第1单元 04 第4讲 均值不等式（PPT课件）-【满分思维】2027年高考一轮总复习·数学（人教B版）

该高中数学高考复习课件聚焦“均值不等式”专题，依据课标要求梳理了公式掌握（√(ab)≤(a+b)/2）和最值问题解决两大核心考点，通过整合知识体系（算术几何平均数、重要不等式链）、分析高频题型（直接应用、变形求最值、实际应用），精准对接高考评价体系，体现备考的系统性与针对性。 课件亮点在于高考真题训练与应试技巧指导，如2025年北京卷、石家庄一模等真题解析，结合“一正二定三相等”易错点分析，指导配凑法、常数代换法等突破策略，培养学生数学思维与模型观念，助力学生掌握得分技巧，教师可据此高效开展复习教学。

第4讲 均值不等式 1 课前基础巩固 课堂考点探究 课时作业 2 1.掌握均值不等式 . 2.结合具体实例,能用均值不等式解决简单的最大值或最小值问题. 课 标 要 求 3 ◆ 知识聚焦 ◆ 1.均值不等式 （1）均值不等式成立的条件：_____________. （2）等号成立的条件：当且仅当______时取等号. （3）数_ ___称为,的算术平均数;数称为, 的几何平均数. ， 课 前 基 础 巩 固 4 2.几个重要的不等式 （1） _____ . （2） ___，同号 . （3） . （4） . 课 前 基 础 巩 固 5 3.利用均值不等式求最值问题 已知， . （1）如果积是定值，那么当且仅当时， 有最小值， 是_____.（简记：积定和最小） （2）如果和是定值，那么当且仅当时， 有最大值， 是_ __.（简记：和定积最大） 课 前 基 础 巩 固 6 常用结论 1.若，，则，当且仅当 时， 等号成立.上述不等式链也简记为调和平均数 几何平均数 算术平 均数 平方平均数. 2.当时，函数在处取得最小值 ；当 时，函数在处取得最大值 . 课 前 基 础 巩 固 7 ◆ 对点演练 ◆ 题组一 常识题 1.［教材改编］当____时, 取得最小值___. 2 [解析] ,当且仅当 时，等号成立,则 的最小值为2. 课 前 基 础 巩 固 8 2.［教材改编］函数 的最大值是_ _. [解析] 因为，所以 ，所以 ，当且仅当 ， 即 时取等号. 课 前 基 础 巩 固 9 3.［教材改编］若函数在 处取得最小值， 则 ___. 3 [解析] 因为 ，所以 ，当且仅当，即时，等号成立. 故 . 课 前 基 础 巩 固 10 4.［教材改编］用篱笆围一个面积为 的矩形菜园，则当所用 篱笆最短时，所用篱笆的长度是____；若矩形菜园一边靠墙， 墙的长度为 ，则当矩形菜园和墙平行的边长为___ 时， 所用篱笆最短. 40 9 课 前 基 础 巩 固 11 [解析] 设矩形菜园的相邻两条边的长分别为， ，则篱笆的长 度为. 由题知，由 ，可得， 所以，当且仅当 时，等号成立. 因此，当这个矩形菜园是边长为 的正方形时，所用篱笆最短， 此时所用篱笆的长度是 . 若矩形菜园和墙平行的边长为，与墙不平行的边长为 ， 则篱笆的长度为，又，所以 ， 因为在上单调递减，所以当 时所用篱笆最短. 课 前 基 础 巩 固 12 题组二 常错题 5.［没有考虑“一正”］设，则 的最小值是 _________. [解析] 因为，所以， ，所以 ，当且仅当，即 时，等号成立，所以 的最小值是 . 课 前 基 础 巩 固 13 6.［没有考虑等号能否取到］当时， 的最小值为___. 3 [解析] 设，则.由得 ， 因为函数在上单调递增，所以当 时， 取得最小值，最小值为，故 的最小 值为3. 课 前 基 础 巩 固 14 探究点一 直接用均值不等式 例1（1）[2025·北京卷]已知, ，则( ) A. B. C. D. √ 课 堂 考 点 探 究 15 [解析] 对于A,当时， ，故A错误； 对于B，取,此时 ,故B错误； 对于C，由均值不等式可得 ，故C正确； 对于D，方法一：取,，此时 ，故D错误. 方法二：由均值不等式知，若,，则 ，即 ，当且仅当 时等号成立，故D错误.故选C. 课 堂 考 点 探 究 16 （2）（多选题）已知， ，则下列不等式成立的是( ) A. B. C. D. [解析] 对于A选项， ，即 ，故A选项正确； 对于B选项，当 时，，则 恒成立，即恒成立， 当 时，原不等式恒成立， 故B选项正确； √ √ √ 课 堂 考 点 探 究 17 对于C选项，当 时，， 即，所以 ，当时， ，即 ， 所以 ，故C选项错误； 对于D选项，,所以， 故 ，故D选项正确.故选 . 课 堂 考 点 探 究 [总结反思] 利用均值不等式比较大小,主要有两个思路:一是直接建立不等关系比 较大小;二是观察待比较式子的结构特征,合理选取均值不等式或其变 形形式,结合不等式的性质比较大小. 课 堂 考 点 探 究 19 变式题（1）（多选题）在下列函数中,最小值是 的是( ) A. B. C. D. √ √ 课 堂 考 点 探 究 20 [解析] 对于选项A,当时，， ,当且仅当 时,等号成立,故的最小值是 ,故选项A符合题意; 对于选项B,当时,,当且仅当 时，等号=成立, 即 的最小值是2,故选项B不符合题意; 对于选项C,,令,则,在 上单调递增,当时,取得最小值,最小值为 , 故选项C不符合题意; 对于选项D,,当且仅当 时，等号成立, 即的最小值是,故选项D符合题意.故选 . 课 堂 考 点 探 究 21 （2）“”是“ ”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 [解析] 当成立时，可以有, ，此时 不成立，故充分性不成立； 当 成立时，故,，所以 必定成立，故必要性成立. 所以“”是“ ”的必要不充分条件，故选B. √ 课 堂 考 点 探 究 22 探究点二 变形用均值不等式求最值 微点1 配凑法 例2（1）设实数满足,则函数 的最小值为 ( ) A. B. C. D.6 √ 课 堂 考 点 探 究 23 [解析] , , , 时,等号成立, 函数的最小值为 .故选A. 课 堂 考 点 探 究 24 （2） 的最小值为( ) A. B. C. D. [解析] 因为 ，所以 （当且仅当,即 时取等号） ， 故的最小值为 .故选C. √ 课 堂 考 点 探 究 25 [总结反思] 均值不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放 缩功能,利用均值不等式求最值时,要根据式子的特征灵活变形,先配凑 出积、和为常数的形式,再利用均值不等式求解. 课 堂 考 点 探 究 26 微点2 常数代换法 例3（1）[2025·石家庄一模]已知，则 的最小 值为( ) A. B. C. D. [解析] 由,得,， 故，当且仅当,即 时等号成立，故选D. √ 课 堂 考 点 探 究 27 （2）已知，，且，则 的最小值 为( ) A.16 B. C.12 D. [解析] 由题意可知 , , 当且仅当,即,时,等号成立,则 的最小值为16. √ 课 堂 考 点 探 究 28 [总结反思] 常数代换法主要解决形如“已知为常数，,求 的 最值”的问题,通常先将转化为 ,再用均值不等式求最值. 课 堂 考 点 探 究 29 微点3 消元法求最值 例4 [2025·湖北襄阳五中适应性考试]已知实数，满足 ，且 ，则 的最小值为( ) A. B.8 C. D. [解析] 因为，且 ，所以 ， 所以 ， 当且仅当,时等号成立，所以的最小值 为 . 故选A. √ ［思路点拨］由题意得 ，则 ，结合均值不等式即可求解. 课 堂 考 点 探 究 30 [总结反思] 消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式 转化为函数的最值求解．有时会出现多元的问题，解决方法是消元 后利用均值不等式求解． 课 堂 考 点 探 究 31 应用演练 1.已知，则取得最小值时 的值为( ) A.3 B.2 C.4 D.5 [解析] , ，则 ，当且仅 当，即 时等号成立.故选A. √ 课 堂 考 点 探 究 32 2.（多选题）已知，.若 ，则( ) A.的最小值为9 B. 的最小值为9 C.的最大值为 D.的最大值为 [解析] 对于A， ，当且仅当，即,时，等号成立， 所以 的最小值是4，故A不正确； 对于B， ， 当且仅当，即,时，等号成立， √ √ 课 堂 考 点 探 究 33 所以 的最小值为9，故B正确； 对于C，因为， ，所以， 当且仅当 ，即时，等号成立， 所以的最大值为 ，故C正确； 对于D， ， 当且仅当，即,时，等号成立，但 ， 所以等号不能成立，故D不正确.故选 . 课 堂 考 点 探 究 3.若,,且,则 的最小值为___. 9 [解析] 方法一：因为,,且 ,所以 , 故 , 当且仅当,即时,等号成立,所以 的最小值为9. 方法二：由得,因为, ,所以 , 当且仅当,即时,等号成立,所以 的最小值为9. 课 堂 考 点 探 究 35 4.已知，都是正数，且满足，则 的最大值为____. 18 [解析] , ， 当且仅当时，等号成立， 令,则 ，即，， ,, 的最大值为18. 课 堂 考 点 探 究 36 探究点三 均值不等式的实际应用 例5 某厂家拟在2026年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销 量（即该厂的年产量）（单位：万件）与年促销费用 ，单位： 万元之间满足为常数 .若不搞促销活动，则该产品的 年销量只有1万件.已知2026年生产该产品的固定投入为6万元，每生 产1万件该产品需要再投入12万元，该厂家将每件产品的销售价格定 为每件产品平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部 分）. 课 堂 考 点 探 究 37 （1）设该厂家2026年该产品的年利润为万元，求关于 的函数关 系式. ［思路点拨］根据题意，当时，，代入已知等式解出 ， 进而得到函数关系式； 解：根据题意，当时，，则，解得 ，所以 ，所以 . 课 堂 考 点 探 究 38 （2）该厂家2026年该产品的年促销费用为多少万元时该产品的年利 润最大？ ［思路点拨］根据（1）中的式子，结合均值不等式即可求解. 解：由（1）知， ， 当且仅当，即 时等号成立， 所以该厂家2026年该产品的年促销费用为2.5万元时该产品的年利润 最大. 课 堂 考 点 探 究 39 [总结反思] 有关函数最值的实际问题的解题技巧 （1）根据实际问题建立函数关系式，再利用均值不等式求得函数的 最值． （2）设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为因变量. （3）解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围． （4）在应用均值不等式求函数最值时，若等号取不到，则可利用函 数的单调性求解． 课 堂 考 点 探 究 40 变式题 [2025·重庆一中期末] 如图所示，利用一堵长、高 的 旧墙建造一个无盖的长方体仓库.由于空间限制，仓库的宽度固定为 .已知仓库三个侧面的建造成本为900元/ ，仓库底面的建造成 本为600元/ .整个仓库的建造成本预算为32 400元，假设成本预算 恰好用完，则仓库的储物量（即容积）的最大值为____ . 36 课 堂 考 点 探 究 41 [解析] 设仓库的长为，高为 ，则 ，即 ，其中, . 因为即 , 所以，即当且仅当 时取等号， 由题可知仓库的储物量为，所以 ，即仓库的储物量的 最大值为 . 课 堂 考 点 探 究 42 课时作业 43 ◆ 基础热身 ◆ 1.若，则 的最小值为( ) A.2 B.3 C. D.4 [解析] ，，当且仅当，即 时 取等号， 的最小值为4.故选D. √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 44 2.[2025·广东汕头一模]已知，，，则 的最大 值为( ) A.1 B.2 C.4 D.不存在 [解析] 由均值不等式得，当且仅当 时取等号. 故选C. √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 45 3.若，则函数 的最小值为( ) A.6 B.7 C.10 D.11 [解析] ， ， 当且仅当，即时，等号成立， 函数 的最小 值为11. √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 46 4.已知,,，则 的最小值为( ) A.2 B. C.4 D.9 [解析] 由，得 ，当且仅 当时取等号，故 的最小值为4.故选C. √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 47 5.下列函数中最小值为4的是( ) A. B. C. D. [解析] 对于A， ,最小值为3,不符合条件； 对于B，令,则,在 上单调递减， 故,即 的最小值为5,不符合条件； 对于C，,当且仅当 时等号成立，符合条件； 对于D， 没有最小值，不符合条件.故选C. √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 48 6.设 ，则下列不等式中成立的是( ) A. B. C. D. [解析] 由，得，所以 ，所以 . 综上， ，故选B. √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 49 7.已知，则 的最大值是___. [解析] 因为，所以 ，所以 ， 当且仅当时，等号成立，故的最大值是 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 50 8.已知,，满足，则 的取值范围是________. [解析] 方法一：因为,，所以 ，即 ，所以或 （舍去），所以 ，当且仅当时等号成立，故 的取值范围为. 方法二：由得，因为， ， ，当且仅当且 ，即时等号成立. 综上，的取值范围是 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 51 方法三：由得， 由， 可得，所以. 令，则 ，则 ， 当且仅当 ，即时等号成立. 综上，的取值范围是 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 方法四：令，因为,，所以 . 由得,代入得 ，整理得 ，所以，解得 或 （舍去）.当时，且，解得 . 综上，的取值范围是 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ◆ 综合提升 ◆ 9.[2025·佳木斯三模]已知正数，满足，则 的最 小值是( ) A. B.9 C. D.13 [解析] 由，得，即 ， 则 ，所以 ， 当且仅当，即时等号成立，所以的最小值是 . √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 54 10.（多选题）[2025·湖北四校模拟]若正实数,满足 ，则 下列结论正确的是( ) A.的最大值为 B.的最小值为 C.的最大值为 D. 的最小值为9 [解析] 对于A，，当且仅当 时等号成立， 故A正确； 对于B， ，则 ，当 , 时等号成立，故B错误； √ √ √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 55 对于C，由，得 ，当且仅当 时等号成立，故C正确； 对于D， ， 当且仅当时，等号成立，故D正确.故选 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 11.（多选题）[2022·新高考全国Ⅱ卷]若实数, 满足 ,则( ) A. B. C. D. [解析] 方法一：由 ,得 ，当且仅当 时取等号, 所以，即 ,故A错误，B正确； 因为,所以 ，所以 ，故C错误，D正确.故选 . √ √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 57 方法二：由得 ， 令 得 故 ,故A错误，B正确； ,故C错误，D正确.故选 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 58 12.一家货物公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下 列信息：每月土地占地费（单位：万元）与仓库到车站的距离 （单位：）成反比，每月库存货物费（单位：万元）与 成正比. 若在距离车站处建仓库，则和 分别为2万元和8万元，这家 公司应该把仓库建在距离车站___ 处，才能使两项费用之和最小. 5 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 59 [解析] 设，，当时， ， ，，，，， 两项 费用之和 ， 当且仅当，即时等号成立，即应该把仓库建在距离车站 处，才能使两项费用之和最小，且最小费用为8万元. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 60 13.设,是正实数，且，则 的最小值是__. [解析] 设，，则 ，所以 ， 当且仅当,即，时等号成立，所以 的最小 值为 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 61 ◆ 能力拓展 ◆ 14.已知函数，若，则当 取得 最小值时， ______. [解析] 由得，即 ， 令 ，则 ， 当且仅当，即时，取得最小值， 即 取得最小值. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 62 15.[2025·吉林长春东北师范大学附中模拟] 已知中， 为锐角， 若，则 的取值范围是___________. [解析] 由知 ，故 ，易知，所以 ， 当且仅当时取等号，所以的取值范围是 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 63 $