第3单元 01 第16讲 导数的概念及其意义、导数的运算（PPT课件）-【满分思维】2027年高考一轮总复习·数学（人教B版）

该高中数学高考复习课件聚焦导数专题，覆盖导数概念、几何意义、运算等核心考点，依据课标要求梳理定义求导、四则运算法则、复合函数求导等考查要点，分析切线方程、参数求解等高频题型，结合复合函数求导误用、切点判断混淆等易错点，体现高考备考的针对性。 课件亮点在于真题融入与素养导向，如2022新高考切线题解析，通过“探究点+变式训练”培养数学思维，总结公切线问题“设切点、列方程、求参数”三步法，帮助学生掌握得分技巧，教师可利用课时安排和重点强化练精准指导，助力学生高效冲刺。

1.知识网络 单 元 教 学 设 计 1 2.课时安排 本单元共6讲、2个增分微课、3个培优专题、2个重点强化练,其中第 16,17,18讲建议各1课时完成,第19，20,21讲，3个培优专题题目难度 较大,建议各2课时完成,2个增分微课各1课时完成，2个重点强化练各 1课时完成，本单元大约共需19个课时. 单 元 教 学 设 计 2 第16讲 导数的概念及其意义、导数 的运算 3 课前基础巩固 课堂考点探究 课时作业 4 1.导数概念及其意义 （1）通过实例分析,经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程,了 解导数概念的实际背景,知道导数是关于瞬时变化率的数学表达,体会 导数的内涵与思想. （2）体会极限思想. （3）通过函数图象直观理解导数的几何意义. 课 标 要 求 5 2.导数运算 （1）能根据导数定义求函数,,,, , 的导数. （2）能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则, 求简单函数的导数;能求简单的复合函数限于形如 的 导数. （3）会使用导数公式表. 课 标 要 求 6 知识聚焦 1.导数的概念 （1）函数在处的导数记作_______. _ ________________. （2）函数 的导函数（简称导数） . 课 前 基 础 巩 固 7 2.导数的几何意义 函数在处的导数的几何意义就是曲线 在点 处的切线的______，相应的切线方程为_______________ ___________. 斜率 课 前 基 础 巩 固 8 3.基本初等函数的导数公式 基本初等函数 导函数 为常数 ___ _______ ______ _______ ,且 _______ ____ 0 课 前 基 础 巩 固 9 基本初等函数 导函数 ,且 _ ____ _ _ 续表 课 前 基 础 巩 固 10 4.导数的运算法则 若, 都存在，则有 _____________; _____________________; ; _______. 5.复合函数的导数 复合函数的导数与函数, 的导数间的关系 为________,即对的导数等于对的导数与对 的导数的乘积. 课 前 基 础 巩 固 11 常用结论 1.在点处的切线与过点的切线的区别 （1）在点处的切线，该点一定是切点，切线有且仅有一条； （2）过点的切线，该点不一定是切点，切线至少有一条. 2. . 课 前 基 础 巩 固 12 对点演练 题组一 常识题 1.［教材改编］已知函数，则在 上的平均变 化率为____. 24 [解析] , ,所以平均变化率为 . 课 前 基 础 巩 固 13 2.［教材改编］如果某物体的运动方程为 的单位为 ，的单位为 ，那么该物体在 末的瞬时速度为__________. [解析] ， 该物体在 末的瞬时速度为 . 课 前 基 础 巩 固 14 3.［教材改编］曲线在点 处的切线方程为__________ _______. [解析] 由题得， 切线的斜率 ，则 切线方程为，即 . 课 前 基 础 巩 固 题组二 常错题 4.［误用复合函数的求导法则］已知函数，则 ________. [解析] 方法一： . 方法二： . 课 前 基 础 巩 固 16 5.［混淆与已知，则 ____. [解析] ，令，可得 ，所以 ，则 . 课 前 基 础 巩 固 17 6.［忽视与的区别］已知 ，则 ___________， ___________. [解析] ，所以 . 课 前 基 础 巩 固 18 探究点一 导数的运算 例1 求下列函数的导数: （1） ; 解： . （2） ; 解： . ［思路点拨］根据基本初等函数的导数公式和四则运算法则以及复 合函数求导的方法求导. 课 堂 考 点 探 究 19 （4） ； 解： ， . （5） . 解： , . （3） ; 解： . 课 堂 考 点 探 究 20 总结反思 （1）对于复杂函数的求导,首先应利用代数、三角恒等变换等变形规 则对函数解析式进行化简,之后再求导,这样可以减少运算量,提高运算 速度;（2）利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号,不要 与求导的乘法公式混淆. 课 堂 考 点 探 究 21 变式题 求下列函数的导数: （1） ； 解： . （2） ； 解： . （3） ; 解： . 课 堂 考 点 探 究 22 （4） . 解：因为 ,所 以 . 课 堂 考 点 探 究 探究点二 导数的几何意义 角度1 求切线方程 例2 已知函数 ． （1）求曲线在点 处的切线方程； ［思路点拨］利用导数的几何意义求切线的斜率,从而求切线的方程； 解：由，得 ， 所以，所以曲线在点 处的切 线方程为，即 . 课 堂 考 点 探 究 24 （2）直线为曲线的切线，且经过原点，求直线 的方程及 切点坐标． ［思路点拨］设切点为 ，利用导数的几何意义写出 切线方程，根据切线过原点求出 ，即可求出切点坐标及切线方程. 课 堂 考 点 探 究 25 解：设切点为，由（1）得 ， 所以切线方程为 ， 因为切线经过原点，所以 ，所以 ，解得 ， 则，所以所求的切线方程为 ， 切点为 ． 课 堂 考 点 探 究 26 总结反思 求曲线的切线方程要分清“在点处”与“过点处”的切线方程的不同.过 点处的切点坐标不知道，要设出切点坐标，根据：①斜率相等，② 切点在切线上，③切点在曲线上建立方程（组）求解，求出切点坐 标是解题的关键. 课 堂 考 点 探 究 27 变式题（1）设函数.若 为奇函数， 则曲线在点 处的切线方程为( ) A. B. C. D. [解析] 因为函数为奇函数，所以对 恒成立， 可得， 则，，所以 ，所 以曲线在点处的切线方程为 . √ 课 堂 考 点 探 究 28 （2）[2022·新高考全国Ⅱ卷] 曲线 经过坐标原点的两条切线 方程分别为______，________. [解析] 当时， . 设过坐标原点的直线与曲线相切于点, 由,得,所以 ，解得,所以, 则该切线的方程为,即 ， 由曲线的对称性，知另一条切线的方程为 . 课 堂 考 点 探 究 29 角度2 求参数的值（范围） 例3（1）若曲线为常数在点 处的切线方程 为,则 ( ) A.3 B. C.0 D.1 √ 课 堂 考 点 探 究 30 ［思路点拨］利用切点既在切线上又在曲线上，结合曲线在 处 的切线斜率为4，解出和 的值，从而可得答案. [解析] 因为，所以 ，由题意可得 解得所以 .故选C. 课 堂 考 点 探 究 （2）[2022·新高考全国Ⅰ卷] 若曲线 有两条过坐标原点 的切线，则 的取值范围是_______________. 或 ［思路点拨］设切点为 ,利用导数的几何意义，结合 切线经过坐标原点得到关于 的方程，根据此方程应有两个相异的 非零实数根，求得 的取值范围即可. 课 堂 考 点 探 究 32 [解析] 设切点为,则 ,由 ，知，所以关于 的方 程有两个相异的非零实数根， 即关于 的方程有两个相异的非零实数根， 即关于 的方程有两个相异的非零实数根， 所以 且,解得或 . 课 堂 考 点 探 究 33 总结反思 （1）利用导数的几何意义求参数的基本方法:利用切点的坐标、切 线的斜率、切线方程等得到关于参数的方程（组）或者参数满足的 不等式（组）,进而求出参数的值或取值范围.（2）注意曲线上点的 横坐标的取值范围. 课 堂 考 点 探 究 34 变式题（1）[2025·大连双基检测]若曲线在点 处的 切线与曲线在点处的切线的倾斜角互补，则 ( ) A. B. C.1 D.2 √ 课 堂 考 点 探 究 35 [解析] 设，.因为函数 的导 函数为，所以 ，所以曲线 在点处的切线方程为 . 因为函数的导函数为，所以 ，所以曲线 在点处的切线方程为 . 直线的斜率为，倾斜角为. 因为曲线 在点处的切线与曲线在点 处的切线的倾斜角互补,所以直线的倾斜角为， 课 堂 考 点 探 究 36 所以直线的斜率为，所以 ， 所以 .故选C. 课 堂 考 点 探 究 （2）[2025·芜湖期末] 若过点可以作曲线 的两条切线， 则实数 的取值范围是__________. [解析] 设切点为，由题得 ，故切线的斜率为 ，切线方程为，因为切线经过点 ，所以 ，故关于的方程 有两个不同的正实数根. 不妨设 ，则. 当时，， 单调递增；当时，， 单调递减.故 ， 课 堂 考 点 探 究 38 又时，， 时， ，则 ，即，所以实数的取值范围为 . 课 堂 考 点 探 究 （3）[2025·杭州四中月考] 已知函数.若曲线 在点处的切线与其在点 处的切线相互垂直， 则 的一个取值为_ ________________. （答案不唯一） [解析] ，由题意可知， ，即 ，所以得 ， ， ,，或得 ， ，,， 所以 或， ,,,,所以 的一个取值为 . 课 堂 考 点 探 究 40 探究点三 两曲线的公切线 例4（1）若直线既和曲线相切，又和曲线相切，则称为曲线 和的公切线.曲线和曲线 的公切线方程为 ( ) A. B. C. D. √ ［思路点拨］根据导数的几何意义可知公切线的斜率为2x1和4, 则2x1=4,分类讨论公切线与曲线C1,C2的切点相同与不相同的情况, 求出对应的切点,结合直线的点斜式方程即可求解. 课 堂 考 点 探 究 41 [解析] 由，得，由得 .设公切线与 曲线的切点为，则切线的斜率为，设公切线与曲线 的 切点为，则切线的斜率为，所以 . 当公切线与曲线，的切点相同时，, ，可得 ，所以切点为 ，此时公切线的方程为 ； 当公切线与曲线，的切点不同时， ,， 得，所以 ，即， 解得，此时，与 矛盾，故不存在切点不同的情况. 综上可得，切点的坐标为 ，公切线的方程为 . 故选A. 课 堂 考 点 探 究 42 （2）若曲线与曲线为常数， 有公 切线，则实数 的取值范围是_______________. ［思路点拨］先利用导数结合切点求出两曲线公切线的斜率,然后根据 公切线的性质,找到两切点坐标之间的关系,从而构造出关于一个切点横 坐标的函数,转化为值域问题求解. 课 堂 考 点 探 究 43 [解析] 设,,则 ， . 设公切线与曲线 的切点为，，与曲 线的切点为， ，则， 又, , . 设 ， 则，在 上单调递减， ，， 即 的取值范围为 . 课 堂 考 点 探 究 总结反思 既与曲线相切又与曲线 相切的直线叫作两曲线的公 切线,这类问题的解法步骤是: （1）设直线与曲线相切于点,与曲线 相 切于点 ; （2）切线方程为 ,即 ,同理切线方程也为 ,即 ; 课 堂 考 点 探 究 45 （3）由解出, ,从而得出切 线方程. 课 堂 考 点 探 究 46 变式题（1）[2025· 福九联盟5月联考] 曲线 与 的一条公切线的方程为__________________________. （只需写出其中一条公切线的方程） 或 [解析] 设，，公切线与 的图象相 切于点，与的图象相切于点 . 因为，，所以公切线的斜率 ，所以公切线 方程为， ， 课 堂 考 点 探 究 47 整理得， ，所以 即 所以 ，解得或 ， 所以公切线方程为或 . 课 堂 考 点 探 究 （2）[2025·辽宁省实验中学二模] 若 的图象与 的图象存在公切线，则 的取值范围是____________ ___. [解析] 由题意知， .设公切线分别与曲线 ，相切于点， ，则 ， ， 所以公切线方程为， ， 即，， 课 堂 考 点 探 究 49 所以 ， ，所以 . 令，，，则 ，由 ，得,由，得，所以在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，所以 ， 又当且时， ，当 时， ， 所以 . 课 堂 考 点 探 究 课时作业 51 基础热身 1.下列求导运算中正确的是( ) A. B. C. D. [解析] 对于A，，故A错误； 对于B， ，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D， ，故D正确. √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 52 2.函数在区间上的平均变化率等于 时的瞬时变 化率，则 ( ) A. B.1 C.2 D. [解析] 函数在区间 上的平均变化率等于 . 由，得，所以 . 因为函数在区间上的平均变化率等于 时的瞬时变化 率，所以，解得 . √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 53 3.[2025·广东湛江二模]已知函数，则曲线 在 点 处的切线方程为( ) A. B. C. D. [解析] 由，得，则, ， 所以曲线在点处的切线方程为 ， 即 . √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 54 4.已知函数，则 ( ) A.2 B.1 C. D. [解析] 由导数的定义可知， ，又 ，所以 ，所以 .故选B. √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 55 5.曲线在 处的切线如图所示，则 ( ) A.0 B.2 C. D. √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 56 [解析] 设曲线在 处的切线方程为 ，则解得 所以 曲线在 处的切线方程为 ，则切线斜率为1，所以 ， ，所以 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 57 6.（多选题）设函数在上的导函数为,在 上 的导函数为,若在上恒成立,则称函数 在 上为“凸函数”.以下四个函数在 上是凸函数的是( ) A. B. C. D. √ √ √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 58 [解析] 对于A,由,得 ,则 ,因为 ,所以 ,,所以 ,所以此函数在 上是凸函数; 对于B,由,得 ,则,因为, 所以,所以此函数在 上是凸函数; 对于C,由,得 ,则, 因为,所以 ,所以此函数在 上是凸函数; 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 59 对于D,由,得 ,则 ,因为 ,所以 ,所以此函数在上不是凸函数. 故选 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.已知函数的导函数为，且 ，则 ____. [解析] 因为，所以 ， 令，则，解得，令 ，则 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 61 8.[2025⋅ 全国一卷] 若直线是曲线 的一条 切线，则 ___. 4 [解析] 方法一：对于，其导函数为 ，令 ，即，解得，将 代入切线方程 ，可得，所以切点坐标为 . 因为切点在曲线上，所以， 即 ，解得 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 62 方法二：对于，其导函数为 . 设直线与曲线的切点坐标为 ，则 解得 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.[2025·广州二模] 已知函数, .若直线 与曲线和曲线都相切，求 的值. 解：方法一：设直线与曲线的切点坐标为 ， 由，得 ， 解得,则 ， 则切点坐标为，所以直线的方程为，即 . 由得，则 ， 解得或（舍去），当时， ，符合题意，所以 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 64 方法二：设直线与曲线的切点坐标为 ， 由，得 ，解得,则 ， 则切点坐标为，所以直线的方程为，即 . 当时，函数的定义域为，设直线 与曲线 的切点坐标为 ，由，得， 得 ， 则直线的方程为，即 ， 则 . 由①②解得, . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综合提升 10.若直线与曲线和圆都相切，则 的方程为 ( ) A. B. C. D. √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 66 [解析] 设直线与曲线相切于点 ，因为 ,所以直线的方程是 ，即 ， 又直线与圆 相切，所以， 得，所以的方程为 ， 故选D. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11.已知，，直线与曲线 相 切，则 的最小值是( ) A.16 B.12 C.10 D.9 √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 68 [解析] 由得.由直线 与曲线 相切可得，解得 ，则 ，即， 又， ，所以 ，当且仅 当，即, 时等号成立.故选D. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.（多选题）已知函数的图象在 ， 两个不同点处的切线相互平行，则下列等式可能成立的 是( ) A. B. C. D. √ √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 70 [解析] 因为，所以,，又 的图象在, 两点处的切线相互平行，所以 ，整理得 ，又，所以 ，故C正确，D错误； 因为，当且仅当 时取等号，但 ，所以，故A错误，B正确. 故选 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 71 13.[2025·黑龙江哈尔滨三模] 已知函数 , ，则的图象在点 处的切线方程 为_______. [解析] 由题意可知 ，且 ，故 ， 故的图象在点处的切线方程为 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 72 14.若函数 的图象在不同两点处的切线重合，则称这条切线为自 公切线，请写出一个有自公切线的函数 ____________________. （答案不唯一） [解析] 正弦函数的图象是周期为 的波浪线.因为 ，，所以的图象在 处的切 线方程为，即. 因为 ，，所以的图象在 处的切线方程为，即.显然的图象在 和 处的切线重合，所以 有自公切线. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 73 15.已知函数 . （1）求曲线在 处的切线方程; 解：因为 , 所以,又,所以曲线在 处的切线方程 为 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 74 （2）若过点存在3条直线与曲线相切,求 的取值范围. 解：设切点为,则 ,所以切线方程为 , 将代入,整理可得,又点 在切线上,所以 . 要使过点存在3条直线与曲线 相切,则方程（*）有3 个解.令 ,则 .令,可得 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 75 所以在 上单调递增; 令,可得或,所以在和 上单 调递减，所以在处取得极小值,在 处取得极大值, 又, , 所以 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 能力拓展 16.已知函数 . （1）当时，求 的单调区间. 解：函数的定义域为 ， 当时，，则，所以 的单调递减区间为 ，无单调递增区间. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 77 （2）直线是曲线的一条切线，且 与曲线有无穷多个切点. （i）已知为坐标原点，直线与轴交于点，求 的值. 解：因为直线与曲线 相切，且有无穷多个切点，所以不妨 设其中任意两个切点为， ，其 中. 因为，所以曲线在点， 处的 切线方程分别为 ， ，所以 且 ，所以 或 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 78 ①当时， ， 又因为 ，所以 ， 又，所以 ； 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ②当时，，取异于， 的另 一切点，则 ， ， 如果，由于，同①可得 ， 如果，则，同理可得 ，则 . 综上， 恒成立， 所以，此时直线的方程为 ， 故 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 80 （ii）是否存在常数使得直线也是 的图 象的切线？若存在，写出直线 的一个方程并证明；若不存在，请说 明理由. 解：当直线的方程为时，设直线和曲线 相切 于点 . 因为 ，所以 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 81 则 ， . 构造函数 ， 因为在上单调递增，且 ， 所以，代入 得 ，即 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 构造函数，则 ， 当时，，当时， ， 所以在上单调递减，在 上单调递增，故 ，故由可知，所以 . 故存在常数使得直线也是 的图象的 切线，此时直线的方程为 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 $