第3单元 02 第17讲 导数与函数的单调性（PPT课件）-【满分思维】2027年高考一轮总复习·数学（人教B版）

该高中数学高考复习课件聚焦“导数与函数的单调性”专题，依据课标要求梳理了导数与单调性关系、单调区间求法、参数范围确定、比较大小与解不等式四大核心考点，通过知识聚焦表、常考题型归纳（如不含参/含参函数单调区间、已知单调性求参数），对接高考评价体系，体现备考针对性。 课件亮点在于“真题变式+思维建模+易错警示”策略，如以2023新课标Ⅱ卷真题为母题，剖析“参数分离法”和“分类讨论逻辑”，培养数学思维与表达素养。课时作业分层设计，总结求单调区间“定义域优先”等技巧，助力学生掌握得分关键，教师可据此精准教学，提升复习效率。

第17讲 导数与函数的单调性 1 课前基础巩固 课堂考点探究 课时作业 2 1.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系. 2.能利用导数研究函数的单调性. 3.对于多项式函数,能求不超过三次的多项式函数的单调区间. 课 标 要 求 3 知识聚焦 函数的单调性与导数 导数到 单调性 单调递增 在区间上，若，则 在这个 区间上单调______ 单调递减 在区间上，若，则 在这个 区间上单调______ 递增 递减 课 前 基 础 巩 固 4 单调性 到导数 单调递增 若函数在区间 上单调递增，则 _____ 单调递减 若函数在区间 上单调递减，则 _____ “函数在区间上的导数大（小）于0”是“ 在区 间 上单调递增（减）”的______条件 充分 续表 课 前 基 础 巩 固 5 常用结论 若函数在上存在单调递增区间，则当 时， 有解；若函数在 上存在单调递减区间，则当 时， 有解. 课 前 基 础 巩 固 6 对点演练 题组一 常识题 1.［教材改编］函数 的单调递增区间是________. [解析] 由,解得,故 的单调递增区间是 . 课 前 基 础 巩 固 7 2.［教材改编］比较大小: ___，；___ , . [解析] 设，,则，由 ， 得，由，得，则在 上单调递减，在 上单调递增，故，故, . 设,,则,所以函数 在 上单调递增,所以,所以 , . 课 前 基 础 巩 固 8 3.［教材改编］已知是定义在 上 的可导函数，函数 的图象如 图所示，则 的单调递减区间是 _________. [解析] 因为当时, ,所以 当时,,所以的单调递减区间是 . 课 前 基 础 巩 固 9 题组二 常错题 4.［讨论函数单调性时分类不当］讨论函数在 上的单调 性时,对参数 应分____________________三种情况讨论. ，， [解析] 因为,所以对应分,, 三种情况讨论. 课 前 基 础 巩 固 10 5.［求单调区间时忽略定义域］函数 的单调递增 区间为________. [解析] 由,得,则函数的定义域为 . 易知,令,可得,结合,得 , 解得,所以函数的单调递增区间为 . 课 前 基 础 巩 固 11 6.［弄错可导函数在某区间上单调时导数满足的条件］若函数 在上单调递增，则 的取值范围是______. 课 前 基 础 巩 固 12 [解析] 方法一：由，得或， 函数 的单调递增区间为， 函数在 上单调递增，，,又 ， . 方法二：，依题意知对任意 恒成立， 即对任意恒成立，， ， ，又， . 课 前 基 础 巩 固 探究点一 不含参函数的单调区间 例1（1）求函数 的单调区间. ［思路点拨］首先根据题意求出,再根据、 及的定义域求得 的单调区间. 课 堂 考 点 探 究 14 解：因为 ， 所以 ，所以当 时，,当 时， ， 所以的单调递增区间为和，单调递减区间为 和 . 课 堂 考 点 探 究 15 （2）求函数, 的单调区间. ［思路点拨］求导后结合三角函数知识可得结果. 解：由题知,因为当时， ， 当时， ， 所以当时，，当时， ， 所以的单调递增区间为和，单调递减区间为 . 课 堂 考 点 探 究 16 （3）求函数 的单调递增区间. ［思路点拨］求出函数的导函数 ，令 ，利用的单调性得到 ， 即得 的单调递增区间. 课 堂 考 点 探 究 17 解：由题意,函数的定义域为 ,且 . 易知,令 ,则 ,由,得,可得当时, ， 当时,，所以在 上单调递减,在 上单调递增, 所以 , 即,所以的单调递增区间为 . 课 堂 考 点 探 究 18 总结反思 求函数 单调区间的步骤: （1）确定函数 的定义域. （2）求 . （3）解不等式 ,解集在定义域内的部分为单调递增区间;解 不等式 ,解集在定义域内的部分为单调递减区间.函数的单调 区间不能用并集，要用“逗号”或“和”隔开. 课 堂 考 点 探 究 19 变式题 求函数的单调区间，其中 是自然对数的底数. 解：的定义域为， . 令，则，因为 ，所以 恒成立，所以函数在 上单调递增， 课 堂 考 点 探 究 20 又，所以当时，，，函数 单调 递减， 当时，，，函数 单调递增. 综上，函数的单调递减区间为，单调递增区间为 . 课 堂 考 点 探 究 21 探究点二 讨论含参函数的单调性 例2（1）已知函数，讨论 的单调性. ［思路点拨］求导得 的分子是可分解因式的二次函数型,需讨论 零点的大小以及和定义域的关系. 课 堂 考 点 探 究 22 解：的定义域为 ， . 当时，令得，令得 ， 故的单调递增区间为，单调递减区间为 ； 当时，，令得或 ， 令得 ， 故的单调递增区间为,，单调递减区间为 ； 课 堂 考 点 探 究 23 当时，，此时 恒成立， 故的单调递增区间为 ； 当时，，令得或 ， 令得，故的单调递增区间为, ， 单调递减区间为 . 综上，当时，的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ； 课 堂 考 点 探 究 当时，的单调递增区间为, ，单调递减区间为 ； 当时，的单调递增区间为 ； 当时，的单调递增区间为, ，单调递减区 间为 . 课 堂 考 点 探 究 （2）已知函数，讨论 的单调性. ［思路点拨］求导后为 的解析式中有一次函数与指数函数，根 据 讨论动根与定根的大小关系可得结果. 课 堂 考 点 探 究 26 解：因为，所以的定义域为 ， . ①若，则 ， 当时，,单调递减；当 时， , 单调递增. ②若，当时，,， ， 当时，,，，当且仅当 时等号成立，所以在 上单调递增. 课 堂 考 点 探 究 27 ③若，则 ， 当时，,单调递增；当 时，, 单调递减； 当时，, 单调递增. ④若，则 ， 当时，,单调递增；当 时， , 单调递减； 当时，, 单调递增. 课 堂 考 点 探 究 28 综上所述，当时，在上单调递减，在 上单 调递增； 当时，在 上单调递增； 当时，在, 上单调递增，在 上单调递减； 当时，在, 上单调递增，在 上单调递减. 课 堂 考 点 探 究 总结反思 （1）利用导数讨论含参函数单调性的关键是确定导数的符号,对于含 有参数的导数符号判定问题,应就参数的范围讨论导数大于（或小于） 零的不等式的解. （2）求导函数零点和讨论都必须在函数的定义域内. （3）如果导函数没有零点，会出现恒成立的情况，即原函数在定义 域内单调. 课 堂 考 点 探 究 30 （1） . 解：由,得 ， ①当，即时，恒成立， 在 上单调递增. ②当，即或时，令 ，解得 , ， 当时，,单调递增；当 时， ,单调递减；当时，, 单调递增. 变式题 讨论下列函数的单调性. 课 堂 考 点 探 究 综上，当时，在 上单调递增； 当或时，在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增. 课 堂 考 点 探 究 （2），. 为自然对数的 底数 解：由题可得 . ①当时，因为，所以在上恒成立，所以 在 上单调递增； 课 堂 考 点 探 究 33 ②当时，令，得,由 ，得 ，则在 上单调递增， 由，得 ， 则在 上单调递减. 综上，当时，在上单调递增；当时， 在 上单调递减，在 上单调递增. 课 堂 考 点 探 究 34 探究点三 已知函数单调性确定参数的取值范围 例3 已知函数 . （1）若函数在区间上单调递增，求 的取值范围； ［思路点拨］求导，分析可得对任意 恒成立， 根据恒成立问题结合二次函数的性质分析求解； 课 堂 考 点 探 究 35 解：，则 ，函数 在区间上单调递增等价于对任意 ， 恒成立，可得对任意 恒成立. 设，可知的图象开口向上，对称轴方程为 ， 在 上单调递增， ，，解得，故的取值范围为 . 课 堂 考 点 探 究 36 （2）若函数在区间上存在单调递减区间，求 的取值范围； ［思路点拨］分析可得存在，使得 成立，根 据存在性问题结合二次函数的性质分析求解； 课 堂 考 点 探 究 37 解：由（1）可得，函数在区间 上存在单调递减区间等价于存在 ，使得 成立，可得存在 ，使得 成立. 由（1）知的图象开口向上，对称轴方程为 ， 在 上单调递增， ，，解得，则的取值范围为 . 课 堂 考 点 探 究 38 （3）若函数在区间上不单调，求 的取值范围. ［思路点拨］分析可得，从而解得 的取值范围. 解：由（1）可得，函数在区间 上不单调等价于在上存在变号零点， ， 即，解得 ， 则的取值范围为 . 课 堂 考 点 探 究 39 总结反思 （1）函数在上单调，则区间 是相应单调区间的子集； （2）在区间 上单调递增（减）的充要条件是 ，且在内任一子区间内 不恒为0. 如果能够分离参数,则分离参数后可转化为参数值与函数最值之间的 关系.函数在某个区间上存在单调区间可转化为不等式有解的问题. （3）二次函数的值在区间 上大于零恒成立,讨论的标准是二次函数 的图象的对称轴与区间的相对位置,一般分 在区间左侧、 内部、右侧三类情况进行讨论. 课 堂 考 点 探 究 40 变式题（1）[2023· 新课标Ⅱ卷]已知函数 在区间 单调递增，则 的最小值为( ) A. B. C. D. [解析] 由题可知在区间 上恒成立，即 对任意恒成立. 令 ，可得， 所以在区间 上单调递增，所以， 故，所以，所以 的最小值为 .故选C. √ 课 堂 考 点 探 究 41 （2）已知，若在 上不单 调，则实数 的取值范围是( ) A. B. C. D. [解析] 由 ，可得 ，可得函数 的极值点为， . 由在 上不单调，可得 或，解得 ． √ 课 堂 考 点 探 究 42 探究点四 利用函数的单调性比较大小或解不等式 例4（1）已知，,,，若 ， 则，， 的大小关系不可能是( ) A. B. C. D. ［思路点拨］用导数判断或证明已知函数的单调性、比较函数值的 大小关系. √ 课 堂 考 点 探 究 43 [解析] 因为,,所以,. 由，得，得；由 ，得. 所以在上单调递增，在 上单调递减， 又，当时，，所以函数 的图象如图①所示 （横、纵坐标轴单位长度不同）. 当,,时，因为 单调递增， ，所以，故A可能成立. 当, , 时，因为单调递减， ，所以 ，故B可能成立. 课 堂 考 点 探 究 44 如图②（横、纵坐标轴单位长度不同），当时， ，故C可能成立. 当时，若，则 ，不符合 题意；若，则有 ，不符合题意；若 ，则有 ，不符合题意；若 ，则，不符合题意.所以当 时， 不可能成立. 故选D. 课 堂 考 点 探 究 （2）已知函数,则不等式 的 解集为_______. 课 堂 考 点 探 究 46 ［思路点拨］由函数的单调性与奇偶性将原不等式转化为常规不等 式后再求解. [解析] 由 得 ,所以函数 是 上的增函数, 又由，得函数 是奇函数, 所以由 得, 所以 ,即,即, 解得 . 课 堂 考 点 探 究 总结反思 解决比较大小或解不等式的关键是利用导数的工具性，把比较大小 或求解不等式的问题转化为利用导数研究函数单调性的问题,再由单 调性比较大小或解不等式. 课 堂 考 点 探 究 48 变式题（1）已知函数 ，则不等式 的解集是___________. [解析] 因为 ，当且仅当 ，即时，等号成立，所以在 上单调递增，而且 . 由，得，则 ，解 得，故原不等式的解集是 . 课 堂 考 点 探 究 49 （2）[2026· 哈尔滨三中月考]已知函数 ， ，，，则，， 的大小关 系为( ) A. B. C. D. [解析] 函数的定义域为 ，关于原点对称， 又 ，所以 是奇函数，所以 √ 课 堂 考 点 探 究 50 ，在 上， ，，故，所以 在 上单调递增. 因为 ,, ，， ，所以 ， 又在 上单调递增，所以， 即 .故选A. 课 堂 考 点 探 究 课时作业 52 基础热身 1.函数 的部分图象如图所示，则 ( ) A. B. C. D. [解析] 由图象可得在上单调递减，在 上单调递增，所 以，， .故选D. √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 53 2.函数 的单调递增区间是( ) A. B.， C.， D. [解析] 函数的定义域为，，由 可 得，所以函数的单调递增区间为 .故选A. √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 54 3.已知在上可导，是函数的导函数，则“在 上单调递减”是“在 上恒成立”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 55 [解析] 当在上单调递减时，在 上不一定恒 成立，例如，显然在 上单调递减，但 ； 若在上恒成立，设 ， 则的图象在点处的切线的斜率 ，所以 在上单调递减. 所以“在上单调递减”是“ 在 上恒成立”的必要不充分条件.故选B. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 56 4.若函数的单调递减区间为 ，则 ( ) A. B. C.8 D.10 [解析] 由题可得，由题意知， ，3是 的两个根，,， ， ， .故选A. √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 57 5.[2025·长沙六校联考]已知函数，且 ， ，，则，， 的大小关系为( ) A. B. C. D. [解析] 由题可得，当时， ，所以 在上单调递增，因为 ，所以 ，即 .故选D. √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 58 6.（多选题）[2026·成都零诊]设函数 ，则 ( ) A.在 上单调递减 B.当时，的取值范围为 C. 有三个零点 D.曲线关于点 对称 √ √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 59 [解析] 由，解得，所以 在 上单调递减，故A正确； 当时，，则 在上单调递减，当时， ，则在 上单调递增，又,,， 所以当时， 的取值范围为，故B错误； 在上单调递减，在 和上单调递增， , ，结合图象可知 只有 一个零点，故C错误； 因为 ，所以曲线 关于点对称，故D正确.故选 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 60 7.函数, 的单调递减区间为______. [解析] 由已知得，，令 ，即 ，可得，则的单调递减区间为 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 61 8.若函数在区间上单调，则实数 的取值范围是__________________. 或 [解析] 由题意得函数的定义域为， ， 由，可得，则函数的单调递增区间为 ，由 ，可得，则函数 的单调递减区间为 . 因为在区间上单调， 所以 或，解得或 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 62 9.已知函数，讨论 的单调性. 解：的定义域为，且 . ①当时，由，得，由，得 ， 所以函数在上单调递减，在 上单调递增； ②当时，恒成立，故函数在 上单调递增； ③当时，由，得，由 ，得 或，所以函数在上单调递减，在 ， 上单调递增； 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 63 ④当时，由，得，由，得 或 ， 所以函数在上单调递减，在， 上单调递增. 综上，当时，函数在上单调递减，在 上单调 递增； 当时，函数在上单调递减，在， 上 单调递增；当时，函数在 上单调递增； 当时，函数在上单调递减，在， 上单调 递增. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 综合提升 10.[2026·苏州开学考]“”是“函数在 上 单调递增”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 65 [解析] 函数，求导得 ， 若函数在上单调递增，则，即 对任意 恒成立，而当时， ，则 ，所以，所以“”是“函数 在 上单调递增”的充分不必要条件.故选A. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 66 11.[2025·南京期末]已知定义在上的函数的导函数为 ，且 满足，，若， ，则( ) A. B. C. D. √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 67 [解析] 由题设可知函数的图象关于直线 对称，且当 时，函数单调递增，当时，函数 单调递减，则 ，故D错误； 因为，且 ，所以，该不等式说明 到对称轴的距离比 到对称轴的距离远，即 ，又函数 的函数值随自变量与对称轴距离的增大而减小， 所以 ，故A，B错误，C正确. 故选C. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 68 12.（多选题）若函数在区间 上不单调， 则实数 的取值可以是( ) A. B. C. D. [解析] 由题知，，因为在 上不单调， 所以函数在上存在变号零点. 设 , ，则，则在 上单调递减，所以即解得， 则 的取值范围是.故选 . √ √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 69 13.已知函数在 上存在单调递增区间， 则实数 的取值范围为________. [解析] 因为函数在 上存在单调递增区 间，所以在区间上有解，即 对 有解. 令，则对 有解.令， ，由二次函数的性质可得 ，所以， 故实数的取值范围是 ． 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 70 14.已知函数，其中 是自然对数的底数.若 ，则实数 的取值范围是_______. [解析] 的定义域为， 函数 ， ，则 , 函数在 上为奇函数. ， 函数在 上 单调递增.， ， ，解得.故实数的取值范围是 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 71 15.[2025·浙江Z20联盟二联] 已知函数 . （1）若，求曲线在点 处的切线方程； 解：当时， ， ， ,，则切点为， 所求切线方程为 ，即 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 72 （2）若函数在区间上单调递减，求实数 的取值范围. 解： ， 函数在区间上单调递减， 在 区间上恒成立，对 恒成立. 由，得，则对 恒成立. 令,，则恒成立， . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 73 ，令 ，则 ，当 时， ，则在 上单调递减，故 ，则在 上单调递减， ， 实数的取值范围为 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 能力拓展 16.（多选题）已知函数，其定义域为 ，导函数为 ，则( ) A., B.存在，使得 为奇函数 C., D.方程 有4个不同的实数根 √ √ √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 75 [解析] 因为，所以 是偶函数，所以曲线 关于直线对称，则 恒成立,故A正确； 由A得 ，两边取导数得， 所以为奇函数，此时 ,又函数的定义域为， 所以存在，使得 为奇函数，故B正确； 当时，，由 ， 得，当时，，当 时，， 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 76 所以在上单调递增，在 上单调递减， 所以，由曲线关于直线 对称， 得,，故C正确； 设，则 ，于是或，当时，由， 解得, ，当时，由C可知，方程无解， 所以方程 有2个不同的实数根，故D错误. 故选 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 17.已知函数,其中，若对任意实数 , ，,都有,则 的取值范围 是_ _________. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 78 [解析] 不妨设,因为,所以 , 所以在上单调递增，所以 . 根据题意得,即 ,令 ,则 ,所以 在上恒成立，则对 恒成立. 令，易知在上单调递减，所以当 时，,所以,故的取值范围是 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 79 $