 的 反函数. 课 前 基 础 巩 固 10 常用结论 1.,且,, , . 2.对数函数且的图象过点,, . 3.如图,给出4个对数函数的图象,则 ,即在第一象限不同的 对数函数图象从左到右底数逐渐增大. 课 前 基 础 巩 固 11 ◆ 对点演练 ◆ 题组一 常识题 1.［教材改编］化简且， 且 ，且 的结果是___. 1 [解析] 利用对数的换底公式可得结果为1. 课 前 基 础 巩 固 12 2.［教材改编］设，，，则，， 的 大小关系是__________. [解析] , , ，即， . 课 前 基 础 巩 固 13 3.［教材改编］函数 的图象恒 过定点______. [解析] 令，解得，此时 ，所以的图象恒过定点 . 课 前 基 础 巩 固 14 题组二 常错题 4.［忽略真数大于零］已知，则 ___. 4 [解析] 因为，所以 ，即，解得或. 由已知得， ，，所以，所以 . 课 前 基 础 巩 固 15 5.［忽略对底数的讨论］若函数且在 上 的最大值与最小值的差是1，则 _ ____. 2或 [解析] 当时，有，解得； 当 时，有，解得. 综上，或 . 课 前 基 础 巩 固 16 6.［对数式的变形不等价］关于的方程 的 根的个数为___. 4 [解析] 由 可得 令 , ,易知这两个函数均为偶函数，故只需求出时方程 的根的个数即可. 时，作出与 的图象，如图所示，由图可知，两函数图象的交点个数为2，即当时，方程有2个根； 同理，当 时，方程 也有2个根. 综上，满足条件的根的个数为4. 课 前 基 础 巩 固 17 探究点一 对数式的化简与求值 例1（1）（多选题）已知， ，则( ) A. B. C. D. ［思路点拨］根据指对互化可得 ，再利用换底公式、对数 运算法则依次验证各选项即可. √ √ √ 课 堂 考 点 探 究 18 [解析] ，. 对于A， ，，， ，A错误； 对于B， ，B正确； 对于C，， ， ，C正确； 对于D，，D正确. 故选 . 课 堂 考 点 探 究 19 （2）计算： ___. 9 ［思路点拨］利用对数运算法则及换底公式进行计算即可. [解析] 原式 课 堂 考 点 探 究 20 [总结反思] （1）利用幂的运算把底数或真数进行变形,化为分数指数幂的形式, 使幂的底数最简,然后运用对数的运算性质化简合并; （2）对数运算法则是在化为同底的情况下进行的,因此经常会用到换 底公式及其推论, 利用对数运算法则,在真数的积、商、幂与对数的 和、差、倍之间进行转化. 课 堂 考 点 探 究 21 变式题（1）[2024·北京卷]生物丰富度指数 是河流水质的一 个评价指标，其中, 分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数. 生物丰富度指数 越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类 数没有变化，生物个体总数由变为 ，生物丰富度指数由2.1提 高到 ，则( ) A. B. C. D. [解析] 由题意得,,则 ,即,所以 .故选D. √ 课 堂 考 点 探 究 22 （2）[2025·安徽皖南八校三联] 已知,, , ，则 ___. 4 [解析] 因为，所以 ， 又，所以 ， 所以 . 课 堂 考 点 探 究 23 （3）[2024·全国甲卷] 已知且,则 ____. 64 [解析] 因为 ,所以 ,又,所以，则 . 课 堂 考 点 探 究 24 探究点二 对数函数的图象及应用 例2（1）（多选题）已知且，且 ，若 ，则函数与 在同一坐标系中的大致图 象可能是( ) A. B. C. D. ［思路点拨］首先由得出，再分类讨论和 的取值范 围，根据指数函数和对数函数的图象即可得出答案. √ √ 课 堂 考 点 探 究 25 [解析] 因为，即，所以. 当 时，，则指数函数在上单调递减，且图象过点 ，对数函数在上单调递增且图象过点 ，将的图象关于轴对称得到 的图象，则在上单调递减且图象过点 ，故A符合题意； 当时，，同理可得，指数函数在 上单调递增，且图象过点，在 上单调递增且图象过点，故B符合题意.故选 ． 课 堂 考 点 探 究 26 （2）[2024·北京卷]已知，是函数 的图象上两 个不同的点，则( ) A. B. C. D. ［思路点拨］对于A，B可结合指数函数与对数函数的单调性判断； 对于C，D可用特殊值判断. √ 课 堂 考 点 探 究 27 [解析] 对于选项A,B,由题意不妨设,因为函数 是增函数, 所以,即,易得 , 即,因为函数 是增函数,所以 ,故A错误,B正确; 对于选项C,取,,则, ,可得 ,此时,故C错误; 对于选项D,取, ,则,,可得 ,此时 ,故D错误.故选B. 课 堂 考 点 探 究 28 [总结反思] （1）在研究对数函数的图象时一定要注意其定义域,善于利用已知函 数的性质、函数图象上的特殊点（与坐标轴的交点、最高点、最低 点等）解题. （2）熟知对数函数图象的凹凸性有利于解题. 课 堂 考 点 探 究 29 变式题（1）已知函数，则不等式 的解 集是( ) A. B. C. D. [解析] 依题意，等价于 ，在同一直角坐标系中作出， 的图象，如图所示. 由图可得 的解集为 . 故选D. √ 课 堂 考 点 探 究 30 （2）已知函数，若 ，则( ) A. B. C. D. √ 课 堂 考 点 探 究 31 [解析] ，，可分别看作 的图象上的点， ， 与坐标原点 连线的斜率. 作出 的图象，如图所示，并取点 ，，，其中 ，再将三个点分别与点 相连，得到三条直线. 由图可知，当时， . 故选A. 课 堂 考 点 探 究 32 探究点三 解决对数函数性质有关的问题 微点1 比较大小 例3（1）已知,, ,则( ) A. B. C. D. √ 课 堂 考 点 探 究 33 [解析] 方法一（中间量法） , , ,即 , .故选A. 方法二（估值法） , , , .故选A. 课 堂 考 点 探 究 34 （2）[2025· 全国一卷]若实数,, 满足 ，则,, 的大小关系不可能是( ) A. B. C. D. [解析] 方法一：设. 令 ，则,,，此时，故A有可能； 令 ，则,,，此时，故C有可能； 令 ，则,,，此时 ，故D有可能.故选B. √ 课 堂 考 点 探 究 35 方法二：由 ，得 ，即 . 令，， ，设 ,则，， , 作出函数, ， 的图象，如图所示. 课 堂 考 点 探 究 36 由图可知，当时， ，即； 当 时，，即 ; 当时， ，即; 当时, ，即; 当 时，，即; 当 时，, 即 ; 当时， ，即 .故选B. 课 堂 考 点 探 究 [总结反思] 1.比较对数式的大小的常用方法:一是将对数式转化为同底数的形式, 再根据对数函数的单调性进行比较;二是利用中间值0或1等进行比较; 三是通过构造函数，利用所构造函数的单调性确定或估算范围，进 而达到比较大小的目的. 2.估值法要记住常用对数近似值，如： ，，， ， ，， . 课 堂 考 点 探 究 38 微点2 解对数方程或不等式 例4（1）若，则 ____． 10 ［思路点拨］利用对数的运算性质化简对数方程,即可求得 的值. [解析] 因为 ，所以 ，所以，则，所以 ． 课 堂 考 点 探 究 39 （2）[2025·福建宁德三模] 设函数 ，则不等式 的解集是_ ________. ［思路点拨］先求得函数定义域，然后分与 讨论，结 合对数函数的单调性代入计算，即可得到结果. 课 堂 考 点 探 究 40 [解析] 由可得 ，由解得. 当时，, ，由可得，即 ，无解； 当时，,，由 可得，即，即 ， 解得，又，所以 . 故不等式的解集为 . 课 堂 考 点 探 究 41 [总结反思] 对于形如的不等式,一般转化为 的形 式,再根据底数的范围转化为或 .而对于形如 的不等式,一般要转化为同底的不等式来解. 课 堂 考 点 探 究 42 微点3 对数函数性质的综合问题 例5 [2025·南通模拟] 已知函数 . （1）判断并证明 的奇偶性； ［思路点拨］利用奇偶性的定义判断、证明即可； 解： 为奇函数，证明如下：由，即，解得，故函数 的定义域为 . 又，所以 为奇函数. 课 堂 考 点 探 究 43 （2）若对任意，，不等式 恒 成立，求实数 的取值范围. ［思路点拨］根据复合函数的单调性求出在 上的最小值， 把问题转化为对任意 恒成立，根据二次函 数的性质即可求得结果. 例5 [2025·南通模拟] 已知函数 . 课 堂 考 点 探 究 44 解：因为在上单调递减， 在定义域上为增函数，所以在上单调递减，故在 上的最小值为 . 要使对任意，，不等式 恒成立，只需对任意 恒成立，即对任意 恒成立. 课 堂 考 点 探 究 45 因为的图象开口向上，所以 解得，所以的取值范围是 . 课 堂 考 点 探 究 [总结反思] 利用对数函数的性质,解与对数函数有关的函数值域、最值和复合函 数的单调性等问题,必须弄清三方面的问题:一是定义域,所有问题都 必须在定义域内讨论;二是底数与1的大小关系;三是复合函数的构成, 即它是由哪些基本初等函数复合而成的.另外,解题时要注意数形结合、 分类讨论、转化与化归思想的使用. 课 堂 考 点 探 究 47 应用演练 1.[2024·天津卷]若，，，则， ， 的大小关系为( ) A. B. C. D. √ [解析] 因为在上单调递增，且 ，所以 ，即 ，即 . 因为在 上单调递增，且， 所以，即 . 综上可得， ，故选B. 课 堂 考 点 探 究 48 2.[2025·浙江金华十校模拟]已知，， ， 则( ) A. B. C. D. [解析] 由题意可知，,, . 因为，所以 . 因为，所以 .所以.故选D. √ 课 堂 考 点 探 究 49 3.已知函数在 上单调递减，则实 数 的取值范围是( ) A. B. C. D. [解析] 因为函数在 上单调递减，所以在 上单调递增且对任意 恒成立，所以 解得 .故选C. √ 课 堂 考 点 探 究 50 4.已知函数，则不等式 的解集 为_________________. [解析] 因为，所以的定义域为 ，又因为，所以函数 是偶函数. 令，因为在 上单调递增，所以，故在 上单调递增，所以在 上单调递增， 由不等式可得，则 ，两边平方得，解得或 ，所以不等式的解集为 . 课 堂 考 点 探 究 51 5.已知，设函数 ， 则 ___. 5 [解析] 由题意得，的定义域为 ， 则. 设，则 ， 在上单调递增， 当 ，即时，，当，即时， ， . 课 堂 考 点 探 究 52 课时作业 53 ◆ 基础热身 ◆ 1.已知,，则 ( ) A.3 B.4 C.2 D.5 [解析] 由，得 ，所以 . √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 54 2.函数 的图象大致为( ) A. B. C. D. [解析] 当时，，则函数在 上单调递减且的图象过点 .故选A. √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 55 3.已知，， ，则( ) A. B. C. D. [解析] ， ，， 因为 为增函数，所以,所以 ，所以 .故选A. √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 56 4.[2025⋅ 广东广州二模]声强级（单位：）由公式 给出，其中为声强（单位： ）.轻柔音乐的声强一般在 内，则轻柔音乐的声强级所在区间是( ) A. B. C. D. [解析] 依题意可得，所以 ，所以，所以 ，即轻柔音乐的声强级所在区间是 .故选C. √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 57 5.已知函数，则不等式 的解集是 ( ) A. B. C. D. √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 58 [解析] 由题可知的定义域为 . 当时, ， 令，得 ， 即，画出 与 的图象，如图所示， 由图可知在时的解集为 . 时,，由于与 均在上单调递增，则在 上单调递增，又，所以当时, . 综上所述，不等式的解集是 .故选A. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 59 6.（多选题）[2025·河北保定二模]若函数 ，则 ( ) A.为减函数 B.若，则 C.的值域为 D.若，则 √ √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 60 [解析] 因为， ，所以为增函数，的值域为 ，故选项A错误，选项C正确； 由得，则，解得 ，故选项B正确； 由得，则，解得 ， 故选项D错误.故选 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.计算： ___. 7 [解析] . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 62 8.已知函数，若的定义域为，则实数 的取值范围为_ _______；若的值域为，则实数 的取值范围为 _ _____. [解析] 若的定义域为，则的解集为 ，解得，的取值范围为. 若 的值域为，则或解得或 ，即，的取值范围为 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 63 9.已知函数 . （1）证明： 是奇函数； 证明：由题得 ，由，得 的定义域为 ，关于原点对称. 又因为 ，所以 是奇函数. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 64 （2）若在区间上单调递减，求 的取值范围. 解： ，当时，单调递减，又 在定义域上为增函数，所以在区间上单调递减，同理可得 在区间 上单调递减. 因为在区间上单调递减，所以或 ，解得或，所以的取值范围是 . 9.已知函数 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 65 ◆ 综合提升 ◆ 10.[2026·福建莆田锦江中学月考]函数 在区间上单调递增，则实数 的取值范围是( ) A. B. C. D. √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 66 [解析] 函数是 上的减函数，欲使函数在区间 上单调递增，则在区间 上单调递减，且在上恒成立,所以 即 解得,所以的取值范围是 .故选D. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11.[2026·辽宁丹东模拟]设， ，则( ) A. B. C. D. √ [解析] 因为， ， 所以 , ,,,所以, 所以 .故选D. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 68 12.（多选题）已知函数 ，则下列说法正确的是 ( ) A.函数的图象关于 轴对称 B.当时，单调递增，当时， 单调递减 C.函数的最小值是 D.函数的图象与直线 有四个交点 [解析] 的定义域为 ，关于原点对称，且满足，所以函数是偶函数，其图象关于 轴对称， 故A正确； √ √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 69 当时，，由 的性质可知其在上单调递减，在 上单调递增，所以由复合函数的单调性可知，在上单调递减，在 上单调递增，故B不正确； 当时，（当且仅当 时取等号），所以在上的最小值为，又 是偶函数，所以函数的最小值是，故C正确； 由函数的定义可得，函数 的图象与直线不可能有四个交点，故D不正确.故选 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.[2025·辽宁锦州模拟] 已知函数 ,则 的解集为_ ______. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 71 [解析] ,函数的定义域为 ，且满足 , 则 为偶函数. 当时，,则在 上单调递增，因此在上单调递增，由 得,可得,解得 , 即的解集为 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 72 14.已知函数 . （1）当时，求函数 的取值范围； 解：由题得，令 ，因为，所以 ，所以 ， 又，所以,所以当时，函数 的取值 范围为 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 73 （2）若对任意恒成立，求实数 的取值范围. 解：由（1）及对任意 恒成立，可得对任意 恒成立，所以对任意 恒成立. 由对勾函数的单调性可知，在上单调递增，所以 ，故实数的取值范围为 . 14.已知函数 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 74 ◆ 能力拓展 ◆ 15.已知函数，若 且,则 的取值范围为( ) A. B. C. D. √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 75 [解析] 易知的定义域为 ，因为 ,所以 为偶函数， , 令,,,则,且在 上单调递增. 当时，,又在 上单调递增，所以在上单调递增；当时， ,又在上单调递减，所以在 上单调递减. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 76 又在上单调递增，所以在 上单调递增，在 上单调递减， 又, 为偶函数，所以等价于,所以 ,故,则,即或 ,解得或. 综上，的取值范围为 .故选C. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.（多选题）若实数，，满足，则 ， ， 的大小关系可能是( ) A. B. C. D. √ √ √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 78 [解析] 设 ，则， ， . 如图，作出函数，，在 上的图象，则，，的值分别是函数， ，在上的图象与直线 的交点的纵坐标. 由图可知，随着的变化，可能出现，， . 故选 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 79 $