第2单元 06 增分微课2 破解抽象函数的方法（PPT课件）-【满分思维】2027年高考一轮总复习·数学（人教B版）

该高中数学高考复习课件聚焦“抽象函数”专题，依据高考评价体系梳理了单调性、奇偶性、周期性等核心考点，通过近五年真题分析明确小题考查占比达65%，归纳出求值、性质判断、不等式求解三大常考题型，构建系统解题框架。 课件亮点在于“通法+模型化”双策略，如2022新高考II卷真题用赋值法推导周期，2023新课标I卷变式题通过模型化联想具体函数，培养学生数学思维与推理能力。特设“易错点警示”和“题型变式训练”，助力学生掌握答题技巧，教师可据此精准突破考点，提升复习效率。

增分微课2 破解抽象函数的方法 1 类型一 类型二 类型三 课时作业 2 抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，但给出了函数满足 的一部分性质或运算法则的函数.抽象函数主要有两个研究方向:一是 由抽象函数结构、性质,联想已学过的基本函数或其他知识,再由此预 测、猜想抽象函数可能有的相关结论；二是根据给出的抽象函数性 质,推导其特殊的性质和关系.考题多和函数的性质（单调性、奇偶性、 周期性等）相结合,以小题的方式考查居多. 3 解决抽象函数问题的常用方法 方法一（通法） 1.赋值，特殊值代入求值，如令 ，0，1等. 2.通过函数式得到抽象函数的性质： （1）通过 的变换判断单调性； （2）令式子中出现和 ，判断函数的奇偶性； （3）换为 确定是否具有周期性. 4 方法二（模型化） 结合具体函数，使得抽象函数具体化，常见的有： （1） ； （2）且 ； （3）且 ； （4）为常数 ； （5） ； （6） . 5 例1 [2025·青岛三模] 已知函数的定义域为 ， ，，则 ( ) A. B.0 C.1 D.2 [解析] 令，则 , ，为奇函数. 令 ，则, 为奇函数，, , ,， 的周期为4， 故 .故选C. √ 类型一 抽象函数求值 6 变式题 已知函数的定义域为,对任意的, , 恒成立.若,则 ( ) A.0 B. C. D. [解析] 令，得，所以； 令 ，，得， 又 ，所以； 令，得 ； 令，，得 .故选D. √ 7 例2 已知函数的定义域为，且 ，对定义域内的任 意，，都有，且当 时， ， . （1）求证： 是偶函数； 证明：令，得， . 令，得， ， ，又 的定义域关于 原点对称， 是偶函数. 类型二 抽象函数的性质 8 （2）求证：在 上单调递增； 证明：设 ，则 ， ，，，即 ， ，在 上单调递增. 例2 已知函数的定义域为，且 ，对定义域内的任 意，，都有，且当 时， ， . 9 （3）解不等式 . 解：， . 是偶函数， 不等式 可化为 ， 又函数在上单调递增， ，解得 ，又， ， 不等式的解集为 . 例2 已知函数的定义域为，且 ，对定义域内的任 意，，都有，且当 时， ， . 10 变式题（1）（多选题） 新课标Ⅰ卷］已知函数 的定义域 为, ，则( ) A. B. C.是偶函数 D.为 的极小值点 √ √ √ 11 [解析] 令，可得，故A正确； 令 ，可得，即，故B正确； 令 ，则，可得， 令, ,可得， 即 ，故是偶函数，故C正确； 设函数 ，此时满足， 但函数 没有极值点，故D错误.故选 . 12 （2）[2026·大同调研] 已知定义域为的函数 ，对任意的实数 ，都有，且当时， ， ，则当时， 的取值范围为_______. 13 [解析] 设，则，所以. 又，所以函数为增函数. 令，得 ； 令，则. 因为的定义域为 ,关于原点对称，所以为奇函数， 所以 ，， 所以在 上的取值范围为 . 14 例3 [2022·新高考全国Ⅱ卷]若函数的定义域为 ，且 ,,则 ( ) A. B. C.0 D.1 √ 15 [解析] 方法一：令,,得,所以 . 令,得 , 所以,即 , 所以,所以 , 即,所以,即 是周期 为6的周期函数. 因为,, , ,, , ,所以 . 16 方法二：令，，得，所以 . 设，则由,知, ，解得 ，不妨取，则，所以 ， 所以符合条件，因此的最小正周期 ， 且,,,, ， 所以 ， 所以 .故选A. 变式题 （多选题）[2026·重庆巴蜀中学开学考]已知定义域为 的函 数，对任意实数,都有 ，且 ，则以下结论正确的是( ) A. B. 是奇函数 C.的图象关于点 中心对称 D. √ √ √ 18 [解析] 方法一：对于A，令，可得 ，解得 或，令，可得 ， 当时，，显然不成立，故 ，故A正确； 对于B，令，得，即 ， 又函数的定义域为，所以 为偶函数，故B错误； 对于C，由选项A知，，所以， 令 ，得 ，即 ，所以函数的图象关于点 中心对称，故C正确； 19 对于D，因为为偶函数，所以 ，又由C选项得 ，即 ，得 ，所以 ， 故函数的周期为4， 因为, ,, ， 所以 ， 所以 ，故D正确. 故选 . 方法二：根据题意可设，由 ， 可得，不妨令，则 ，满足题意. 易知是偶函数，B错误； ，A正确； 令，则，当时， ， 故的图象关于点中心对称，C正确； ，又，，，，所以，D正确.故选 . 例4 [2024· 新课标Ⅰ卷] 已知函数的定义域为 ， ,且当时， ,则下列结论中一 定正确的是( ) A. B. C. D. √ 类型三 抽象函数迭代 22 [解析] 因为,且当时, ,所以 ， ， ，， ， ， ， ， ， .故选B. 23 变式题 （多选题）[2025·南京六校调研]已知定义在上的函数 ， 其导函数为，且满足, , ，则( ) A. B. C. D. √ √ 24 [解析] 令，则有，即 ， 令，则有 ，所以 ，所以函数 的图象不关于点 对称，故A错误，B正确； ，则 ，故C正确； 25 ，所以 ，即 ，令，则有 ， 又，所以数列是等差数列，其首项为 ，公差为1， 所以，即 ，则 ，故D错误.故选 . 课时作业 27 ◆ 基础热身 ◆ 1.下列函数中，满足对任意的， 都有 的是( ) A. B. C. D. √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 28 [解析] 对于A,若，则 ， , ，A正确； 对于B,若 ，则 ，B不正确； 对于C，若，则 ， C不正确； 对于D，若 ，则 ， D不正确.故选A. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 29 2.已知函数满足，则 ( ) A. B. C. D. [解析] 因为所以令 ,可得， 令可得 ,两式相加可得， 令可得 ,则，即 .故选D. √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 30 3.已知定义在上的奇函数满足 ，则下列说 法错误的是( ) A.的图象关于点对称 B. C. D. √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 31 [解析] 对于A，由，得 ，则函 数的图象关于点对称，排除A； 对于B，由于 是定义在上的奇函数，因此， 又 ，所以， 用替换可得 ，排除B； 对于D，在中，用替换 可得 ， 排除D.故选C. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 32 4.若定义在上的函数满足对任意, ，都有 （ 为非零常数），则下列说法正确 的是( ) A.为偶函数 B. 为奇函数 C.为偶函数 D. 为奇函数 [解析] 对任意，都有 ， 令，得， , 令，，得 ， ，则 为奇函数． 故选D. √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 33 5.已知函数的定义域为 ，且 ， ，则 的值是( ) A.9 B.10 C.11 D.12 √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 34 [解析] 在中，令 ，可得 ，令，，则 ， 在中，令，可得，所以 . 在中，令 ，则 ，令， ，则 .故选D. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 6.（多选题）已知定义在上的函数 满足 ,, ，且 ，则( ) A. B. C. D. √ √ √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 36 [解析] 定义在上的函数 满足， 令 ，得，又，所以 ， A正确； 令，得，又 ，所以 ，令，得 ，即 ，又，所以，则 ， B正确； 令，得 ，即 ，因此 ，C错误，D正确. 故选 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 37 7.设函数在 上有定义，且满足以下条件： ；.则 __. [解析] 在中，令，得，所以 ； 在中，令，得 ，所以； 在中，令，得 ，所以； 在中，令，得 ，所以； 在中，令，得 ，所以； 在中，令得 ,所以 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 38 ◆ 综合提升 ◆ 8.已知函数的定义域为，值域为 ，且 ,,，则 ( ) A. B. C. D. √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 39 [解析] 因为，所以 ， 所以 ， 所以 ，所以 .故选D. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 40 9.[2026·浙江Z20联盟一联]已知函数的定义域为 ， ，且 , ，则下列结论一定正确的是( ) A. B. C. D. √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 41 [解析] 设,， ，因为， 所以.由 得 ，则, ， 因此数列 从第二 项起，后一项不小于前一项的2倍， 故,，所以, . 由 得 ，则, ， 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 42 因此数列 从第二项起，后一项不大于前一项的3倍， 故, ，所以 ，即 ，故A,B,C错误，D正确.故选D. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 10.（多选题）已知函数的定义域为 ，若 ，则( ) A. B. C. D. [解析] 令，，则,令 ， 则 或. 令,，则 , 若，则 ，矛盾， ，则，A选项错误. √ √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 44 ，B选项正确. 令 ，则，即 ， ，C选项正确. 在 中，令，则，得, 令 ，则 ， ，D选项错误.故选 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 11.（多选题）[2026·杭州一模]已知函数 的函数值 等于的正因数的个数，例如, ，则下列结论正确的 是( ) A. B. C. D.设，则 √ √ √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 46 [解析] 对于A，6的正因数为1,2,3,6，共4个，所以 ，故A正确； 对于B，，它的正因数形如 ，其中 ,，所以不同的正因数有 （个）， 即 ，故B不正确； ，所以，所以，故C正确； 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 47 对于D，, , ,，则 ，故D正确. 故选 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 12.（多选题）[2025·烟台三模]已知定义在上的函数 的导函数 为，若对任意, ，都有 ，且 ，则( ) A.为偶函数 B. C.是周期为4的周期函数 D. √ √ √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 49 [解析] 令，则 ，即 ，所以是奇函数，故A错误； 由为 上的奇函数可得，令 ，则 ，则 ， 故，即 ，因此 ，故B正确； 由 ，得，又 ， 所以，故 , 故是周期为4的周期函数,故C正确； 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 50 ，则， 则 ，故,故D正确.故选 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 13.函数满足对任意，都有 ，若 ,则 的最小值是______. 1925 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 52 [解析] 因为 ，所以 . ，那么，因此 ， ，取，则 ，所以 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 14.已知函数的定义域为 ，且 ， . （1）若，求与 ； 证明：方法一：由题知， 令 ，，可得 ， 因为，所以 . 由，得 . 由，得，则， 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 54 ，所以 ，则 ，所以满足题意， 故 ， . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 方法二：因为 ，所以 ， ,又，所以 ， 解得或. 当时，，与 矛盾，不符合题意，所以 . 由，且 ，得 ， 所以，即， . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 56 （2）证明：函数 是偶函数； 证明：令，，则 ，即 ，所以，令，可得 ， 即 ， 又的定义域为，关于原点对称，所以函数 为偶函数. 14.已知函数的定义域为 ，且 ， . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 57 （3）证明:函数 是周期函数. 证明：令，得 ， 则，两式相加得 ， 所以，可得 ， 则 ， 所以函数 是周期为6的周期函数. 14.已知函数的定义域为 ，且 ， . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 58 $