第2单元 08 第11讲 指数与指数函数（PPT课件）-【满分思维】2027年高考一轮总复习·数学（人教B版）

该高中数学高考复习课件聚焦“指数与指数函数”专题，依据课标要求梳理了指数幂运算、指数函数图象与性质两大核心考点，通过课前基础巩固的知识聚焦和易错点分析，明确了根式化简、指数函数单调性判断等高频考查内容，归纳了指数幂运算、比较大小等常考题型，体现高考备考的针对性。 课件亮点在于“考点探究+真题训练+素养培养”的设计，如用换元法解指数方程、分类讨论底数研究单调性，培养学生数学思维和运算能力，课时作业中融入高考真题变式，帮助学生掌握解题技巧，教师可据此系统开展复习教学，提升学生高考冲刺效率。

第11讲 指数与指数函数 1 课前基础巩固 课堂考点探究 课时作业 2 1.通过对有理数指数幂，且;,,且 、实数 指数幂，且， 含义的认识,了解指数幂的拓展过 程,掌握指数幂的运算性质. 2.通过具体实例,了解指数函数的实际意义,理解指数函数的概念. 3.能用描点法或借助计算工具画出具体指数函数的图象,探索并理解 指数函数的单调性与特殊点. 课 标 要 求 3 ◆ 知识聚焦 ◆ 1.根式 （1）一般地，给定大于1的正整数和实数,如果存在实数 ,使得 ,则___称为的 次方根. （2）当有意义的时候，称为______，称为根指数， 称为被 开方数. 根式 （3） ___. 当为奇数时， ___； 当为偶数时， 课 前 基 础 巩 固 4 2.分数指数幂（即有理数指数幂）的分类 正数的正分数指数幂： ______ . 正数的负分数指数幂：_ ___ . 0的正分数指数幂等于___，0的负分数指数幂没有意义. 0 课 前 基 础 巩 固 5 3.分数指数幂（即有理数指数幂）的运算法则 ①_____ ; ②____ ; ③______ . 课 前 基 础 巩 固 6 4.指数函数的图象与性质 且 图象 定义域 值域 ________ 课 前 基 础 巩 固 7 且 性质 过定点______ 当 时,______; 当 时,________ 当 时, __________; 当 时,______ 在 上是________ 在 上是________ 增函数 减函数 续表 课 前 基 础 巩 固 8 常用结论 在第一象限内，指数函数且 的图象越高，底数越大. 课 前 基 础 巩 固 9 ◆ 对点演练 ◆ 题组一 常识题 1.［教材改编］化简：_____ . [解析] . 课 前 基 础 巩 固 10 2.［教材改编］已知,则___, ____. 7 47 [解析] 由,得,即 , 因此,所以,即 , 于是 . 课 前 基 础 巩 固 11 3.［教材改编］函数且 的图象恒过定点 ______. [解析] 令，得，此时 ，所以函数 且的图象恒过定点 . 课 前 基 础 巩 固 12 题组二 常错题 4.［忽略的范围导致式子 化简出错］计算: _____. [解析] . 课 前 基 础 巩 固 13 5.［指数函数的概念理解错误］若函数 为指数函 数，则 ___. 2 [解析] 由指数函数的定义可得解得 . 课 前 基 础 巩 固 14 6.［忽略对指数函数的底数进行讨论］若函数在 上 的最大值为2，则 _____. 2或 [解析] 若，则在上单调递增，所以 ； 若，则在上单调递减，所以 ， 解得.故的值为2或 . 课 前 基 础 巩 固 15 7.［忽视指数函数的“渐近线”］若关于的方程 有两个解， 则实数 的取值范围为______. [解析] 函数 的图象是由函数 的图象向下平移一个单位长度后， 再把位于轴下方的图象沿轴翻折到 轴 上方得到的，如图所示. 易知当 时，直线与函数 的图象 有两个不同的交点，即关于 的方程有两个解. 课 前 基 础 巩 固 16 探究点一 指数幂的运算 1. ___. 1 [解析] . 课 堂 考 点 探 究 17 2.若，则 __. [解析] 由两边平方，得 ，两边再平方得 ，. 又 ， . 课 堂 考 点 探 究 18 3.（多选题）已知， ，则下列运算正确的是( ) A. B. C. D. √ √ √ 课 堂 考 点 探 究 19 [解析] 对于A选项，由，得 ，A选项正确； 对于B选项， ，B选项正确； 对于C选项， ，C选项错误； 对于D选项， ， D选项正确.故选 . 课 堂 考 点 探 究 20 4.化简： . 解：原式 . 课 堂 考 点 探 究 21 [总结反思] 指数幂运算的一般原则: （1）指数幂的运算首先将根式、负分数指数幂统一为正分数指数幂, 以便利用法则计算. （2）先乘除后加减,负指数幂化成正指数幂的倒数. （3）若底数是负数,则先确定符号;若底数是小数,则先化成分数;若底 数是带分数,则先化成假分数. （4）若是根式,应化为分数指数幂,尽可能用幂的形式表示,运用指数 幂的运算性质来解答. 课 堂 考 点 探 究 22 探究点二 指数函数的图象及应用 例1（1）函数， ， ，的图象如图所示， ， ，，分别是，，， 中的一个， 则，，， 的值分别是( ) A.，，， B.，，， C.，，， D.，，， ［思路点拨］根据指数函数图象判断底数大小的问题，可以通过直 线 与图象的交点的纵坐标进行判断. √ 课 堂 考 点 探 究 23 [解析] 由题图得，直线 与函数图象 的交点的纵坐标从大到小依次为， ， ，，而 ，故选C. 课 堂 考 点 探 究 24 （2）（多选题）已知函数 ,且 的图象如图所示,则下列结论正确的是( ) A. B. C. D. ［思路点拨］根据所给函数图象得到, 的取值范围,进而结合指数函数 的单调性及不等式的性质判断各选项即可. √ √ √ 课 堂 考 点 探 究 25 [解析] 由题图可知,函数 ，且 在上单调递增,所以,又当 时, ,所以 . 对于A选项, ,故A正确; 对于B选项, ,故B正确; 对于C选项, ,故C错误; 对于D选项,因为,所以,所以, 故D正确.故选 . 课 堂 考 点 探 究 26 （3）若直线与函数，且 的图象有两 个交点，则 的取值范围是_ _____. ［思路点拨］对 进行分类讨论，画出图象，数形结合求参数范围. 课 堂 考 点 探 究 27 [解析] 当时， 的图象如图①，因为直线 与的图象有两个交点，所以 ，所以 ； 当时， 的图象如图②，此时直线不可能与 的图象有两个交点. 综上， 的取值范围是 . 课 堂 考 点 探 究 28 [总结反思] （1）研究指数函数 的图象要抓住三个特殊点: ,, . （2）对于与指数函数有关的函数图象问题的研究,往往利用指数函数 的图象,通过平移、对称变换得到其图象. （3）一些指数方程、不等式问题,往往结合相应的指数型函数图象, 数形结合求解. 课 堂 考 点 探 究 29 变式题（1）（多选题）已知实数，满足等式 ，则下列 结论不可能成立的有( ) A. B. C. D. [解析] 在同一坐标系中作出函数 和 的大致图象，如图所示. 设，.当 时，由图可知 ；当时，由图可知 ； 当时，由图可知.故选 . √ √ 课 堂 考 点 探 究 30 （2）当且时,若函数的图象过定点 , 则 ___. 1 [解析] 依题意得解得 于是 . 课 堂 考 点 探 究 31 探究点三 解决指数函数性质有关的问题 微点1 利用单调性比较大小 例2（1）已知，， ，则( ) A. B. C. D. ［思路点拨］根据指数函数、幂函数的单调性即可判定 ， ，再利用指数函数的单调性判定 ，即得结果. √ 课 堂 考 点 探 究 32 [解析] 由，， ，可得 ，显然. 又， ，而，所以， 所以 ．故选D． 课 堂 考 点 探 究 33 （2）若；，则是 的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ［思路点拨］首先把化为 ， 然后构造函数，再利用函数 的单调 性得出, 的大小关系，进而得到结论. [解析] 由，得 .设 ，则函数为增函数，所以 ， 所以“”是“ ”的充分不必要条件.故选A. √ 课 堂 考 点 探 究 34 [总结反思] 比较指数式的大小的依据是指数函数的单调性,原则上是将待比较的 指数式化为同底的指数式,并要注意底数的范围是还是 . 若不能化为同底,则可化为同指数或利用中间量比较. 课 堂 考 点 探 究 35 微点2 解简单的指数方程或不等式 例3（1）不等式 的解集为_______． ［思路点拨］根据给定条件，转化为同底的指数不等式，再利用指 数函数的单调性得到一元二次不等式，求解可得解集. [解析] 由，得 ，因为函数 在上单调递增，所以 ，即 ，解得，所以原不等式的解集为 . 课 堂 考 点 探 究 36 （2）若关于的方程 有两个不相等的 实数根,则实数 的取值范围是___________________________. ［思路点拨］令,把原问题转化为关于 的一元二次方 程有两个不等的正实数根问题，从而求得 的 取值范围. 课 堂 考 点 探 究 37 [解析] 令,则方程化为 , 依题意知方程 有两个不相等的正实数根,因此 解得或， 故实数 的取值范围是 . 课 堂 考 点 探 究 38 [总结反思] （1）且 . （2）,当时,等价于;当 时,等 价于 . （3）有些含参数的指数不等式（方程）需要用换元法求解. 课 堂 考 点 探 究 39 微点3 探究指数型函数的性质（含复合函数单调性的结论） 例4 已知函数 为偶函数， . （1）求的值及函数 的值域； ［思路点拨］先根据函数是偶函数求出参数，再结合均值不等式求 出值域； 课 堂 考 点 探 究 40 解： 为偶函数， ， 即 ， ，即， ， ，当且仅当 时取等号， 故函数的值域为 . 课 堂 考 点 探 究 41 （2）若命题“，”为假命题，求实数 的取值范围. ［思路点拨］先根据不等式恒成立化简不等式，再用换元法结合（1） 求出新自变量的范围，再应用导数求出最值即可求参数的取值范围. 解：因为命题“，”为假命题，所以命题“ ， ”为真命题. ， 令当且仅当 时等号成立， 例4 已知函数 为偶函数， . 课 堂 考 点 探 究 42 则 ， 对任意 恒成立，即 对任意 恒成立. ，对任意 恒成立. 令，则， 在 上单调递增， 故，，故的取值范围为 . 课 堂 考 点 探 究 [总结反思] 指数函数性质的综合问题主要涉及单调性、奇偶性、最值等,应结合 题目条件合理利用这些性质进行解题.指数函数性质的重点是单调性, 注意利用单调性实现问题的转化. 课 堂 考 点 探 究 44 应用演练 1.[2023·天津卷]若,,,则,, 的大小关 系为( ) A. B. C. D. [解析] 因为函数在上单调递增，且 ,所以 ，即. 因为在 上单调递增，且,所以， 即.所以 . √ 课 堂 考 点 探 究 45 2.若当时，方程，且有解，则实数 的 取值范围是______. [解析] 依题意知，当时，与 的图象有交点. 因为在上单调递减，所以 在 上的取值范围是， 当 时，在上的取值范围是，即 ， 不满足题意，故. 课 堂 考 点 探 究 46 当时，作出， 在上的图象， 如图所示，由图可知 解得 . 课 堂 考 点 探 究 3.不等式 的解集为________. [解析] 由，可得 . 令，因为，， 均为 上的减函数，所以在上单调递减，且 ，所以 ，所以，故不等式 的解集为 . 课 堂 考 点 探 究 48 4.函数 的单调递增区间为__________. [解析] 设，则在 上单调递减，在上单调递增. 由，得 ，由，得，而函数在 上 单调递减，所以函数的单调递增区间为 . 课 堂 考 点 探 究 49 课时作业 50 ◆ 基础热身 ◆ 1. ( ) A.9 B. C.3 D. [解析] . 故选B. √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 51 2.若函数是指数函数，则 的值为( ) A.2 B.3 C. D.4 [解析] 函数是指数函数， 且 ,，解得，， .故选A. √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 52 3.[2026·广东广州二中期中]当时，函数和 的 图象可能是( ) A. B. C. D. √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 53 [解析] 对于A，由一次函数的图象知，, ，此时函数 为减函数，A正确； 对于B，由一次函数的图象知， ,，此时函数 为 增函数，B错误； 对于C，由一次函数的图象知，,，此时函数 为 减函数，C错误； 对于D，由一次函数的图象知，,，此时函数 为增函数，D错误.故选A. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 54 4.已知，， ，则( ) A. B. C. D. [解析] 在上单调递减，则，即 ； 在上单调递增，则，即 . 故 .故选D. √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 55 5.[2026·广东广州模拟]若函数在区间 上单调递 增，则 的取值范围是( ) A. B. C. D. [解析] 令，则在 上单调递减，因为 在区间上单调递增，所以 在区间 上单调递减， 由 的图象开口向上且对称轴为直线 ，得，解得 .故选D. √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 56 6.（多选题）已知定义在上的函数 ， 则下列结论中正确的是( ) A.的单调递减区间是 B.的单调递增区间是 C.的最大值是 D.的最小值是 [解析] 设则是增函数,且 ,又函数 在上单调递增，在 上单调递减， 因此在上单调递增，在 上单调递减，故A正确，B错误； ，故C正确； 因为 ，，所以的最小值是， 故D正确.故选 . √ √ √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 57 7.若函数在区间 上的最大值与最小值的差为2，则 ___． 2 [解析] 因为函数在区间 上单调递增，所以根据题 意得，解得或 （舍去）. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 58 8.[2025⋅ 八省联考] 已知函数,且 ，若 ，则 __． [解析] 由，可得 ，即 ，即，，且 ， ，两边取自然对数得，解得 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 59 9.已知函数 . （1）当时，求在 上的取值范围； 解：当时, . 令， ， 则， . 因为函数在区间上单调递增，在区间 上单调递减， 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 60 所以当时，取得最大值，当时，取得最小值 ， 故函数，的值域为 . 所以当时,在上的取值范围为 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 61 （2）若在上单调递增，求实数 的取值范围. 解：当时,，此时在 上单调递增，满 足题意； 当时，设，则，当时， ， 因为在上单调递增，在 上单调递增，所以 在上单调递增，所以 解得 . 综上，，即的取值范围为 . 9.已知函数 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 62 ◆ 综合提升 ◆ 10.[2025⋅ 辽宁鞍山一中月考]已知函数 则不等 式 的解集为( ) A. B. C. D. [解析] 函数当时， 单调递增， 当时，单调递增，且 ，所以函数 在定义域上单调递增，所以 ,解得 ，所以不等式的解集为 ．故选B. √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 63 11.[2025·福建龙岩5月质检]已知，若当 时， 有 ，则必有( ) A.,, B.,, C. D. √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 64 [解析] 画出 的图象，如图所示. 对于A，当 时，若,,， 因为当 时，函数 单调递减，所以 ，与 矛盾，故A错误； 对于B，由图知当 时，若，则 可能小于零， 也可能大于零，故B错误； 对于C，当，，时，满足题意，但 ， 故C错误； 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 65 对于D，由图可知，, ，所以 , ，又 ， 所以 ，所以 ，故D正确.故选D. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 12.[2025·安徽安庆二模]函数 的图象经过原点，且 无限接近直线 但又不与该直线相交，则( ) A.函数 不具有奇偶性 B. C.函数的值域为 D.函数的单调递增区间为 √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 67 [解析] 因为函数的定义域为，且 ，所以函数 为偶函数，故A错误； 由函数的图象过原点，得 ，即， 所以，由于 , 的图象无限接 近直线但又不与该直线相交，因此 ,则， 则 ，故B，C错误； 由以上的分析得，函数 显然 的单调递增区间为 ，故D正确.故选D. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 68 13.[2025⋅ 湖北武汉四月调研] 为了响应节能减排号召，某地政府决 定大规模铺设光伏太阳能板，该地区未来第 年年底光伏太阳能板的 保有量（单位：万块）满足模型，其中 为饱和 度，为初始值， 为年增长率.若该地区2024年年底的光伏太阳能 板保有量约为20万块，以此为初始值，以后每年的增长率均为 ， 饱和度为1020万块，那么2030年年底该地区光伏太阳能板的保有量 约为____万块.（结果四舍五入保留到整数，参考数据： ，， ） 36 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 69 [解析] 根据题意知，,,, ， 则2030年年底该地区光伏太阳能板的保有量 ， 因为 ，所以 ， 所以2030年年底该地区光伏太阳 板的保有量约为36万块. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 70 14.若不等式的解集为 ,则实数 ___. 1 [解析] 原不等式可化为,因为在定义域 上为减函数,所以,即 , 又原不等式的解集为,所以关于 的方程 的两根为,6,所以 解得 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 71 15.已知函数 . （1）求函数 的值域； 解：的定义域为 . 当时，因为所以 ,所以； 当时， ， 因为，所以，所以 . 综上可得，函数的值域为 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 72 （2）若时，恒有成立，求实数 的取 值范围. 解：因为，所以， ，则 即为 ， 两边同时乘得 ， 即 ， 15.已知函数 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 73 即 ，即 恒成立. 令， ，由二次函数的性质可知 在上单调递减，所以当 时， ，所以，所以实数的取值范围是 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 ◆ 能力拓展 ◆ 16.[2025⋅ 辽宁大连育明中学一模]已知函数 ,，若正实数, 满足 ，则 的最小值为( ) A. B. C. D. √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 75 [解析] 由函数, ，可得 ， 所以函数为奇函数. 易知为增函数，因为正实数, 满足， 所以 ，即 ，则 ， 当且仅当，即,时，等号成立，所以 的 最小值为 .故选A. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 76 17.若对任意和任意 ，都有 成立，则实数 的取值范围为___________. [解析] 由可得 . 令，，因为 与 均在 上单调递减，所以 在 上单调递减，所以 . 由题知，对任意都有 . 当时，恒成立，满足题意； 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 77 在上单调递增，所以 ，解得，即； 当 时，幂函数在上单调递减，所以 ，则，即. 综上可得，实数 的取值范围为 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 $