第2单元 01 第6讲 函数的概念及其表示（PPT课件）-【满分思维】2027年高考一轮总复习·数学（人教B版）

该高中数学高考复习课件聚焦函数概念及其表示专题，依据高考评价体系梳理了定义域、解析式、分段函数三大核心考点，覆盖函数三要素、表示法及分段函数应用等课标要求，通过真题分析明确定义域求解（分式、对数）、分段函数求值等高频题型，构建系统复习框架。 课件亮点在于“知识聚焦+易错警示+真题演练”的备考策略，如用换元法推导解析式（例2）、分类讨论解分段函数不等式（例4），培养抽象能力与推理能力，设置“常错题分析”（忽略定义域、端点位置）和“对点演练”，帮助学生掌握得分技巧，教师可据此精准突破考点，提升复习效率。

1.知识网络 1 2.课时安排 本单元共10讲、2个增分微课、2个重点强化练,每讲建议1课时完 成,2个增分微课建议各1课时完成,2个重点强化练建议各1课时完成,本 单元大约共需14课时. 2 第6讲 函数的概念及其表示 3 课前基础巩固 课堂考点探究 课时作业 4 1.用集合语言和对应关系刻画函数,建立完整的函数概念,体会集合语 言和对应关系在刻画函数概念中的作用.了解构成函数的要素,能求简 单函数的定义域. 2.在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列 表法、解析法）表示函数,理解函数图象的作用. 3.通过具体实例，了解简单的分段函数,并能简单应用. 课 标 要 求 5 ◆ 知识聚焦 ◆ 1.函数的基本概念 给定两个非空________与,以及对应关系,如果对于集合 中的 _____________,在集合中都有__________的实数与对应，则称 为定义在集合上的一个函数，记作, ． 实数集 每一个实数 唯一确定 课 前 基 础 巩 固 6 2.函数的三要素 （1）函数的三要素：________、______和对应关系. （2）如果两个函数表达式表示的函数________相同，__________也 相同，则称这两个函数表达式表示的就是同一个函数. 定义域 值域 定义域 对应关系 3.函数的表示法 函数的常用表示方法:________、________、________. 解析法 列表法 图象法 课 前 基 础 巩 固 7 4.分段函数 如果一个函数,在其定义域内,对于自变量的不同取值区间,有不同的 __________,则称其为分段函数.分段函数的定义域等于各段函数定义 域的并集，值域等于各段函数值域的并集. 对应关系 课 前 基 础 巩 固 8 常用结论 1.常见函数的定义域 （1）分式中分母不等于0. （2）偶次根式的被开方式大于或等于0. （3）一次函数、二次函数的定义域为 . （4）零次幂的底数不能为0. （5）且，，的定义域均为 . （6）且的定义域为 . （7）的定义域为 . 课 前 基 础 巩 固 9 2.基本初等函数的值域 （1）的值域是 . （2）的值域：当 时，值域为 ；当时，值域为 . （3）的值域是 . （4）且的值域是 . （5）且的值域是 . 课 前 基 础 巩 固 10 ◆ 对点演练 ◆ 题组一 常识题 1.［教材改编］函数 的定义域是__________________. [解析] 要使函数有意义,只需且,即 且 ,故的定义域是 . 课 前 基 础 巩 固 11 2.［教材改编］函数 的值域为_________________. [解析] 函数的定义域为 ， ， 因为 ，所以， 故函数的值域为 . 课 前 基 础 巩 固 12 3.［教材改编］设， ，给出下 列四个图形，其中能表示从集合到集合 的函数关系的是____. （填序号） ② 课 前 基 础 巩 固 13 [解析] 对于①，在集合中找不到与2对应的元素，故不是从集合 到集合的函数； 对于③，在集合 中可以找到两个元素与1对应，故不是从集合到 集合的函数； 对于④，在集合 中找不到与2对应的元素，故不是从集合到集合 的函数．故填②. 课 前 基 础 巩 固 14 题组二 常错题 4.［忽略端点位置］函数 的图象如 图所示，那么， 的定义域是__________ ____，值域是______，其中只有唯一的 值 与之对应的 值的范围是____________. [解析] 由函数图象可知，函数的定义域是 ，函数的值域是，其中只有唯一的值与之对应的 值 的范围是 . 课 前 基 础 巩 固 15 5.［求函数解析式时忽视定义域］已知,则 _____________. [解析] 令,则,所以 ,则 . 课 前 基 础 巩 固 16 6.［忽视分段函数自变量的取值范围］已知函数 则使成立的 的取值范围为 _________________. [解析] 当时,即为,解得或 ,所以 ； 当时,即为,解得 ,所以. 综上所述,的取值范围为 . 课 前 基 础 巩 固 17 7.［混淆“函数在某区间有意义”与“函数 的定义域为某区间”］ 已知函数的定义域为 ,则实数 的值为_____. [解析] 函数的定义域为, 是不等式 的解集， 令 ,得不等式的解集为, 所以3是关于 的方程的根， 将代入方程可得 . 经检验知当时，不等式的解集是 ,故实数的值为 . 课 前 基 础 巩 固 18 探究点一 函数的定义域 例1（1）函数 的定义域为( ) A. B. C. D. [解析] 要使函数有意义，需满足 解得且，故函数的定义域为 .故选D. √ ［思路点拨］利用对数、分式、根式的性质列不等式组,求 的取值 范围,即得函数 的定义域. 课 堂 考 点 探 究 19 （2）求符合下列要求的函数的定义域. ①已知函数的定义域为，求函数 的定义域； ［思路点拨］由的定义域可得 ，解不等式可得 的定义域； 解：由，得，所以函数 的定 义域为 . 课 堂 考 点 探 究 20 ②已知函数的定义域为，求函数 的定义域； ［思路点拨］由的定义域可得 ，即可得 的定义域； 解：因为的定义域为，即 ，所以 ，故函数的定义域为 . （2）求符合下列要求的函数的定义域. 课 堂 考 点 探 究 21 ③已知函数的定义域为，求函数 的 定义域. ［思路点拨］由函数的定义域求出 的定义域, 再求出 的定义域. 解：因为函数的定义域为，所以 . 由，得，所以函数 的定义域 为 . （2）求符合下列要求的函数的定义域. 课 堂 考 点 探 究 22 [总结反思] （1）求具体函数的定义域即求使解析式有意义的自变量 的取值集 合，如分式的分母不等于0、对数的真数大于0等，所以往往归结为 求解自变量满足的不等式（组）,不等式（组）的解集即为定义域. （2）对于抽象函数，若已知函数的定义域为 ,则复合函数 的定义域由不等式 求出;若复合函数 的定义域为,则函数的定义域为 的值域. 课 堂 考 点 探 究 23 变式题（1）函数 的定义域为______. [解析] 对于函数，有 解得，故函数的定义域为 . 课 堂 考 点 探 究 24 （2）已知函数的定义域为 ，则函数 的定义域为_______. [解析] 因为函数的定义域为 ,所以 ，所以函数的定义域为 , 由,解得,所以函数 的定义域为 . 课 堂 考 点 探 究 25 （3）已知函数的定义域为，则函数 的 定义域为______. [解析] 由，得，所以 ，可得 ，所以的定义域为 . 课 堂 考 点 探 究 26 探究点二 函数的解析式 例2（1）已知，则 的解析式为 __________________. [解析] 方法一（换元法）：令，则 ，所以 ，所以 . 方法二（配凑法）：因为 ，所以 . 课 堂 考 点 探 究 27 （2）若二次函数满足，且 ，则 的解析式为_________________. [解析] （待定系数法）设， ， ，，则 . 在中，令，则， ， 即，故； 令，则 ，，即， 故. 由①②得 ，， . 课 堂 考 点 探 究 28 （3）已知满足，则 的解析式为 __________. [解析] （方程思想）因为，所以将用 替 换，得，由①②解得 . 课 堂 考 点 探 究 29 （4）已知，则 的解析式为________________ _______________________. [解析] 因为当时，，当且仅当 时等号成立，当 时，，当且仅当时等号成立，所以 的定 义域为 . 因为 ，所以 . 课 堂 考 点 探 究 30 [总结反思] 1.求函数解析式的常用方法： （1）待定系数法：已知函数的类型（如一次函数、二次函数）,可用 待定系数法. （2）换元法：已知复合函数 的解析式，可用换元法，此 时要注意新元的取值范围. 课 堂 考 点 探 究 31 （3）构造法：已知与或,为常数 之间的关系式, 可根据已知条件再构造出另外一个等式,两等式组成方程组,通过解方 程组求出 . （4）配凑法:由已知条件,可将改写成关于 的 表达式,然后以替代,便得 的解析式. 2.求解函数解析式后一定要注意定义域问题. 课 堂 考 点 探 究 变式题（1）已知是一次函数，且，则 的 解析式为______________________________. 或 [解析] 设 ，则 ， 所以解得或故 或 . 课 堂 考 点 探 究 33 （2）已知函数，则 的解析式为____________ _____________. [解析] 令，则 ，故 ，即 ． 课 堂 考 点 探 究 34 （3）[2026·辽宁大连期末] 已知函数满足 ， 则 _ ________________. 课 堂 考 点 探 究 35 [解析] 对于 ， 将①中替换成，可得，再将①中 替换成，可得 相减可得 ，③④相加可得 ，所以 . 课 堂 考 点 探 究 36 探究点三 以分段函数为背景的问题 微点1 分段函数求值 例3（1）[2025·广西柳州三模]已知函数 则 ( ) A. B. C.4 D.16 √ [解析] 由解析式可得 ，则 .故选C. 课 堂 考 点 探 究 37 （2）[2025·江西鹰潭一模] 已知函数 则 ___. 9 [解析] . 课 堂 考 点 探 究 38 [总结反思] 分段函数求值的基本原则是分段进行，即自变量的取值属于哪一段 范围，就代入这一段的解析式求值，对于复合函数的求值问题,应由 里到外依次求值. 课 堂 考 点 探 究 39 微点2 分段函数与方程、不等式 例4（1）[2026·南通9月调考] 已知函数 若 ，则 的值为____________. 或或 课 堂 考 点 探 究 40 [解析] 设，则，当 时， ，由，可得. 当 时，，由，两边同时立方可得 . 当时，若，则，可得； 若 ，则，无解，舍去. 当时，若 ，则，可得； 若，则 ，可得. 综上，或或 . 课 堂 考 点 探 究 41 （2）已知则不等式 的解集是 ________. [解析] 当时，不等式即为 ，所以 ，可得； 当时，不等式 即为，所以， 且，可得 . 综上，不等式的解集是 . 课 堂 考 点 探 究 42 [总结反思] （1）若分段函数中含有参数,则直接根据条件选择相应区间上的解析 式代入求参;若是求自变量的值,则需要结合分段区间对自变量进行分 类讨论,再求值. （2）涉及与分段函数有关的不等式问题,主要表现为解不等式.当自 变量的取值不确定时,往往要分类讨论求解. 课 堂 考 点 探 究 43 应用演练 1.已知函数若，则 ( ) A.6 B. C.2 D. [解析] 因为当时， ，所以 ， 又当时， ，所以，所以，解得 ， 所以 . 故选A. √ 课 堂 考 点 探 究 44 2.[2026·辽宁实验中学二模]设函数 则不等 式 的解集是( ) A. B. C. D. [解析] 当时，由，可得； 当 时，由，即， 可得或 . 综上，不等式的解集是 .故选A. √ 课 堂 考 点 探 究 45 3.[2025·福建厦门质检] 已知函数 若 ，则 ___． 8 [解析] ，所以，因为 时， ，所以，所以，解得 . 课 堂 考 点 探 究 46 4.设函数则满足的 的取值 范围是_ _________. 课 堂 考 点 探 究 47 [解析] 当时，不等式可化为，易知 恒成立，即符合题意； 当 时，不等式可化为， 易知恒成立，即 符合题意； 当时，不等式可化为 ，解得 ，即. 综上，的取值范围是 . 课 堂 考 点 探 究 课时作业 49 ◆ 基础热身 ◆ 1.[2026·湖南永州联考]函数 的定义域是 ( ) A. B. C. D. √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 50 [解析] 函数， 的定义域为 . 故选B. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 51 2.已知函数则 ( ) A. B.100 C.2 D.1 [解析] 由题得， ，故 .故选B. √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 52 3.[2025·山东泰安模拟]已知集合,,,0,1,2, , },则 的子集个数为( ) A.3 B.4 C.8 D.9 [解析] 由不等式，解得 或 ，所以集合或. 因为集合,, ,0,1,2,，所以,,， 所以的子集个数为 .故选C. √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 53 4.函数 的值域为( ) A. B. C. D. [解析] 当时，； 当时， ,则， 当且仅当，即 时，等号成立， 故函数的值域为 ，故选D. √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 54 5.（多选题）已知若，则 的值可 以是( ) A. B. C.4 D.8 √ √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 55 [解析] 若 ， 则或即或 所以或.故选 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 6.（多选题）[2026⋅ 广东东莞联考]下列说法正确的是( ) A.与 表示同一个函数 B.已知函数的定义域为，则函数 的定义域为 C.函数的值域为 D.已知函数满足，则 √ √ √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 57 [解析] 对于A，由解得 ，所以 的定义域为； 由 ，解得，所以的定义域为 . 又 ，所以两个函数有相同的定义域及对 应关系，表示同一个函数，选项A正确. 对于B，因为函数的定义域为，所以 ，解 得，所以函数的定义域为 ，选项B正确. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 对于C，由，可得函数的定义域为 . 又函数在 上单调递增，所以 ，所以函数 的值域 为 ，选项C错误. 对于D，因为，所以 ， 由得，解得 ， 选项D正确.故选 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 7.[2025⋅ 安徽黄山二模] 已知函数 则 ___. 0 [解析] 由 可得 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 60 8.[2025·上海华东师范大学第三附属中学月考] 设 ，已知 若，则 的取值范围为_______． [解析] 若，则，解得，所以 ； 若，则，解得，所以无解. 综上， 的取值范围为 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 61 ◆ 综合提升 ◆ 9.[2025·南昌一模]已知则方程 所有的 根之和为( ) A.1 B.2 C.5 D.7 [解析] 若，由，得 ，所以； 若，由，得. 因为 ，所以方程 的所有根之和为1.故选A. √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 62 10.[2025·重庆南开中学月考]已知函数的定义域为 ， ，则 ( ) A. B. C. D. √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 63 [解析] 方法一：令，则，令 ，则 ，所以 解得即 .故选A. 方法二：用代替得方程 ， 与已知联立得，用代替可得 ， 令，得 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 64 11.[2025·河北正定中学期中]已知函数 若 ，则正实数 的值为( ) A.1 B. C.5 D.6 [解析] 因为，所以当 时,， 则 ，故， 因为在 上单调递增，且， 所以. 当时， ，则，又， 所以 对无解. 故正实数 的值为5，故选C. √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 65 12.（多选题）德国数学家狄利克雷是解析数论的创始人之一，他提 出了著名的狄利克雷函数：以下对 的说法 正确的是( ) A. B.的值域为 C.存在是无理数，使得 D.对任意，总有 √ √ √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 66 [解析]由 可得的值域为所以 ， 故选项A，B正确. 因为当是无理数时，且是无理数，所以 ， 所以，故选项C错误. 当是无理数时， ，均为无理数，此时有 ；当 是有理数时，， 均为有理数， 此时有.所以对任意 ，总有 ，故选项D正确.故选 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 67 13.已知函数若存在使得关于的方程 有 两个不同的根，则 的取值范围为( ) A. B. C. D. √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 68 [解析] 由函数 可得函数在， 上单调递增，当 时，，当时，. 若存在使得关于 的方程有两个不同的根，只需， 解得或 ， 所以的取值范围为 .故选B. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 14.已知函数 则不等式 的解集为__________________. [解析] 函数当时，可得 且 ，则, ,此时不等式 即为 ，即 ， 令, ,因为函数在上单调递增， 且 ，所以的解集为； 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 70 即为此时不等式不成立； 当 时,可得且，则 , ,此时不等式 即为 ,即 ， 令,因为函数在 上单调递减， 且，所以的解集为 . 综上可得，不等式 的解集为 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ◆ 能力拓展 ◆ 15.[2025·辽宁五校期末] 已知符号函数 ， 若，则实数 的取值范围是_________. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 72 [解析] 由 得 ，由分段函数可知当时，由 可得 ，即，可得 ； 当时，由可得恒成立； 所以 的图象如图所示. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 73 恒成立. 综上可得 . 若，则，即 恒成立； 若，则恒成立； 若 ，则，可得. 综上，实数 的取值范围是 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 $