第2单元 02 第7讲 函数的单调性（PPT课件）-【满分思维】2027年高考一轮总复习·数学（人教B版）

该高中数学高考复习课件聚焦“函数的单调性”专题，依据课标要求覆盖单调性定义、判断证明、单调区间及最值等核心考点，对接高考评价体系，分析近五年真题中单调性应用（比较大小、解不等式、参数范围）占比60%以上，归纳选择、填空、解答题三大常考题型，构建系统备考框架。 课件亮点在于“基础巩固+考点探究+真题演练”三阶模式，以2024新课标Ⅰ卷分段函数单调性题为例，详解定义法与导数法结合的论证思路，培养数学思维与推理能力。针对定义域忽视、分段函数分界点等易错点设专题突破，帮助学生掌握得分技巧，教师可通过课时作业精准检测学情，实现高效复习。

第7讲 函数的单调性 1 课前基础巩固 课堂考点探究 课时作业 2 1.借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大（小）值， 理解它们的作用和实际意义. 2.理解函数单调性的概念，能运用函数图象理解和研究函数的单调性. 3.会用函数单调性的定义判断（或证明）一些函数的单调性. 4.会求一些具体函数的单调区间. 课 标 要 求 3 ◆ 知识聚焦 ◆ 1.单调函数的定义 增函数 减函数 定义 一般地,设函数的定义域为,且区间 ,如果对任 意, 当 时,都有 ______________,则称 在区间 上是增 函数 当 时,都有 ______________,则称 在区间 上是减函数 课 前 基 础 巩 固 4 增函数 减函数 图象 描述 ________________________________________________ 自左向右看图象是上升的 _________________________________________________ 自左向右看图象是下降的 续表 课 前 基 础 巩 固 5 2.单调区间的定义 如果函数在区间 上是增函数或________,那么都称函数 在区间上具有________（区间称为函数 的______ _____，也可分别称为单调递增区间或单调递减区间）. 减函数 单调性 单调 区间 3.函数的最值 前提 一般地,设函数的定义域为,且 条件 对任意 ,都有_________ ______ 对任意 ,都有_________ ______ 结论 的最大值为 的最小值为 课 前 基 础 巩 固 6 常用结论 1.,,且，有 或 ,则在区间 上单调递增 （减）. 2.在公共定义域内，增函数增函数增函数，减函数减函数 减函 数. 3.若,则与的单调性相同;若,则与 的单 调性相反.#4.3 课 前 基 础 巩 固 7 4.若在区间上单调递增（减），且，则 在区间 上单调递减（增）. 5.函数最值存在的相关结论 （1）闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值．当函数在闭区 间上单调时，最值一定在端点处取到. （2）开区间上的“单峰”函数一定存在最大（小）值． （3）连续函数在区间上存在的唯一的极值就是它的最大值或最小值.#4.5.3 课 前 基 础 巩 固 8 ◆ 对点演练 ◆ 题组一 常识题 1.［教材改编］函数 的单调递增区间 是______，单调递减区间是_______. [解析] 由函数的图象可得 的单 调递增区间是，单调递减区间是 . 课 前 基 础 巩 固 9 2.［教材改编］设函数满足对任意的, ，都有 ，比较大小：___.（填“ ”或“ ”） [解析] 因为对任意的，，都有 ，所以函数 在上单调递增，又 ，所以 . 课 前 基 础 巩 固 10 3.［教材改编］函数在 上单调递增，则实 数 的取值范围是________. [解析] 函数的单调递增区间是，当 在 上单调递增时，，所以,故实数 的取 值范围是 . 课 前 基 础 巩 固 11 4.［教材改编］已知函数，则函数 的最大 值为___，最小值为__. 2 [解析] 函数在上单调递减，所以在 处取到 最大值2，在处取到最小值 . 课 前 基 础 巩 固 12 题组二 常错题 5.［忽视函数在区间上单调的前提条件是函数在该区间上有意义］函 数 的单调递增区间为________. [解析] 由得或，故 的定义域为 . 由函数在 上单调递减，在上单调递增， 得的单调递增区间为 . 课 前 基 础 巩 固 13 6.［忽视分段函数在定义域各段分界点附近的单调性］已知函数 是定义在上的减函数，则实数 的取值范围为_________. [解析] 由题知解得，即实数 的取值 范围为 . 课 前 基 础 巩 固 14 7.［混淆“单调区间”与“在区间上单调”两个概念］ （1）若函数在区间 上单调递减， 则实数 的取值范围是__________. [解析] 函数的图象的对称轴为直线 ，由题意得 ，解得，故实数的取值范围是 . 课 前 基 础 巩 固 15 （2）若函数的单调递减区间为 ，则 的值为____. [解析] 函数的图象的对称轴为直线 ，由题意得 ，解得 . 课 前 基 础 巩 固 16 探究点一 确定函数的单调性 角度1 函数单调性的判断 例1 （多选题）下列函数在其定义域内是增函数的为( ) A. B. C. D. ［思路点拨］通过图象法、函数单调性的性质、复合函数的单调性 以及导数等判断函数的单调性. √ √ 课 堂 考 点 探 究 17 [解析] 对于A，画出函数 的图象， 如图所示，易知函数 在其定义域 内不是增函数，故A错误； 对于B，因为函数是上的增函数， 是 上的减函数，所以是 上的增函数，故B正确； 对于C，函数在其定义域上是减函数，而 在其定 义域上为增函数，所以函数在定义域 上为 减函数，故C错误； 对于D，的定义域为，在 上恒成立， 故是上的增函数，故D正确.故选 . 课 堂 考 点 探 究 18 角度2 利用定义证明函数的单调性 例2 讨论函数在 上的单调性. ［思路点拨］思路一：利用定义证明函数的单调性即可； 思路二：利用导数判断. 解：方法一：任取,,且 , 易知 , 则 , 又,,,故当时, , 即,所以函数在 上单调递减; 课 堂 考 点 探 究 19 当时,,即,所以函数 在 上单调递增. 方法二：因为，所以当时，在 上 恒成立，所以函数在上单调递减，当时， 在上恒成立，所以函数在 上单调递增. 课 堂 考 点 探 究 [总结反思] 1.用定义法证明函数单调性的一般步骤为:取值、作差变形、判断符 号、得出结论. 2.函数单调性的判断方法：（1）定义法;（2）图象法；（3）直接利 用已知函数的单调性可以判断一些组合函数的单调性,如“增 增”为 增,“增-减”为增,“减 减”为减,“减-增”为减；（4）导数法；（5）利 用“同增异减”的规则判断复合函数 的单调性. 课 堂 考 点 探 究 21 探究点二 求函数的单调区间 例3（1）[2026·江苏苏州期末]函数 的单调递减区间为 ( ) A. B. C. D. [解析] 对于函数，由可得或 ， 所以函数的定义域为 . 因为函数在区间上单调递减，在 上单调递增， 函数 为增函数，所以由复合函数的单调性可知，函数 的单调递减区间为 .故选A. √ 课 堂 考 点 探 究 22 （2）函数 的单调递减区间是( ) A. B.和 C. D.和 ［思路点拨］作出函数 的图象,根据图象即可得解； √ 课 堂 考 点 探 究 23 作出函数 的图象如图所示， 由图可知，函数 的 单调递减区间为和 .故选B. 课 堂 考 点 探 究 24 （3）函数 的单调递减区间是( ) A. B. C. D. ［思路点拨］对函数求导,利用导数的符号确定函数的单调区间. [解析] 由题得,令,解得, 当 时, ,当时,,故在 上单调 递减,在上单调递增,所以的单调递减区间是 .故选A. √ 课 堂 考 点 探 究 25 [总结反思] （1）求函数单调区间的常见方法:①定义法;②导数法;③性质法;④图 象法. （2）单调区间只能用区间表示,不能用集合或不等式表示,有多个单 调区间应分开写,不能用并集符号“ ”连接. 课 堂 考 点 探 究 26 变式题（1）函数 的单调递减区间是( ) A. B. C. D. [解析] 由，解得或 ，所以函数 的定义域为. 令 ，则函数在上单调递减， 在 上单调递增，而函数在 上为增函数， 故由复合函数的单调性可得的单调递减区间为 . 故选C. √ 课 堂 考 点 探 究 27 （2）已知函数,则函数 的 单调递减区间是______. [解析] 由题意知 作出函数的图象，如图所示. 由图可知, 的单调递减区间是 . 课 堂 考 点 探 究 28 探究点三 函数单调性的应用 微点1 比较大小 例4 [2025· 襄阳三模]函数, , ,，则,, 的大小关系是( ) A. B. C. D. ［思路点拨］利用导数判断函数的单调性，再利用单调性比较大小. √ 课 堂 考 点 探 究 29 [解析] 易知函数的定义域为 ，可得 ， 所以函数在上单调递减. 又 ，所以， 即 .故选A. 课 堂 考 点 探 究 30 [总结反思] 比较函数值的大小时,若自变量的值不在同一个单调区间内,则要利用 其函数性质转化到同一个单调区间内进行比较,对于选择题、填空题 能用数形结合的尽量用图象法求解. 课 堂 考 点 探 究 31 微点2 解不等式 例5（1）已知函数 则不等式 的解集是___________________. ［思路点拨］先判断函数 的单调性，再根据单调性解不等式即可. 课 堂 考 点 探 究 32 [解析] 由函数可得当时， 单调递增， 当时，单调递增，且 ， 故函数在上单调递增，故不等式 等价于 ，即，解得或 ， 故原不等式的解集为 . 课 堂 考 点 探 究 33 （2）定义在上的减函数满足：对任意， ， 总有，则不等式 的解集是 ( ) A. B. C. D. ［思路点拨］利用已知等式结合赋值法可得 ，再利用函数 的单调性求解. √ 课 堂 考 点 探 究 34 [解析] 在中，令 ，得 ，可得，所以 即为 . 因为函数是定义在 上的减函数， 所以解得 ，故选D. 课 堂 考 点 探 究 35 [总结反思] 利用函数单调性解不等式的具体步骤:（1）将不等式转化成 或的形式;（2）确定函数 的单调性; （3）根据函数的单调性去掉符号“”,转化为形如“ ”或“ ”的常规不等式,从而得解. 课 堂 考 点 探 究 36 微点3 由单调性求参数的取值范围 例6（1）已知函数在区间 上单调递减，则实 数 的取值范围是_______. [解析] 令，则，因为函数 在区 间上单调递减，且 在定义域内单调递增， 所以解得 . 课 堂 考 点 探 究 37 （2）[2024· 新课标Ⅰ卷]已知函数在 上单调递增，则 的取值范围是( ) A. B. C. D. [解析] 因为在上单调递增，所以,且 , 解得 ,故选B. √ 课 堂 考 点 探 究 38 [总结反思] 利用函数的单调性求参数的取值范围（或值）的注意点:（1）视参 数为已知数,依据函数的图象或单调性的定义,确定函数的单调区间,与 已知单调区间比较求参数;（2）若分段函数是单调函数,则不仅要保 证在各区间上单调性一致,还要确保在整个定义域内是单调的. 课 堂 考 点 探 究 39 应用演练 1.已知函数，则关于的不等式 的解集 为( ) A. B. C. D. [解析] 由题可知，故在 上单调递增. 由，得，解得 .故选A. √ 课 堂 考 点 探 究 40 2.[2025· 辽宁沈阳模拟]已知函数, , ,，则,, 的大小关系是( ) A. B. C. D. [解析] 因为函数与在 上均单调递增，所以 在上单调递增. 由, ,， 得 ，所以， 即 .故选C. √ 课 堂 考 点 探 究 41 3.[2023· 新课标Ⅰ卷]设函数在区间单调递减，则 的取值范围是( ) A. B. C. D. [解析] 因为在 上是增函数,所以根据复合函数的单调性可得 在上单调递减,故,解得 , 故选D. √ 课 堂 考 点 探 究 42 4.[2025· 山东烟台三模] 已知函数，若 ， 则实数 的取值范围是______. [解析] 的定义域为，因为和 在上均单调递增，所以在 上单调递增， 又，所以等价于 ，可得 ，解得 . 课 堂 考 点 探 究 43 课时作业 44 ◆ 基础热身 ◆ 1.[2023·北京卷]下列函数中，在区间 上单调递增的是( ) A. B. C. D. √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 45 [解析] 对于A，因为在上单调递增，在 上单 调递减，所以在 上单调递减，故A错误； 对于B，因为在上单调递增，在 上单调递减， 所以在上单调递减，故B错误； 对于C，因为 在上单调递减，在上单调递减， 所以 在 上单调递增，故C正确； 对于D，因为，, ，所以在 上不单调，故D错误. 故选C. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 46 2.函数 的单调递减区间是( ) A. B. C. D. [解析] 要使函数有意义，只需 ， 解得. 因为 的图象开口向下，对称轴方程为，所以函数 在上单调递减，在 上单调递增， 又在 上单调递增，所以函数在上 单调递减，在 上单调递增，所以函数的 单调递减区间是 .故选A. √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 47 3.[2025·辽宁大连育明高级中学模拟]若是定义在 上的增函数， 则“”是“ ”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 [解析] 根据题意，是定义在上的增函数.若 ,则 ,充分性成立； 反之，若,假设存在 满足，由函数的单调性可知， ，这与矛盾，假设不成立， 故必有 ,必要性成立. 综上所述，“”是“ ”的充要条件．故选C． √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 48 4.已知函数在定义域上满足对任意的, , 且,都有，若，则实数 的 取值范围是( ) A. B. C. D. [解析] 由题知函数在定义域 上是减函数，则有 解得 ，故选B. √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 49 5.已知函数是上的增函数，则 的取值 范围是( ) A. B. C. D. √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 50 [解析] 因为函数是 上的增函数，所以 解得 .故选D. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 51 6.（多选题）[2025·福建宁德福鼎四中月考]已知函数， 的定 义域都为，且，，是减函数， 是增函数， 则下列说法错误的是( ) A.是增函数 B. 是减函数 C.是增函数 D. 是减函数 √ √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 52 [解析] 对于A，取，，则 ， ，则 不是增函数，故A中说法错误； 对于B，因为是增函数，所以是减函数，又 是减函数， 所以 是减函数，故B中说法正确； 对于C，取，，则 ，为常函数， 故C中说法错误； 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 53 为减函数， 得，所以，所以 是减函数， 故D中说法正确．故选 ． 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 7.已知函数,,,,则 , , 的大小关系为__________. [解析] 函数的定义域为,且 是增函数,因为 ,所以,即 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 55 8.设函数在上单调递减，则 的取值范 围是_ _______. [解析] 令，因为函数在 上为减函数， 函数在 上单调递减，所以函数 在上单调递增， 所以，解得 ，且对任意恒成立， 则 ，解得，所以的取值范围是 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 56 9.已知函数且, . （1）求 的解析式; 解：因为 所以解得 所以 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 57 （2）写出 的单调递增区间和单调递减区间. 解：由（1）知 画出函数 的图象,如图所示. 由图可知,函数 的单调递减区间是 ,,单调递增区间是 . 9.已知函数且, . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 58 ◆ 综合提升 ◆ 10.已知函数在上单调递增，则实数 的取值 范围是( ) A. B. C. D. √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 59 [解析] 当时,单调递增；当 时,, 由二次函数的性质可知在 上单调递增. 因为函数在上单调递增，所以 ，且 ,所以 .故选C. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 60 11.[2025⋅ 河北唐山二模]已知， ， 则下列结论正确的是( ) A. B. C. D. [解析] 设，，则由对勾函数的单调性得， 在 上单调递减，在上单调递增， ，且 ， ， 因为，所以 ， 即 .故选A. √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 61 12.（多选题）已知函数 ，则下列叙述正确的是 ( ) A.当时，函数在区间 上单调递增 B.当时，函数在区间 上单调递减 C.若函数有最大值2，则 D.若函数在区间上单调递增，则的取值范围是 √ √ √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 62 [解析] 对于A，B，当时， ，因为 在上单调递增，在 上单调递减， 所以由复合函数的单调性可得，函数在 上单 调递减，故A错误，B正确. 对于C，显然当时， 没有最大值； 当时,若 有最大值2,则函数 有最小值，所以 解得，故C正确. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 63 对于D，若函数在 上单调递增， 则在上单调递减. 当 时，显然成立； 当时，由二次函数的性质可得解得 ， 所以的取值范围为，故D正确.故选 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 13.[2026·海南海口琼山中学月考] 已知函数 ， 则不等式 的解集为_ ______. [解析] 函数的定义域为 ，因为 ， 所以 为奇函数. 因为，所以函数 在上为增函数. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 65 ， 所以 ，即，解得， 故不等式 的解集为 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 14.已知函数是定义在 上的单调函数，且 ，则在 上的最大值为____． 10 [解析] 因为是定义在上的单调函数，所以存在唯一的 ， 使得，则，即 ， 令，则. 因为函数 为增函数，且，所以， 则． 易知 在上单调递增， 所以在上的最大值为 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 67 15.已知函数的定义域为，对任意的， ，都有 .当时，，且 . （1）求的值，并证明当时， ； 解：令，则，又，所以 . 证明：当时，，所以 ，又 ，所以 ， 所以 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 68 （2）判断 的单调性； 解：令，， ，则 ， 又所以 ,所以所以 ， 又当时，，当时， ， 当时，，所以，所以 ， 所以，即，所以在 上单调递减. 15.已知函数的定义域为，对任意的， ，都有 .当时，，且 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 69 （3）若，求不等式 的解集. 解：因为 ，所以 ， 所以 ， 由（2）知在上单调递减，所以，解得 ， 所以不等式的解集为 . 15.已知函数的定义域为，对任意的， ，都有 .当时，，且 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 70 ◆ 能力拓展 ◆ 16.[2025·安徽江淮十校4月联考]已知, ，且 ，，则 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 [解析] ，两边同除以，得 ， 即，两边同除以 ，得 ，即 ，整理得 . 设 ，显然函数是上的增函数， 所以，所以 ，因此 .故选B. √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 71 17.（多选题）[2026·辽宁大连二十四中期中]已知定义在 上的 函数满足：对任意实数， ，恒有 .若，当 时， ，则下列结论正确的是( ) A. B.函数的最小值为 C.为 上的增函数 D.关于的不等式的解集为 √ √ √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 72 [解析] 对于A，因为对任意实数， ，恒有 ，所以令， ，得 ，解得 ，故A正确； 对于B，令，则，可得 ， 假设存在使得，则对任意实数 ，有 ，此时 为常函数，与 矛盾，故假设不成立，即不存在 使得，则 ，故B错误； 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 73 ，得 ，，，且 ，则 ，又当时，，所以 ， 恒成立，所以 ，即 ，所以为 上的增函数，故C正确； 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 ，可得 ， 则不等式等价于 ，即 ， 令，则 ，即， 可得或，即 或， 又为上的增函数，， ，所以或， 故不等式 的解集为，故D正确． 故选 ． 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 $